Exercícios de Trigonometria

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ADMISIÓN twitter.com/calapenshko 
 
Solo para los 
AL 
OLUCIONARIO 
se E Y“ DELOS 
5 PS EXÁMENES 
. £ DE 
a VAN MARCOS
S olucionario y) an Marcos 
TRIGONOMETRÍA 
DECO 
ÍN DICE twitter.com/calapenshko 
 
 
 
1. Sistema de medición angular 3 
2. Longitud de arco 3 
3. Área de sector circular 5 
4. Raz. trigonom. de ángulo agudo 5 
5. Raz. trigonom. de ángulos notables 6 
6. Raz. trigonom. de ángulos en posición normal 7 
7. Funciones trigonométricas 8 
8. Identidades trigonométricas 9 
9. Reducción al primer cuadrante 11 
10. Raz. trigonom. de ángulos compuestos 12 
11. Raz. trigonom. de ángulo doble 13 
12. Raz. trigonom. de ángulo mitad 14 
13. Raz. trigonom. de ángulo triple 15 
14. Transformaciones trigonométricas 15 
15. Ecuaciones trigonométricas 16 
16. Resol. de triáng. rectáng. y áreas 17 
17. Resol de triáng. oblicuángulos 20 
18. Geometría analítica 22 
19. La recta 23 
20. Circunferencia 23 
21. Parábola 24 
Solucionario 26 
 
 
MAD a tOlN 
CIN 
 
Pregunta N.* 1 (UNMSM 2015-11) 
 
Convierta 31912" 30* a minutos 
centesimales. 
A) 3100" 
B) 3120” 
C) 3112,3" 
D) 3102" 
E) 31125" 
Pregunta N.” 2 (UNMSM 2016-I) 
Exprese, en segundos sexagesimales, la 
medida de un ángulo que es la milésima 
parte de 180?. 
A) 720" 
B) 525" 
C) 648" 
D) 725" 
E) 680" 
Pregunta N.? 3 (UNMSM 2017-11) 
 
El siguiente gráfico muestra los 
resultados porcentuales de una encuesta 
electoral sobre las preferencias con 
respecto a tres candidatos: A, B y C. Si la 
medida del ángulo a es mayor que la 
medida de fP en 12” y la medida de 
este es menor que la de y en 24”, 
determine el porcentaje de aprobación 
que tiene el candidato B. 
TRIGONOMETRÍA 5] 
 
 
"El corazón de las matemáticas 
son sus propios problemas." 
PAUL HALMOS 
HS 
A) 60% 
B) 27% 
C) 30% 
D) 36% 
E) 72% 
2. LONGITUD DE ARCO 
Pregunta N.” 4 (UNMSM 2010-I) 
En la figura, el radio de una rueda es 
el triple del radio de la otra. Si la 
longitud de la correa de transmisión 
de ambas ruedas mide M, halle la 
longitud del radio menor. 
3M 
A) -_—_—_—_————— 
) 14141243 
3M 
B) 81+124/3 
3M 
C) 121+84/3 
] 3M 
141+14 4/3 
3M 
81.+144/3 
 
TRIGONOMETRÍA ANO NA IIA 
 
 
twitter.com/calapenshko 
Pregunta N.* 5 (UNMSM 2010-11) A) 15 
B) 1,8 Ñ 
La figura muestra una esferita de acero o 20 twitter com/calapenshko 
suspendida por la cuerda flexible QH. Se D) pos 
impulsa la esferita en el sentido indicado E) E 
de tal forma que manteniéndose siempre 
tensa la cuerda, la esferita llega a MN. 
Calcule la longitud recorrida por la 
esferita, si MAN=NP=PQ=9 cm. En la figura, la rueda de radio R pasa de Pa Q, 
dando cuatro vueltas completas. Si PQ=80n cm, 
halle el valor de R. 
Pregunta N.” 7 (UNMSM 2015-1) 
 
B 0 
 
 
 
A) 101 cm 
B) 8 cm 
A) 12x cm ) 
C) 8 B) 6rx cm | A 
D) 9 cm 
C) 10x cm 
E) 10 cm 
D) 9r cm 
Pregunta N.” 8 (UNMSM 2017-IT) 
E) 8r cm 
Los radios de las llantas de una bicicleta miden 
Pregunta N.? 6 (UNMSM 2012-11) 0,5 m y 0,39 m. Si la primera de ellas recorre 5 
vueltas por minuto, ¿qué distancia recorrerá la 
En la figura, se muestra una rueda que gira segunda llanta durante 30 minutos? 
sobre una superficie circular. Determine el A) 12512m 
número de vueltas que ha dado la rueda B) 3007x m 
: 1 para ir desde P hasta Q si su radio es 6 C) 19571 m 
del radio de la superficie circular sobre la D) 1501 m 
cual se desplaza. E) 250x m 
 
IAN AMO AAA 
To a AUT AO NS TRIGONOMÉTRICAS 
DE ANGULO AGUDO: 
Pregunta N.? 9 (UNMSM 2010-1 PROPIEDADES 
En la figura, OABC es un cuadrado cuyo 
lado mide 10 m. Si AC y BP son arcos de 
circunferencias de centro O, halle el área Si un triángulo rectángulo ABC, recto en A, 
 
Pregunta N.*11 (UNMSM 2010-11) 
 
 
 
de la región sombreada, tiene 5 cm de hipotenusa y se cumple que 
A) 60 mM A e B senB=2senC, entonces, el área del triángulo es 
B) 45m” A) 2,5 cm? 
, B) 5,1 cm? 
C) 65 m C) 5,5 cm? 
D) 50m? D) 5,0 cm? 
E) 55m? y Cp E) 5,2 cm? 
Pregunta N.* 10 (UNMSM 2012-11) Pregunta N.*12 (UNMSM 2012-1D) 
 
En la figura, el área del sector circular AOT Si .esun ángulo agudo enun triángulo 
rectángulo, tal que 5 sec a=13, 
es igual al área del sector circular MOB. 
 
 
. OB halle el valor de 3senct - 4
cos CL 
Si0A == —_————_———, 
2 5sena +4 c0s 
Halle la medida del ángulo BOT. 5 1 
A 7 3 5 
A A 2 7 E) = A = 
a EN ' 30 5 e A 
A | Pregunta N.*13 (UNMSM 2013-11) 
¿ 
A O B En dos triángulos rectángulos, consideremos 
A) 300 los ángulos agudos a y fi respectivamente. Si 
B) 362 senal = JE y sec f) = ctga, calcule el valor de 
C) 242 g - 12tg%a + 9978 
D) 382 3csc “a —escóB 
E) 402 A)3 B)2C)4 D)1 E5. 
 
Le ONO EL CACHIMBO 
 
Pregunta N.*14 (UNMSM 2012-11) 
En la figura, DA=2BA, DA=10 cm, 
DC=2 cm y CB=13 cm. 
Halle 5vV/ secO+ctg” +: 
 
A) 4 C) 6 D) 2 
Pregunta N.*15 (UNMSM 2014-11) 
sen(20% +0) ei 
En la figura, AD=8 cm Y eost109+0) 
Halle DB. 
B 
_A 
A 
A) 8cm 
B) 8V3 cm 
C) 16 cm 
D) 18 cm 
E) 12 cm 
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
DE ÁNGULOS NOTABLES 
Pregunta N.*16 (UNMSM 2010-1) 
En la figura, AH=15 cm. Halle HM. 
A H C 
309 
A) Sem 
B) Lem 
C) 45 cm 
D) 1543 cm 
454/3 
e E) 
Pregunta N.*17 (UNMSM 2012-1) 
DC En la figura, halle BD" 
 
A) cn A 
E 3 
C) ye 
o) Ñ 
E) EL a é 
, e 
 
INEA NOIANIAN AMOO OO 
 
 
 
Pregunta N.%18 (UNMSM 2013-1) A) Y3 B) 1 q 3 
3 
En la figura, se tiene el triángulo 4 3 
rectángulo BAC que es recto en A. Si D) 5 E) 5 
CO=a cm, AB=b cm; halle el valor de 
a Pregunta N.*21 (UNMSM 2014-11) 
b 
De la figura, calcule cos U+cos f. 
 
 A) 3(3+43) B) 3(6-43) C) 2(6+43) 
48 17 31 
A) - B== (== 
D) 3(3-43) E) 343 25 25 25 
py. gy 31 
Pregunta N.*19 (UNMSM 2014-1) 25 25 
 
Halle el valor de 
a Pregunta N.* 22 (UNMSM 2017-IT) 
(2+/3 pao sl] 
 
+ sen30? La figura muestra los puntos Á y B en un plano. 
A 2-43 Si cada unidad en los ejes X e Y representa 
) Ml 1 km, halle la distancia que separa los puntos 
B) 1 AyB. 
C) 2+y43 A) 5km- 
D) Y3 B) 15 km 
E) 2/3 C) 10km 
D) 3/10 km 
CUA 
JANO Ne E) 5410 km 
A IIA 
 
0 0 a 
Si a, 6, 8 son ángulos agudos tales que —===-— 9 gulos agu que ¿e 0 
y sen(o+4+8)=1, halle tan). Ml ,
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
¡Ao 
coo a enÑS 
 
Pregunta N.* 23 (UNMSM 2016-11) 
Sean f y g dos funciones definidas por 
SS 01 3sen* x-1 
fo DT az) + vxeR 
 
La suma del valor mínimo de f con el valor 
minimo de q es igual a 
1 1 
A 5 B) 2 073 Dz E) 1 
PREGUNTA N.* 24 (UNMSM 2010-II 
Halle el área de un rectángulo, el cual tiene un 
TT 
lado de longitud 9 u, que está contenido 
en el eje de las abscisas dentro del intervalo 
( 5 2). Además, se sabe que dos de sus 
vértices son puntos del gráfico de la función 
FG) =cosx, x € R. 
Ay yu 
2 
TL y? a+ 
Cc) * 2 
D) eS u? 
Ey "22 
Pregunta N.* 25 (UNMSM 2014-1) 
Determine el rango de la función 
fix)=(2+senx)(2 — senx), x eR. 
A) [2; 4] D) (1, 9] 
B) [1; 3] E) [1; 4] 
C) [3; 4] 
Pregunta N.”? 26 (UNMSM 2017-11) 
Un equipo de la Marina observó 
el comportamiento de la marea en la 
costa de Ancón y concluyó que podía 
ser modelado por la función 
P(t)=2+ 2cos(51+ 30, 
donde P(t) representa la altura (en metros) 
de la marea t horas después de la 
medianoche. ¿A qué hora la altura de la 
marea alcanzó los 4 metros por primera 
vez? 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4:20 a.m. 
4:50 a.m. 
3:30 a.m. 
5:30 a.m. 
4:30 a.m. 
Pregunta N.? 27 (UNMSM 2017-11) 
Sea E=cos(x-5%)cos(65"=x). Si M es el 
máximo valor de E y m su mínimo valor, 
calcule M—m. 
a) 2 
B) 
E 
y 
4 
Cc) 1 
D) 
E) 
3 
4 
2 
 
 
TRIGONOMETRÍA a 
 
8. IDENTIDADES A) costx-senix D) sen“x-2cos*x 
co ae B) V3(sen?x=cos2x) E) sentx=costx 
2 2 
Pregunta N.? 28 (UNMSM 2009-11) C) senfx-2cos*x 
 
o = Sixe (m3 z ), simplifique Pregunta N.* 32 (UNMSM 2012-I) 
Six € (0, y y a > b >0, halle el valor de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mota esco x—sen! x : 
= acota cando - 
1+sen*x+sen* x E-= al1—cos? x)2 —bsenx 
E 1 
A) -1 B) 1 C) 2tanx al2+2senx-—cos* x)2 —a 
D) /Z tan x E) tanx 
A) a=b D) a—-3b 
Pregunta N.* 29 (UNMSM 2009-I[) a b 
Sea sec 6 y esc () las raíces de la ecuación de B) 3a—b E) 2a—-b 
segundo grado ax 2+bx+c=0. Determine la a a 
relación que existe entre a, by ce. ash 
o == 
) a 
A) a?+b2=-2ac 
B) a?-c“=2ab PREGUNTA N.? 33 (UNMSM 2012-.1) 
C) b?_a?=2ac ; m 
D) b2-c2=20c Si cosa. = donde Im| + |[n|, halle el valor 
E) c*+a*=2ab de K=(cota+csca) (tana: —sena). 
2 
PrecunTA N. 30 (SM 2010-1) Si A) =-1 
m 
SEC lx=n a tax Y nx*2. halle sen 3 x—cos" x 
— 2 
(senx=cos x)” BiT.3 
n? 
Aj EZ a) 42 q 2 
n-2 n-2 n-2 Cc) ” -1 
mn 
-3 n+2 m?—n? m E E) == D ) n-2 n-—2 mn 
Pregunta N.? 31 (UNMSM 2011-11) E) n? —-m? : 
p 
mn - 
Halle la expresión trigonométrica 
equivalente a E =2sen*x-1, YVxeR.
NICO OIE 
Pregunta N.* 34 (UNMSM 2013-11) 
Si cosu=m y 3senóa=t, 
halle el valor de 4m? + ot +7. 
A)7 B)8 C)1 D)11 E) 3 
Pregunta N.” 35 (UNMSM 2014-1) 
Simplifique la expresión 
, L£OSeCK — ctax A cosecx + clgx 
cosecx + ctax 
x e ]O, rl 
A) 1 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
EJ 2 
cosecx — ctax 
Pregunta N.* 36 (UNMSM 2014-11) 
Si sen 0. + Cosa = x 
1 
send — COS (1 = Y 
halle + ye. 
A) 1 B) 3 ae 
D) /3 E) 2 
Pregunta N.” 37 (UNMSM 2015-I) 
Si seno: = > halle el valor de cos“a. 
A) 
Gu
] 
tn
 
B) 2 
5 
25 
C) 16 
9 Di 
25 
p 16 
- dcta?x, 
EL CACHIMBO 
Pregunta N.* 38 (UNMSM 2015-1) 
Halle el valor de 
E=sec*21*-cot69%+1. 
A) 1 B) 2 C) -1 
D) 42 E) 3 
Pregunta N.* 39 (UNMSM 2015-11) 
Si cos(90% —x) + csc x = > E? (o 2) 
halle tanx+secx. 
A) 2 
B) 243 
1 a == 
Jo 
2 DÉ IEA 
E) 43 
Pregunta N.* 40 (UNMSM 2017-11) 
Las longitudes x e y (en metros) de los lados de 
un rectángulo varían en el tiempo t según las 
siguientes reglas: 
E 
e YT x = 
ty4+Éé 
Halle el área de la región rectangular en el 
instante t = 2 ta(0), O<60 <$ 
A) 2secd m? 
B) cta0 m2 
C) 4ctgd m? 
D) 2esc0 mf 
E) cscO m? 
Pregunta N.? 41 (UNMSM2017-11) 
1 O A 
En la figura, ABC es un triángul y D: es un 
punto interior tal que BC=23 m, DC=BD. 
Calcule taa. 
 25 10
IMA EL CACHIMBO 
 
C) r? ctg 2a 
4 
Z 
2 D) 3r* tg 2a m? 
4 
r? ctg 2a 9 
2 
 E) 
Pregunta N.*? 43 (UNMSM 2015-11) 
 
 
 
 
A 
A) 3 Si0<a< 7 indique la expresión equivalente a 
B) 48 sen[u-> )+tanta+") 
C) y ese (o + 5) 
e _ A) sena+cos*a 
E) A B) sen?a—cosa 
C) sena— costa 
A 2 
O As D) sen“a-+cosa 
CUADRANTE E) sena cosa 
 
Pregunta N.? 42 (UNMSM 2012-1 Pregunta N.* 44 (UNMSM 2015-11) 
Ea cama ms: Con los datos de la figura, halle seno: +cosf. 
2 
ol z Y 
P()=r metros y yrtgs4 | 
Halle el área del triángulo OQP. A(3; 0) 
) 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
 
Pregunta N.? 45 (UNMSM 2015-11) Pregunta N.* 48 (UNMSM 2014-10) 
Halle el valor de Indique la expresión equivalente a 
4 cos 180% -3 sen 270% +sec? 225 ES= cos[-E-x)+ cos[x-E )rcosx xe€ [0; = 
M= 6 6 2 
tan 360* — cot 3159 
/2 A) (43 +1)cos x 
A) 97 B) 1 CE) -1 B) 4/3 cosx 
C) 243 cosx 
D) -2 E) 0 
D) (43 +3)cosx 
E) (2+ /3)cos x 
10. RAZ. TRIGON., DE 
 
NEU OS Pregunta N.” 49 (UNMSM 2016-1) 
 
 
 
 
 
 
Pregunta N.? 46 (UNMSM 2012-1) Si tan(a.+[B)=33 V tana=3, halle tanf. 
Si a=33%20' y PB=56*40", halle el valor de la A) 7 
expresión. 9 
7 2 2 
lle 2 conf B Bl meza) ma) o 
3 MM == A) 1+42 ) 10 
B) 2-2 
opt C) 2+/2 30 
D) 242 gy 19 
E) 2/2+1 3 
BM_2 
Si x e y pertenecen al intervalo (0,5), halle m En la figura MC 5 Halle tana. 
en función de x para que se cumpla 5 
a , A) = sen(x - y) , cos (x - y) , ) 9 
sen xseny cos x sen y 
p) E 
A) tax 9 
B) ctax C) 7 
C) —ctgx > 
D) -—tgx D) 4 
E) 2tax 4 
E) —= 
5 
12
NONE AMOO 0 O 
 
Pregunta N.* 51 (UNMSM 2017-11) Pregunta N.* 53 (UNMSM 2010-11) 
En la figura se muestra un cubo cuya arista Enlafigura, CB=4 cm, Mes punto medio de AB, 
mide 20 cm. M es punto medio de la arista AB... cm=MB y AB= 2/6 cm. Halle coscx. 
Calcule sen al, siendo q: la medida del ángulo 
MQP. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A M B 
A) se p, 242 
o Y , 
1/2 2 
a Vs B) A E) — 
BI ,/£ 
9 Pregunta N.* 54 (UNMSM 2011-1) 
C) JE Si cosda+2sen%a=0 y cosZa + 0, calcule 
coso. 
1 /1 
D) 4/2 , , , 
3 A) 3 B) 5 C) 3 
E) 7 
2 1 
D) 5 E) 5 
- IVA ICO AD 
ANGULO DOBLE Pregunta N.? 55 (UNMSM 2011-11) 
Pregunta N.” 52 (UNMSM 2009-11) Si tg a+ctg a1=4 y q 0 2 
Si B=4", calcule E halle W= ta 0—ctg a. 
2.3 soil O R=cos” Psenf-sen pcosB+- pp 0520" 4. A) 2/3 
B) v6 
A) senló B) senl16* 0) sen32" C) 2,6 
4 2 4 3/3 
D) 342 
sen32” DNI - 
| 13 |
 SoLuc 
Pregunta N.*? 56 (UNMSM 2011-11) 
 
Sio<ae< *, simplifique la expresión 
4 
_1-cosZ +senZQ 
—1+c0520+sen20 
A) cta0 
B) sen 
C) ta0 
D) cosO 
E) tg20 
Pregunta N.? 57 (UNMSM 2013-1) 
 
 
sen 38 cos30 
+ Simplifique la expresión 
cos O 
A) 2ta20 
B) 2ctg 20 
C) tg26- cta20 
D) ta0:cta20 
E) sen20:cos20 
Pregunta N.? 58 (UNMSM 2014-1) 
 
Sia, b y e son los ángulos internos de un 
triángulo y sen(a + b) cos(a + b) = E : 
halle sec e. 
A) y2 
B) 2 
C) -y2 
E > 
 
send 
 
TRIGONOMETRÍA [a 
Pregunta N.* 59 (UNMSM 2016-1) 
Si B| es un ángulo en posición normal 
con lado terminal situado en el segundo 
cuadrante y 3 
tanf =- 4 
calcule el valor de cos2f). 
8 6 É 
Az Bo O 25 
o 2 BT 
25 25 
12. RAZ. TRIGON. DE 
ÁNGULO MITAD 
 
Pregunta N.* 60 (UNMSM 2012-1) 
 
En el triángulo BAC de la figura, AC=b cm y 
BC-AB=k cm donde b > k, halle t9>- 
 
C 
aL ALU » 
A) bk k 
cy ? ade bk E a 2 
2 
3 Pp "a 
y PEDO 2bk 
 
TRIGONOMETRÍA 
Pregunta N.” 61 (UNMSM 2012-11) 
En un triángulo ABC, AC=AB, BC=8 cm 
y m(C AB) = 45", Halle el área del triángulo. 
16/2+V2 _ > 
=== mM 
2-42 
16/2-4/2 » 
e CT 
2412 
A) 
B) 
8/2+42 3 
Jada > 
y2-4Y2 _ 2 
D) 8==— cm 
42422 
E) 32/2+ 2 cm? 
12-42 
C) 
13. RAZ. TRIGON. DE 
ÁNGULO TRIPLE 
 
NO HAY PREGUNTAS DE ESTE TEMA 
DESDE EL 2009 
E NEON Os 
 
TRIGONOMÉTRICAS 
Pregunta N.* 62 (UNMSM 2009-11) 
Si 10cos2a-13c0s 3a+2sen[ Jun po 
 
as(2k+1)5 (keZ), calcule seco+sec3a. 
A) 23/11 
D) 29/11 
B) 25/11 C) 21/11 
E) 28/11 
AMAN 0: O 
Pregunta N.*” 63 (UNMSM 2009-11) 
En la figura se tiene el triángulo equilátero ABC, 
cuyo lado mide L cm. $i el baricentro del triángulo 
es el punto O, entonces la suma de las distancias de 
los vértices del triángulo a la recta 4” es 
 
 
 
A) L[cos0+3seno] em 
B) Lícos8+sen8) cm 
C) L|¡cos0+ seno) cm 
D) Lícost+2sen0) cm 
E) L(cos8 + 43 send) cm 
Pregunta N.* 64 (UNMSM 2012-11) 
Sea x + kndonde ke Z. Si a, b, csonnúmeros 
reales distintos y no nulos; tal que 
senx senZx _ sen3x 
 
a b e 
indique la relación correcta. 
A) bé=a*+ac 
B) aé=c-b 
C) bé=a-c 
D) =ab IR 
E) b2 =ac 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
Pregunta N.* 65 (UNMSM 2012-11) 
Halle a si 
 
43 cosa = sen70? — cos 80% — cos 160% 
con O < a < 90”, 
A) 30% B) 10% C) 20% D) 50% E) 40% 
Pregunta N.* 66 (UNMSM 2014-I) 
Si: taa =3 con O<a<5, 
senda — sen du 
lcule N = y 
id 2seno "cos ó( 
2,10 
5 
a 0 
5 
C) 3,10 
5 
py 245 
5 
E E 
5 
A) 
Pregunta N.? 67 (UNMSM 2015-1) 
 
Indique la expresión equivalente a 
_sen(a+P)-sen(a—fB) cosa 
 
 
M= 
cos(8—PB)-—cos(8+P) sen8' 
T 
,B,0€(0, — 
2B el 2) 
A) 1 B) 2 CIO 
D) PASA E) sap 
sen cos 
Pregunta N.* 68 (UNMSM 2017-II) 
Sea E=cos(x-5%)cos(65”-x). Si M es el 
máximo valor de E y m su mínimo valor, 
calcule M—m. 
 
A) 
B) 
C) R
o
l
e
 
m
i
e
 
3 D) 4 
E) 2 
15. ECUACIONES 
TRIGONOMETRICAS 
 
Pregunta N.” 69 (UNMSM 2009-11) 
Halle el número de raíces de la ecuación 
senZx+senx=0, x e [0; 21]. 
A) 4 B) 5 c)13 
D) 6 E) 2 
Pregunta N.? 70 (UNMSM 2009-11) 
¿Cuántas raices tiene la ecuación 
cos3a+sen“a=cos*a en el intervalo (0; 2710)? 
AJ6 B) 3 84 
D) 5 E) 4 
Pregunta N.? 71 (UNMSM 2013-11) 
Halle los valores de x e R en que la función f, 
definida por f(x) = talx —- 4 sec x, asume su 
mínimo valor. 
A)J (6k+I)keZ D) gk+nhkezNS 
B) (6k+ 1) ke Z E) (2k+ DF kEZ 
C) (Bk+DFkEeZ 
16 |
NAL OI IAAEN MOS ITO 
 
P nta N*72 MSM 2014-1 
Si: xe [0,211], halle la suma de las soluciones de 
la ecuación: 2sen*(3) +3cosx=2 
coat > 
ANC UI 
RECTÁNGULOS Y ÁREAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 2x1 
B) 3x1 Pregunta N.* 75 (UNMSM 2009-11) 
E) En la figura, ABCD es un paralelogramo, AB=b y 
PI ue BC=a. Hallar PQ. 
E) 6Ór B C 
aL 
Pregunta N.? 73 (UNMSM 2017-11) 
Halle la suma de las raíces de la ecuación Q 
cos2(4x) + 2sen?(2x)=3,0<x< qe. 
' 
T A P D 
A) 9 
OT 2 B) Ea Ay an Ñ 
sen 
O x 
sen* al 
D) 2x B) b 
ctgp 
JT 2 El “4 q posta 
senB 
a 
Si |sen4x/| =-|cos2y|, halle el mínimo valor cosf 
que puede tomar la expresión as 
E) >= |tay| bcosB 
Isenx|+|cosx| 
Pregunta N.* 76 (UNMSM 2010-11) 
A) 1 
1 En la figura, si AB=AE, entonces tanf) es igual a 
B) — 
Y3 A B 
1 
SE Ó ; 
D 0 
1 
E) — IE pa ) /2 AN, 
al A 
E ) mn a 
eN EL CACHIMBO 
 
 
 
A) y 
A) secO-tanó Cc ) an a 543 
B) tan0-secó 9 
C) secO+tan0 C) 53 > 
D) tan0-2sec0 - p) 43 300 a 
) secO-2tan0 3 A B 
E) 243 
Pregunta N.* 77 (UNMSM 2010-11) 3 
En la figura, el triángulo rectángulo ABC es recto 
Pregunta N.” 79 (UNMSM 2011-11) 
1 % y AM=MC = + cm. Halle el área en B, a < 45” y AM=MC= > En el triángulo ABC de la figura, mBC 
 
 
 
del triángulo ABC. A y m=15*€ AB=30". 
C 
CA AB Halle: 4 alle 75 + BC 
B 
ol 
A M B C A 
A) <cosarsen? a cm? A) 4/2 cos15%+2sen15" 
B) 242c0s15"+2sen15" 
1.4 2 
Pl. 008 DINO C) 2/2 c0s15%4/2sen150 
C) ¿cos? asena cm? D) 342 c0s15%+2sen15" 
1 2 2 E) VE os150426en15> 
D) =cosaisen” a cm 
2 2 
l 3 9 Pregunta N.” 80 (UNMSM 2015-1) 
E) —cos” arsena cm 
. En la figura, se muestra una escalera de 
 
Pregunta N.? 78 (UNMSM 2011-1) longitud a unidades apoyada sobre un 
muro vertical y forma con el piso un ángulo 
En la figura, el triángulo ABC es rectángulo, de 30*. Si queremos que la ler f rm 
 
recto en A, CP=2 cm, PB=3 cm. Halle taner. un ángulo de 45 con el piso 
en x unidades y m disminuirá en 1 y 
unidades. Halle el valor de x+y, en las 
18 mismas unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 y E 
6 
D, 34/11 
324 
gan 
y 324 
A) "8-1 Pregunta N.* 82 (UNMSM 2017-11 
a 
( 2 Un estudiante se encuentra en el,punto (Q) de 
o 3 1 la Av. Uno y necesita dirigirse hacia el punto R 
| B) | la de la Av. Dos. Sabe que la distancia entre los 
2 puntos Q y Resde 10 3 km, pero no puede ir 
0) 43 +1 directamente de Q a R, sino que debe ir de Q a 
( la P y, luego, de P a R. Halle la distancia recorrida 
2 por este estudiante, sabiendo que PR = 2PQ 
D) 43 y que los ángulos a y P son suplementarios y 
2 la medida de uno es el doble de la medida del 
otro. 
E) ( 43 +2 ] Q 
o / do a R 
Pregunta N.? 81 (UNMSM 2016-1) PAD 
En la figura, O es centro de la circunferencia os 
ES: 
y = = > Halle senaz. 7 7 
A 
A) 20/3 km 
B) 30/3 km 
o C) 33km 
B D) 30 km 
E) 36 km 
11 AS 
A) 5, [ E A 
324 lu 
B) > 
324 
19 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
17. RESOLUCIÓN DE 
TRIÁNGULOS 
OBLICUÁNGULOS 
 
Pregunta N.* 83 (UNMSM 2009-11) 
En la figura, AB=x; BC=y. Halle cos «x. 
Za a 
 
o 
Y 
>= 
l
x
 
x 
je
 
“
l
x
 
e 
[1
 
5d
 
2 
a 
Pregunta N.” 84 (UNMSM 2010-1) 
Las longitudes de los lados de un triángulo 
son tres números enteros consecutivos, y 
el ángulo mayor es el doble del ángulo 
menor a. Halle la razón del lado mayor al 
lado menor. 
A) 2csca 
B) 2cosa 
sen 0 
3 
D) cosa: 
E) cosZa 
C) 
Pregunta N.* 85 (UNMSM 2010-11) 
En el triángulo ABC de la figura mostrada, AB=6 
cm, BC=5 cm y CA=4 cm. Determine el valor de 
 
sen (a + y) 
seny 
E 
; 
UL 
A B 
A) 6/5 Bj) 5/6 O 23 
D 45 Ej 5/4 
Pregunta N.” 86 (UNMSM 2011-I) 
En la figura, AC = 1043 cm. Halle AB 
 
C 
60% 
459 
B A 
A) 12/3 cm B) 1542cm C) 1046 cm 
D) 843 cm E) 1543 cm 
Pregunta N.* 87 (UNMSM 2011-11) 
El triángulo ABC de la figura tiene perímetro 
AC 
Ble-43) 
igual a 
Si AB=EC, 
halle (+8. 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
 
 
 
 
twitter.com/calapenshko 
A) 1200 A) 12 cm 
B) 1352 Bj) 11 cm 
D) 1502 Dl aa 
E) 1302 El" 10:00 
Pregunta N.* 88 (UNMSM 2011-II) Pregunta N.” 90 (UNMSM 2012-41) 
En la figura, MA=2 cm; AB=4 cm. Halle BC. En la figura, BC=1 cm y AC=(V3 +1) cm. 
B Halle el valor de la medida del ángulo A BC. 
B 
YN 
1509 a 15 “o 
E M A A) 362 
O 
a 5-28 5 
2 C) 309 
y 5-43 A 
2 E) 377 
C) 2415 — (3 Pregunta N.* 91 (UNMSM 2012-11) 
2 
En la figura, se tiene el triángulo 
D) aa, ABC con BC=3AC. 
- senZatan(o — 0) 
E) 415 - 3 Halle el valor de E = ía Oirendo (a+ 0)sen20' 
3 E 
Pregunta N.* 89 (UNMSM 2011-II) 
En el triángulo ABC de la figura, AD=4,/3 cm. 
 
 
20 28 
Halle BC. 
me A B 
E 
D A) 2 C) 3 D) 3 
3 NES 
5 Si 1“ UA 
j A A 
A 40% 2 C B) 2 SS 
 
TRIGONOMETRÍA AMOO IO 
 
Pregunta N.? 92 (UNMSM 2017-11) 
En el triángulo de la figura, las medidas de sus 
lado (en metros) son a, b y c. 
Si a? 4 2d calcule el valor de tg"). 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
m 
3 
5 
4 
5 
3 
3 
2 
4 
3 
7 
En 
 
ANALÍTICA 
Pregunta N.” 93 (UNMSM 2011-II) 
En la figura, la región sombreada se divide 
en dos partes equivalentes. Halle el área de 
 
una de ellas. 
ye 
(20; 25) 
(30; 20) 
0 30 xXx 
A) 572 u* B) 275u2 C) 550u* 
D) 375 u* E) 250 u* 
Pregunta N.* 94 (UNMSM 2013-11) 
¿Qué clase de triángulo se forma al unir los 
puntos P (2, 5), Q (8, -1) y $ (-2, 1)? 
A) Acutángulo 
B) Rectángulo 
C) Equilátero 
D) Isósceles 
E) Obtusángulo 
Pregunta N.* 95 (UNMSM 2013-11) 
En el sistema de coordenadas 
rectangulares XY se tiene los puntos P, Q y 
R que forman un triángulo de altura 2/3 
Dado el punto $(1; 1), halle la suma 
de las distancias de S a PQ y de $ a QR. 
Ye 
 
 
p 
-2 
AB mr 3 
D) 3+5 E) 2/3 -1 
2
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
19, LA RECTA 
Pregunta N.* 96 (UNMSM 2010-1) 
Halle la ecuación de la mediatriz del 
segmento determinado por la intersección 
de la recta 2x+y -— 6=0 con los ejes 
coordenados. 
A) -2x+y-6=0 
B) -x+2y-12=0 
C) 2x-4y+9=0 
D) 2x+4y-15=0 
E) 2x+4y+9=0 
Pregunta N.? 97 (UNMSM 2013-1) 
La recta L que pasa por los puntos P(0,0) y 
O(a, b), donde a y b son distintos de cero, es 
perpendicular a la recta L¡ : 2x + 7y- 9 = 0. 
Halle el valor de 22 3b" 
ES 
B) E 
a + 
D) E 
EZ 
Pregunta N.? 98 (UNMSM 2013-11) 
En la figura, OA=AB. Halle tg6. 
 
 
g 
0 
y 
> 
T
I
 
La
 
A O 
Pregunta N.? 99 (UNMSM 2009-11) 
La ecuación de una circunferencia 
es xk“ + y? = 36. El punto medio de una 
cuerda de esta circunferencia es el punto 
P(-3,2). Halle la ecuación de la cuerda. 
A) 3x-2y + 13=0 
B) 2x-3y + 12=0 
C) 3x-2y-13 =0 
D) 2x-3y-12==0 
E) 3x+2y- 13 =0 
Pregunta N.* 100 (UNMSM 2014-11) 
Calcule la suma de los radios de todas las 
circunferencias tangentes al eje de 
ordenadas que pasan por el punto (2; 8) y 
cuyos centros están en la recta L: x — 2y + 
3=0. 
A) 41 
B) 24 
C) 25 
D) 57 Ma 
E) 42 ¿pa 
qe
 ' 
23 
 
ARITMÉTICA 
TRIGONOMETRÍA MONO IO 
 
Pregunta N.*? 101 (UNMSM 2015-1) 
Halle la distancia del punto A(4; 13) al centro 
de la circunferencia F: x+y*-4x+2y-31 =0. 
A) 12/2 u 
B) 1042 u 
C) 1142 u 
D) 4195 u 
E) 4175 u 
Pregunta N.*? 102 (UNMSM 2015-1) 
Sobre la circunferencia *: x2+y22x+2y-1=0, 
se levanta un cilindro recto de 6ru de altura. 
Una hormiga situada en el punto P (43 +1, -1, 
O) se desplaz sobre el cilindro hasta el punto 
O (43 +1, —1, 61) del cilindro contorneándolo 
enteramente una sola vez. ¿Cuál es la menor 
distancia que podría recorrer? 
A) (Y3+2x)u 
B) 443xu 
C) (6+243x1)u 
D) 6rxu 
E) (3+v3x)u 
21. PARÁBOLA 
Pregunta N.* 103 (UNMSM 2014-1) 
 
Dos postes de alumbrado, ubicados en bordes 
opuestos de una carretera, distantes 8 m entre 
si y con 10 m de altura cada uno, sostienen en 
sus extremos superiores un cable que forma un 
arco parabólico cuya proyección en el suelo es 
perpendicular a los bordes de la carretera.A 1 m 
de la base de cada poste, el cable está a 7 m del 
suelo, ¿Cuánto dista de la carretera el punto más 
bajo del cable? 
2 Aa 5 
B) Sm 
C) 2m 
D) 28 m 
E) L2m 
Pregunta N.* 104 (UNMSM 2015-11) 
Halle la suma de las coordenadas del ex- 
tremo inferior del lado recto de la 
parábola y? - 6x - 6y+3=0. 
13 3 5 
A) = B) = O = 
> 13 > 
9 1 
D) = E) = 
3 13 
Pregunta N.* 105 (UNMSM 2016-1) 
En la figura, se muestra un arco 
parabólico de vértice V, de 18 m de 
altura y 24 m de base. Halle la altura 
en que se encuentra el punto P, 
sabiendo que la proyección de dicho 
punto sobre la base del arco dista 8 m 
del punto O, 
 
h 
 5 pS AL | 
Opa 
A) 11m B) 12m C) 9m 
Dj) 13m E) 10m 
24
TRIGONOMETRÍA AMOO IO: O) 
 
Pregunta N.* 106 (UNMSM 2016-11) A) 3 
En el plano cartesiano de la figura, los segmentos 
OB y OA miden cada uno 3/10 u, donde los B) 
puntos A y B están en la parábola de ecuación 
y = x2. ¿Cuál es el área de la región triangular 
AOB? 
3 
Cc) 3 
D) 3 
E) 3 oy
 
»2
 
«8
 
ol
8 
ol
 
 
 
A) 21u2 
B) 24 u? 
C) 2712 
D) 18 u2 
E) 30 u? 
Pregunta N.* 107 (UNMSM 2017-1) 
 
La figura representa dos torres de suspensión 
de un puente colgante que distan entre sí 
300 m y se extienden verticalmente 80 m por 
encima de la calzada. Si el cable que une las 
torres toma la forma de una parábola y M es 
punto de tangencia, calcule TQ. 
| 
20 m 
 
 puente Cu 
 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
twitter.com/calapenshko 
 
26
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
SOLUCIONARIO 
314 100” = 3100" + Referencias 
1 : a 
72m ? ¡79 Considere los siguiente: 
pr 
 
 
 
30% x 7=_ 03m 
100". 31123" 
-. 31812M30$=3112,3M 
Respuesta 
3112,37 
Rpta: ([e) 
sea 120 — expresado a segundos 
- 1000 sexagesimales. 
Veamos: 
A 
1000. 1]* 
Epta: ia 
E y por lo tanto CB=MN=2r43 
Dato: 
 
 
 
 
 
Datos: q = BP +12" Radios de las ruedas: r y 3r 
y=p+24* Longitud de la correa= 
Del gráfico mAMB+BC+mCND+DA=M (*) 
a + PB +y=360* 
P+12*+B+f+24* = 360? 
B= 108" B 
El porcentaje de aprobación del candidato B: 
 
-— 108 
% B= 3607 x 100 % 
%B=30% 
Rpta: 
 
EOI TON EL CACHIMBO 
Aplicando la referencia tenemos: 
como 240%<> : (3600) y 120%<> 5 (3600): 
. mAMB==[2n(3r)]=470 
 
1 2nr 
* mCND=-[2n(r)] === m ql mer)] 3 
Reemplazando en (*) obtenemos Del gráfico: 
1 vuelta ——+= 21 
anr+2r 34 +2r/3=M 
xx —— 108 (27.5) 
360 
"141+12/3 ln x=1,5 vueltas 
1 3 ? M Rpta: 
141+124/3 
Análisis y procedimiento 
Respuesta Nos piden el valor de R. 
La longitud del radio menor es 
141+12/3' 
 
 
n: n.* de vueltas (n=4) 
R: radio de la rueda 
PO: longitud recorrida por el centro 
(PQ=801) 
n= PQ) 
21R 
pa.” 80" 
—2*(R) 
 
 
 > 4 
como: [ L = 6.r] 
Piden: Snk=801 
Lr = L¡ + Lo + Lz 
. R=10cm 
Ly = 52lcm - 2-12cm . 3 3cm : 2 E) 
Lr = 7 cm + 2n cm + Tem 5 Ñ — 
¡0 LA A
 
“. Er = 10xr cm 
Rpta: (9)
Neo OA EL CACHIMBO 
 
Longitud de arco 
Número de vueltas 
Dato: 
Ri; =0,5m Ro2=0,39 
ni =150 n> 
(30min) 
Recordemos: L =-*> 
2xR 
=> n¡R¡=n2R> 
150(0,5)= 30 (0,39) 
¿L=150% m 
Rpta: 
 
 
 
 
Resolución: 
A L BE 
ms 
e 
A 
l rá 
e 
450” 
A 450 
O L E P 
| LE | 
Cuadrante +5=Triángulo+Sector 
ñ A 
EN, +48 = PEA, 
Él 5 Elo r(L 42) (459) 
4 - 360 
2 
2 2 
twitter.com/calapenshko 
EN 
 S 
(1-6) rad 
 
 
 
 
Del dato: AO -2- r 
Área sector AOT: S, = (0 
 
2 
Área sector MOB: S», = => 
Condición: S,=8> 
_ OMA oa 
yn = 
=b=2 
5 “. 4=36" 
Rpta: 
c 
a=5 b 
B E A 
Dato: senB = 2senC O » Na 
20: l3bh=2 5 MAA 
a b 0) 1100147 
 
Ue ON 
NAO EL CACHIMBO 
 
Pero: b? +0? =a? 
13. 
de +0?=25 
c=Bab=2% sena = : sech = cota = + 
Nos piden: ? 
 
bc 245-445 
5 = == ———=5 NBC 2 2 
Rpta. 5.Dcm? 
12 tan? a +9tan? A 
 
 
Piden: E= : ; 
12, 
3csc” ar — esc” [j 
2 2 
nl Bro 
_ 3sena —4cosa _ diga —4 
> E 
—3sena+4cosa Stga +4 E=
 3 
y (5) (+) De la condición: seca = 3 3 1 
Operando: E= 4 
A / le El 
Rpta: ([e) 
 
 
B 
5 
12 13cm 
Del gráfico: tga = - Xx Scm 
3x4 aL 0 O 
.. 12 CL 20m —L—— 100m ——A 
RA D 
1 En el triángulo rectángulo DAB 
. A=- 
5 x? =10?* + 5? 
x=5,/5 cm 
"o (P) Por lo tanto 
bo | 
a Aa e no 
 
 
TRIGONOMETRÍA AT 
15. Del gráfico 
BD+DA=BA 
*« Razones trigonométricas de ángulos BD+8=24 
complementarios BD=16 
senx=cosy => x+y=90" 
* Triángulo rectángulo de 30% y 60% 
 
BHA: BH=15ctg309 
 
 
nvV3 5.BMH: HM=BHcos30" 
=> HM=15ctg 30%cos309 
Análisis y procedimiento 3 
sal HM= 15-43. 
os piden DB. 2 
sen(20%+0) - HM= > 
cos (10% +0) Rpta: 
23 sen(20%+6)=c0s(10%+0) 
> 20%+9+10%+8=900 e 
8=309 
Reemplazamos en el gráfico 
 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
A BDC - A PAC (2+/3)(4-2/3)]P_ 2.4321 
x 24 - 
y i 
5.16 
Rpta: (EJ) 
y 
A Rpta: 0 
Referencias 
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales 
 
 
 
C Si senw=1 y O <w <360% => w=90* 
á a 
2 Análisis y procedimiento 
a A Q Sean a, 6 y € ángulos agudos, además 
2 ao 6 0 
28 a Y 
2 das? 
309 0 < a+4+8 < 270 
A b B 
Luego, 
La+43) sen(4k+5k+6k)=1 (dato) 
Acar: 830" = 2 — sen(15k)=1 > 15k=90 
k=6" 
A 1+ 43 Piden: 
Y3 bl 2 
tan Eon Jrran(5k)=tanzo"7 
a_ 2 3 
b 34+43 
a 1 Respuesta 
qa3 0-4 E 0 
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo en 
 
v3_1 poa posición normal 
(2+43) 4 
Y3.1 
2 2 
 
 
 
Efectuando operaciones: 
2-13 (43-1) (43-1 
o 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA AO AiO 
 
 
 
 
Resolviendo: 
cosa=2, r=wWa? +b? d=5 r 
pa 
Análisis y procedimiento 
ns 
3 23. 
6 Sea: f(x) =(/2J 0 
pa pj (Elina VxeR 
25 B a x * YvxeR: -1<senx<l1 
e 1] 
—3< 3senx<3 
24 
4 < 3senx-1< 2 
4 nx-1 
M=cosa+cosf) MES ZO 
2% < flx)< 2 
* YxeR: O<senéx <1 
0 <3sen*x< 3 
-1< 3sen*x-1<2 
2 
: -1 E 3sen? x=1 E 2 
(3) A (2) >(1) 
2> glx)> 1 
Para: 
d 
a - 1 a fo)= 2% Agld= y 
La suma del valor mínimo es: 3. 
B(-1; -3) 
 
 t
o
¡
 
Rpta. 
Cálculo de “d”: 
aro 
 
 
 
eo INN EL CACHIMBO 
 
PL 5n 15 24. L (EA%7)=0 > t=-2 (x) 
 
 
Y2 f(x) =cos x 6 a 
mA ML (1Et+2)=27 >t=5 (Y) Ja : 6 4 2 
e) 
Luego: t=4h30m 
= 2 Lx 5 A » como *t” es horas después de la medianoche. 
"e 414. 2 £ 
Rpta.: 4:30 a.m. Rpta: 
So: área a 
n_v2 == 
 
 
Ja Multiplicando por 2 la expresión 
> A 2) 2E = 2cos(x-5%).cos(65%-x) 
5 2E = cos60"+cos(2x-708) 
>5D= E. N2 0 
2 2 pa. A 
+ Cos(2x — 70%) 1/2 cl g=1., cost2-70% . sa, EA pta: ra 2 So 4 ego 
(-1 £ cos8 < 1) +2 
pis? Loss = iv. L 
EST St 
f(x) =(2+senx)(2-senx) =-+ < ++ S 0 < + 
f(x) =4-sen?x M | 
como: m M 
O<sen*x<1 Piden 
-1<-sentx=0 M-=m+=1 Rpta: (E 
3<4-senóx<4 
Ri=[3,4] AS Referencias 
Rpta: [3, 4] Rpta: 
 * Identidad por cociente cscx= 
sen x 
* Diferencia de cubos: a?-b*=(a-b)(a?*+ab+b?) 
Alcanza 4 m por primera vez: 
5 * Signo de las razones trigonométricas en los 
=>325+ 2cos(E t+ E) 4 6. 4 cuadrantes, six MIC > cox>0. 
=> kk | nn 
- A W h 
] Análisis y procedimiento E > Ll 
Resolviendo: Sun i0pO)] 
M=tanx, “sha sentr_ xe(1; 35) 
5x 1+sen? x+sen? x' 2 
cos(Ft+=3E) = =:1 34 
 
 
4 
3 sen” x 
1+sen?* x+sen? x 
 
1-sen? x 
M=tanx 
(
L
A
 
sen? x(1+sen? x+sen* x) 
 
(1-sen? x)1+sen?tx+sen* e) 
 
 
M=tanx _—— 
sen? xl14sentx+ sen* x) 
2 cos” x 
M=tanx z 
sen? x 
M=tan xv cotó x 
3 
M=tanx|cotx|; xe(m a 
> M=tanx (cotx)=1 
Respuesta 
Al simplificar M se obtiene 1. 
Rpta: 
LD
 
pop 
Referencias 
» Identidad trigonométrica auxiliar: 
seco+ os o=secócscób 
* Teorema de Cardano 
Si x1 y xo son raíces de la ecuación 
ad+bx+c=0 
xx e E XxX E eii pa, 
Análisis y procedimiento 
x1 =secú 
De la ecuación aésbxcro=o] 
X9 =0sC Q 
TRIGONOMETRÍA qa 
Por teorema de Cardano: 
b 
secpecscpa- - 
sechxescó== 
a 
Luego, 
(secó +cscó)?=sectp+esco0+ 2secócscó 
(secó+cscóo)?=seci4 xescób + 2secócscó 
Reemplazando: 
bp? a e? 2Zexa 
—- 
a? al 
b?=c*+2ac 
axa 
> b-¿=2ac 
Respuesta 
La relación es b*-c*=2ac. 
De la condición: 
Rpta:1 senx 1 
ed => senxcosx == ...(a) 
cos* x COS Xx n 
3 3 
Nos piden: K = AS 
(sen x—cos x]) 
(senx=eesx) (sen? x +senxcosx +005*x) 
K= een x=ceex](senx -cosxY 
1 + sen xcos x 
K=-=5 2 sen* x- Z5en xCOS Xx +Cc06% x 
l+= po 
nl + E 
De(a):K=,_2 1 zi A 
n A 
n+1 
 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
cl CoN 
E=-(1-2sen*x) Sabemos que: cosa =m 
E=-—cos2x Despejamos 
pero: — cos2x =senx -— costx ' 
2 2 4 4 senta ==-=1=3sen” q 
“¿E=sen x-COS Xx 3 
Rpta.: sen“x—cos'x Rpta: R
eemplazamos 
4(cosa)* ¿(A sen? aj+7= 
e y] 
lo Pd 
4cos* a. +4sent a+ 7= 
 
Resolución 4cos* 1 +4sen* U+7= 
Six e (0, 1) ya>b>0. 4(cos? a. +sen* a)+7= 
1 1 
E- a(1-cos? x)2 - bsenx 4x1+7=11 Rpta: ([)) 
Ml 1 
a(2+2senx- cos? x)2 -a 
a desp? x =-bsenx Identidades trigonométricas 
E A ———— 2 Efectuando: 
ay (1 +senx)? —a 
(csex — ctax) 24 lcscx + ctgx)? E = 
 
 
 
E - a]senx|-bsenx senx>0 esc?x— ctg?x Minds 
e | 1+senx|-=a 1 2(0scex + ctg*x) — 4cta?x 
E=2csc*x- 2cta?x 
PAS a Em a-b Ex 2 (cscéx — ctg?x) 
(1+senx —1)a a ES 
E=2 Rpta: 
Rpta: 
SÍ | senti +Cos0=X 
LE seno! —cosa.=y 
K = (ctgo + escol(tga - sena) Elevamos al cuadrado. 
K = ctga tga - ctga sena. + (sena +cosa)?=x? A (sena.-cosa)?=y? 
EA A Desarrollamos los binomios. 
COS aL l vera sena. +2senacosa+costa=x" 
Ne o cosa Ñ sena -2sena cosa +cosóa=y* 
e MR y Mm Sumamos. AS 
E di 2lsenta+cos%a)=x?4y% IlnK : 
Rpta: (E 2(1)=2+y 
6 * x+y2=2 Rpia: (B 
==
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
Análisis y procedimiento 
Por dato 
sena => 
5 
Nos piden M= cosza. 
M=1-sen%a 
2 5) 
M=1-|- 6 
9 
M=1-— 
25 
16 
M =— 
25 
Rpta: a 
Ep 
Resolución 
Tema: Identidades trigonométricas 
Consideramos «a y $ como ángulos agudos. 
e Sia+p=90" => tana=cotf 
e 1+tanóx=secx 
Análisis y procedimiento 
Nos piden calcular la expresión 
E=sec*21%-cot*69+1 
E=sec?21%-tan“21%+1 
E=1+tan*21"-tan*21%+1 
. E=2 
 
Si cos(90 - x)=senx 
5 
= AS 
a ec 5 
— === 
ca 2 
a+?=2a 
2 
2a? - Sac + 207=0 c=2a y (hipotenusa) 
2a — a=1c 
a -H 
c=la 
a 
b=axv3 
Piden: tgx+secx 
a ec. a+c 
—*+-— = — 
b b b 
a+2a 3a 34 43 
b b ÁN3 
HON 
Identidades trigonométricas 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
_2y4+tÉ 
a” t 
Reemplazando 
t=2t00 
Tendríamos: 
2 4+4tg70 _2/1+to0 _ 2s0c0 
ae 2g0 tab tqÚ 
S=2csc0 
Rpta: Rpta.: 2csc0 m? 
 
 
Del gráfico 
a = 60-309 
tal — ta309 
1 +ta0. tg300 
=> tga =ta(8-309) = 
 
Reemplazamos 
2 _ 1 
ye Y3 _Y43__3 
it LL 2 53 
Y3 Y3 3 
Finalmente 
Rpta: 3 taa = 5 
Análisis y procedimiento 
Primera referencia 
Recordemos que 
cot(8- 180%) =cotB 
Segunda referencia en un triángulo rectángulo 
ABC 
AB , o 
catd= == AB=EBEC- cotb 
En el problema, piden el área del triángulo OQP. 
A O B 
De la segunda referencia 
OQ =rcotx 
> Bro= (r sn _ pe coa (0 
Además, por dato tenernos 
OL a 
—+x+==4 
2 2 
(2) > a+2x+P=2a )- 
a+x+P=1800 
x=2a-180% 
Al reemplazar en (1) resulta 
del gráfico 
,| . A Ñ !| “l Y, "1 pa 
», pa B y 
ICO 
a MA 
a y % 
=| J 
al A al 
ya a ares r? cot(2a 180) ST j
 
38
TRIGONOMETRÍA 
EL CACHIMBO 
 
De la primera referencia 
 
 
 
 
 
 
2 al cot 2a E 
2 
a 
ls 
Análisis y procedimiento 
SS T 
senja—3 )+tan(r+a) 
M = 
se 5+a) La 
o 
sen —[3—a)|+tana 
M= 
sec OL 
21 
-sen| 50) +tano 
Me e 
sec Ol 
M= 008" + tan? 
sec” 
M =- tan? 
sec” sec” 
sen”? 
M=- 05 cos? 
1 sec” 
cos? 
M=-cos* a +sena 
M=sena.-cos%a 
Rpta: 
 
ÁN EN ICION NORMAL 
Los puntos trasladamos (-3) 
Y 
(0; 0) Xx 
B 
P(-6; -8) 
x=46;y=-8;R=10 
y A 
> sen (-a) = E" 
44 
Asena=22 
¿4 
sen a =— 
5 
Xx 
> cosf == 
R 10. 5 
3 
cosP =-= 
A 5 
. Seno cos) = 2 + za = 1 
553 19 
Respuesta 
1 Rpta: 
5 
EA 
Dando los valores correspondientes: 
m - 4D-3CD+(42Y 
(0)-(=D 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
46. 
Referencias 
Desarrollo de un binomio al cuadrado 
(+2 + 
(xy =é-2xy+y" 
Identidad trigonométrica fundamental 
sen?8+cos”8=1 
Identidad trigonométrica de ángulo compuesto. 
cos[x+y)=c0sx cosy —senxseny 
Análisis y procedimiento 
el) 
Desarrollando los binomios obtenemos 
let 
lle 
Ordenamos los términos: 
o ol 
M=cos? ¿sen? 2B 2B ¿ecos +sent + 
B B al ol +2 008 — cos —- 2sen—sen—= 
2 2 
dle) 
M=2+2c04 222) m7 
Como a=33"20' y P=56%40'"' => a+fB=908 
Reemplazando en (1) obtenemos 
M=2+2cos(45") 
40 
EL CACHIMBO 
 
Maz+2 2) 
M=2+42 
Respuesta 
El valor de la expresión M es igual a 2+ J2. 
Rpta: 
Suma y diferencia de variable 
ctgy — ctgx — (ctay +tgx)= msecóx 
— (tax + ctax)=m *x 
— será .cscx= m.secZx 
ESEX 
SECcx 
- ctax 
ta: (ES 
Rpta.: -ctg x Rp 
AR 
* Observamos razones trigonométricas 
de ángulos negativos 
 
cos(-0) = cosO 
 
* Fórmula del coseno de una suma o diferencia. 
 
cos[x + y) = cosx cosy + senx seny 
 
 
Operación del problema 
cos(30” + x) + cos(x — 30%) + cosx 
Desarrollando: 
cos30* cosx —sen30” senx + cosx cos30"P + 
senx send0” + cosx 
Simplificando: 2cos30* cosx + cosx 
Reemplazando valores: AN 
Respuesta: (/3 + 1)cosx di
SOLUCION: 
ajo 
Observación: P= (a +) -a 
> tanf =tan(a + PB -a) 
tanía + P)-tan q 33-3 
 
14 tan(a + P)-tan a 14330) 
Rpta: 
 
 
de la figura: 
a+p+45%=90". 
Sabemos que: 
cota +cotf +cot45* =cotacotf-cot45? 
además: cotf = 
Reemplazando: 
7 7 
cota +—=+1=cota x—x 1 
2 2 
cota = 2 
5 
. 5 
Hana == 
9 
Rpta: 
TRIGONOMETRÍA qua 
 
 
 
 
4 
P 
A 10. TS 
A > d Mm” 
20 
 
 
 
1 
 
TRIGONOMETRÍA AMOO 00 
 
e 
Referencias 
senocosp —cosasenf=sen(a —[) 
 
* sen d=2senoicosa! " 
* cos a=cosca-senta Jo M 6 
AAQC: AQ= 24/2005 0 
AAQM: AQ= vd cosa 
Luego: V6cosa=242c0s0 pero 
Análisis y procedimiento 
Condición P=4* 
 
 
 
Se busca calcular 9 
5 ; en ACB: “OsO = Je * reemplazando: 
R=cos* BsenfB=sen? Bcos + 209 zos 20? 
sen cos dé cosa =2 2. LH 
6 
300520"-sen20" 
E 
242 
La o Rpta.| == Rpta: (5) 
R=cosBsenficos 28409 29520"—sen200)_y E 3 0 
sen 20% cos 20" 
 
 
R=_2senficosfcos 294201850820" sen20) —él 2 
IS 2cos* a. -1+1-cos2a.=0 
R=2sen29cos 294 2.030520"-sen200)_y cos 2a(2cos 2a —1) = 0 
2 sen 40% 7 
cosza=0 v cos2a == 
al Y cos200-Lsen20o 2 1 ad ¿an d0 o 
R=(2sen2fcos2P)+ Ed 0 Pero por condición: cos2a +0 
cos2a = l o lo o = MEN r=Leon 4,4 en60 cos20*—cos60' sen20%) 4 9 
d sendO" 1 
2cos2a -1= 3 
R= sento ETE a 2 
sen40? 9 3 A2N=Ta 
COS lU=— EP Rpta 7 
4 ro Ey 
E o Rpta: — ado p 
42
TRIGONOMETRÍA 
 
ÁNGULO DOBLE 
La condición es 
20sc2a =4 
> csc2a=2 
Pero $ <2a< T 
> 20=150* 
a =75 
Piden W=(2+vV3) - (2-43) 
. W=2V3 
Rpta: 
ÁNGULO DOBLE 
E= 2sen“0 + 2senOcos0 
2cos- 0 + 2senBcosó0 
sen30 cos0 
"cosO senó 
_ sen30 -sen0 + cos0 - cos 30 
cos -senó 
_ 2 cos(30 — 0) 
2senó -cosO 
_ 2c0s20 
sen20 
 
 
 
Respuesta 
2ctg20 
Rpta: 
EL CACHIMBO 
PjoA 
Ángulo doble 
2sen(a+b)cos[a+b)=1 = sen(2a+2b)=1 
por lo tanto 2a+2b=909 
a+b=45" 
De donde: c=1359 
Nos piden sec c = sec 135% =-42 Rpta: 
Pp —en posición normal, feIIC 
3 
tanB =-= 
b 4 
cos2f=? 
1-tan*p 
Sabemos: 2p= abemos cos2f Lag 
Reemplazando 
3 2 ) cos2p= 2 
1-3) 
4 
7 Nr cos28$=— Rpta: E 
60 
Resolución 
Teniendo que: BC-AB=k => a—<=k 
 
 
b 
Del oráfico: 97 ; 
43
TRIGONOMETRÍA AMOO IIA) 
 
 
Triángulos e identidades de 
ángulo mitad 
 
 
 
 
 
Nos piden: 
H Lag des =llemdaj 
o 
Pero: H = dog 
/2 
aa EZ a 2 o 
po” A 
2 
En (0): Argc= ad y2 + /2 cm? 
2-y2 
Respuesta 
16Y2+ 42 > 
—==— cm Rpta: (MA 
213 O 
twitter.com/calapenshko 
Referencias 
cos A+ cos B=200s| Es Jo 5?) 
2¿senAsenB =cos(4—B)—cos(4+B] 
 
Análisis y procedimiento 
Dato: 
10cos20-13c0s 30+2sen| > Jun Fo 
Empleamos transformaciones trigonométricas 
10cos2a-13cos3a+c0820-cos3a=0 
cosZa _14 (1 
cos3a 11 
+ 
Piden 
P=seca+sec3a 
1 1 
= P= 
cosa cos3a 
 
cos30.+c00s a 
P= 
cosacos 30 
Transformamos el numerador a producto 
2cos 20.cos a 
P= 
cosacos Ja 
Simplificamos 
2cos 20 
P= 
cos3a 
 
Reemplazamos (1) 
p= 255) +PR 
11 11 
Respuesta EP 
La expresión P que nos piden es ia a! 28/11. , 
dal 
a 
ÓáÁAKAqAqAEAAÓÁ<Á
ONO EL CACHIMBO 
 
senx 3senx—4sen?x 
d C 
c+a 
 
=> 4c0s? x = (2) 
de (1) en (2): 
b ; c+a 
a 2) =— :b=a+ac 
2a a 
Respuesta 
b?=a* +ac Rpia: (Ey 
L la A 
 
 
 
Del dato: 
a O 
q. Eo EW 3cosa = sen70* -cos80* -cos160* 
L 
dy = —=sen(60* — 
e y o cosa = sen70* -(cos160? +cos80?) 
pa 
2cos120*co540? 
L d+d, dy == irondrsenfó0*+0)+ sen(60”—0)) cosa. = sen7O*-2|-= Jeos4o* 
A 2 
L 
d+ da +d, = pena 2sen60" +cos 6) 3cosa = cos20* +cos40? 
cosa = 2c0530*cos10? 
“. dy + da + d3+= L(coso+zseno] e de hos1o* 
2 
> cosa = cosl0? 
 
Rpta. L(cos 0+ sen o) cm 
 
 
“a =cos10? 
Respuesta Rpta: (MS 
¡EN ma 0 
De la condición: N=sen8u-senq4a 
senf 2semNtosx 2sena .2cos6u 
a b A producto: FA 
b ¿06 2 y > c08sx =— cl Ñ asenza _ 2 ¡»0 
? 2a 6) N ¿sena cos6aU » 
N = 2cosa 
45
TRIGONOMETRÍA MONO IO 
 
como: 
vY10/ 13 
tga = 3 > 
1 
En N 
o 1 _v10 Rpta: (E 
Tema: Transformaciones trigonométricas 
* senx-seny =2008| 22 Jsen[ 52) 
x+vy xy 
. E == (Ez) ES cosx—cosy=-—Z¿sen sen 2 
Análisis y procedimiento 
_sen(a.+fB)-sen(a.—B) cosa 
- cos(8—P)-cos(0+B) sent 
 
 
M- Zcosasenf cosa 
- —2senOsen(-P) sen0 
_cosasenf cosa 
senOsenf sen 
 
 
_ Cosa cosa 
senO sen0 
- M=0 Rpta: 
ox 
Rango de función trigonométrica 
Transformaciones trigonométricas 
Multiplicando por 2 la expresión 
2E = 2cos(x-57).cos[(657-x) 
2E = cosb0”+cos(2x—70*) 
pS 
_ 1 cos(2x-707) 
E 
luego 
(-1 < cos0 <1) +2 
pi< cosO _ 1 
 
69. 
Análisis y procedimiento 
sen2x+senx=0 , xe [0; 211] 
Aplicamos identidad del ángulo doble 
2senxcosx +senx=0 
Factorizando obtenemos 
senx(2cosx+1)=0 
=> senx=0 w 2cosx+1=0 
=> senx=0 v cosx==> , xe[0; 211] 
* Sisenx=0 => x=0 , x9=1 , x3=2n5 
21 _4n 
. Slcosx==2= 3 Xa=— 3x5 
2 3 3 
Respuesta 
El número de soluciones es 5. Rpta: 
 
TRIGONOMETRÍA AMOO IO: O) 
 
Referencias fa) = andes 
* Identidad de arco doble: cos2x=008?x-sen?x. 
Complemetando cuadrados: 
. ransformaciones trigonométricas: fa) = secty cd 
cost=cosy==26en > Jun 52) f(x) = sectr-4secr+2?-22-1 
q _O-Aá<Ad<¡Ód.-aRUIAAAOAOAÁKÁKXÁ 
sE mM 
* Ecuación trigonométrica elemental 1). SueE e? 
sisenx=0 => x=km keZ Para f(x) mínimo > secr-2 = 0 
secx = 2 
Análisis y procedimiento cosx = 1 
E 
cos3u-+sento=cos"a 
cos3a=cost0 senta 
cosda=cos2a 
T 
cos3a-cos2a=0 a 
Usando la solución general 
T 
=2Mn+E 
A 3 
transformamos a producto 
5a a 
-2sen-—sen5=0 ; 006€ (0; 27m) 
3” 
Fás 
sen Y =) sen da =0 
Dr 2 Ecuaciones trigonométricas 
pa 
Primer caso: 2sen” (5) + 3c0sx = 2 
Pr pr 
Si sen5=0 > ha > u=2kn ; keZ. l — cosx+3cosx= 2 
COSX = L 
Descartado: Se observa que la ecuación no presenta 5 
soluciones en el intervalo (0; 21). =x=t, = 
-. Suma = 21 
Segundo caso: Rpta: O 
Si sen 20 =0 + q =kn 
Z Z 
2kr kez Ecuaciones trigonométricas 
=— ; kel. E Variable doble 
Or 4x 6x ón Por degradación 
Luego, las soluciones serán BBB cord = y=3É S NW TA 
=> cosó4x — cosdx - 2 = MPAA e y FO a 
cosdx +15 coMr==1V 0 
Por lo tanto, existen 4 raíces. Rpta: E
SOLUCION: 
si cosdx = -—1 
>4i= 2, 3. Bb. Tí... 
=5 35 E 1 (0<x< E) 
Piden 
5% SS 37,57 
“aa Aj
a 
EN 91 4 
Rpta: 
yEa 
Funciones trigonométricas 
Ecuaciones trigonométricas 
Dato: 
[sendx | +/|c082y | =0 
=>senáx=0 yA cos2y=0 
 
dáx=nT A» 2y=kr+T 
$ = NT Aa y=kx_T 
4 Ea 
(neZ) (keZ) 
El mínimo valor de KR 
 
ha(3+3) 
eS pa 
|sen(E- )|+ E cos 1] 
con k=0 y n=1 
Rímin) 
y2 
Rpta: [E] 
y 
 RIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
Referencias 
, asenú dido mtana 
Fl [] e a 
acosú m 
Análisis y procedimiento 
Piden PQ, 
Datos: 
BC=a 
ABCD es un paralelogramo. 
B | a | C 
úl 90—a aL 
asena 
HH asena Q 
d 
A Pp D 
* ABOC: BO =asena 
* _ABHQ: HQO=BQseno: 
— HQ=asenéa 
* APHO: 
PQ=0QHsecf 
=> PQ= (asen“a)secf 
2 asen“a 
— = 
PQ cos 
 
Respuesta 
El valor de PQ es SNA “a E e 
48 |
TRIGONOMETRÍA 
 
¡AMO OA II 
l
e
z
 
l
n
 
ea
] 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS í 
RECTÁNGULOS 
FE 45ec 0 
PS, | Al 
a So a 
| | 
Ht— ata 0 ———u ta PA 
 
 
 atg0+actap =asecó 
+. tgfh = secó — tgb 
Rpta. | sec0-1tg0 Rpta: 
 
 
A 2c0sa H B 
 
 
En el =xAHP de 30* y 600: 
3sena. 1 sen 2 
2cos al _ e -3.1B 
taa = zE Rpta: (0) 
 
 
 
Área del triángulo ABC: 
S= (ACP sena Cost 1 
2 
= (cosa sena COSA 
 
S= I cosa? sena: 
 
 
 
2 
2 MR 
1 - > 
Rpta. y osa “sena Rpta: (E) sen(45") 2 0150. ua 
2sen30%sen15% 3 dp) 
.. 2V2c0s15%+ 2sen15* 21) 
49
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 Análisis y procedimiento 
Nos piden el valor de x+y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a2 
Ji, 
2 
Pz 
seno = 2sen> > cos 5 sena =2 Xx E ) ne 
sena== xyY11=5 has 
Rio: (E) 
_— 
AN 
tan45* ib 
Dato: 
3 ta” ye son ángulos suplementarios 
y $ = 2a 
moy 3a=180* 
m-y=x+h a =60* 
x+y=m-h En 
la figura 
Q 
x+y= 2 3 a 
3 10/3 
Y3 sl Es 
x+uy=| —— 
y 2 
Pp = R 
mp Por ley de cosenos 
(1043)? = a?+ (2a)?- 2a(2a)co: as60r A 
5
TRIGONOMETRÍA AMOO AiO 
 
100x3= a?-4a?(5) 
100:<3= a“Ssa=10, 
La distancia recorrida es 30 km. 
Rpta: 
ta LA]
 
Referencias 
* El teorema de senos 
INS, 
 
* Identidad de arco doble: sen2 a. =2senacosa. 
Análisis y procedimiento 
B 
Za 
A C 
Aplicamos el teorema de senos 
x_ y 
sena senZa 
 
A 
senú 2Zsenurcosa 
 
2x 
Respuesta 
Rpta: O 
El coseno de a es +. 
2x 
Resolución: 
De la condición: 
 
Por ley de senos: 
n+1l n-1 
 
senZo sena 
n+1 _ 2serfá cosa 
n—1 señú A 
 
Lo que piden: 
; E 
“ n-1 
 
Rpta.| 2cosa 
 
Rpia: (E) 
 
A O 
¡|
 
LEY DE SENOS 
 180 —(u + y) 
6 
Teorema de senos: 
6 y 
seny sen| 130% —(u + 1)] 
 
sen y 
 
TRIGONOMETRÍA AMOO 00 
 
86. 
* Teorema de senos 
a. be 
sen A senB senC 
 
B C 
Análisis y procedimiento 
Piden AB 
Dato 
AC=1043 C 
 
B A 
Por teorema de senos tenemos 
AB__ 1043 cm 
sen60% send5* 
sen60” 1043 cm 
sen 457 
 
> AB= 
7) => AB Ara 1043 cm 
(7) 
De donde AB=1542 cm 
RESPUESTA 
ta: ME 
154/2 cm Rpta: (EJ) 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 
Del gráfico 
AC=2ABcosa 
Luego 
2P=2AB+2ABcosa 
AC 
=> E A (2) 
(1) en (2) 
2AB cosa 
Viva Bl +cos(a) 
2443 ES 
23 7 Seco 
> a=30* an 6=120* 
». a+0=1509 Rpta: 
 
 
4 
* 2x 
e x/3 M 2 A 
Ley de cosenos en AABC 
Al=(2x)2+(2)2 2(2x)(2)c051500 
Reduciendo 2 +x 3. - 3=0 
Hallando BC 
o pal Rpta: 
 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
 
 
 
Aplicando teorema de senos: 123 _sma_ 3--(D) 
Xx 6csc 209 sen28 senla sen20 
sen40 sen110 - sena +sen20 3+1 
— — De (1)... ———————= 
sen(90+209) sen2a —sen20 3-1 
_ 6esc 20? Zsen(a + 0)-cosía — 9) _ 
2sen e “cos 200 cos 200 Zcos(a + B)-senía — 0) 
x = 12sen 207 «esc 209 lr). 2...(M) 
1 tg(a — 0) 
cs 12 mn Reemplazando (1) y (1D) en E. 
Rpta: a po 
90. p=23 
e > pta 
: 
 
 
 
 
1 Resolución de triángulos oblicuángulos 
[50 Por ley de cosenos: 
a E e v3 +1 +2 -2uosa =p +2 > 
Por ley de senos: 
1 43+1 cosa = 4 
senl5% sena D 
sena= (5 1 LR) AE 
ml 1 sena = B+DG8 - 1v2 | 
4 Piden: 
sena 2 ae ta7(5 )= = (csca—ctga)? 
 
2 
e o 2 2 
*O *2- 1) (15) 
| (2)-2-2 
 
15 
trigonométricas Rpta: (9) 
a 
Y a A ES 
Nos piden: E - Senda tg(a -0) A AS 
sen20 tg(a +0) Sm i0O la 
De la condición hacemos: AC=1=>BC=3 
Ley de senos: 53
ed EL CACHIMBO 
 
 
 
 
 
> cm 
Referencias 
B C B G 
T J 
A 7 IA 
A D A D 
ÁbABCD ñ= 
2 
Análisis y procedimiento 
Se pide la mitad del área sombreada. 
En el gráfico se deduce que 
 
Área sombreada =275 Rpta: (E) 
 
 
2 Ed 
SA 
PR 
Y 472 
$52; 1) Q(8; -1) 
 
104 
Piden: Naturaleza del 4PSQ. 
Desarrollando la longitud de sus lados: 
PS = 432, PQ = 472 y SQ = 4104 
Aplicando naturaleza del A. 54 
V104* =V32* + 4/72" 
Luego la maSPQ = 90? 
, APSQ es rectángulo. 
Rpta: 
 
 
1. Se deduce que el APQR es equilátero. 
2. Por teorema: 
a+b+1=24/3 
a+b=24/3-1 
Rpta: 
epAY 
L 
EU, 6) Ñ bx, y) 
 
 
Se pide la ecuación de la mediatriz de AB. 
Dato: L ¡: 2x+y-6=0; m, =22 
Para hallar las coordenadas de A y B se. 4 
realiza: A AD 
Si:x=0 >y=6 >B=(0, BLLRIPPIAS 
Si: y=0 =>x=3 > A=(3, 0) 
EsuiEL y 
 
 
 
SOLUCION: 
E 1 
mem=-1 2 l > m=>3 
Luego, aplicando la ecuación punto 
pendiente: 
L': Y-Yp=mb-xg) 
— 1 3 
Li y8= ¿(3 
2-6 (+=) a 
4y -12=2x-3 
L.: 2 4y+9=0 
Rpta: (9) 
97. 
L 
Q(a,b) 
P(0,0 
(0,0) L¡:2x+7y-9=0 
L: m= b 
a 
L; m1 = z 
Como “CIL 
(m) . (my)=-1 
TRIGONOMETRÍA TE 
 
els) 
YA 
8 
A(3:4) 
x oÍo; 0) B(6; 0), 
Conociendo los puntos O= (0; 0) y 
B =(6; 0). 
Hallando las pendientes 
4-0 _4 
Pendiente X,: m = ——== CARO A 
: ; 0-4 + 
Pendiente 5: = —— = -— 
IR E 
De donde sabemos 
eno mom 5)-6) 
 
eS 3 3 
añb E. 7 Rpta: 
 
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
2 3 
Mop = 73 MaB= 3 
Ecuación de la recta AB 
y-2=-(x +3) 
3Ihx-2y+13=0 
Ecuación de la circunferencia 
Y 
Rpta: 
 
| X 
 
€: («+ yk ó=R? 
 
Análisis y procedimiento 
Caso 2 
 
 
SS X 
T: punto de tangencia 
| 
Por lo tanto, nos piden h; +h». 
Para los dos casos, la ecuación de las 
circunferencias. 
(x-h)*+(y-k)¿=h* 
Donde h es la variable que representa los 
valores de h; y ho (radios). 
Ahora, como las circunferencias pasan por el 
punto (2; 8), reemplazamos en la ecuación. 
Nos piden la suma de los radios de todas Entonces: 
las circunferencias tangentes al eje de 2 2,2 
ordenadas que pasan por el punto (2; 8) y ERP 0 
cuyos centros están en la recta L: x-2y+3=0 Como el centro (h; k), pertenece a la recta L, 
Analizando el problema, solo existirían 2 “uUyYa ecuación es x-2y+3, reemplazamos: 
 
circunferencias que cumplen dichas h-2k+3=0 
condiciones: Despejando k, tenemos 
Casol y: 
km 2+3 (11) 
z 
eN Reemplazando (1!) en (1) 
h+3 Y dl ento [s- 123) = h? 
Se 
 
Operando las expresiones 
T: punto de tangencia hH2-42h+185=0 
56
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
Finalmente, por el teorema de Cardano, + Sea dla distancia pedida y O el centro 
se cumple que de la circunferencia. 
(42) De la ecuación de la circunferencia, 
hy +h) = 1 =42 hallamos las coordenadas del centro. 
E +y*-4x+2y-31=0 
Por lo tanto, hy +h7=42. x-2(2)00)+2%-2%+y"+2(1)(y)+ 
2.42 
Rpta: [(f= +1*-1*-31=0 
(x-2)+(y+1)2=36 
Entonces, las coordenadas del centro de la 
circunferencia son O(2; —1) y el radio mide 
6. Finalmente, hallamos la distancia de A 
Distancia entre dos puntos á 
hacia O. 
s d=4 (4-2)? +(13-(-D)* 
Alxy5 yy) 
Blxo; Yo) —=> d=y44+196 e 
d 
Xx y -. d=1042u Rpta: (E) 
dar ln) 
AR e Calculo del radio 
isis y procedimiento 
Nos piden la distancia del punto A hacia el ENYA Y LEO 
centro de la circunferencia . ep NERD 43 
Dato: 2 
El punto A(4; 13) y la ecuación de la Graficando 
circunferencia Pes x+y*-4x+2y-31=0 
 
Y Q(V3 +1; —1; 6x,) 
A(4; 13)
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
6r 
 
2143 
PQ? = (61)? + (2/3) 
PQ = 4/3 j 
Rpta: 
Geometría analítica 
 
yA 
P: x? = 4py B, (4103 
ñ 
1 (370 10 -x 
T-x peca 5 MA A > 
10 10 
17 Xx 7 k 
h 
 
Dividiendo: 
A 
10 10-x 
Sea la parábola P: y? - 6x - 6y+3=0 
> P:uy-3)=6(x+1); 4p=6: p=> 
YA Vértice:(-1; 3) 
ll 
1 ; 
(3) eje focal 
ad qa Y 
NN , | 
Xx 
Si 1=5 > (y-3)%=09; y=l31+3 
 
 
1 1 
A=(5; 0; B=(3; 6) 
Se pide la suma de las coordenadas del punto A 
1.1 A=2+0=- 
Ap a 
2 2 
GEOMETRÍA ANALÍTICA 
Nos piden y. 
 
 
 
"P (8; Yo) 
Aa or : > X 
g P ¡e 0) 
 
Sabemos: (x-h)y?=4p(y-k) 
Como V(0; 18) > 1*=4p(y-18) 
También: (12; 0) e. 
12?=4p(-18) +p=-2 
La ecuación: x*=-8 (y-18) 
Ahora P(8; y,) € 9) 
8"=-8 (y, -18) 
-8=y,-18 
% yy=10 m Rpta: (3)
TRIGONOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
* Coordenadas de Q) y R: 
Q(50;h) R(150;80) 
+ Ecuación de |: x*=4py 
* QuRe P (reemplazando en la ecuación) 
502 =4p(h) ... 1 
1502 =4p (80) ... II 
* — Dividiendo l y Il 
 
 
50% _ h S 
*B(0;a)e P 1502 80 > h == m 
a=02...(1) Rota: (E) 
*Teorema de Pitágoras 
024+a2=(3/10 y? 
 
Reemplazando l en II 
a+a“=90 
al+a-90=0 +>a=9 
39=(% > (=3 
(2+a2=90...(11) 
Área A AOB= en =27 u2 
Piden *h”. 
Rpta: 
 
 
¡SAN MARCOS TE ESPERA! 
 
60
El Cachimbo es un producto de 
Ediciones Millenium
 
2018-1 
Pregunta 108 
El ángulo de elevación con que se observa la 
parte superior de un edificio es de 45”, como 
se muestra en la figura. Sobre el borde del 
edificio hay una antena, cuya parte superior se 
observa desde el mismo lugar, con un ángulo 
de elevación cuya tangente es 1,2. ¿Cuál es la 
longitud de la antena? 
A) 12/2m 
B) 36m 
C) 18m 
D) 30m 
E) 24m 
antena 
 
45" 7 
*——— 120 m —— 
Resolución 108 
Ángulos verticales 
Dato: tgó =1,2 
Del gráfico 
L+120 — L+120_6 
120 5 
L = 24 m 
L: longitud de 
L la antena 
120 m 
 
 
ÁREAS A, By D 
O
.
 
a
 
=
=
=
>
 
5
0
m
 
 
Pregunta 109 
Al copiar de la pizarra la expresión sen40* 
- sen20”, un estudiante cometió un error y 
escribió cos40” — cos20”. Calcule la razón 
entre lo que estaba escrito en la pizarra y lo 
que copió el alumno. 
A) -4/3 y3 
LS C) -2/3 D) ==> 
B) y/3 ) 208 ” 
2/3 
E) 37 
Resolución 109 
Transformaciones 
trigonométricas Piden: 
sen40?—sen20% _ eos 30%sent0* 
cos 40* — cos 20? Asen30". seg” 
=- ctg300 
Rpta: 
Pregunta 110 
=-./ 3 
Se tiene un pedazo de cartulina con forma de 
un sector circular de 400 de ángulo central y que 
subtiende un arco de 6rccm. Si.para obtener un 
sector circular más pequeño, se reduce 9 cm el 
radio y se corta con tijera, eliminando el trapecio 
circular, ¿cuál es el área del nuevo sector circular? 
A) 32x cmÉ C) 36xrcm? D) 72r cm? 
B) 42r em? E) 8lx cm? 
Resolución 110 
Longitud de arco 
Area de un sector circular 
 
 
Del gráfico: 0=40*= os rad 
Del sector circular original 
L=0R 
_2x 
al R 
R=27 cm 
Calculamos el área del nuevo sector 
2 
_(r-of0_18 “7 _ Sx > 3 
ÁREAS C y E 
Pregunta 111 
El minutero de un reloj tiene una longitud 
de 6 cm. Si la relación de esta longitud con 
la longitud del horario es de 3 a 2, entonces 
la longitud en centímetros que el extremo del 
minutero recorre en 25 minutos es 
 
A) 5x cm. 37 
B) =3 cm. 57 
El 3 em 
Resolución 111 
Longitud de arco 
 
Cuando el minutero de longitud 6 cm recorre 25', 
el ángulo barrido es 
= a. KE 0 = 150 =5 6 rad 
entonces: 
E TT 
A por — ( 5E)l6 cm) 
el minutero 
Rpta: 
 
Pregunta 112 
Los puntos PQ, Ry 5 en un tablero electrónico 
están conectados por filamentos metálicos 
como muestra la figura. Se realizan mediciones 
que determinan las longitudes (95 = sec[(40*) u y 
OR = sec(207) u. Si PS = 4 sen(207) u, halle q. 
A) 122 Q 
B) 152 
C) 9 
D) 209 R 
E) 109 
Pp 2 S 
Resolución 112 
Transformaciones trigonométricas 
 
Q 
sec 200 
sec 40 
sec 40" —sec 204 
4sen20" ——5 
Del gráfico 
_ sec 40” — sec 20" 
tga = 4 sen 20? 
taa = cos 20* — cos 40" 
4 sen 207 eos 20? eos 40* 
_ senl0” _ o e 
tga => cos 10* tgl0 -.qa=10 Rpta: 
Pregunta 113 
Sea a, PB y y las medidas de los ángulos interiores 
de un triángulo, tales que au < f < y, y = 2a. 
Si las medidas de los lados son numéricamente 
iguales a tres números consecutivos, entonces 
senfi es igual a 
Y7 37 
A E E 
7 * T6> E 
Se IG 16
 
Resolución 113 Por semejanza de triángulos 
(x+1)2 = (x-1)(2x—1) 
Resolución de triángulos oblicuángulos 5 
x= 
Ley de senos 
a<B<xyAy=2a Aplicando ley de senos: 
4__-_6 
sena senZa 
 
 
> sa=2> me HL co 4 se 4 
Por ley de senos 
4 5 547 Rota: ($5 
sen senf > sen$ = 16 P 
SAN MARCOS 2018-11 
ÁREAS A, B y D 
Pregunta 114 
 
 
45” respectivamente. Si la distancia entre los 
puntos de ubicación de ambas cámaras es 
12 
Indique la expresión que se obtiene al Ya halle la altura del poste. 
simplifica 
jp A) 246 m - DJ 4/6m , A Z C) 5/6 m , 
Sen xt COS X y onxcosx x (0 z) EJ 346 
senx + cosx Z B) /6m m 
A) 1 +2sen2x D) 3+sen2x Resolución 115 
B) 2+sen4x C) l+senZzx Ej 2+3sen2x Ángulos verticalesResolución 114 P
iden *h”. 
Identidades trigonométricas 
Usamos: a+b*=(a+b)(a*+b%—ab) 
(senx+sosx) (sen? Xx + cos óx —senx cos x) 
 
 
 
+ Isenx cos x 
sen Xx 
1—senx cosx + 3senx cosx 
1 +2senxcosx 
1 +sen2x 
Rpta.: 1+sen2x Rpta: 
Pregunta 115 ox= 12 h=kV3 =342 (43) 
Dos cámaras de video, situadas al sur y Y2 .h=3Y6 m 
al este de la base de un poste en posición 2k=642 Rpta.: 3V6m Reta: 
vertical, visualizan el extremo superior del -3/3 
poste con ángulos de elevación de 60% y k=3 y'2
 
Pregunta 116 
Desde un punto de observación R, se alcanza a 
ver los extremos P y Q de la base de un puente. 
Si RP = 50 m, RQ= 70 m y el ángulo PRO mide 
45”, ¿cuál es la longitud del puente? 
TM 
Puente 
Pp ÓN DO 
 
 
R 
A) 10/74-35/2m Dj) 9/74+35/2 m 
B) 10/74+35/2m Ej 11/74-35/2m 
C) 9474-35/2 m 
Resolución 116 
Resolución de triángulos 
EE E 
Puente 
 
 
 
e 
R 
Por ley de cosenos: 
x2=502+702-—2(50)(70).( e) 
x2=10%(74-35y2) 
x=10/74-35y2 Rpta: (E 
ÁREAS Cy E 
Pregunta 117 Reducción al primer cuadrante 
Si x es un ángulo en posición normal, y x + kx, 
k e Z, entonces el valor de _ sen[m—x) +|sen(r + x) | 
[sení2x —x) + sen(21 + x) 
 
És 
A) 1 B) 1/2 
Resolución 117 
Rpta: 
Pregunta 118 
Enla figura se representa un terreno semicircular 
de diámetro MN y ON=0OM=1l0m. Si el 
ángulo AOC mide 120", halle el área de la 
región sombreada. 
C) 23 D) 143 E) 3/2 
C 
B 
MD O AN 
A) 30/3+z)m" — p) 18/3+2)m? 
B) 20/3+x)m" E 15(/3+mm? 
C) 2543 +x)m* 
Resolución 118 
Rpta: 
Pregunta 119 
Desde los puntos A y B, dos cámaras de 
seguridad observan los movimientos de una 
persona localizada en el punto H. Dos agentes 
se colocan en los puntos D y C, exactamente 
debajo de las cámaras. Si tana tan2a = a 
AH = my BH = n, halle CD. 
 
 
A) n 
B) m 
C) m+n 
D) 2n 
E) 2m 
Resolución 118
 
SAN MARCOS 2019-1 
Pregunta 120, Tema: Plano cartesiano 
En la figura, la región triangular sombreada 
representa el plano de un terreno. Si todas 
las medidas están dadas en metros y el metro 
cuadrado del terreno cuesta S/ 1000, ¿cuántos 
millones de soles cuesta el terreno? 
 
 
(-200,- 10045) 
A) 45 B) 4 C) 6 D) 55 E) 25 
Resolución 
(10/5,20) A 
 
e 
Y 
 (200, 10045 ) 
1) Cálculo de 
Xx 
sg. 222 a 0 - 4500 m* 
2) recio por e = 1000 soles 
 
Precio final = 4500x1000 
= 4 500 000 
= 4,5 millones de soles 
Rpta: 
Pregunta 121, Tema; Variable doble 
Un constructor metálico coloca una estructura 
formada por vigas sobre un plano, tal como 
se muestra en la figura. Para hacer ciertas 
mediciones de precisión, requiere conocer el 
coseno de a. ¿Cuál es el valor de cosa? 
A 
 
 
 
3 12 a a DD. 7 
135338) 130>3 D33BD3% 
Resolución 40 
413 
6 
A 2 B 2 
Como 
a+20 = 90? 
3 cosa =sen20 = 2senficosB 
cosa=2._3_,_2 
p
S
 
E
 
a Bpta.: 12 Rpta:
 
Pregunta 122, Tema: Transformaciones 
La expresión 
M=sen7"+sen21*+sen35”"+sen49" 
es equivalente a 
A) 4sen28"cos14%cos7”. D) sen35”%cos14*cos7”. 
B) senz8“cosl4'cos7”. E) 4sen28"cos28*cos7”. 
C) 4sen21*%cos15%cos7". 
Resolución 
Transformaciones 
M = sen7” + sen21*+ sen35” + sen49" 
M= 2 sen 14%.c087"+ 2 sen42".cos7" 
M= 2 cos7" (sen42*+sen14") 
M=2 cos7” (2.sen28".c0s149) 
M=4 sen28”. cos14*. cos?” 
 
Rpta: 
Pregunta 123. Tema: Ángulo doble 
Con respecto a un terreno de forma triangular, 
se sabe que las longitudes de dos de sus lados 
menores difieren en 20m, mientras que la 
longitud del lado mayor es de 80m. Calcule 
el área del terreno, sabiendo que el ángulo 
formado por los lados de mayor y menor 
longitud es 60. 
A) 50043 m? D) 1000 m2 
B) 1000/43 m? E) 960 m* 
C) 120043 m2 
Resolución 
B 
80 a+2 
60* 
A Cc 
L— (a+2)%=a2+80*- 2(a)(80)c0s60* 
IL. 
=la =50 
50x80 Y3 B80a 
2 
[ABC]=1000 43 
[ABC] = == sen60";| ABC] = 
2 2 
Rpta: 
Pregunta 124. Tema: Ángulo doble 
1. 
de 
Un conductor viaja a lo largo de una carretera 
recta a una velocidad de 72 km/h en dirección 
a una montaña y observa que, desde las 
4:00p.m. hasta las 4:20p.m., el ángulo de 
elevación hacia la cima de dicha montaña 
cambia de 10” a 80%. Calcule la altura de la 
montaña. 
 
 
A a a el al el 
Carretera 
A) 12cot20”"km D) 24tan20%km 
B) 12sen20"km E) 24sen20”km 
C) 12tan20”km 
Resolución 
 
d=24 km 
Como t=20 min == h 
=d=72.7=24 km 
Hallando “x”. 
x=24sen10*. sec20*.cos10* 
Ñ 12.2sen10?. cos 10? 
Pu cos 20? 
sen2D* : 
x=12.3 = x=12.tg20 
Rpta.: 12 tan20” km Rpta:
 
Pregunta 125. Tema: Ángulo doble 
Calcule el máximo valor de la siguiente expresión: 
Resolución 
 
EXAMEN 2019-11 
cos" x—sen*x-+Hsenxcosx 
a) 3 5 
B) 2 
Ey 2 
a £ 5 
4 
Pregunta 126 
Una baldosa de forma cuadrada ABCD es 
dividida para que sus partes sean pintadas de 
diferentes colores, de acuerdo con un cierto 
diseño. Para dividirla se consideran los trazos 
BD y AM, siendo M el punto medio de BC. Si 
AB = 40 cm, halle tan 6. 
B M E 
En el ax AOQ: 
Tang = 
K 
-Tan0=3 Rpta.:3 Ppta: 
Pregunta 127 
; ] d3S 
Six satisface la ecuación 
enx 
y senx-1=0, 
A) 3 
B) 2 
Resolución 
40 cm (537 /8 YO 
 
D) 4 
E) 2,5 
Cc) 15 
Razones trigonométricas 
B—_20cm M 20cmC€ 
 
 
determine el valor de y = Fsen2x. 
A) y2-1 D) -/2+1 
B) (-y2-1) E) yY2-2 
(42 -2) a == 
Resolución 
Ecuaciones trigonométricas 
Identidades trigonométricas del 
ángulo doble 
Del dato 
senx 
COSX 
—- Senx-1=0 
 
Senx — senxcosx — cosx=0 
SEnXx — COSX = SENXCOSX 
2senx cos Xx ] 
(senx — cosx) =| 3 
sen” 2x 
4 
4 — 4 sen2x = sen? 2x 
4 = sen“2x + 4 senZx 
8 = (sen2x+2)? 
2/2 - 2 = sen2x 
/2 —1= 7 sen2x 
1 — senZx = 
Piden y = 5 senZx 
vs. y=4Y2-1 Rpta: 
Pregunta 128 
Desde un punto P situado a 120 m del pie de 
un poste, se observa el punto más alto de este 
poste con un ángulo de elevación «, tal como 
se muestra en la figura. 
Si D< a<H y coso=seña= 2. calcule la 
distancia entre el punto P y el punto más alto 
del poste. 
poste 
P 
A) 80(47 -1)m 
B) 80(47 +1)m 
C) 40(47 -1)m 
D) 40(45 -1)m 
E) 40(247 -1)m 
Resolución 
Identidades trigonométricas 
Poste 
120m 
Del dato: 
cosa: - sena = 1/2 
2 
senta = (cosa +) 
2cos%a—cosa-$= 0 
 
1Éé_7 
(cosa =-7) 36 
_Y17+1 
cos a = 4 
Del gráfico 
cosa = com 
Rpta: 
-x=80(4/7 — 1)m ea a 
TRIGONOMETRÍA 
Pregunta 129 
En la figura, cot a. =2, tan P=0,6 y AB=10 m. 
Calcule AC. 
 
D 
a p A ñ Cc 
A) 48m 
B) 60m 
C) 50m 
D) 45m 
E) 54m
 
Resolución 
 
 
Razones trigonométricas D 
3K 
A a p | 
+— 10-—B—— 5K: ——1E. 
6K 
3K 
Dato: ctaa =2 A ta =0,6 = 3K 
Del gráfico: K= 10 
Piden: AC =6K=60 
Rpta.: 60 m Rpta: 
Pregunta 130 
La figura adjunta muestra una estructura 
metálica, donde AB es un arco de 
circunferencia con centro en el punto O. Si 
AD=DC=CE y DEJ/OB, calcule tan 6. 
 
A) co
| Lo 1 g302D1 83% 
Resolución 
Razones trigonométricas de ángulos notables 
 
Piden tan9= pe 2 (1) 
Por teorema de Pitágoras 
x24(21)2=(x+L)? 
412=12+2Lx 
_3 x==yL 
Reemplazando en (l) 
3, A tan0=> Rpta: 
Pregunta 131 
En la figura, PQ =10 m. Halle AB. 
 
 
A) 10 Y3 cos 24” m 4 
B) 10/3sen322m DJ) 10 Y3 cos 28" m 
C) 10/3co0s26%m E) 1043sen56”m 
Resolución 
Identidades trigonométricas del A. doble 
 
 
Del gráfico 
x=5 43 csc28”.sen56* 
x= 543 csc28".2sen28".cos28* 
+. x=1043 cos28* 
Rpta:
 
EXAMEN 2020-1 
PREGUNTA 53 
La figura representa una ventana. Hay una hoja 
limpiadora de 43 centímetros unida por un brazo 
de 12 centímetros al centro de la base de la ven- 
tana, como se ve en la figura. Si el brazo gira 
120?, calcule el área de la región barrida por la 
hoja limpiadora. 
 
 
 
 
 
A) 2881 an C) = l E? 
B) 2882 2 em? D) 2819 mm? 
3 
Resolución 
Tema: ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR 
Sabiendo que 
S: Área del sector circular 
R 
S OR? E O) 
z R 
 
e 
12 ema, O,-12 cm 
Sea x: Área del trapecio circular 
x=8 5 
COD" “AOB 
257 212 
tea 
x= 367- 122)cm? 
 
 
2881, 
x= Temrespuesta 
2881 Rpta: 
z rem? pr 
PREGUNTA 54 
La figura representa parte de un puente peatonal. 
A partir de la información de la figura, se desea 
saber la distancia que recorre una persona para 
caminar desde el punto C hasta el punto A pa- 
sando por B. 
 
 
seng9” i 
29:10 Cos14 sentis 
) 188% ies 
cos14*-sen15? 
seng89? 
O) 15 —————— 
) cos14”-sen15? 
pies 
seng9* 
D) 20 ———_—_—_ 
cos14*-sen15* 
pies 
 
Resolución 
Tema: RESOLUCIÓN 
RECTÁNGULOS 
DE TRIÁNGULOS 
Resolviendo los lados AB y BC en la figura 
 
 
Á B 
HL 20c0t28*? — 
co 1 5 * ——_— 
Observamos 
AB=20c0t15*”-20cot(28* n BC=20csc28* 
Piden 
AB+BC=20cot15*- 20co0t28* +20csc 28? 
= 20cot15* +20(c5c28* - coQ28”) 
e, e 
tan75* tanl4* 
= 20(tan75* +tan14?) 
Ml 20 seng9 ] 
cos75”-cosl4* 
seng9” , 
= O osa? senl5* pres 
Respuesta 
seng9” : 
Y s14s. senl5*? pies, 
Rpta: 0 
PREGUNTA 55 
Desde un punto Á situado en un plano que contie- 
ne a la base de la torre, se observan los puntos M 
y €, ubicados en la mitad de la altura y en la parte 
más alta de la torre, respectivamente, con ángu- 
los de elevación 0 y (0+a), respectivamente. Si 
la distancia de A hasta C es el doble que la altura 
de la torre, ¿qué valor toma tano? 
l 
A) 2 
C) e D) 
B) 
l
o
l
 
Resolución 
Tema: ÁNGULOS VERTICALES 
Convenientemente CM = 2k 
 
 
Notamos que en el triángulo rectángulo ABC 
BC _ 4 
AC 8k 2 
entonces mxc=60* 
luego en el triángulo rectángulo ADM 
tana. = Ky3 
Tk 
3 
tana = > 
Respuesta 
43 Rpta: a a 
PREGUNTA 48 
Dos cámaras de vigilancia ubicadas al ras de sue- 
lo, separadas por 48 m, observan simultáneamen- 
te la parte más alta de un poste de alumbrado con 
un ángulo de elevación de 30* una y 60? la otra. 
Si la base del poste está situada entre las dos cá- 
maras y en la misma línea recta que une a las dos 
cámaras, halle la altura del poste. 
A) 1143 m B) 1043 m 
C) 1243 m D) 1343 m
 
Sustentación 
Tema: TRIÁNGULOS NOTABLES 
G 
24 m 
30* 607 
A H B 
48 m 
 
Como AB = 48m > EC = 24 m 
Luego 
CH = 1243 m 
Respuesta 
1243 m Ep 
PREGUNTA 49 
La figura representa un bebedero para ganado 
ovino que tiene la forma de un prisma triangular 
de 4 metros de largo y sus secciones transversa- 
les son triángulos isósceles. Si los lados iguales 
miden 1/2 metro, halle el valor de € para que el 
bebedero que contenga 250 litros de agua. 
 
1 m 
2 
A) 30? B) 36? 
C) 45? D) 37* 
Sustentación 
Tema: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 
 
 
1 
—= senO(4 , (4) 
Resolviendo 
senó = A 
2 
8=30* 
Respuesta 
30? Epa: y 
PREGUNTA 50 
Una plancha metálica presenta una fisura y, 
para repararla, se necesita soldarle una peque- 
ña lámina triangular metálica cuyas medidas de 
dos de sus lados son 443 cm y 643 cm. Si el 
ángulo 6 comprendido entre estos lados es tal 
que A ¿cuánto mide el tercer lado de 
esta lámina triangular? 
A) 9 cm B) 11 cm 
C) 12 cm D) 843 cm 
Sustentación 
Tema: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLI- 
CUÁNGULOS 
 
443 cm 
E] 
643 cm 
 
Aplicando la ley de cosenos 
e = (4/3) + (643)? - 2(4/3)(643)c058 
Como 
cos = > 
Obtenemos x= 12 cm 
Respuesta 
12 cm Rpta: [M )
 
CLAVES DE TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
90 
 
1 CI CI O 
0 C IM C IC 
3|C|48|A4/|931/6B 
4 |A[49|C| 94 1B 
5 i|ci501A/195]E 
6J|A|SI|B| 96 |C 
TleEl521Aa 907 ]|c 
8/|D|53|D| 98 | E 
9lD|541A| 99 |A 
10|B|55|A|100|E 
milolsó6|c|101|6 
12|D0|/57/|6|102|6 
13|C|58]/ C|/103]| A 
14|E|59|E|104|E 
1i5|C/60/D|105]|E 
16|A|61|A|106|C 
17/|D|62/E|107]|8B 
18|D|63|cC 
19/B/64|A 
20/|C|65]|6B 
21|B|66|8 
22|A|67|C 
23|A|68|C 
24|E|69|B 
25|C 170] € 
26|E|71|A 
271 CI721 A 
28|B|73|E 
29|D|74]|E 
30|D|75|D 
31|E|76|A 
32|A|77l|€ 
33|e|78|c 
34|D|79|B 
35|E|80|8B 
36|EJ|81|A 
37|E|82|D 
38|B|83|A 
39|E|84|B 
40|D|85|6B 
41|D|86|6B 
42|E187|D 
43|C|88|B 
B A 
B B 
61