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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa Departamento de Matemática Campus Santiago Pauta Certamen 1-Mat 023 30 de Agosto de 2005 Problema 1: Sean f : R2 −→ R definida por f(x, y) = √ |xy|+ 3 + ex(y−1)2 y g : R2 −→ R dada por g(x, y) = (y − 1)2 sen(x) x2 + (y − 1)2 ; (x, y) 6= (0, 1) 0 ; (x, y) = (0, 1) Si h : R2 −→ R es definida por h(x, y) = f(x, y) + ∂g ∂y (x, y) 1. Determine h(0, 1). 2. ¿h es continua en (0,1)? Justifique. Solución: 1. Calculemos ∂g ∂y (0, 1) = lim h→0 g(0, 1 + h)− g(0, 1) h = 0 Por lo tanto, h(0, 1) = f(0, 1) + ∂g ∂y (0, 1) = √ 3 + 1. 2. Notar que ∂g ∂y (x, y) = 2x2(y − 1) sen(x) [x2 + (y − 1)2]2 ; (x, y) 6= (0, 1) 0 ; (x, y) = (0, 1) Si consideramos el camino x = 0, entonces lim (x,y)→(0,1) ∂g ∂y (x, y) = 0 Ahora, considere el camino y − 1 = x, entonces lim (x,y)→(0,1) ∂g ∂y (x, y) = lim x→0 2x2x sen(x) [x2 + x2]2 = lim x→0 2x3 sen(x) [2x2]2 = lim x→0 sen(x) 2x = 1 2 Lo que muestra que la función h(x, y) no es continua en (0,1). Problema 2: 1. f : R2 −→ R continuamente diferenciable tal que w = f(x, x2y). Calcule ∂w ∂x . 2. Sea f : R2 −→ R continuamente diferenciable tal que f(1, 1) = 1, fx(1, 1) = a, fy(1, 1) = b Si g(x) = f(x, f(x, f(x, x))), calcule g′(1). Solución: 1. wx = fx(x, x2y) + fy(x, x2y)(2xy) 2. ∂g ∂x = ∂f ∂x + ∂f ∂y ( ∂f ∂x + ∂f ∂y ( ∂f ∂x + ∂f ∂y ∂y ∂x )) = a + b(a + b(a + b)) Problema 3: Sea f(x, y, z) = z(x− y)5 + xy2z3 1. Hallar la derivada direccional de f en el punto (2,1,-1) en la dirección normal hacia afuera a la esfera x2 + y2 + z2 = 6. 2. ¿En que dirección la derivada direccional de f en (2,1-1) es máxima? Solución: El vector normal a la esfera es v = 1√ 6 (x, y, z). Si x0 = (2, 1,−1), obtenemos f ′(x0, v) = ∇f(x0) · v = (−6, 1, 7) · (2, 1,−1) 1√ 6 = −3 √ 6 La derivada direccional es máxima en la dirección del gradiente, es decir, u = (−6, 1.7). Problema 4: Una empresa fabrica tres productos distintos. La fabricación de x, y, z miles de unidades, respectivamente, le reporta unos beneficios de P (x, y, z) = 3x + 6y + 6z miles de euros. Ciertas limitaciones del proceso de producción imponen la restricción 2x2 + y2 + 4z2 ≤ 8800. Determine el máximo beneficio posible para esta empresa. Solución: Note que ∇P (x, y, z) = (3, 6, 6) 6= 0 para todo punto (x, y, z) en el interior de la región 2x2 + y2 + 4z2 < 8800. Por lo tanto, los puntos extremos estan en el borde de la región, es decir, 2x2 + y2 + 4z2 = 8800. Usamos multiplicadores de Lagrange para resolver el problema, definamos F (x, y, z, λ) = 3x + 6y + 6z + λ(2x2 + y2 + 4z2 − 8800) y obtenemos el sistema Fx = 3 + 4λx = 0 Fy = 6 + 2λy = 0 Fz = 6 + 8λz = 0 Fλ = 2x2 + y2 + 4z2 − 8800 = 0 cuya solución es x = 20, y = 80, z = 20.
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