TEORIA 2 SEMANA - Alisson Byv

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TEORÍA
2
POLÍGONOS
POLÍGONO
Definición.- Sean P1, P2, P3, . . . , Pn1 y Pn puntos distintos de un plano H con n  3, y los segmentos ,,, …, y , tales que:
 Dos segmentos cualesquiera se intersecan sólo en sus extremos.
 Dos segmentos con un extremo común no son colineales.
Entonces la unión de los segmentos ,,, …, y se denomina polígono.
Notación:
Polígono P1P2P3. . . Pn1Pn: P1P2P3. . . Pn1Pn
Vértices: P1, P2, P3, . . . , Pn1 y Pn 
Lados: ,, , …, y 
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n-1
n
H
ÁNGULOS EN EL POLÍGONO
Dos lados con un vértice común del polígono determinan un ángulo al cual se denomina ángulo del polígono tales como: PnP1P2, P1P2P3, P2P3P4, …, Pn  2Pn1Pn y Pn1PnP1.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
Pn--1
Pn
INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLÍGONO
Un polígono separa a un plano en conjuntos de puntos interiores al polígono denominado el interior del polígono, puntos del polígono y puntos exteriores al polígono denominado el exterior del polígono.
H
Interior del polígono
Exterior del polígono
POLÍGONO CONVEXO Y NO CONVEXO
Un polígono se denomina convexo si el interior es un conjunto convexo, caso contrario se denomina polígono no convexo.
A
B
C
D
E
F
G
Interior
conjunto convexo
POLÍGONO CONVEXO
M
N
L
P
Q
R
T
Interior
conjunto no convexo
POLÍGONO NO CONVEXO
DEFINICIONES:
1.- Una diagonal en un polígono es un segmento que tiene por extremos dos vértices no consecutivos del polígono.
A
B
C
D
E
F
G
En el polígono ABCDEFG:
 y son diagonales 
2.- Una diagonal media en el polígono es un segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados cualesquiera del polígono.
A
B
C
D
E
F
G
P
Q
M
N
t
t
n
n
a
a
r
r
En el polígono ABCDEFG,
 y son diagonales medias 
3.- Un ángulo externo en un polígono convexo es el ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del polígono.
En el polígono ABCDEFG, el
∠EFH es un ángulo externo.
A
B
C
D
E
F
G
H
CLASIFICACIÓN SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
Triángulo…………………………..….. 3 lados
Cuadrilátero…………………….……. 4 lados
Pentágono…………………..………… 5 lados
Hexágono………………………………. 6 lados
Heptágono……………………………… 7 lados
Octágono u Octógono…………… 8 lados 
Nonágono o Eneágono…………. 9 lados
Decágono…………………………..…. 10 lados
Endecágono o Undecágono… 11 lados
Dodecágono	………………………..… 12 lados
Pentadecágono………………........ 15 lados
Icoságono………………………….…… 20 lados
1.- POLÍGONO EQUILÁTERO
Es el polígono que tiene sus lados congruentes.
A
B
C
D
E
F
a
a
a
a
a
a
Polígono equilátero convexo
Q
R
S
T
V
P
t
t
t
t
t
t
Polígono equilátero no convexo
DEFINICIONES:
2.- POLÍGONO EQUIÁNGULO
 Es el polígono que tiene sus ángulos congruentes.
A
B
C
D
E
F
120
120
120
120
120
120
Polígono equiángulo convexo
P
Q
R
S
T
V
Polígono equiángulo no convexo
3.- POLÍGONO REGULAR
Es el polígono convexo, equiángulo y equilátero.
A
B
C
D
E
F
a
a
a
a
a
a
120
120
120
120
120
120
EJERCICIO 01 :
A) FFV 	 	 B) FVF	 C) FFF
D) VFV	 	 E) VFF
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Los ángulos del pentágono equiángulo miden 108.
El interior de un cuadrilátero, es un conjunto convexo.
En un polígono no pueden existir dos lados colineales.
F El pentágono puede 	 ser no convexo
II. F	El interior del cuadrilátero 	puede ser conjunto no 	convexo
III. F 
RESOLUCIÓN 01
60
60
60
60
60
60
Clave: C 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
Los ángulos del pentágono equiángulo miden 108.
El interior de un cuadrilátero, es un conjunto convexo.
En un polígono no pueden existir dos lados colineales.
NÚMERO DE DIAGONALES TRAZADAS DESDE UN VÉRTICE
Teorema.- En el polígono convexo de n lados, el número de diagonales trazadas desde un vértice es (n3).
V
V
V
V
V
V
V
n-1
n
1
2
3
n-1
n-1
4
5
DUN VÉRTICE = n – 3 
1
2
3
n-3
NÚMERO DE DIAGONALES 
Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales es 
V
V
V
V
V
V
n-1
n
1
2
3
n-1
n-1
4
5
ND = 
V
 V1 vértice:……(n-3) diagonales.
 V2 vértice:……(n-3) diagonales.
Todas las diagonales unen dos vértices por lo tanto se duplican
 Al trazar de los n vértices:
 (n) (n-3) 
NÚMERO DE DIAGONALES MEDIAS TRAZADAS DESDE EL PUNTO MEDIO DE UN LADO
Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales medias trazadas desde el punto medio de un lado es (n-1).
V
V
V
V
V
V
V
n-1
n
1
2
3
n-1
n-1
4
5
M
M
M
M
M
M
1
2
3
4
n
n-1
a
b
b
c
c
d
d
a
s
s
t
t
1
2
3
n-2
n-1
V
V
V
V
V
V
V
n-1
n
1
2
3
n-1
n-1
4
5
M
M
M
M
M
M
1
2
3
4
n
n-1
a
b
b
c
c
d
d
a
s
s
t
t
NÚMERO DE DIAGONALES MEDIAS
Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales medias trazadas desde el punto medio de un lado es: 
De cada punto medio se trazan (n-1) diagonales medias.
 de M1……(n-1) diagonales medias
 de M2……(n-1) diagonales medias
 Al trazar de los n puntos medios:
 (n) (n-1) 
Todas las diagonales medias unen dos puntos medios por lo tanto se duplican
NDM = 
A) 8	 B) 10	 C) 12
D) 14	 E) 16 
EJERCICIO 02 :
La diferencia del número de lados de dos polígonos es dos, la diferencia del número de diagonales es 15. Calcule el número de lados del polígono de mayor cantidad de lados.
# lados
# Diagonales
n
n – 2 
Disminuye 2 lados
Disminuye 15 diagonales
RESOLUCIÓN 02
La diferencia del número de lados de dos polígonos es dos y la diferencia del número de diagonales es 15. Calcule el número de lados del polígono de mayor cantidad de lados. 
Clave: B 
D = 
D = 
 - 15 
 = 
 – 30 = 
 – 30 = + 10 
4n = 40 
n = 10 
A) 15 			 B) 21 		 	 C) 28 
D) 36 			 E) 45 
EJERCICIO 03 :
Desde 5 vértices consecutivos en un polígono regular se trazan 19 diagonales en total. Calcule el número de diagonales medias del polígono 
4
(+)
5
5=19
Piden
RESOLUCIÓN 03
Desde 5 vértices consecutivos en un polígono se trazan 19 diagonales en total. Calcule el número de diagonales medias del polígono.
Dm = 
Dm = 
Dm = 28
Clave: C 
Dato 
SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS
Teorema.- En un polígono convexo de n lados, la suma de las medidas de los ángulos internos es 180(n2).
1
2
3
n-2
Se trazan las (n – 3) diagonales del vértice V1, observándose la formación de (n - 2) triángulos.
Luego, Si = 180 (n - 2)
MEDIDA DE UN ÁNGULO INTERNO EN UN POLÍGONO CONVEXO Y EQUIÁNGULO
Corolario.- En un polígono convexo y equiángulo de n lados, la medida de un ángulo interno es 
SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS EXTERNOS
Teorema.- En un polígono convexo de n lados, la suma de las medidas de los ángulos externos es 360.

1
2
3
4
5
n
n-1
….
MEDIDA DE UN ÁNGULO EXTERNO EN UN POLÍGONO CONVEXO Y EQUIÁNGULO
Corolario.- En un polígono convexo y equiángulo de n lados, la medida de un ángulo externo es . 
 
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
n
V
n-1
V
q
 
q
 
q
 
q
 
q
 
q
q
 
A) 3				 B) 4	 			 C) 5 
D) 6 			 E) 8
EJERCICIO 04 :
ABCDEF y EFGHI, son dos polígonos regulares, los vértices A y G están en diferentes semiplanos determinados por la recta EF. Si es perpendicular a la recta GE, entonces calcule la mEBQ.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Q
mEBQ = x = ?
x
Ángulo exterior:
Hexágono: 360/6 = 60 
Pentágono: 360/5 = 72 
60
72
EFG, isósceles:
mFEG = mFGE = 36
Trapecio isósceles BAFE: 
mFEB = 60
60
36
BEQ, exterior en E: 
mBEG = 90 + x
= 60 + 36
 x = 6
RESOLUCIÓN 04
ABCDEF y EFGHI, son dos polígonos regulares, los vértices A y G están en diferentes semiplanos determinados por la recta EF. Si es perpendicular a la recta GE, entonces calcule la mEBQ.
Clave: D 
Las medidas de los ángulos interiores deun pentágono convexo están en progresión aritmética. Calcular el mayor valor entero de la razón.
EJERCICIO 05 :
A) 30				 B) 32				 C) 35
D) 36				 E) 40
α
α+r
α+2r
α-r
α-2r
Por teorema: =180(5 - 2) = 5α
α = 108 
El menor ángulo: 108 - 2r > 0
54 > r 
El mayor ángulo: 108 + 2r < 180
 r < 36 
se toma: r < 36 
 = 35 
RESOLUCIÓN 05
Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono convexo están en progresión aritmética. Calcular el mayor valor entero de la razón.
Clave: C 
TEORÍA
2
CUADRILÁTEROS
CUADRILÁTERO
Definición.- Se denomina cuadrilátero al polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.
A
B
C
D
M
N
P
Q
Cuadrilátero convexo
Cuadrilátero no convexo
DEFINICIONES
Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan. 
Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos, si no tienen común un lado.
Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen un extremo común. 
Dos ángulos de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen común un lado. 
Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
TEORÍA
4
BASICO2021-2
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
TRAPEZOIDE
Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
 ABCD es un trapezoide
 y no son paralelos
 y no son paralelos
 
A
B
C
D
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO
Es el trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes.
ABCD es un trapezoide 
simétrico.
  y  
A
B
D
C
a
a
b
b
Teorema.- En un trapezoide simétrico la recta que contiene a una diagonal es mediatriz de la otra diagonal.
A
B
D
C
a
a
b
b
m
m
 es mediatriz de 
En un trapezoide ABCD , mBAD = mBCD = 90. En el lado se ubica el punto H, tal que es perpendicular a . Si BC = 24 u , HD = 15 u y mABH = 2(mHCD), entonces la longitud (en u) de es
A) 13 			 B) 15 			 C) 20 
D) 16 			 E) 10
EJERCICIO 01 :
A
D
B
C
H
24
15
α
2α 
x
Piden: BH = x
Datos: BC = 24 u y HD = 15 u;
2α
90-α
12
12
12
S
53
=37
Se deduce que el ∆BHC es isósceles
Q
x
Trazamos HQ: altura, mediana y bisectriz. BQ = QC =12
Entonces CH = BH = x
Finalmente en el ∆CHS: 
 BH = x = 20 
En ∆HSD: notable de 37 y 53
En un trapezoide ABCD 
donde mHDS = 53 y α = 37
RESOLUCIÓN 01
Clave: C 
En un trapezoide ABCD , mBAD = mBCD = 90. En el lado se ubica el punto H, tal que es perpendicular a . Si BC = 24 u , HD = 15 u y mABH = 2(mHCD), entonces la longitud (en u) de es
90-α
Por paralelas: HS = QC = 12
40
TRAPECIO
Es un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos.
ABCD es un trapecio,
 // , Bases: y 
Altura. Es el segmento cuyos extremos se encuentran en las rectas que contienen a las bases y es perpendicular a dichas rectas: 
D
A
B
C
M
m
m
N
n
n
H
Mediana. Segmento que tiene por extremos los puntos medios de los dos lados no paralelos: 
CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS
1. Trapecio Escaleno
Es el trapecio cuyos lados opuestos no paralelos no son congruentes.
D
A
B
C
a
b
Observación:
Un trapecio escaleno se denomina trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
ABCD es un trapecio escaleno
Si // y AB 
ABCD es un trapecio rectángulo
Si y 
A
B
C
D
2. Trapecio Isósceles
 Es el trapecio cuyos lados opuestos no paralelos son congruentes.
ABCD es un trapecio isósceles, // y AB
D
A
B
C
a
a
TEOREMAS EN LOS TRAPECIOS
1.- Los ángulos determinados en las bases de un trapecio isósceles son congruentes.
D
A
B
C
a
a
 
 
Si ABCD es un trapecio isósceles de bases y , entonces:
 
2.- Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes.
A
B
C
D
Si ABCD es un trapecio isósceles de bases y , entonces:
 
a
a
d
d
44
A
D
C
B
F

N
M
a/2
b/2
b
a
Se traza la diagonal y se ubican los puntos medios M, F y N de , y que no se sabe si son coolineales. 

ABD: es base media, 
3.- La mediana de un trapecio es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases.
Si ABCD es un trapecio de bases 
 y , entonces:
// // y
MN 
MN 
 // y MF = AD/2 = b/2 
BCD: es base media, 
 // y FN = BC/2 = a/2 
Por el postulado de Euclides: 
// // y // 
Luego: M, F y N son coolineales. 
////

M
a/2
b/2
b
a
A
D
C
B
t
t
Corolario.- En un trapecio, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases.
Si ABCD es un trapecio de bases y , entonces:
EF 
// // y EF 
Se ubican los puntos medios E, M de y 
Luego interseca a en F 
ACD: es base media, 
 // y EM = AD/2 = b/2 
BCD: F es punto medio de y 
 // y FM = BC/2 = a/2 
 es base media 
// // 
Luego: 

E

F
En un trapecio isósceles la diagonal mide el doble de su mediana. Calcule la medida de uno de los ángulos determinado por las diagonales de dicho trapecio.
 
A) 30		 B) 37		 C) 45
D) 53		 E) 60
EJERCICIO 02 :
x = m APC 
Dato: 2MN = AC = BD = a+b
Prolongamos tal que, MBDA es paralelogramo
Los triángulos AMC y BCP son equiláteros
 x=60
a
A
B
C
D
M
N
X
M
b
b
P
En un trapecio isósceles la diagonal mide el doble de su mediana. Calcule la medida de uno de los ángulos determinado por las diagonales de dicho trapecio.
 
RESOLUCIÓN 02
/
/
/
/
60
a+b
60
Clave: E 
Se tiene un trapecio ABCD, de bases BC y AD (BC < AD); BN = NA (N en AB ) y BC+AD=14 u. Si mMCD=90, mBCM=mMCN y B-M-N, calcule (en u) NC.
EJERCICIO 03 :
A) 8	 B) 6 	C) 7
D) 9	 E) 5
A
B
C
D
N
S

x
M


2
a
b

90°
Dato a+b=14
x
x = NC.
m
m
90°
RESOLUCIÓN 03
Se tiene un trapecio ABCD, de bases BC y AD (BC < AD); BN = NA (N en AB ) y BC+AD=14 u. Si mMCD=90, mBCM=mMCN y B-M-N,
 calcule (en u) NC.
x = = 
Se traza: NS//BC
CNS: Isósceles
NS=NC=x
Finalmente
Clave: C 
x = 7
PARALELOGRAMO
Definición.- Es el cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos.
Si // y // , entonces ABCD es un paralelogramo
DEFINICIONES
Cuadrado: Es un paralelogramo cuyos lados y ángulos son congruentes.
a
a
a
a
Rectángulo: Es un paralelogramo cuyos ángulos son congruentes.
Rombo: Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes.
a
a
a
a
D
C
B
A
B
C
D
TEOREMAS EN PARALELOGRAMOS
1.- En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.
Si ABCD es un 
paralelogramo, 
entonces
 
 
a
a
b
b
TEOREMAS EN PARALELOGRAMOS
2.- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Si ABCD es un 
paralelogramo, 
entonces
AM MC
BM MD
m
m
n
n
A) 2	 			 B) 2,5 		 C) 3 	 
D) 3,5 	 		 E) 4
EJERCICIO 04 :
En un paralelogramo ABCD, F es el punto medio de , . Si BC = 8u y mADH = 30, entonces calcule la distancia (en u) de H al lado .
P
D
C
B
A
8
E
H
F
a
a
8
8
30
x
u
8
RESOLUCIÓN 04
Clave: E 
En un paralelogramo ABCD, F es el punto medio de , . Si BC = 8u y mADH = 30, entonces calcule la distancia (en u) de H al lado .
7				 B) 8				 C) 9
D) 10				 E) 12 
EJERCICIO 05 :
En un paralelogramo ABCD, se traza la bisectriz del BCD que interseca a en el punto M . Se ubica el punto F en , tal que mFDC = 90,  y N. Si MN = FD, AN = 2 u y NB = 5 u entonces la longitud (en u) de es 
N
F
H
M
D
C
B
A
x
2
5
7
5
a
a
Dato: ABCD es un paralelogramo
AN = 2, NB = 5,MN = FD
x = BC
CD = AB = 7
 FCD HNM (ALA)
 AH = 5
 HBC, isósceles:
 x = 12
RESOLUCIÓN 05
Clave: E 
En un paralelogramo ABCD, se traza la bisectriz del BCD que interseca a en el punto M . Se ubica el punto F en , tal que mFDC = 90,  y N. Si MN = FD, AN = 2 u y NB = 5 u entonces la longitud (en u) de es 
Circunferencia
2
2023-1
Intensivo
Examen
Escolar
CIRCUNFERENCIA
Definición.-La circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo de dicho plano llamado centro de la circunferencia.
C
En la figura:
C	es una circunferencia
Centro: O
Radio: 𝑶𝑷
El interior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia al centro es menor que la longitud del radio.
C
El exterior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia al centro es mayor que la longitud del radio.
INTERIOR Y EXTERIOR DE UNA CÍRCUNFERENCIA
EJERCICIO 01
En una circunferencia de centro O, el radio OB y la cuerda AC se intersecan en D tal que OB = CD. Si 3mOBC = 5m ACB, halle mACB.
A) 60 		B) 36 		C) 18 
D) 48 		 	E) 30
RESOLUCIÓN 01 
En una circunferencia de centro O, el radio OB y la cuerda AC se intersecan en D tal que OB = CD. Si 3mOBC = 5mACB, halle mACB.
A
B
C
O
D
3x
5x
2x
8x
8x
 radio → OC = OB
∆OBC isósceles 
 → mOBC = m OCB = 5x
∆DCO isósceles 
 → mCOD = m ODC = 8x
∆BOC: 5x + 5x + 8x = 180
 → 3x = 30
Clave: E
DEFINICIONES
A
B
C
D
O
Cuerda:
Diámetro:
Radio: 
es el segmento cuyos extremos pertenecen a la circunferencia, tal como 
es una cuerda que contiene al centro de la circunferencia, tal como .
es el segmento cuyos extremos son el centro y un punto de la circunferencia, tal como 
P
DEFINICIONES
T
O
E
F
L
S
L
T
Flecha o sagita :
Recta secante:
es cualquier recta que interseca a la circunferencia en dos puntos, tal como LS.
Recta tangente:
es cualquier recta coplanar con la circunferencia y que lo interseca en un solo punto, tal como LT.
es la parte de un radio perpendicular a una cuerda determinada entre la cuerda y la circunferencia, tal como . 
C
D
M
H
EJERCICIO 2
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
 Por tres puntos no colineales pasa una y solo una circunferencia.
 En una circunferencia, una cuerda es el segmento cuyos extremos son dos puntos de ella.
 Dos puntos distintos de una circunferencia, determinan un solo arco de circunferencia.
A) VVV B) FFF C) FVF
D) VVF E) VFF
RESOLUCIÓN 2 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
 Por tres puntos no colineales pasa una y solo una circunferencia.
 En una circunferencia, una cuerda es el segmento cuyos extremos son dos puntos de ella.
 Dos puntos distintos de una circunferencia, determinan un solo arco de circunferencia.
Clave: D
VERDADERO.
VERDADERO.
FALSO
A
B
C
A
B
A
B
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema.- Todo radio perpendicular a una cuerda, de una circunferencia, biseca a esta cuerda.
O
C
D
H
t
t
 CH = HD

Teorema.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de tangencia.
L
O
T
r
r
Si  
Si T es un punto de tangencia

EJERCICIO 03
En una circunferencia el radio tiene una longitud de 29 u, calcule la longitud (en u), de la sagita de una cuerda de 40 u.
 
A) 4 	 	 	B) 5 			C) 6
D) 7 		 		E) 8 
RESOLUCIÓN 03
En una circunferencia el radio tiene una longitud de 29 u, calcule la longitud (en u), de la sagita de una cuerda de 40 u.
Clave: E
MN = ?
A
B
O
N
40
R = 29
M
Teorema: AM = MB = 40/2 = 20
20
BMO, teorema de Pitágoras:
(OM)2 + (20)2 = (29)2 
OM = 21
MN = 29 – 21 = 8
Definición.- Si es una recta tangente a una circunferencia en A, entonces es un segmento tangente desde P a la circunferencia.
Teorema de las tangentes.- Los segmentos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes.
P
A
Si es tangente a C

 es un segmento tangente desde P a C. 
B
P
A
t
t
  
C
Si A y B son puntos de tangencia

EJERCICIO 04
Dos circunferencias son exteriores y la distancia entre sus centros es el doble de la suma de las longitudes de los radios de dichas circunferencias. Halle la medida del ángulo agudo determinado por una recta tangente común interior y la recta que contiene a los centros de las circunferencias.
A) 45 			B) 36 	 C) 60 
D) 30 				E) 15
RESOLUCIÓN 04 
Dos circunferencias son exteriores y la distancia entre sus centros es el doble de la suma de las longitudes de los radios de dichas circunferencias. Halle la medida del ángulo agudo determinado por una recta tangente común interior y la recta que contiene a los centros de las circunferencias.
N
M
b
2(a + b)
x
b
a
a
b
30
H
Q
•
O
•
M y N puntos de tangencias 
 → y 
NMQH rectángulo
 → NH = MQ = b
∆OHQ notable de 30 y 60
→ m OQH = 30
 
→ x = 30
Clave: D
L
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
Circunferencias exteriores
Son aquellas en las cuales la distancia entre los centros es mayor que la suma de las longitudes de sus radios.
Circunferencias tangentes exteriores
Son aquellas circunferencias en las cuales la distancia entre sus centros es igual a la suma de las longitudes de sus radios.
r
R
 O1O2 > R + r
 O1O2= R + r 
Son aquellas en las cuales la distancia entre los centros es menor que la suma de las longitudes de sus radios.
Observación
Dos circunferencias secantes se denominan ortogonales si la rectas tangentes a las circunferencias, en uno de los puntos de intersección, son perpendiculares.
A
B
Circunferencias secantes
 R - r < O1O2< R + r
L1
L2
C1
C2
C1 y C2 son ortogonales 

Circunferencias tangentes interiores 
Son aquellas circunferencias en las cuales la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de las longitudes de sus radios.
Circunferencias interiores 
 Son aquellas circunferencias en las cuales la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de las longitudes de sus radios.
 O1O2= R - r
 O1O2< R - r
Circunferencias concéntricas 
Son aquellas circunferencias que tienen el mismo centro.
EJERCICIO 05
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
Si la intersección de los interiores de dos circunferencias es el vacío, entonces las circunferencias son exteriores.
Si el interior de una circunferencia esta contenido en el interior de otra circunferencia, entonces las circunferencias son interiores.
Si dos circunferencias son tangentes a una recta en el mismo punto, entonces las circunferencias son tangentes exteriormente.
A) VVV 			B) VFV 		 C) FFV 
D) FFF 			E) VVF
RESOLUCIÓN 05 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
Si la intersección de los interiores de dos circunferencias es el vacío, entonces las circunferencias son exteriores.
Si el interior de una circunferencia esta contenido en el interior de otra circunferencia entonces las circunferencias son interiores.
Si dos circunferencias son tangentes a una recta en el mismo punto, entonces las circunferencias son tangentes exteriormente.
I. Falso.
 Las circunferencias pueden ser también tangentes exteriormente.
II. Falso.
 Las circunferencias pueden ser también tangentes interiormente.
 Las circunferencias pueden ser también tangentes interiormente.
III. Falso.
Clave: D
Corolario.- Los segmentos tangentes comunes exteriores trazados a dos circunferencias (exteriores o secantes) son congruentes.
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Corolario.- Los segmentos tangentes comunes interiores trazados a dos circunferencias exteriores son congruentes.
Definición. - Un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a dicha circunferencia. En este caso se dice que la circunferencia está inscrita en el polígono.
Definición. - Un polígono es circunscriptible a una circunferencia cuando es posible inscribir en él una circunferencia.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
Teorema de Poncelet.- En un triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusay del diámetro de la circunferencia inscrita.
a + c = b + 2r
r
A
B
C
c
a
O
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
b
r
A
B
C
c - r
Q
O
Demostración
b
r
r
a - r
a - r
c - r
T
N
BQOT cuadrado → BQ = BT = r
Teorema de las tangentes
 → AQ=AN = c - r y CN= CT= a - r
AC = c - r + a + r = b
 a + c = b + 2r
EJERCICIO 06
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, las longitudes de los exradios y del inradio, son ra, rb, rc y r. La longitud de la hipotenusa, es
 
A) ra + rb 					B) ra + r 			C) rb + r 
D) rc + r 		 		E) ra + rb - rc 
RESOLUCIÓN 06
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, las longitudes de los exradios y del inradio, son ra, rb, rc y r. La longitud de la hipotenusa, es
Clave: A
AB = ?
Por el teorema demostrado en el problema 98:
AC = r + rb 
 
BC = r + ra 
Teorema de Poncelet:
AB + 2r = AC + BC
AB + 2r = r + rb + r + ra 
Entonces: AB = ra + rb 
A
B
C
ra
rb
rc
r
E
Teorema de Pitot.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de lados opuestos son iguales.
a + c = b + d
Teorema de Steiner.- En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, las diferencias de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
a – c = d – b
A
B
C
D
d
a
b
c
A
B
C
D
a
b
d
c
P
Q
T
L
EJERCICIO 07
En un cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia, las diagonales son perpendiculares y se intersecan en el punto Q. Si las longitudes de los inradios de los triángulos AQB, BQC, CQD y DQA, son ra, rb, rc y rd, respectivamente, entonces
 
ra + rb = rc + rd 			B) ra + rc = rb + rd 
C) (ra)2 + (rb)2 = (rc)2 + (rd)2 
D) (ra)2 + (rc)2 = (rb)2 + (rd)2 	 	E) (ra)(rc) = (rb)(rd) 
RESOLUCIÓN 07
En un cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia, las diagonales son perpendiculares y se intersecan en el punto Q. Si las longitudes de los inradios de los triángulos AQB, BQC, CQD y DQA, son ra, rb, rc y rd, respectivamente, entonces
Clave: B
ra
A
B
C
D
Q
rb
rc
rd
Teorema de Pitot:
AB + CD = BC + AD
Teorema de Poncelet:
BQ + AQ = AB + 2ra 
QD + QC = CD + 2rc 
BC + 2rb = BQ + QC
AD + 2rd = AQ + QD
Sumando miembro a miembro, todas las relaciones anteriores:
2rb + 2rd = 2ra + 2rc 
 rb + rd = ra + rc 
EJERCICIO 08
Un cuadrilátero ABCD esta circunscrito a una circunferencia, P es un punto del interior de dicho cuadrilátero, tal que AB = AP, 
DP = DC y mAPD = 90. Si BC= 12 m, halle la longitud (en m) del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo APD.
A) 4 				B) 3 			C) 6 
D) 9 				E) 12
RESOLUCIÓN 08 
 Un cuadrilátero ABCD esta circunscrito a una circunferencia, P es un punto del interior de dicho cuadrilátero, tal que AB = AP , DP = DC y mAPD = 90. Si BC= 12 m, halle la longitud (en m) del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo APD.
a
12
P
D
C
B
A
r
a
c
b
→ r = 6
b
ABCD : teorema de Pitot 
 → a + b = c + 12 … (2)
(1) = (2) : c + 2r = c + 12
∆APD : teorema de Poncelet 
 → a + b = c + 2r
Clave: C
PROBLEMA 09
En un triángulo ABC, mA = 74 y el exradio relativo al lado BC mide 12 u. El perímetro del ABC (en u), aproximadamente es
 
 24				B) 36				C) 48
D) 32				E) 30
PROBLEMA 10
En un triángulo ABC, AB = 15 u, BC = 41 u y una altura mide BH = 9 u. La suma de posibles valores de TC (en u), donde T es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC con el lado AC, es
 
A) 62			 B) 63			 C) 64
D) 65				E) 66
PROBLEMA 11
En un cuadrilátero convexo ABCD, circunscrito a una circunferencia, las diagonales son perpendiculares. Si AB = a, 
BC = b, CD = c y AD = d, entonces
 
A) ab = cd	 	 	B) ac = bd C) a2 + b2 = c2 + d2
D) a + b = c + d 	E) ad = bc 
PROBLEMA 12
A, B y C, son puntos de una circunferencia y P, un punto exterior, tal que P – A – B, es tangente, mAPC = 90, PA = 8 u y AB = 6 u. La longitud del radio (en u), es
 
A) 14 				 		B) 10 	 		 C) 11
D) 12 		 	E) 13 
Ángulos en la Circunferencia
03
2022
Intensivo
Examen
Escolar
ÁNGULO CENTRAL
Definición.- Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados contienen a dos radios.
AOB: Ángulo central
 
O
 
 
A
 
B
 
 
O
 
 
A
 
B
 
P
 
Arco mayor APB
El arco menor AB es la unión de A, B y todos los puntos de la circunferencia situados en el interior del AOB.
C
El arco mayor APB es la unión de A, B y todos los puntos de la circunferencia situados en el exterior del AOB. 
En cada caso A y B son los extremos del arco AB.
Definición.- Sea C una circunferencia con centro O y sean los puntos A y B que están contenidos en C pero que no son los extremos de un diámetro.
Arco menor AB
Medida en grados de un arco de circunferencia
La medida en grados de un arco menor, es la medida de su ángulo central correspondiente. La medida en grados de un arco mayor es 360 -  , siendo  la medida de su correspondiente arco menor.
 
O
 
 
A
 
B
 
P
 
 
 
360-𝛼
𝛼
𝛼
EJERCICIO 01
En la figura mostrada, D es centro de la semicircunferencia de diámetro y B es el centro del arco CE. Si la medida del arco BC es + 71), calcule .
A) 30				B) 31			C) 32 	
D) 33 				E) 34
RESOLUCIÓN 01
En la figura mostrada, D es centro de la semicircunferencia de diámetro y B es el centro del arco CE. Si la medida del arco BC es + 71), calcule 
𝛼+71
38
71
𝛼+71
38
Por ángulo central: 
+
m∠CDB = 𝛼 +71
Entonces: m∠CED = 71 
El triángulo EBC: Isósceles 
Entonces: m∠EBC = 38 
El triángulo BDC: Isósceles 
Entonces: m∠DCB = 38 
Teorema: 
Clave: D 
Definición.- Si A y B son los extremos de un diámetro, entonces se obtienen dos arcos, cada una de los cuales se llama una semicircunferencia. Los puntos A y B son los puntos extremos de la semicircunferencia.
 
O
 
 
A
 
B
 
P
AB semicircunferencia
 diámetro
APB semicircunferencia
Definición.- En una circunferencia o en dos circunferencias congruentes, dos arcos son congruentes, si las medidas de los arcos son iguales.
 
O
 
C
 
C
 
D
 
A
 
B
a
a
 
Definición.- Dos circunferencia son congruentes, si sus radios son congruentes. 
m

Teorema. En toda circunferencia, si dos arcos son congruentes, entonces sus respectivas cuerdas también lo son.
Demostración.
A
B
C
D
a
a
O
A
B
C
D
a
a
O
r
r
r
r
∆AOB ≅ ∆COD 
(LAL)
 AB = CD = a
Si m = m m∠AOB = m∠COD = 
Teorema. En toda circunferencia, los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas, son congruentes.
Demostración.
A
B
C
D
O
O
A
B
C
D
w
a
w
a
Teorema:
 = w + a
 = w + a 
 m = m
m= 
 
 m= 
 = 
 APB: Ángulo inscrito
Definición.- Se denomina ángulo inscrito en una circunferencia, al ángulo que tiene el vértice en la circunferencia y los lados contienen cada uno, a una cuerda.
 
O
 
A
 
B
 
P
 
 
 
Teorema. La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco cuyos extremos pertenecen al ángulo y que no contiene al vértice.
x
P
A
B
x
x
Demostración del teorema de la medida del ángulo inscrito.
P
A
B
x
w
w
r
r
r
a
a
O
ΔAOP y ΔBOP son isósceles
m ∠PAO = m ∠APO = 
m ∠PBO = m ∠BPO = w
x = a + w
θ = 2a + 2w
a + w = 
Entonces:
EJERCICIO 02
Según el gráfico, O es centro de la circunferencia. Si ABCO es un paralelogramo, entonces la medida del ángulo BFD es 
 
A) 30
B) 40
C) 50 	
D) 60
E) 70
A
D
B
C
O
F
RESOLUCIÓN 02
Según el gráfico, O es centro de la circunferencia. Si ABCO es un paralelogramo, entonces la medida del ángulo BFD es 
A
D
B
C
O
F
x
mBFD = x = ?
AO = OC y ABCO es un paralelogramo:
 ABCO es un rombo
ABO, equilátero:
 mBAD = 60 
Por ángulo inscrito:
mBAD = mBFD
 mBFD = 60
Clave: D 
60
 ATB: Ángulo semiinscrito
Definición.- Se denomina ángulo semiinscrito en una circunferencia, al ángulo que tiene el vértice en la circunferencia, un lado contenido en una recta tangente y el otrolado que contiene a una cuerda.
 
 
 
A
B
T
 
x
Teorema. La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del arco determinado por los lados del ángulo.
A
T
B
x
x = 
Demostración del teorema de la medida de un ángulo semiinscrito.
x = 
A
P
B
x
M
O
90-x
x
Trazar diámetro
Entonces, ⊥ 
y m ∠MBP = 90
m ∠MPB = 90 – x 
m ∠BMP = x 
Por ángulo inscrito
m ∠BMP = 
PROBLEMA 03
En la figura mostrada A, B y C son puntos de tangencia. Si la mBAD = 70, entonces la medida del ángulo CED es
 
A) 30	
B) 40
C) 50 	
D) 60
E) 70
E
RESOLUCIÓN 03
En la figura mostrada A, B y C son puntos de tangencia. Si la mBAD = 70, entonces la medida del ángulo CED es
mCED = ?
Teor. del áng. semi inscrito:
mBAD = mABD = mDCF = 70
ABD, isosceles:
 mADB = 40 
CDE, por teorema:
mCED + mCDE = mDCF
mCED + 40 = 70
 mCED = 30
Clave: A 
E
F
EJERCICIO 04
En la siguiente figura, L1 es recta tangente a la circunferencia menor en A y L2 es recta tangente a la circunferencia mayor en A. Si los arcos APB y AQB miden 210 y 260 respectivamente, calcule .
 90
 135
 180 
 120 
 125
B
X
P
A
Q
C
D
RESOLUCIÓN 04
100
150
75
De la figura:
 m AB y m AMB
Por ángulo semiinscrito
m 
m 
 
 Luego: 
M
B
X
P
A
Q
C
D
50
En la siguiente figura, L1 es recta tangente a la
circunferencia menor en A y L2 es recta tangente
 a la circunferencia mayor en A. Si los arcos APB y 
AQB miden 210 y 260 respectivamente, calcule .
Clave: E
EJERCICIO 05
Se tienen dos circunferencias de diferentes radios tangentes exteriormente en T. La prolongación de la cuerda de la circunferencia mayor, es tangente a la menor en P y en la prolongación de se ubica un punto Q. Si la mBTP = 52, calcule la mPTQ.
A) 26 				B) 52 	 C) 69 
D) 39 				E) 78 
 
RESOLUCIÓN 05
T
B
A
P
Q
𝛼
𝛽
𝛼
𝛽
 Δ ATP : Por ángulo externo
Se traza la recta L, tangente común en el punto T.
L
Se tienen dos circunferencias de diferentes radios tangentes exteriormente en T. La prolongación de la cuerda de la circunferencia mayor, es tangente a la menor en P y en la prolongación de se ubica un punto Q. Si la mBTP = 52, calcule la mPTQ.
Ángulos inscritos y semiinscritos.
Clave: B
52
Definición.- Se denomina ángulo exinscrito en una circunferencia, al ángulo adyacente y suplementario a un ángulo inscrito de la circunferencia.
 APC: Ángulo exinscrito
A
B
C
P
O
Teorema. La medida de un ángulo exinscrito, es igual a la mitad de la medida del arco mayor, determinado por los lados del ángulo inscrito, adyacente 
A
B
C
P
O
x 
x
EJERCICIO 06
En la figura, los arcos BF y BC miden 80 y 40 respectivamente. Si B , E y la medida del arco DE es 30, calcule la medida del arco AD.
A
B
C
D
E
F
A) 90 	 B) 100 C) 120 D) 150 	E) 180 
RESOLUCIÓN 06
A
B
C
D
E
F
80
40
30
2
80
40
 Por ángulo inscrito: m∠EDB=40
 la m EB =80
 También: m ∠ABD= x
 Por ángulo exinscrito: 
x = 
En la figura, los arcos BF y BC miden 80 y 40 respectivamente. Si B , E y la medida del arco DE es 30, calcule la medida del arco AD.
Clave: D
Definición.- Se denomina ángulo interior en una circunferencia, al ángulo que tiene el vértice en el interior de la circunferencia y sus lados, están determinados por dos cuerdas secantes.
APB: Ángulo interior
Teorema. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos determinados en los interiores, de dicho ángulo y del opuesto por el vértice.
x
x 
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
Demostración del teorema de la medida de un ángulo interior .
x 
T
Trazar // 
m ∠ACT = m ∠APB = x
Teorema:
Por ángulo inscrito
m TB = m CD = 
m ∠ACT = 
x
C
P
A
B
C
D
x
EJERCICIO 04
En la figura, Calcule + + .
 90 		B) 135 	C) 180	D)120 	E) 105
RESOLUCIÓN 04
A
B
C
D
Clave: C
E
 De la figura:
 𝛼 + = 90 .............(1)
= 90 ..............(2)
Ángulo interior:
 𝛽 = + ......(3)
 Sumando (1), (2) y (3):
 𝛼 + + 
Definición.- Se denomina ángulo exterior de una circunferencia, al ángulo que tiene el vértice en el exterior de la circunferencia y los lados contenidos en dos rectas secantes, o dos rectas tangentes, o una recta secante y otra tangente.
BPD: Ángulo exterior
P
B
D
A
C
P
B
A
C
BPC: Ángulo exterior
P
A
B
APB: Ángulo exterior
Demostración:
Teorema
La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos determinados en el interior de dicho ángulo.
P
B
D
A
C
x
a
q
x = 
P
B
D
A
C
x
a
Trazamos 
Por ángulo inscrito
m ∠ABC = /2
y m ∠BCD = /2
∆BCP, ángulo externo
x + = 
∴ x = 
EJERCICIO 07
Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PAB y PCD, tal que es diámetro. Si  = {M} y m = 80, entonces la medida del ángulo AMC es
A) 30				B) 40			C) 50 	
D) 60 				E) 70
RESOLUCIÓN 07
Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PAB y PCD, tal que es diámetro. Si  = {M} y m = 80, entonces la medida del ángulo AMC es
A
C
80
M
mAMC = ?
Teorema del ángulo interior:
mAMC = 
…..(I)
 es diámetro, por teorema:
+ + = 180
 + = 100
Reemplazando en (I):
mAMC = 50
Clave: C 
P
D
B
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Definición. Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando sus cuatro vértices pertenecen a la circunferencia. En este caso, se dice que la circunferencia está circunscrita al cuadrilátero.
C
A
B
C
D
El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia C
La circunferencia C está circunscrita al cuadrilátero ABCD
Teorema.- En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
Demostración:
D
C
B
A
 𝛼 
q
 𝛼 + = 180
Por ángulo inscrito:
Luego:
2 + 2𝛼 = 360
  + 𝛼 = 180
m BAD = 2
m BCD = 2𝛼 
Definición. Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia, si dicha circunferencia contiene a sus cuatro vértices.
A
B
C
D
C
Dado un cuadrilátero ABCD
Si la circunferencia C contiene a los puntos A, B, C y D,
entonces el cuadrilátero ABCD es inscriptible en C .
Teorema. Si en un cuadrilátero convexo, los ángulos opuestos son suplementarios, entonces el cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia.
A
B
C
C
D
P
Corolario. Si en un cuadrilátero convexo, las diagonales determinan ángulos congruentes con los lados opuestos, entonces el cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia.
A
B
C
D
C
Tres puntos determinan una circunferencia.
Por A, B y C, trazamos la circunferencia C
Supongamos que C , interseca a en M.
En el cuadrilátero convexo ABCD: 
 80 …(1)
Cuadrilátero ABCM inscrito en C :
  …(2)
ΔMCD: 
De (1) y (2): 
= 0
A
B
C
C
D
M
 A, B, C y D, pertenecen a C 
Demostración:
 D es M
EJERCICIO 08
En la figura, la medida del arco AB es 160. Calcule .
A
B
C
D
E
F
G
H
100 
 95	 
C) 160 
D) 80 
E) 120 
RESOLUCIÓN 08
A
B
C
D
E
F
G
H
160
80
𝛼
𝛼
𝛼
Àngulo inscrito:
m ∠HFD = m ∠HCD = 𝛼
Àngulo exinscrito:
𝛼 = 
Àngulo inscrito:
m ∠HAB = 𝛼
Cuadrilátero AHFG es inscriptible: 
 
 m BEH = 2𝛼
Clave: A
En la figura, la medida del arco AB es 160.
Calcule .
A
B
C
D
E
F
G
H
En una circunferencia , se inscribe el triángulo equilátero ABC. En los lados ubican los puntos M y L , y en el arco BC se ubica el punto N, respectivamente, tal que AM = MB. Si 
m LMN = 90 y los arcos BN y NC son congruentes, entonces la medida del ángulo MLN es
A) 30 		B) 40 	C) 45		
D) 50E) 60 
EJERCICIO 09
EJERCICIO 10
En una semicircunferencia de diámetro y centro O, por E punto medio del arco , se traza // interseca al arco AE en B. Si interseca a en D, entonces mEDF es
A) 18	 	 B) 25	 		C) 30
D) 37		 	 	E) 45
EJERCICIO 11
En el exterior a una semicircunferencia, de diámetro y centro O, se ubica el punto E, tal que interseca en M a la semicircunferencia y es tangente en el punto T. Si, y se intersecan en P y mTOB = 90, entonces la medida del ángulo EPT es
A) 15				B) 30				C) 45
D) 50				E) 60
EJERCICIO 12
En una circunferencia las cuerdas y se intersecan perpendicularmente en el punto H. En la prolongación de se ubica el punto P tal que interseca al arco BD en C. Si 
mAPD = 90, BH = 4 cm y EH = 6 cm, entonces la longitud (en cm) de es
A) 1				B) 2				C) 3
D) 4				E) 5
 
12345n1n1V2V3V4V5VnVn1V
 
 
 
 
 
 
 
 
1V2V3V4V5VnVn1V
 
n12345n11V2V3V4V5VnVn1V