Ensayo Cpech 034 - Matemáticas (2016) (S) - Antonia Salinas

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SOLUCIONARIO 
ENSAYO MT- 034 
S
E
N
S
C
E
S
M
T
0
3
4
-A
1
6
V
1
 
 
1. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Aplicación 
 
Si x es la cantidad de monedas de $500, se tiene la ecuación: 
 
18 ∙ $50 + 12 ∙ $100 + x ∙ $500 = $5.100 
900 + 1.200 + 500x = 5.100 
500x = 5.100 – 2.100 
500x = 3.000 
x = 6 
 
Por lo tanto, Matías tiene 6 monedas de $500. Luego, si cambia todas las monedas de 
$100 por monedas de $50, la cantidad de monedas se duplicará, es decir, tendrá 
12 ∙ 2 = 24 monedas de $50. 
 
Finalmente, la cantidad de monedas totales que tiene Matías es: 18 + 24 + 6 = 48 
monedas. 
 
 
2. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
Al factorizar la expresión tanto en el numerador como en el denominador, se obtiene: 
)119(19
)119(91
4
4


, luego al simplificar por 491 y desarrollar el paréntesis queda 
10
9
20
18
 
 
 
3. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Aplicación 
 
El doble de las tres cuartas partes del quíntuple de los dos tercios de 30 es 
 
 
 
2 
 
∙ 
3 
∙ 5 ∙ 
2 
∙ 30 = 
 
 
 
 
4 
 
3 
 
 
 
 
15030
3
2
5
4
3
2  
 
 
4. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
Dado que M contiene todos los divisores de un número mayor que 1, entonces M tiene al 
menos a 1y al mismo número. Revisando cada alternativa: 
 
A) cuadrado perfecto. Verdadera, ya que M contiene a 1, y este es un cuadrado perfecto. 
B) dos elementos. Verdadera, ya que todo número mayor que 1 tiene al menos dos 
divisores, el 1 y sí mismo. 
C) un número par. Falsa, ya que todos los números impares no tienen divisores pares. 
D) un número primo. Verdadera, ya que todo número se puede descomponer en números 
primos. 
E) un número impar. Verdadera, ya que M contiene a 1, y este es un número impar. 
 
 
5. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
Sea x un número natural, 
 
 
x
x
xx
45
)41(4
44 1


 
 (factorizando por x4 ) 
 
Luego, 4 y 5 son factores de la expresión. Por ello, 2 (divisor de 4), 4 y 5 son divisores 
de la expresión, dado un valor de x perteneciente al conjunto de los naturales: 
 
I) Verdadera, ya que 2 es divisor de 4. 
 
II) Verdadera, ya que según lo anterior 4 es divisor de la expresión. 
 
III) Verdadera, ya que según lo anterior 5 es divisor de la expresión. 
 
Por lo tanto, la expresión  144  xx es siempre divisible por las tres afirmaciones. 
 
 
6. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
Sean 
 P: número par 
 I: número impar 
 
 
Se cumple que: 
 
 P + P = P P ∙ P = P 
 P + I = I P ∙ I = P 
 I + I = P I ∙ I = I 
 
Sea la situación inicial: 
 
 3a + 2b 
 
I) Sea a = I y b = 0, reemplazando en la situación inicial, se obtiene: 
 
3 ∙ I + 2 ∙ b 
 
 I + P 
 
 I 
 Luego, se obtiene un resultado impar. 
 
II) Sea a = P y b un número natural, reemplazando en la situación inicial, se obtiene: 
 
3 ∙ P + 2 ∙ b 
 
 P + P 
 
 P 
 
 Luego, se obtiene un resultado par. 
 
III) Sea a = 0 y b = I, reemplazando en la situación inicial, se obtiene: 
 
3 ∙ 0 + 2 ∙ I 
 
 P + P 
 
 P 
Luego, se obtiene un resultado par. 
 
Por lo tanto, solo en los casos II y III se obtiene un resultado par. 
 
 
7. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
(1) a > c. Con esta información no se puede determinar el orden de las fracciones 
establecidas, pues no sabemos si b es positivo o negativo, luego no es posible saber 
qué fracción es mayor. 
 
 
(2) a < b. Con esta información no se puede determinar el orden de las fracciones 
establecidas, pues no sabemos si b es positivo o negativo y tampoco podemos 
comparar los valores de a y c para determinar el orden. 
 
Con ambas información, no es posible establecer el orden entre las fracciones, pues solo 
podemos decir que b > a > c, pero no tenemos información respecto a si los valores son 
positivos o negativos. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 
 
 
8. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Comprensión 
 
I) Verdadera, ya que: 
 
log (abc) = log a + log b + log c (Propiedad del logaritmo de la multiplicación) 
 
II) Falsa, ya que el logaritmo solo está definido para argumentos positivos. 
Luego, como – a < 0, entonces log 1)( a está mal definido. 
 
III) Verdadera, ya que 2
2
log
log
log
log
log2
a
b
a
b
a
b

 
 
 Por lo tanto, las igualdades I y III son siempre verdaderas. 
 
 
9. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
Tenemos que mapm pa log , entonces 
 






















p
mm
a
ma
pmm
a
a
p
p
a
p
1
log
111
log
1
1
 
Reemplazando estos valores en la expresión ppp
m
m a
a
2
1
loglog 1 





 
 
 
 
 
 
 
10. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
    1433252 3333 bbbb (Factorizando en cada raíz) 
 
       13232 313133 bb (Resolviendo los paréntesis) 
 
       1332 4383 bb (Reescribiendo la potencia con exponente 
negativo como fracción) 
 
 
  



43
1
83
3
32
b
b (Multiplicando las fracciones) 
 
 
 



43
83
3
32
b
b
 (Propiedad: división de raíces es igual a raíz 
de la división) 
 
 
 



43
83
3
32
b
b
 (Dividiendo las potencias de igual base y 
simplificando) 
 
23 b 
 
 
11. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 








 
5
1052
 (Factorizando el numerador por 5 ) 
 








 
5
)22(5
 (Simplificando por 5 ) 
 
22  
 
Otra posibilidad para resolver es la siguiente: 
 








 
5
1052
 (Escribiendo como suma de fracciones) 
 
5
10
5
52
 (Simplificando por 5 ) 
 2 + 2 
 
 
12. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Se tiene que: 
80log130log 34  x , luego se establece la relación 
81log80log130log128log 3344  x , por lo que se tiene 
81log128log 34  x (Aplicando cambio de base) 
81log
128log
128log
3
4
2  x (Resolviendo los logaritmos) 
4
2
7
 x (Transformando la fracción a decimal) 
45,3  x 
 
Por lo tanto, x puede tomar cualquier valor entre 3,5 y 4, en particular el 3,7. 
 
 
13. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Se tiene que  
2
3
514  , entonces se puede establecer: 
 
2
2
2
3
514 






 (Resolviendo los paréntesis) 
  






4
9
570214 
  






4
9
70219 (Restando 19 a ambos lados de la igualdad) 
19
4
9
702  (Igualando denominador) 
4
769
702

 (Desarrollando) 
4
67
702

 (Dividiendo por – 2 a ambos lados) 
8
67
70


 (Transformando a decimal) 
375,870  (Redondeando a la décima) 
4,870  
 
14. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Númerosirracionales 
Habilidad ASE 
 
(1)  mp  es un número racional. Con esta información no es posible afirmar si la 
expresión 





 mp
p
representa un número racional, pues si amplificamos la expresión 
se obtiene (“racionalizando”): 
22
2
mp
pmp
mp
mp
mp
p












, pero como p y m son números irracionales, no se puede 
saber si 2p y 2m serán racionales o irracionales. 
 
(2) p es el doble de m. Con esta información sí es posible afirmar que la expresión 






 mp
p
representa un número racional, ya que se tiene la relación p = 2m, entonces: 

























 3
2
m3
m2
mm2
m2
mp
p
, que corresponde a un número racional. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Comprensión 
 
Sea biaz  un número complejo, con IRba , , luego su conjugado es biaz  , 
entonces al sumar ambos números se obtiene: 
azz
biabiazz
2
)()(


 
Como IRa , entonces la expresión obtenida siempre corresponde a un número real. 
 
 
16. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Aplicación 
 
Se desarrolla el producto, comenzando por el que está elevado a 2: 
i
i
i
iii
ii
ii
ii
iiii
iii
ii
341
3635
13635
3615125
)125()31(
)4129()31(
)14129()31(
)4669()31(
)23)(23()31(
)23()31(
2
2
2










 
 
17. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Aplicación 
 
Se tiene que iz 231  y iz 232  
 
I) Verdadera, porque al desarrollar la suma se obtiene: 
6
2233
)23()23(
21
21
21



zz
iizz
iizz
 
 
 
 
II) Falsa, pues el producto queda: 
13zz
49zz
149zz
i4i6i69zz
)i23()i23(zz
21
21
21
2
21
21





 
 
III) Falsa, porque al determinar el módulo de cada complejo se obtiene: 
1349)2()3( 221 z 
1349)2()3( 222 z 
Es decir, son iguales. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 
 
 
18. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad Comprensión 
 
El área de un cubo = 6∙ 2arista 
Si la arista es igual a (x + y), entonces, al reemplazar: 
 
Área del cubo = 6 ∙ 2y)(x  
 
 
19. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad ASE 
 
Como )3x(  es factor de cbxax 2  , entonces podemos decir que 
)qpx)(3x(cbxax 2  , para algún IRq,p  
 
I) Falsa, ya que si a = -3, se tiene que 
))(3(cbx3x- 2 qpxx  (Desarrollando el producto) 
qpxqx 33pxcbx3x- 22  (Factorizando por x) 
qxxq 3)3(pxcbx3x- 22  (Igualando los términos semejantes de 
la igualdad) 









qc
qb
p
3
3
3
 
De las últimas dos igualdades se observa que los valores de b y c no son siempre 
iguales. 
 
II) Verdadera, pues si (x + 2) es el otro factor entonces quedaría 
 
)2)(3(cbxax 2  xx (Desarrollando el producto) 
6cbxax 22  xx (Igualando los términos semejantes de 
la igualdad) 









6
1
1
c
b
a
 
 
III) Falsa, porque si a = 2, b = 1 y c = -15, al reemplazar los valores en la expresión 
queda 
15-x2x-151x2x 22  (Factorizando) 
)52)(3(152x 2  xxx 
Obteniéndose así que el otro factor es (2x + 5) 
 
Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera. 
 
 
20. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad ASE 
 
Si despejamos x de la ecuación, se obtiene: 
7
5bx
3ax



 (Multiplicando por (bx – 5) a ambos lados de 
la igualdad) 
)5bx(73ax  (Multiplicando por el paréntesis) 
35bx73ax  (Restando 7bx y 3 a ambos lados de la 
igualdad) 
335bx7ax  (Factorizando por x) 
38)b7a(x  (Dividiendo por (a – 7b) a ambos lados) 
b7a
38
x


 (Amplificando por – 1) 
ab7
38
x

 
 
I) Verdadera, ya que si a = 2b, al reemplazar el la expresión obtenida, queda: 
b5
38
b2b7
38
x 

 
 
 
 
 
II) Falsa, ya que si a = 
2
b
, reemplazando: 
bbbbbbb
b
x
13
76
13
2
1
3813
38
2
13
38
2
14
38
2
7
38




 
 
III) Verdadera, porque si a = b, al reemplazar en la expresión y simplificar, queda: 
 
bbbb
x
3
19
6
38
7
38


 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 
 
 
21. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad Aplicación 
 
Si el niño obtuvo C caras y S sellos, entonces: 
 
Como lanzón la moneda 24 veces, entonces se puede plantear C + S = 24. 
 
Como cada cara suma dos puntos y cada sello suma tres puntos, y obtuvo un total de 55 
puntos, entonces se puede plantear 2C + 3S = 55. 
 
Luego, al resolver el sistema por sustitución resulta: 
C + S = 24  C = 24 – S 
2C + 3S = 55  2(24 – S) + 3S = 55 (Desarrollando) 
 48 – 2S + 3S = 55 
 S = 55 – 48 
 S = 7 
 
Por lo tanto, obtuvo 7 veces sello en la moneda. 
 
 
22. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad ASE 
 
I) Verdadera, ya que si b = – 2a, entonces: 
c
a
c
a2a
r



 
 
II) Verdadera, pues si 3a = c, al reemplazar y simplificar, queda 
a3
b
3
1
a3
b
a3
a
a3
ba
r 

 
 
III) Falsa, pues si a = b = – c, entonces 
2
a
a2
a
aa
r 




 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 
 
 
23. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Aplicación 
 
036x12x2  (Factorizando) 
 
(x + 6) (x + 6) = 0 
 
Los valores de x para que ambos factores sean cero, son – 6 y – 6. Por lo tanto, las dos 
raíces son negativas e iguales. 
 
 
24. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
La ecuación 0qpx3x 2  , tiene raíces reales iguales si su discriminante es igual a 
cero. Luego, el discriminante es q4p9q14)p3( 22  
(1) 
2
2
p3
q 





 . Con esta información sí se puede determinar si las raíces de la ecuación 
son reales e iguales, pues al reemplazar esta relación en la expresión obtenida 
anteriormente, queda 
2
2
2
p3
4p9 





 , (Desarrollando el cuadrado) 
22 p
4
9
4p9  (Multiplicando) 
22 p9p9  (Restando) 
0 
Por lo que, como el discriminante es cero y eso quiere decir que las raíces son reales e 
iguales. 
 
 
 
(2) q = 4p + 1 y p = 11 – q. Con esta información sí es posible determinar si las raíces 
de la ecuación son reales e iguales, pues nos quedarían el sistema 
q – 4p = 1 
q + p = 11 
Al resolver el sistema (restando ambas ecuaciones) se obtiene que 
5p = 10, 
p = 2 
 q = 9 
Luego, al reemplazar estos valores en el discriminante queda 094)2(9 2  . 
Por lo que, como el discriminante es cero y eso quiere decir que las raíces son reales e 
iguales. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
 
 
25. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Comprensión 
 
Los números que se encuentran a lo menos a 5 unidades de 9 son los que pertenecen al 
intervalo ]59,]  U [,59[  , que equivale a ]4,]  U [,14[  . Por otro lado, los 
números que se encuentran a lo más a 12 unidades de 9 pertenecen al intervalo 
]129,129[  = ]21,3[ . Al intersectar ambos intervalos se obtiene 
( ]4,]  U [,14[  ) ∩ ( ]21,3[ ) = [– 3, 4] U [14, 21] 
 
 
26. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y funciónpotencia 
Habilidad Aplicación 
 
Se resuelven las inecuaciones por separado. 
 
La primera inecuación: 
4
3
25
4
7
 x
x
 (Sumando las fracciones) 
4
38
4
207 

 xx
 (Multiplicando por 4 a ambos lados) 
38207  xx (Despejando x) 
x23 
 
La segunda inecuación: 
)3(29  x (Multiplicando por el paréntesis) 
629  x (Restando 6 a ambos lados) 
x23  (Dividiendo por 2) 
x
2
3
 
La solución corresponde a la intersección de ambos intervalos: 
[,23[  ∩ [,
2
3
[  = [,23[  
 
 
27. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función 
Habilidad Aplicación 
 
7 – 3x > 10 – 6x (Despejando x) 
6x – 3x > 10 – 7 (Resolviendo) 
3x > 3 (Dividiendo por 3) 
x > 1 
 
Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es]1, + ∞[ . 
 
 
28. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Función afín y función lineal 
Habilidad Comprensión 
 
Según la gráfica, la recta intersecta al eje X en 1 y al eje Y en – 3. Por lo tanto, debido a la 
inclinación de esta, su pendiente es positiva y su coeficiente de posición es – 3. Luego, la única 
alternativa que cumple con estas condiciones es la C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Teoría de funciones 
Habilidad ASE 
 
I) Verdadera, porque si a = 
7
2
, entonces: 
3))2((
12))2((
17
7
2
))2((
)7())2((
)34())2((
)322())2((






fg
fg
fg
gfg
gfg
gfg
 
 
II) Verdadera, ya que si f(g(7)) = 19, entonces: 
1
1414
19514
193214
193)17(2)17(
19)17(
19)17())7((







a
a
a
a
aaf
af
afgf
 
III) Falsa, pues si a = 0, entonces 
5312)1()10()120())2((  fffgf 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 
 
 
30. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Función afín y función lineal 
Habilidad ASE 
 
Si por cada 5 cucharadas de polvos de hornear (llamaremos a la variable p) se agregan 3 
cucharadas de harina (la llamaremos h), 
entonces se puede establecer la proporción 
3
5

h
p
 
 
I) Verdadera, porque al agregar A cucharadas de harina, la proporción recién 
establecida queda 
3
5

A
p
, despejando p queda 
3
5A
p  . 
II) Falsa, ya que si de la proporción 
3
5

h
p
, se despeja la variable polvos de hornear 
(p), queda hp
3
5
 , por lo que p en función de h es xxf
3
5
)(  , con x la cantidad 
de cucharadas de harina. 
 
III) Falsa, pues si se agregan 4 cucharadas de harina (h = 4), al reemplazar en la 
proporción queda 
3
5
4

p
. Al despejar la cantidad de cucharadas de polvo de 
hornear se obtiene 6
3
20
3
5
4 p 
 
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 
 
 
31. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Aplicación 
 
x
x
615125
25

 = 1 (Expresando 25 y 125 como potencias de 5) 
 
 
x
x
613
2
55
5

 = 1 (Aplicando propiedad: potencia de potencia) 
 
x
x
613
2
55
5

 = 1 (Aplicando: multiplicación de potencias de igual base) 
 
x
x
64
2
5
5

 = 1 (Aplicando: división de potencias de igual base) 
 
485 x = 1 (Expresando 1 = 05 ) 
 
485 x = 05 (Igualando exponentes) 
 
8x – 4 = 0 (Despejando 8x) 
 
8x = 4 (Despejando x) 
 
x = 
2
1
8
4
 
 
 
 
 
 
 
32. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Comprensión 
 
De la gráfica podemos observar que la imagen de x = 3 es – 1. Luego, la alternativa en 
que esta igualdad está mejor representada es en la E. 
1
2
1
log)2(log)13(log)3(k
1
2
1
2
1
2
1 







. 
 
 
33. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad ASE 
 
(1) m < 0. Con esta información, se puede determinar el dominio de la función real g(x), 
ya que se necesita que mx sea mayor o igual que 0. Entonces, si m es negativo 
significa que x debe ser menor o igual que 0, es decir, Dom g = ]– ∞, 0]. 
 
(2) d = 2. Con esta información, no se puede determinar el dominio de la función real 
g(x), ya que no es posible establecer la restricción para la cantidad subradical. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 
 
 
34. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, ya que al reemplazar (1 – a) en la función resulta 
p(1 – a) = 1 – (1 – a)² = 1 – (1 – 2a + a²) = (1 – 1 + 2a – a²) = (2a – a²). 
 
II) Falsa, ya que al reemplazar 3a en la función resulta 1 – (3a)² = (1 – 9a²). En 
cambio, 9 · p(a) = 9 · (1 – a²) = (9 – 9a²). 
 
III) Verdadera, ya que al reemplazar a–1 en la función resulta 
p(a
–1
) = 
2
2
2
221
a
1a
a
1
1)a1()(a1







  . 
Por otro lado, 
2
2
2
2
2 a
1a
a
)a(1
a
p(a) 




. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera. 
 
 
 
 
35. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Comprensión 
 
Para determinar el capital acumulado con una tasa de interés compuesto: 
 
C = K ∙  ni%1 
Donde: 
 
C: Capital acumulado 
 K: Capital inicial 
 i: tasa de interés (%) 
 n: número de períodos considerados 
 
En este caso: 
 
 K = $ m 
 i = i 
 n = 4t 
 
Se cumple que n = 4t. Como el período es trimestral, en cada año hay cuatro períodos, y 
en t años, habrá 4t períodos. 
Reemplazando los valores en la fórmula de interés compuesto, obtenemos: 
C = m ∙ 
4t
100
i
1 





 
Por lo tanto el capital acumulado al cabo de t años es igual a m ∙ 
4t
100
i
1 





 
 
 
36. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
El gráfico de una función es una parábola si el exponente de la función es par. 
 
I) Falsa, ya que si f(2) = 9, entonces 
f(2) = 2
a
 + 1 = 9 
 2
a
 = 8 
 a = 3 
Luego, la gráfica de la función no es una parábola. 
 
II) Verdadera, ya que si f(2) = 5, entonces 
f(2) = 2
a
 + 1 = 5 
 2
a
 = 4 
 a = 2 
Luego, la gráfica de la función es una parábola. 
 
III) Verdadera, ya que si f(2) = 17, entonces 
f(2) = 2
a
 + 1 = 17 
 2
a
 = 16 
 a = 4 
Luego, la gráfica de la función es una parábola. 
 
Por lo tanto, las afirmaciones II y III son verdaderas. 
 
 
37. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
Como los puntos R y S son simétricos con respecto a la recta L, entonces la distancia 
entre el punto R y la recta L debe ser igual a la distancia entre la recta L y el punto S. 
Dicha distancia es horizontal y su medida es (p – (– 1)) = (p + 1), como indica la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces, si se agrega esa distancia a la derecha de la recta L, resulta 
(p + (p + 1)) = (2p + 1), que corresponde a la abscisa (coordenada x) del punto S. 
 
Por lo tanto, la abscisa del punto S siempre se puede expresar como (2p + 1). 
 
 
38. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
Primero se traslada el punto R(1, – 3) al origen para realizar la rotación. Para ello, se 
traslada según el vector T(– 1, 3). Se aplica este vector a Q(– 1, 2), obteniéndose el punto 
Q’(– 2, 5). Luego se aplica la rotación en 90° al nuevo punto, obteniéndose el punto 
Q’’(– 5, – 2). 
Finalmente se aplica una traslación según el vector – T = (1, – 3), obteniéndose el punto 
Q’’’(– 4, – 5). 
 
– 1 x
y
p
L
• •
R S
p + 1 p + 1
2p + 1
39. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
Una rotación negativa de 90° es igual a una rotación positivade 270°. O sea, si a un 
punto (x, y) se le aplica una rotación negativa de 90° en torno al origen, resulta el punto 
(y, – x). 
 
Entonces, si al un punto (2, 3) se le aplica una rotación negativa de 90° en torno al origen, 
resulta el punto (3, – 2). 
 
Si luego se le aplica una traslación cuyo vector es T(– 1, 6) resulta 
(3, – 2) + (– 1, 6) = (3 + (– 1), (– 2) + 6) = (2, 4) 
 
Por lo tanto, el nuevo punto es (2, 4). 
 
 
40. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
Según las indicaciones del enunciado, el dibujo puede quedar de esta forma, para un 
mejor análisis 
 
 
 
 
 
 
 
Luego, es más claro observar que la única pareja de triángulos congruentes son QSC y 
BSP, ya que se tiene 
QBPBQC  (por ser ángulos entre paralelas) 
PBQC  (por ser lados opuestos del rectángulo QCBP) 
BPCQCP  (por ser ángulos entre paralelas) 
Siendo los triángulos QSC y BSP congruentes por criterio ALA. 
 
 
 
D Q C 
 
 
 
 R S 
 
 
 
A P B 
41. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
)5,1()p3,1(
)5,1()p3,12(
)5,1()p,1()3,2(ba



 
Igualando las segundas coordenadas, queda 
2
2
53



p
p
p
 
 
 
42. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad ASE 
 
I) Verdadera, ya que al girar en 90° M respecto a P, se realizan los siguientes pasos: 
Se traslada el punto P(2a, a) al origen según el vector T(– 2a, – a). 
Se aplica el vector T a M(a, 2a), obteniéndose M’(– a, a) 
Se gira M’ respecto al origen en 90°, quedando M’’(– a, – a) 
Se traslada el punto M’’ según el vector – T = (2a, a), quedando M’’’(a, 0) 
 
II) Falsa, pues el simétrico de P respecto a M corresponde a una rotación en 180° de 
P respecto a M. Para ello se realiza el siguiente procedimiento: 
Se traslada el punto M(a, 2a) al origen según el vector T(– a, – 2a). 
Se aplica el vector T a P(2a, a), obteniéndose P’(a, – a) 
Se gira P’ respecto al origen en 180°, quedando P’’(– a, a) 
Se traslada el punto P’’ según el vector – T = (a, 2a), quedando M’’’(0,3a) 
 
III) Verdadera, pues el vector de traslación desde M a P corresponde a la diferencia 
P(2a, a) – M(a, 2a) = T(a, – a) 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 
 
 
43. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Comprensión 
 
Un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende. O sea, 
como el  ABC mide 80°, entonces el arco AC mide 160°. 
 
 
44. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Comprensión 
 
Se puede utilizar el teorema de Thales, obteniéndose: 
ka
a
x
b
 (Simplificando por a) 
k
1
x
b
 (Despejando x) 
kbx  
Por otro lado, también se tiene que: 
c
b
y
x
 (Reemplazando el valor obtenido de x) 
c
b
y
kb
 (Despejando y) 
b
c
kby  (Simplificando por b) 
kcy  
I) Falsa, porque x + y = kb + kc = k(b + c) 
II) Falsa, porque 
c
b
kc
kb
y
x
 
III) Falsa, porque bckkckbyx 2 
 
Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre verdadera. 
 
 
45. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
Se tiene que: 
 
 QPRCBA 
 60RQPBCA (Triángulo TQC es equilátero) 
Por lo tanto, por el criterio AA, se tiene que RPQ~ABC  . Entonces, se tiene la 
siguiente proporción: 
cm
3
17
AT
3
20
1AT
3
5
4
1AT
PQ
BC
RQ
TCAT
PQ
BC
RQ
AC







 
 
46. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Según el teorema de la secante con la tangente, en este caso se cumple que 
2
FMGMHM  . Luego, reemplazando los valores conocidos: 
 
8 · GM = 10²  GM = 
8
100
 = 12,5 cm  GH = (GM – HM) = (12,5 – 8) = 4,5 cm 
Por lo tanto, la medida de GH es 4,5 cm. 
 
 
47. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Aplicación 
 
Como PQ es tangente en T a la circunferencia de centro O, entonces PQ  TO . Dado 
que además PQ // RO , entonces TO  RO , lo que significa que el arco TR mide 90º. 
 
Si  ROB = 50º, entonces el arco RB también mide 50º. Como AB es diámetro de la 
circunferencia, entonces: 
Arco AT + Arco TR + Arco RB = 180º  Arco AT = (180º – 90º – 50º) = 40º 
 
Por lo tanto, la medida del arco AT es 40º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
48. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
Considerando las relaciones métricas en un triángulo rectángulo y sabiendo que 
 60CAD , tenemos que si AC = a , entonces AD =
2
a
y que DC=
2
3a
 
Asimismo, en el triángulo BDC se tiene que  90CBD y como DC=
2
3a
, entonces, 
por las relaciones métricas BC = 
4
3a
y DB = 
4
3a
. 
Por otro lado, en el triángulo ABD se tiene que  90DBA y como AD=
2
a
, entonces, 
por las relaciones métricas AB = 
4
a
. 
I) Verdadera, pues BC : AB = 
4
3a
: 
4
a
= 3 
II) Verdadera, porque DC : AD = 
2
3a
: 
2
a
= 3 
III) Falsa, ya que AC : DB = a : 
4
3a
=
3
34
 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son siempre verdaderas. 
 
 
49. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
Podemos ver que PR = (x – y) + (x + y) = 2x 
(1) y = 3. Con esta información no es posible determinar la medida de PR , pues 
necesitamos saber el valor de x. 
(2) 
2
1

QR
PQ
. Con esta información no es posible determinar la medida de PR , 
porque solo se puede establecer que 
2
1



yx
yx
, lo que nos indica que 
2(x – y) = (x + y) 
2x – 2y = x + y 
x = 3y 
 
Con ambas informaciones es posible determinar la medida de PR , pues si 
2
1

QR
PQ
, 
sabemos que x = 3y, y si y = 3, entonces x = 9, por lo que se determina que PR = 18. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2). 
 
 
50. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Comprensión 
 
Al despejar la ecuación principal de L resulta: 
px + qy + pq = 0  qy = – px – pq  y = px
q
p
q
pqpx




. Luego: 
 
I) Falsa, ya que para ser paralelas deberían tener la misma pendiente, y no es así ya 
que tienen el signo contrario. 
 
II) Verdadera, ya que para ser paralelas el producto de sus pendientes debe ser – 1, y 
en este caso 
p
q
q
p


 = – 1. 
 
III) Verdadera, ya que la intersección con el eje X se puede determinar haciendo y = 
0. En este caso: px + q·0 + pq = 0  px + pq = 0  px = – pq  
 x = 
p
pq
 = – q 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son siempre verdaderas. 
 
 
51. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se determina por la 
relación 
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy





. Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos 
(– 1, 2p) y (3, – 2p) se determina como: 
 
1)(3
2p2p
1)(x
2py





 
 
4
4p
1x
2py 



 
 
1x
2py


 = – p 
 y – 2p = – px – p 
 y = – px – p + 2p 
 y = – px + p 
 
Entonces, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (– 1, 2p) y (3, – 2p) es 
y = – px + p 
 
 
52. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
Sea x la medida del segmento OA. Luego, por razón de homotecia se tiene: 
5,2
x
x12
OA
OP


 
x5,2x12  (Restando x a ambos lados) 
x5,112  (Dividendo a ambos lados por 1,5) 
x8  
 
 
53. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
Sea O: origen del plano cartesiano y T el punto deintersección entre el eje X y la simetral 
trazada por Q formando el triángulo rectángulo PQT. 
Además, se tiene que  90QPS (por ser ángulo del rectángulo PQRS) y que 
 90POS (intersección de ejes coordenados), entonces: 
 
PQTSPO  
TPQPSO  
Luego, por el criterio AA, QTP~POS  , por lo que: 
4
9
3
3
4



PT
PT
PT
TQ
OS
OP
 
Luego, por simetría, la distancia horizontal entre el punto P y el punto T, es equivalente a 
la distancia entre el punto O y el punto R, es decir, R está a 
4
9
unidades del eje de las 
ordenadas, por lo que, su abscisa es 
4
9
. 
 
 
54. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
Expresando la ecuación de la recta L1 de forma principal, se tiene que 
2
q
x
2
p
y 

 , con 
pendiente 




 
2
p
 y coeficiente de posición 




 
2
q
. 
Expresando la ecuación de la recta L2 de forma principal, se tiene que 
3
10
x2y  , con 
pendiente (– 2) y coeficiente de posición 




 
3
10
. 
Para que L1 y L2 sean rectas secantes, es decir, se corten en un solo punto en el plano, 
debe cumplirse que sus pendientes sean distintas. Luego: 
 
(1) 
3
20
q  . Con esta información y la del enunciado, no se puede afirmar que L1 y L2 se 
intersectan en un solo punto, ya que no se tiene información acerca de sus 
pendientes. 
 
(2) 4p  . Con esta información y la del enunciado, se puede afirmar que L1 y L2 se 
intersectan en un solo punto, ya que las pendientes de ambas rectas deben ser 
distintas, entonces 4p4p2
2
p


. 
 
Por lo tanto, la respuesta correcta es: (2) por sí sola. 
 
 
 
 
 
 
55. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad Comprensión 
 
La arista de un poliedro corresponde a la intersección de dos caras, y un prisma recto 
corresponde a un poliedro que tiene dos caras basales poligonales paralelas y 
congruentes, cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. 
 
Si la base de un prisma recto tiene N lados, entonces el prisma tiene (N + 2) caras, 3N 
aristas y 2N vértices. Luego, si el prisma tiene 10 caras en total, significa que su base 
tiene 8 lados, y que el prisma tiene 24 aristas y 16 vértices. 
 
Por lo tanto, el prisma tiene 24 aristas en total. 
 
 
56. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
La ecuación vectorial de una recta en el espacio viene dada por (x, y, z) = A + t ∙ (B – A), 
donde A y B representan dos puntos de la recta y t un valor real. Considerando A(1, 0, 2) 
y B(0, 2, 1), la ecuación vectorial de la recta viene dada por: 
 
(x, y, z) = (1, 0, 2) + t (0 – 1, 2 – 0, 1 – 2) = (1, 0, 2) + t ( – 1, 2, – 1) 
 
También es posible expresar esta recta en su forma paramétrica: 
 
tx 1 ty 2 tz  2 
 
Como la recta pasa por el plano XY, implica que la coordenada en z del punto de 
intersección es cero. Luego, es posible encontrar el valor de t a partir de la ecuación 
paramétrica de z. 
 
2202  tttz 
 
Con ello, la recta corta al plano XY cuando t = 2, entonces: 
 
(x, y, z) = (1, 0, 2) + 2 ( – 1, 2, – 1) = (1, 0, 2) + ( – 2, 4, – 2) = ( – 1, 4, 0) 
 
Por lo tanto, la recta corta al plano XY en el punto (– 1, 4, 0). 
 
 
 
 
 
 
57. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
La medida de un segmento la podemos determinar mediante la fórmula de la distancia 
entre dos puntos en el espacio: 
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd  
 
Luego, la distancia entre los puntos R y S es: 
26
1169
)1()4()3(
)54()31()21(
222
222




RS
RS
RS
RS
d
d
d
d
 
 
 
58. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad ASE 
 
El volumen de un cono se calcula como 
3
1
Área base · altura. La altura del líquido mide 
4 cm y el radio se puede obtener tomando en cuenta que ambos conos son figuras 
semejantes, aplicando la proporción 
envase altura
líquido altura
envase diámetro
líquido diámetro
 . 
Reemplazando y despejando: 
6
4
9
líquido diámetro
  diámetro líquido = 
6
94 
 = 6. 
 
Luego, el radio del líquido mide 3 cm, por lo cual su área mide π·3² = 9π cm². 
 
Por lo tanto, el volumen del líquido es 
3
1
 9π·4 = 12π cm³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Al completar los datos de la tabla obtenemos los siguientes valores: 
 
Cantidad de dólares Frecuencia Frecuencia 
acumulada 
[250, 350[ 8 8 
[350, 450[ 21 29 
[450, 550[ 29 58 
[550, 650[ 50 108 
[650, 750] 12 120 
 
A) Verdadera, ya que la marca de clase se obtiene como el promedio de los extremos del 
intervalo. Luego, la marca de clase del cuarto intervalo [550, 650[ es igual a 600. 
B) Verdadera, ya que la frecuencia relativa porcentual del segundo intervalo se obtiene 
como %100·
total
f
. Reemplazando: %5,17%100·
120
21
%100· 
total
f
. 
C) Falsa, ya que la mediana será el primer dato cuya frecuencia acumulada sea mayor o 
igual a la(s) posición(es) de la mediana. Luego, como la muestra tiene 120 datos, 
entonces 60
2
120
i , la posición central corresponde a los datos de posición 60 y 61, 
siendo la frecuencia acumulada de la cuarta fila (108) la primera que es mayor o igual 
que las posiciones de la mediana (60 y 61). Luego, la mediana de la muestra se 
encuentra en el intervalo [550, 650[. 
D) Verdadera, ya que la frecuencia absoluta mayor corresponde al intervalo [550, 650[. 
E) Verdadera. 
 
 
60. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
En este caso, como no se conoce el tamaño de la población ni los elementos restantes que 
la componen, entonces no es posible determinar el valor de m a partir del promedio de la 
población ni de los elementos de la muestra. Por lo tanto, no se puede determinar el valor 
de m. 
 
 
 
 
 
61. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
I) Verdadera, ya que corresponde al intervalo que tiene la mayor frecuencia (20). 
 
II) Falsa, ya que la muestra tiene (4 + 7 + 14 + 20 + 15) = 60 datos, por lo cual la 
mediana corresponde al promedio entre el dato en la posición 30 y el dato en la 
posición 31. Si se calcula la frecuencia acumulada, hasta el intervalo  140,120 
hay (4 + 7) = 11 datos, y hasta el intervalo  160,140 hay (4 + 7 + 14) = 25 datos. 
Luego, los datos del intervalo  160,140 ocupan desde la posición 12 hasta la 
posición 25, por lo cual el dato en la posición 30 y el dato en la posición 31 NO se 
encuentran en dicho intervalo. 
 
III) Verdadera, ya que la suma de las frecuencias es (4 + 7 + 14 + 20 + 15) = 60 datos. 
 
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas. 
 
 
62. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
Organizando la información del gráfico en una tabla, se tiene 
 
Luego: 
 
I) Falsa, ya que considerando solo a las mujeres, el primer cuartil corresponde al 
dato: 000.2
4
1
000.8  , el que se encuentra en el intervalo de 36 a 51 años. 
 
II) Verdadera, ya que considerando solo a los hombres, el primer cuartil corresponde 
al dato: 000.2
4
1
000.8  , el que se encuentra en el intervalo de 20 a 35 años. 
 
III) Falsa, ya que considerando a todas las personas de la empresa, el tercer quintil 
corresponde al dato: 600.9
5
3
000.16  , el que se encuentra en el intervalo de 52 o 
más años. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera. 
Edad Mujeres Hombres Total Acumulado total 
20 a 35 1.500 2.500 4.000 4.000 
36 a 51 3.500 2.000 5.500 9.500 
52 o más 3.000 3.500 6.500 16.000 
Total 8.000 8.000 16.000 
63. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
La cantidadde jugadores se puede determinar sumando las frecuencias absolutas, 
quedando: 
yxyxxyxyx 25)2()()2()()(  
Por lo que es necesario, conocer los valores de x e y. 
 
(1) La frecuencia del intervalo modal es 10. Con esta información no es posible 
determinar el valor de x e y, pues solo podemos saber que el intervalo modal es el 
tercero, pues la frecuencia 2x es la mayor (ya que x > y), con lo que 2x = 10, entonces 
x = 5. 
(2) El intervalo con la menor cantidad de jugadores tiene frecuencia 2. Con esta 
información no es posible determinar el valor de x e y, pues solo podemos saber que 
el primer intervalo, de menor valor (porque x > y, ambos mayores que 1), tiene 
frecuencia 2, es decir, x – y = 2 
 
Con ambas informaciones, sí es posible encontrar los valores de x e y, pues de la primera 
información sabemos que x = 5, y de la segunda información sabemos que x – y = 2, 
reemplazando el valor de x, queda 5 – y = 2, obteniendo el valor de y. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 
 
 
64. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
El promedio mensual se puede calcular mediante la suma de los productos entre el 
promedio de consumo de helado mensual (columna “Promedio”) y la cantidad de 
personas asociada a esa cantidad (columna “número de encuestados”). Luego, se divide 
ese total entre el total de encuestados, que corresponde a la suma de las frecuencias 
absolutas (columna “Número de encuestados”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
I) Verdadera, ya que el rango de las notas del primer semestre es (7 – 2,5) = 4,5 y las 
notas del segundo semestre tiene un rango de (5,3 – 4,7) = 0,6. Como en el primer 
semestre hay un rango mayor, entonces podemos decir que esas notas son más 
dispersas. 
II) Verdadera, ya que la desviación estándar se relaciona con la dispersión de los 
datos, y como las notas en el primer semestre son más dispersas, entonces la 
desviación estándar es mayor que en las notas del primer semestre. 
III) Verdadera, ya que el rango de la notas del primer semestre tienen un rango de 4,5 
y en el segundo semestre es de 0,6, siendo este último menor. 
 
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 
 
 
66. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
El conjunto queda definido por  13,11,7,5A 
Luego, el promedio entre los elementos es: x = 9
4
36
4
131175


 
 
Entonces la varianza se determina de la siguiente manera: 
 
10
4
40
4
164416
4
)4()2()2()4(
4
)913()911()97()95( 222222222 






 
 
67. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
De acuerdo a la tabla, 3 estudiantes obtuvieron un 3, 3 estudiantes un 4 y 3 estudiantes un 
5. Luego, la media aritmética es: 
 
x = 4
9
36
9
534333


 
 
Entonces la desviación estándar se determina de la siguiente manera: 
 
3
2
9
6
9
303
9
3)1(3)0(3)1(
9
3)45(3)44(3)43( 222222







 
 
68. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
A) No se puede afirmar, pues no se puede saber con exactitud si Juan sacará más tarjetas 
con la letra A que Camila. 
B) No se puede afirmar, ya que si bien la probabilidad es baja, no sabemos con certeza si 
pueda ocurrir o no. 
C) No se puede afirmar, porque dado que Camila tiene, en proporción, menos tarjetas 
con la letra A que Juan, en teoría, éste debería sacar más tarjetas con la letra A. 
D) No se puede afirmar, pues las proporciones en que Juan y Camila tienen sus tarjetas 
son distintas, luego en teoría no sacarán la misma cantidad de veces las tarjetas con la 
letra A o B. 
E) Sí se puede afirmar, ya que en teoría Juan extraería una tarjeta con la letra A 
5
3
de las 
20.000 veces, es decir, 12.000 veces; mientras que Camila sacaría, en teoría, la letra 
A 
5
2
de sus 20.000 extracciones, es decir, 8.000 veces. Si sumamos 12.000 + 8.000 = 
20.000. 
 
 
69. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Se pide una vida útil superior a 1040 horas, luego se calcula la probabilidad )1040( XP 
 
Por otro lado, si X es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal, con 
media μ = 1000 y desviación estándar σ= 20. Para transformar la variable aleatoria X en 
una variable aleatoria Z de distribución normal tipificada, se realiza de acuerdo a la 
siguiente expresión: Z = 
σ
μX 
, Luego si se quiere conocer el valor de Z cuando X = 
1040, entonces: 
2
20
40
20
00011040
1040 

Z 
 
Entonces, )1040(1)1040(  XPXP 
 
)2(1  ZP (de la tabla de probabilidades estándar 
para distribución normal) 
 
%3,2
%7,971


 
 
 
70. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
Como se tienen n elementos que se pueden repetir y es importante el orden en el que se 
extraen, se trata de una variación con repetición. Como la extracción se realiza p veces, 
entonces, las palabras, con o sin sentido, que se pueden formar viene dado por n
p
. 
 
También es posible llegar a esta solución mediante el principio multiplicativo. Se tienen 
n valores para cada una de las p posiciones que puede tomar cada letra. Luego, la 
cantidad de palabras distintas que se pueden formar, con o sin sentido, viene dada por 
nnnn  , p veces, lo que expresado como potencia es n
p
. 
 
 
71. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Al introducir todas las bolitas a una caja quedan 7 bolitas con vocales y 12 bolitas con 
consonantes, dando un total de 19 bolitas. 
I) Verdadero, ya que la probabilidad de obtener una vocal es 
19
7
, mientras que la de 
obtener una consonante es 
19
12
. 
II) Verdadero, ya que la mayor probabilidad corresponde a la letra que esté más 
veces entre las bolitas de la caja, la cual corresponde a la letra C que está 3 veces. 
III) Falso, ya que no todas las vocales están en igual cantidad en las bolitas. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
72. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
El espacio muestral al lanzar tres monedas es: {(CCC) (CCS) (CSC) (CSS) (SSS) (SSC) 
(SCS) (SCC)}. Si la variable aleatoria toma el valor 2, significa que se obtuvieron 2 caras 
en el experimento. Los elementos del espacio muestral que cumplen con esta condición 
son 3: (CCS) (CSC) (SCC). 
 
 
73. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
El experimento consiste en extraer dos bolitas, sin reposición, por lo que la suma mínima 
corresponde a extraer las dos bolitas con los menores valores {1 y 2} y sumarlos, dando 
3. Para el caso del valor máximo, se obtiene con las bolitas de mayor valor {15 y 14}, al 
sumarlos se obtiene 29. Luego, los valores mínimo y máximo son respectivamente 3 y 29. 
 
 
74. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Si una pregunta tiene tres alternativas y se escoge una al azar, la probabilidad de que esté 
correcta es 
3
1
 y la probabilidad de que esté incorrecta es 
3
2
. 
Al plantear el caso de que se contestan dos de esas preguntas al azar, el evento de que 
solo una de ellas esté correcta corresponde a que la primera que se conteste esté correcta 
y la segunda incorrecta, o bien que la primera que se conteste esté incorrecta y la segunda 
correcta. Es decir: 
P(1C) y P(2I) o P(1I) y P(2C) = P(C)·P(I) + P(I)·P(C) = 
9
4
9
2
9
2
3
1
3
2
3
2
3
1
 . 
 
Por lo tanto, la probabilidad de que solo una de ellas esté correcta es 
9
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
75. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
HabilidadASE 
 
(1) En total hay 50 caramelos en la bolsa. Con esta información no es posible determinar 
la probabilidad pedida, pues no conocemos la cantidad que hay de cada caramelo o 
alguna relación o proporción entre ellas. 
 
(2) La probabilidad de extraer un caramelo de piña es 
25
9
. Con esta información se 
puede determinar la probabilidad de extraer un caramelo de menta o de naranja, pues 
al saber que la probabilidad de sacar uno de piña es 
25
9
, entonces la probabilidad de 
no extraer un caramelo de piña es 
25
16
25
9
1  , la cual corresponde a la probabilidad 
pedida, ya que solo hay tres opciones (piña, menta o naranja). 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola. 
 
 
76. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
Lanzar una moneda corresponde a un experimento binomial, pues solo hay dos posibles 
resultados. Luego, utilizamos la función de probabilidad de la distribución binomial, 
definida por: 
knk qp
k
n
kXP 





 )( 
En este caso, preguntan por la probabilidad de obtener 90 sellos al lanzar 100 monedas, 
luego: 
90
100
4
3
4
1
%25



k
n
qp
 
con ello nos queda: 
 
10909010090
4
3
4
1
90
100
4
3
4
1
90
100
)90( 





































XP 
 
 
77. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Sea la función de distribución F(x) definida para una variable aleatoria discreta x con 
función de probabilidad f. Dados los valores de F(x) podemos obtener los valores de f(x). 
 
x F(x) 
1 0,1 
2 0,35 
3 0,6 
4 0,8 
5 0,95 
6 1 
 
Como F está definida para una variable aleatoria discreta, f(xi) = F(xi) – F(xi–1). 
 
Luego, f(5) = F(5) – F(4) = 0,95 – 0,8 = 0,15 
 
Por lo tanto, f(5) = 0,15. 
 
 
78. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
En la caja las fichas negras son {1, 2, 3} y las fichas rojas son {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Si se 
extrajo una ficha con número impar, entonces la ficha extraída corresponde a una de 
{1, 3, 5, 7, 9}. De estas fichas, 2 son negras y 3 son rojas, luego, la probabilidad de que la 
ficha extraída sea roja es igual a: P(A) =
5
3
 
 
79. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Determinamos el valor esperado como el producto ponderado de los resultados posibles, 
divido por el total de caras. 
 
75,1
4
7
20
35
20
3525110
)( 

xE 
 
 
 
80. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Si reemplazamos los valores respectivos de n, la función de probabilidad queda 





















0
20
83
20
263
5
7
5
25
4
4
4
22
)(
kk
kk
kk
nXP 
 
I) Falsa, pues sabemos que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, luego 
nos queda la ecuación 
1
20
83
5
7
4
4





 kkk
 (Igualando denominador) 
 
1
20
83
20
)7(4
20
)4(5





 kkk
 (Desarrollando paréntesis y sumando) 
 
1
20
83428205

 kkk
 (Reduciendo términos y 
multiplicando a ambos lados por 20) 
204 k (Dividiendo por 4) 
5k 
 
II) Verdadera, ya que el recorrido corresponde a los valores que puede tomar la 
función. En este caso, los valores que puede tomar (con probabilidad mayor que 
0) son 2, 5 y 6. 
 
III) Verdadera, porque si calculamos, para los respectivos valores de n y con 5k 
 
,
5
2
5
57
)5X(P 

 
20
7
20
853
)6X(P 

 
Al comparar, 
20
7
5
2
 , por lo que )6X(P)5X(P  
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.