Ensayo Cpech 024 - Matemáticas (2017) (E) - Antonia Salinas

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MATEMÁTICA
ENSAYO
MT - 024
EN
SC
ES
M
T0
24
-A
17
V1
PSU 2017
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile2
1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán 
consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta 
tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una 
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fila	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafito.
4. NO se descuenta puntaje por respuestas erradas. 
5.	 Las	 figuras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
6.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
7.	 Cuide	 la	 hoja	 de	 respuestas.	 No	 la	 doble,	 ni	 la	 manipule	
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
8. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
9.	 Es	 obligatorio	 devolver	 el	 facsímil	 íntegramente	 antes	 de	
abandonar la sala.
INSTRUCCIONES
MATEMÁTICA
3Cpech El Preuniversitario de Chile
10. Instrucciones	para	las	preguntas	Nº	15, 17, 21, 29, 49, 54, 
64 y 77.
 En estas preguntas no se pide la solución al problema, sino 
que se decida si con los datos proporcionados tanto en el 
enunciado	como	en	las	afirmaciones	(1)	y	(2),	son	suficientes	
para llegar a la solución del problema.
	 Es	así,	que	se	deberá	marcar	la	opción:
	 A)	 (1) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (1)	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 la	
afirmación	(2)	por	sí	sola	no	lo	es,
	 B)	 (2) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (2)	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 la	
afirmación	(1)	por	sí	sola	no	lo	es,	
	 C)	 Ambas juntas, (1) y (2),	si	ambas	afirmaciones	(1)	y	
(2)	juntas	son	suficientes	para	responder	a	la	pregunta,	
pero	 ninguna	 de	 las	 afirmaciones	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente,
	 D)	 Cada una por sí sola, (1) ó (2),	si	cada	una	por	sí	sola	
es	suficiente	para	responder	a	la	pregunta,
	 E)	 Se requiere información adicional, si ambas 
afirmaciones	 juntas	 son	 insuficientes	 para	 responder	
a	la	pregunta	y	se	requiere	información	adicional	para	
llegar a la solución.
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile4
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 
1.	 A	 continuación	 encontrará	 una	 serie	 de	 símbolos,	 los	 que	
puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.	 Las	figuras	que	aparecen	en	el	modelo	son	solo	indicativas.
3.	 Los	gráficos	que	se	presentan	en	este	modelo	están	dibujados	
en un sistema de ejes perpendiculares.
4.	 Se	entenderá	 por	 dado	 común,	 a	 aquel	 que	posee	6	 caras,	
donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son 
equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6.	 (f	o	g)	(x)	=	f(g(x))
7. Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación 
x2	+	1	=	0.
8.	 Si	z	es	un	número	complejo,	entonces	z es su conjugado y |z| 
es su módulo.
9.	 Si	Z	es	una	variable	aleatoria	continua,	tal	que	Z	∼	N(0,	1)	y	
donde	la	parte	sombreada	de	la	figura	representa	a	P(Z ≤ z),	
entonces	se	verifica	que:
z P(Z ≤ z)
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
1,15 0,875
1,28 0,900
1,64 0,950
1,96 0,975
2,00 0,977
2,17 0,985
2,32 0,990
2,58 0,995
0 z Z
 
MATEMÁTICA
5Cpech El Preuniversitario de Chile
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
< es menor que ≅ es congruente con
> es mayor que ∼ es semejante con
≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a
≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de
 ángulo recto // es paralelo a
∠ ángulo ∈ pertenece a
log logaritmo en base 10 AB trazo AB
∅	 conjunto	vacío		 |x| valor absoluto de x
ln	 logaritmo	en	base	e		 x!	 factorial	de	x
∪ unión de conjuntos ∩ intersección de conjuntos
Ac complemento del conjunto A u→ vector u
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile6
1.	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	comparaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 0,33	<	 1
3 
	 II)	 7
11
 > 7
12 
	 III)	 0,32 < 0,32 
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
2. ( 29 + 56 )	:	(0,4 • 0,25)	=
 
 A)	 19
2
 
	 B)	
85
9
 
	 C)	 19
32
 
	 D)	 21
5
 
	 E)	 7
2
3.	 Pablo	ahorró	dinero	durante	cuatro	meses	para	poder	comprar	una	entrada	a	un	recital.	
Si	el	primer	mes	ahorró	$	9.000,	los	siguientes	dos	meses	ahorró	dos	tercios	del	dinero	
acumulado hasta el mes anterior y el último mes ahorró tres quintos de lo ahorrado hasta 
el	tercer	mes,	¿cuánto	dinero	ahorró	Pablo	para	asistir	al	recital?
	 A)	 $	21.400
	 B)	 $	36.400
	 C)	 $	40.000
	 D)	 $	24.800
	 E)	 $	37.600
MATEMÁTICA
7Cpech El Preuniversitario de Chile
4.	 Si	p y q son números reales distintos de cero, entonces la expresión ( pq )2 • ( p
2
q2 )– 3 7 es 
siempre equivalente a
A)	 ( pq )40
B)	 ( qp )40
C)	 ( qp )84
D)	 ( pq )84
E)	 ( qp )20
5. El valor de la expresión ( 25 + 193 ),	aproximada	por	defecto	a	la	milésima,	es
A)	 5,733
B)	 5,734
C)	 5,735
D)	 6,732
E)	 6,733
6.			 En	el	conjunto	de	los	números	enteros,	¿cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	
siempre	verdadera(s)?
 
							 I)		 El	producto	de	un	número	par	con	un	número	impar	es	un	número	impar.
						 II)		 La	suma	de	dos	números	impares	es	un	número	par.
					 III)		 La	suma	de	dos	números	primos	es	un	número	par.
	 A)		 Solo	II
	 B)		 Solo	III
	 C)		 Solo	I	y	II
	 D)		 Solo	II	y	III
	 E)		 I,	II	y	III
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile8
7.	 Sean	p y q	dos	elementos	del	conjunto	M	=	{1,	2,	3},	tales	que	p	<	q.	¿Cuál(es)	de	las	
siguientes	expresiones	tiene(n)	siempre	como	resultado	un	elemento	de	M?
I)	 p	–	q	+	2	 	
II)	 p	+	q	–	2	
III)	 q	–	p	
A)	 Solo	III
B)	 Solo	I	y	II
C)	 Solo	I	y	III
D)	 Solo	II	y	III
E)	 I,	II	y	III
8. ¿Cuál de los siguientes valores NO	es	un	divisor	de	(323 – 319)?
A)	 30
B)	 45
C)	 50
D)	 40
E)	 72
9. Si	( 1�5 + 1 ) es aproximadamente 310, entonces, de los siguientes valores, el que más se 
aproxima a ( 1�5 – 1 ) es
	 A)	 56
	 B)		 536
	 C)	 403
	 D)					 38
	 E)	 43
MATEMÁTICA
9Cpech El Preuniversitario de Chile
10.	 Sean	a	=	 log315,	b	=	 log610	y	c	=	 log310.	Si	a, b y c se ordenan de menor a mayor, 
entonces el orden correcto es
A)	 b,	a,	c
B)	 c,	a,	b
C)	 b,	c,	a
D)	 a,	b,	c
E)	 c,	b,	a
11.	 Si	m y n son números enteros mayores que 1 y a es un número real positivo, ¿cuál de 
las siguientes expresiones es siempre equivalente a 
n
�a
m
�a• ) ( ?
A)	 n ⋅ m�a 
B)		
m
�an 
C)	
n ⋅ m
�an+m 
D)	
n + m
�an ⋅ m 
E)	 �an + m 
12. La expresión 
�2
�6 �10+
⋅ (�5 ‒	�3 )
 es igual a
 
	 A)	 �15+
2
8 
 
	 B)	 					4
 
	 C)	 �3 �5+2 
 
	 D)	 4	+	�15 
 
	 E)	 					8
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile10
13.	 Sea	m	=	 �3log 5. Entonces, se obtiene un número racional si m se multiplica por
I)	 1
�3 ⋅ log 2
 
II)	 �27 ⋅ log 25 
III)	 log �5 
�75
 
Es	(son)	verdadera(s)
A)	 solo	I.
B)	 solo	II.
C)	 solo	I	y	II.
D)	 solo	I	y	III.
E)	 solo	II	y	III.
14.	 Si	 el	 número	 irracional	 log	 (mn6)	 es	 aproximadamente	b, con m y n números reales 
mayores que uno, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la mejor aproximación 
para	log	(n4 • 3�m2 )?
A)	 b
3
B)	
2b
3 
C)	 b2 
D)	 b6 
E)	 3b2 
MATEMÁTICA
11Cpech El Preuniversitario de Chile
15. Sean	p y q	 números	 enteros	 positivos.	 Se	 puede	 determinar	 el	 valor	 numérico	 de	 la		
expresión �4p9q ,	si:
(1)	 p	=	4q
(2)	 q	=	6
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
16.	 Si	i	es	la	unidad	imaginaria,	entonces	la	expresión	 11 + i
1
i
‒ es equivalente a
A)	 1	+	i
B)	 1 ‒ i
2
 
C)	 3 ‒ i
2
 
D)	 1	–	iE)	 1 + i
2
 
17.	 Sea	el	número	complejo	z	=	(m	+	i),	con	i	la	unidad	imaginaria	y	m	un	número	real.	Se	
puede	determinar	el	valor	numérico	de	m,	si:
	 (1)	 La	suma	de	z con su conjugado es igual a 2.
	 (2)	 z se encuentra en el primer cuadrante del plano complejo.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile12
18. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO	corresponde	a	un	factor	de	(9a2b – 16b3)?
A)	 b
B)	 9a2 – 16b2
C)	 3a	–	4b	
D)	 3a	+	4b
E)	 3ab	–	4b
19.	 Sea	4(a	+	2)
3
	=	2b,	con	a y b	números	racionales	positivos.	¿Para	cuál	de	los	siguientes	
valores de b el valor de a resulta ser un número racional no entero?
A)	 43 
B)	 	2
C)		 13 
D)		 23
E)	 	4
20. Dado el sistema de ecuaciones lineales x	+	y	=	a2xy	=	b , con a y b números reales positivos, 
¿cuál	es	el	valor	de	la	expresión	(x2 + y2),	en	términos	de		a y b?	
A)	 a2b
B)	 a2 – b
C)	 a	+	b2
D)	 a2 + b
E)	 a	–	b2
MATEMÁTICA
13Cpech El Preuniversitario de Chile
21. Sea	a	=	( )x – yx + y x + yx – y– , con x e y	números	reales	positivos	distintos	entre	sí.	Se	puede	
determinar	el	valor	numérico	de	a,	si:
(1)	 x	=	 2y 
(2)	 x2 – y2 =	4
 
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
22.	 Una	solución	de	la	ecuación	x(x	–	7)	=	60	es
A)	 –	12	
B)	 					5
C)	 			15
D)	 			12
E)	 		–	4
23. Si	una	de	las	soluciones	para	x en la ecuación x2	+	mx	+	n	=	0	es	(2	+	5i), entonces los 
valores de m y n son, respectivamente,
A)	 4	y	29
B)	 –	4	y	29	
C)	 29	y	4
D)	 –	4	y	–	29
E)	 29	y	–	4
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Cpech El Preuniversitario de Chile14
24.	 Si	una	de	las	soluciones	de	la	ecuación	x(4x	–	p)	=	p	es	(i	–	1),	con	x como incógnita, p 
un número real e i la unidad imaginaria, entonces el valor de p es
A)	 					4			
B)	 					8				
C)	 		–	8	
D)	 –	16		
E)	 		–	4			
25.	 Sean	a y b números reales tales que 0 < a < b. El intervalo solución del sistema de 
inecuaciones ax ˃ b
bx ˃ a es 
A)	 b
a
a
b
, 
 
B)	 						∅ 
 
C)	
a
b
b
a
, 
 
D)	 ba
, + ∞ 
 
E)	
a
b
, + ∞ 
26.	 Si	(2x	+	9)(x	‒	4)	≤ x2 + x, entonces ¿cuál de los siguientes intervalos contiene a todos los 
valores que puede tomar x?
A)	 ]–	∞,	–	6]	∪ [6, + ∞[
B)	 [6,	+	∞[
C)	 ]–	∞,	–	6]
D)	 [–	6,	6]
E)	 ∅
MATEMÁTICA
15Cpech El Preuniversitario de Chile
27. Un número disminuido en cinco unidades es menor que el doble de dicho número. Es 
correcto	afirmar	que	si	el	número	es
I)	 menor	que	ocho,	entonces	pertenece	al	intervalo	]–	5,	8[.
II)	 mayor	que	dos,	entonces	pertenece	al	intervalo	]–	5,	+	∞[.
III)	 negativo,	entonces	pertenece	al	intervalo	]–	∞, 0[.
Es	(son)	verdadera(s)
A)	 solo	I.
B)	 solo	II.
C)	 solo	I	y	III.
D)	 solo	II	y	III.
E)	 I,	II	y	III.
28. Una cuenta de gas que debe pagar un cliente está compuesta por el valor del gas consumido 
más	un	cargo	fijo	de	$	700.	Durante	un	mes,	el	cliente	consumió	15	metros	cúbicos	de	gas	y	
tuvo	que	pagar	$	14.950.	Si	el	precio	de	un	metro	cúbico	de	gas	es	constante,	¿cuál	de	las	
siguientes	funciones	relaciona	el	volumen	de	gas	consumido	x, en metros cúbicos, con el 
total	a	pagar,	en	pesos?
A)	 f(x)		=	700x	+	14.950
B)	 g(x)	=	950x	+	700
C)	 h(x)	=	700x	+	950
D)	 j(x)		=	997x	+	700
E)	 k(x)	=	15x	+	700
29.	 Sean	las	funciones	reales	f(x)	=	x	+	b	y	g(x)	=	a	–	x,	con	a y b	números	reales.	Se	puede	
determinar	el	valor	numérico	de	f(g(b	–	a)),	si:			
	 (1)	 a	=	3
	 (2)	 b	=	2
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile16
30.	 Un	trozo	de	metal	se	sumerge	en	un	líquido	corrosivo,	de	manera	que	el	metal	comienza	a	
disolverse	perdiendo	el	1%	de	su	masa	cada	segundo.	Si	inicialmente	el	metal	sumergido	
tenía	una	masa	de	M0	gramos,	entonces	la	expresión	que	representa	la	masa	M(x),	en	
gramos, del metal a los x segundos de ser sumergido es
 
A)	 M0 ⋅	(0,01)
x
B)	 M0 ⋅	(0,9)
x
C)	 M0 ⋅	(0,99)
x
D)	 M0 ⋅	(0,1)
x
E)	 M0 ⋅	(0,09)
x
31.	 En	la	figura	adjunta	se	muestra	la	gráfica	de	la	función	real	f(x)	=	loga x, con x un número 
real positivo. El valor de a es
y
3
2 x
f
A)					8
B)		 �3 
C)					6
D)	 �23 
E)					9
32.	 Sea	 la	 función	real	 f(x)	=	�x2 + 1 .	¿Cuál(es)	de	 las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	
verdadera(s)?
	 I)	 La	función	está	definida	para	x en todos los reales.
	 II)	 El	recorrido	de	f	es	IR.		
	 III)	 El	gráfico	asociado	a	f	intersecta	al	eje	Y	en	el	punto	(0,	1).
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	I	y	III
MATEMÁTICA
17Cpech El Preuniversitario de Chile
33.	 Sean	las	funciones	reales	f(x)	=	2x	+	3	y	g(x)	=	(x	+	1)2.	¿Cuál	es	el	eje	de	simetría	del	
gráfico	asociado	a	g(f(x))?	
	 A)	 x	=				2
	 B)	 x	=	–	1
	 C)	 x	=				0
	 D)	 x	=				1
	 E)	 x	=	–	2	
34.	 ¿Cuál	 de	 las	 siguientes	 funciones	 cuadráticas	 está	mejor	 representada	 en	 el	 gráfico	
adjunto?
2
– 1 x
y
1
	 A)	 f(x)	=	– x
2 + 2x + 3
2
	 B)	 g(x)	=	–	x2 + 1
	 C)	 h(x)	=	–	x2 + 2x + 2
	 D)	 p(x)	=	 – x
2 – 2x – 3
2
	 E)	 m(x)	=	–	x2 – 2x + 1
35.	 Sea	f	una	función	real	tal	que	f(x)	=	3x	–	5.	Si	g	es	la	función	inversa	de	f,	entonces	g(x)	
es igual a
A)	 x	‒	3	5
B)	 ‒	x	+	3	5
C)	 ‒	x	‒	5	
3
D)	 x + 5 
3
 
E)	 x	‒	5	3 
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36.	 Sean	f(x)	=	x4		y		g(x)	=	2x3	dos	funciones	definidas	en	los	reales.	Es	correcto	afirmar	que	
	 A)	 f(x)	≤	g(x)	solo	para	x	en	el	intervalo	[0,1].
	 B)	 f(x)	≥	g(x)	para	cualquier	x en los reales.
	 C)	 f(x)	=	g(x)	solo	para	x	=	0.
	 D)	 f(x)	≤	g(x)	solo	para	x	en	el	intervalo	[0,	2].
	 E)	 f(x)	≤	g(x)	para	cualquier	x	en	el	intervalo	[–	2,	2].
37.	 Dado	el	 triángulo	de	 la	 figura	adjunta,	¿cuál	 de	 las	 siguientes	opciones	 representa	el	
resultado	obtenido	después	de	aplicarle	una	rotación	de	90°	con	centro	en	el	origen?
y
x
5
3
2
1 3 4
	 A) y
x
– 2
– 3
– 5
1 3 4
		 	 B) y
x
4
3
1
 – 5 – 3 – 2
	 	 C)	 y
x
– 1
– 3
– 4
– 5 – 3 – 2
 
 
 
 
	 	 D) y
x
– 1
– 3
– 4
 2 3 5
	 	 E)	 Ninguna	de	ellas.
MATEMÁTICA
19Cpech El Preuniversitario de Chile
38.	 En	el	plano	cartesiano	de	la	figura	adjunta,	se	ubican	los	vectores	u y v .	¿Cuál(es)	de	las	
siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 
y
x
2
– 2
2
5
u
v
	 I)	 8	• u	=	(16,	40)
	 II)	 u + v 	=	(7,	0)
	 III)	 –	v 	=	(2,	2)			
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	II	y	III
39.	 Si	al	punto	(3,	–	5)	se	le	aplica	una	simetría	con	respecto	al	eje	X	y	luego	una	rotación	de	
180°	con	respecto	al	origen,	entonces	se	obtiene	el	punto
A)	 (5,	3)
B)	 (–	3,	5)
C)	 (5,	–	3)
D)	 (3,	5)
E)	 (–	3,	–	5)
40.	 Si		el		punto		medio		entre		los		puntos		(2	+	2b,	2	+	a)		y		(3a,	b	–	7)	es	(–	5,	3),	entonces	
el	valor	de	(b	–	a)	es
A)	 71
B)	 79
C)	 45
D)	 11
E)	 34
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile20
41. ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	siempre	verdadera(s)?
I)	 Si	las	alturas	de	dos	triángulos	equiláteros	miden	lo	mismo,	entonces	son	congruentes	
entre	sí.
II)	 Todo	 cuadrado	 se	 puede	 dividir	 en	 cuatro	 triángulos	 rectángulos	 isósceles	
congruentes	entre	sí.	
III)	 La	diagonal	de	un	trapecio	isósceles	forma	dos	triángulos	congruentes	entre	sí.
A)	 Solo	I
B)	 Solo	I	y	II
C)	 Solo	I	y	III
D)	 Solo	II	y	III
E)	 I,	II	y	III
42.	 Si	el	punto	 (8,	–	2)	se	 transforma	de	 forma	que	su	ordenada	disminuye	una	unidad	y	
su	abscisa	aumenta	dos	unidades	y,	posteriormente,	 se	 le	aplica	una	simetría	central	
respecto al origen, entonces queda ubicado en la posición
A)	 (10,	–	3)
B)	 (–	1,	10)
C)	 (–	7,	0)
D)	 (–	10,	1)
E)	 (–	10,	3)
43.	 En	la	circunferencia	de	la	figura	adjunta,	AC y BD	son	cuerdas	que	se	intersectan	en	P.	
SiAP	=	2x	+	1,	PC	=	12,	BP	=	2x	–	4		y	PD	=	15,	entonces	la	cuerda	BD mide
A B
D C
P
A)	 37
B)	 35
C)	 25
D)	 24
E)	 20
MATEMÁTICA
21Cpech El Preuniversitario de Chile
44.	 Sea	ABC	un	triángulo	rectángulo	en	C,	y	D	un	punto	exterior	del	triángulo.	Si	el	segmento	
AB intersecta perpendicularmente en el punto E al segmento CD, entonces siempre se 
cumple que
A)	 AC2	=	AE	⋅ EB
B)	 AE	⋅ EB	=	CE	⋅ ED
C)	 DE2	=	AE	⋅ EB
D)	 CB2	=	AB	⋅ EB
E)	 AB	⋅ ED	=	AD	⋅ BD
45.	 En		la		figura		adjunta,		P,		R		y		Q		son		puntos		colineales,		de		modo		que		PQ		=		5x		+		4	
y	PR	=	2x	+	1.		Si	RQ	:	PQ	=	2	:	3,	entonces	el	segmento	PQ	mide
A)	 		8
B)	 		9
C)	 14		 	 	 	
P R QD)	 18
E)	 19
46.	 En	la	figura	adjunta,	los	puntos	A,	B	y	C	pertenecen	a	la	circunferencia	de	centro	O.	Si	el	
arco	AB	mide	104º	y	AC ≅ BC, entonces la mitad del ángulo ∠COA	es
A
O
B
C
A)	 152º
B)	 128º
C)	 		64º
D)	 		52º
E)	 		26º
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile22
47.		En	la	figura	adjunta,	BE 	es	diámetro	de	la	circunferencia	y	el	arco	ED	es	congruente	con	
el	arco	DC.	Si	el	arco	AE	mide	150°	y ∠	APE	=	40°,	entonces	el	arco	CB	mide
B
A
C D
EQ
P	 A)	 40°
	 B)	 70°
	 C)	 55°
	 D)	 85°
	 E)	 30°
48.	 ¿En	cuál(es)	de	las	siguientes	figuras	el	valor	de	x	es	24?
	 I)		 L1
L2
L3
x16
10 15
L1 // L2 // L3
L4 y L5 transversales
L4 L5
			II)	
18
16
12
xL1
L2
L1 // L2
L3 y L4 transversales
L3 L4 			III)
14
3621
x
L1
L2
L1 // L2
a
a
	 A)	 Solo	en	I
	 B)	 Solo	en	II		
	 C)	 Solo	en	I	y	en	II	
	 D)	 Solo	en	I	y	en	III
	 E)	 Solo	en	II	y	en	III
49.	 En	la	figura	adjunta,	PT intersecta a RS	en	el	punto	Q,	tal	que	RQ	:	QS	=	k,	con	k un 
número	real	positivo.	Se	puede	afirmar	que	el	triángulo	PQR	es	semejante	con	el	triángulo	
TQS,	si:
 
(1)		 ∠PRS	≅ ∠	TSR
(2)	 PQ	:	QT	=	k R
P Q T
S
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
MATEMÁTICA
23Cpech El Preuniversitario de Chile
50.	 A	 un	 triángulo	ABC	se	 le	 aplica	 una	homotecia	 de	 centro	O,	 de	manera	que	 se	obtiene	
el	triángulo	DEF,	tal	como	se	muestra	en	la	figura	adjunta.	Si	OA	=	 3	 cm	 y	AD	=	5	cm,	
entonces la razón de homotecia es
O A
C
B
E
F
D
A)	 5	:	3
B)	 3	:	5
C)	 8	:	5
D)	 3	:	8
E)	 8	:	3
51.	 Si	una	recta	pasa	por	el	punto	(2,	9)	y	tiene	coeficiente	de	posición	igual	a	1,	entonces	su	
pendiente es
A)	 –	16	
B)	 –	4	
C)	 		 14 
D)	 			4
E)	 ‒	1
16
 
52.	 La	ecuación	de	la	recta	representada	en	el	gráfico	de	la	figura	adjunta	es
A)	 y	=	–	x	+	3 y
x
3
–1
B)	 y	=	3x	+	3
C)	 y	=	 92 x + 3
D)	 y	=	 x 
3
 + 3
E)	 y	=	–	3x	+	3
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile24
53.	 Respecto	a	 la	 recta	L	del	gráfico	adjunto,	¿cuál(es)	de	 las	siguientes	afirmaciones	es	
(son)	verdadera(s)?
	 I)	 La	pendiente	es	igual	a	0.
	 II)	 Pasa	por	el	punto	(–	9,	8).
	 III)	 La	ecuación	que	la	representa	es	x	=	8.
8
y
x
L
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II	
	 E)	 I,	II	y	III
54.	 Sean	L1 :	3x	+	y	=	0	y	L2	:	ax	+	by	+	c	=	0		dos	rectas	en	el	plano,	con	a, b y c números reales. 
Se	puede	determinar	que	las	rectas	L1 y L2	son	paralelas	no	coincidentes,	si:
(1)	 a es el triple de b.
(2)	 c es distinto de cero. 
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)		 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
55.	 Respecto	al	volumen	de	un	cono,	es	correcto	afirmar	que	si
I)	 el	radio	de	la	base	se	duplica,	entonces	el	volumen	del	cono	se	cuadruplica.
II)	 la	altura	se	duplica,	entonces	el	volumen	se	cuadruplica.
III)	 la	 altura	 se	 cuadruplica	 y	 el	 radio	 de	 la	 base	 disminuye	 a	 la	mitad,	 entonces	 el	
volumen	del	cono	no	varía.
Es	(son)	verdadera(s)
A)	 solo	I.
B)	 solo	II.
C)	 solo	I	y	III.
D)	 solo	II	y	III.	
E)	 I,	II	y	III.
MATEMÁTICA
25Cpech El Preuniversitario de Chile
56.	 Sea	L:	(x,	y,	z)	=	(1,	1,	1)	+	t	 ⋅	(p,	p,	p)	una	recta	en	el	espacio,	con	p un número real 
constante distinto de cero y t variando en los reales. Un punto de la recta L se encuentra 
ubicado en el origen cuando t vale
 
A)	 	0
B)	
1
p 
C)	
−	1
p 
D)	 	–	p
E)	 –	1		
57.	 En	la	figura	adjunta	se	muestran	cinco	cubos	congruentes	de	arista	1	cm,	que	se	apilan	
haciendo	coincidir	sus	caras.	La	distancia	entre	P	y	Q	es
P
QA)	 		�6 cm
B)	 �14 cm
C)	 		�5 cm
D)	 				5	cm
E)	 �11 cm
58.	 En	la	figura	adjunta	se	muestra	un	sólido	formado	por	un	paralelepípedo	recto	cuya	altura	
mide 4a cm y con una base cuadrada de lado 3a cm. En su interior se ha vaciado un 
espacio,	 cuya	 forma	 también	es	de	un	paralelepípedo	 recto,	 con	una	altura	que	mide	
	 4a	cm	y	una	base	cuadrada	de	lado	2a	cm.	Si	las	caras	de	ambos	paralelepípedos	(exterior	
e	interior)	son	paralelas	entre	sí,	entonces	el	volumen	del	cuerpo	de	la	figura,	en	cm3, es
A)	 20a3
B)	 24a3
C)	 36a3
D)	 12a3
E)	 18a3
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile26
59.	 Del	conjunto	A	=	{a,	b,	c,	d,	e,	f,	g,	h,	 i}	se	extraen	muestras	de	distintos	tamaños,	sin	
orden	y	sin	reposición.	¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
I)		 La	cantidad	de	muestras	de	 tamaño	3	que	se	pueden	extraer	de	A	es	 la	misma		
cantidad de muestras de tamaño 6 que se pueden extraer de A.
II)	 La	mayor	cantidad	de	muestras	que	se	pueden	extraer	de	A	ocurre	solo	cuando	el	
tamaño de la muestra es 5.
III)	 La	cantidad	de	muestras	de	tamaño	4	que	se	pueden	extraer	de	A,	y	que	no	contienen	
al elemento f, es 
8
4 )( .
A)	 Solo	I
B)	 Solo	II
C)	 Solo	I	y	II
D)	 Solo	I	y	III
E)	 Solo	II	y	III
60. La tabla adjunta muestra el resultado de una encuesta que consultaba a un grupo de 
personas	por	la	cantidad	de	días	al	mes	que	hacían	deporte.	El	percentil	60	de	la	muestra	
está en el intervalo
Días Frecuencia
[0, 5[ 10
[5,10[ 25
[10, 15[ 30
[15, 20[ 15
[20, 25[ 13
[25,	30] 7
	 A)	 [0,	5[
	 B)	 [15,	20[
	 C)	 [5,10[
	 D)	 [20,	25[
	 E)	 [10,	15[
MATEMÁTICA
27Cpech El Preuniversitario de Chile
61.	 El	gráfico	adjunto	muestra	el	tiempo	de	duración,	en	horas,	de	la	carga	de	cierto	tipo	de	
batería	para	celulares,	donde	los	intervalos	son	de	la	forma	[a,	b[,	excepto	el	último	que	
es	de	la	forma	[c,	d].	Según	la	información	entregada	en	el	gráfico,	el	primer	cuartil	y	el	
séptimo	decil	se	encuentran,	respectivamente,	en	los	intervalos
Frecuencia
Duración	(horas)
15
12
9
7
4
18 20 22 24 26 28
A)	 [18,	20[	y	[26,	28]
B)	 [20,	22[	y	[22,	24[
C)	 [18,	20[	y	[24,	26[
D)	 [20,	22[	y	[26,	28]
E)	 [18,	20[	y	[22,	24[
62. La tabla adjunta muestra la cantidad de abdominales en un minuto que pueden realizar 
los	asistentes	a	una	clase	de	gimnasia.	Según	esta	información,	NO	es	posible	afirmar	
que
Rendimiento Abdominales Hombres Mujeres
Muy bajo 1 – 15 3 5
Bajo 16 – 30 7 14
Aceptable 31 – 45 10 9
Alto 46 – 60 5 2
A)	 menos	del	15%	de	los	asistentes	tiene	un	rendimiento	muy	bajo.
B)	 el	60%	de	los	hombres	asistentes	tiene	un	rendimiento	igual	o	mayor	al	rendimiento	
aceptable.
C)	 el	intervalo	modal	del	rendimiento	es	distinto	para	hombres	y	mujeres.
D)	 la	mayoría	de	los	asistentes	son	mujeres.
E)	 todas	las	mujeres	con	bajo	rendimiento	hicieron	más	abdominales	con	respecto	a	
los hombres con bajo rendimiento.
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile28
63.	Se	lanza	un	dado	común	una	cierta	cantidad	de	veces,	agrupándose	los	resultados	como	
muestra	el	gráfico	adjunto.	Es	siempre	correcto	afirmar	que	
I)	 el	intervalo	modal	es	[1,	3].
II)	 la	mediana	se	encuentra	en	el	intervalo	[1,	3].
III)	 el	promedio	obtenido,	a	partir	de	la	marca	de	clase,	es	3,5.
Es	(son)	verdadera(s) Frecuencia
Resultado
2p
[1,	3] [4,	6]
p
A)	 solo	I.
B)	 solo	I	y	II.
C)	 solo	I	y	III.
D)	 solo	II	y	III.
E)	 I,	II	y	III.
64.	Sea	el	conjunto	de	números	enteros	M	=	{a,	b,	c},	con	promedio	4	y	0	<	a	<	b	<	c.	Se	
obtienen todas las muestras posibles de tamaño 2 de M y se calcula el promedio de cada 
una	de	ellas.	Se	puede	conocer	el	valor	numérico	de	a,	si:
(1)El	mayor	promedio	obtenido	de	las	muestras	es	5.
(2)	 El	menor	promedio	obtenido	de	las	muestras	es	2,5.
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
MATEMÁTICA
29Cpech El Preuniversitario de Chile
65.	 Con	respecto	a	los	grupos	de	datos	P,	Q	y	R	de	la	tabla	adjunta,	¿cuál(es)	de	las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
P 1 2 3 4 5
Q 2 4 6 8 10
R 3 4 7 10 11
	 I)	 Los	rangos	de	Q	y	R	son	iguales.	
	 II)	 Las	desviaciones	estándar	de	P	y	R	son	iguales.
	 III)	 El	promedio	de	Q	es	igual	al	doble	del	promedio	de	P.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
66.	 Se	tienen	los	conjuntos	A	=	{1,	3,	5,	7}	y	B	=	{2,	4,	6,	8}.	Es	correcto	afirmar	que	A	y	B	tienen	
igual
I)	 rango.
II)	 promedio.
III)	 varianza.
Es	(son)	verdadera(s)
A)	 solo	I.
B)	 solo	I	y	II.
C)	 solo	I	y	III.
D)	 solo	II	y	III.
E)	 I,	II	y	III.
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile30
67.	 De	una	población	estadística	se	toma	una	muestra	aleatoria	compuesta	por	los	números	1,	
6, 2 y 7. La desviación estándar de la muestra escogida es
A)	
�26
2 
B)	 �104 
C)	 �132 
D)	 �264 
E)	
�10
2 
68. Un experimento consiste en tomar muestras de tamaño 2, sin orden y sin reposición, de una 
población	S	=	{m,	n,	p,	q}	con	media	4.	Si	los	promedios	de	cada	muestra	escogida	fueron	
registrados en la tabla adjunta, la suma entre m y n es
Muestra Promedio
{m,	q} 2,5
{n,	q} 3,5
{m,	p} 4,5
{p,	q} 4
{p,	n} 5,5
A)	 		4
B)	 		5
C)	 		7
D)	 		8
E)	 11
69. La estatura de las personas mayores de 18 años de una ciudad se modela según 
una	 distribución	 normal	 cuya	 desviación	 estándar	 es	 de	 15	 cm.	 ¿De	 qué	 tamaño,	
aproximadamente,	debe	ser	una	muestra	de	manera	que	el	intervalo	de	confianza	para	la	
media	de	las	estaturas	tenga	un	rango	de	6	cm	con	un	nivel	de	confianza	del	80%?
	 A)	 36
	 B)	 50
	 C)	 48
	 D)	 41
	 E)	 10
MATEMÁTICA
31Cpech El Preuniversitario de Chile
70.	 En	el	último	censo	realizado	en	cierto	pueblo	se	contabilizaron	250.000	personas.	Si	al	
escoger una persona del pueblo al azar la probabilidad de que sea un anciano es 2
5
, 
¿cuántos	ancianos	hay	en	el	pueblo?
	 A)	 110.000
	 B)	 150.000
	 C)	 		90.000
	 D)	 120.000
	 E)	 100.000
71. Marco y Gonzalo quieren llenar una piscina con pelotas plásticas, todas de la misma 
forma	y	tamaño.	Marco	tiene	un	saco	con	50	pelotas,	de	las	cuales	7	son	de	color	verde,	
en	tanto,	Gonzalo	aporta	con	20	pelotas,	de	las	cuales	14	son	de	color	verde;	Si	Gonzalo	
ingresa a la piscina llena de pelotas con los ojos vendados y toma una de ellas al azar, 
¿cuál	es	la	probabilidad	de	que	la	pelota	que	tome	Gonzalo	sea	de	color	verde?
A)	 3
10
 
B)	
7
50 
C)	
7
10 
D)	
21
50 
E)	 49500 
72.	Se	lanza	un	dado	común	ocho	veces,	anotando	cada	vez	el	resultado	obtenido.	Si	el	valor	
de la variable aleatoria X corresponde a la cantidad de veces que se obtuvo un 1 o un 3 
antes del sexto lanzamiento, entonces los valores que puede tomar X son
	 A)	 1	y	3.
	 B)	 1,	2,	3,	4	y	5.
	 C)	 0,	1,	2,	3,	4	y	5.
	 D)	 1,	2,	3,	4,	5,	6,	7	y	8.
	 E)	 0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7	y	8.
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile32
73. En una tómbola se tienen bolitas de color azul, rojo, verde y amarillo, todas del mismo peso 
y	tamaño.	Si	la	razón	entre	bolitas	azules	y	verdes	es	3	:	2,	la	razón	entre	amarillas	y	azules	
es	1	:	2,	y	la	razón	entre	bolitas	verdes	y	rojas	es	6	:	5,	¿cuál	es	la	probabilidad	de	escoger	
al	azar	una	bolita	azul	o	una	roja?
A)	
4
7 
B)	
3
7 
C)	 59 
D)	
1
2 
E)	 Indeterminable	con	los	datos	entregados.
74.	 El	 gráfico	 adjunto	 corresponde	 a	 la	 función	 de	 probabilidad	 f	 de	 la	 variable	 aleatoria	
discreta X, con m y n	 números	positivos	menores	que	1.	¿Cuál(es)	de	 las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdaderas?
I)		 El	dominio	de	f	corresponde	al	conjunto	{n;	0,2;	m;	0,5}.
II)		 La	probabilidad	de	que	X tome el valor 4 es del 50% .
III)		 Si	f(1)	=	0,25,	entonces	el	valor	de	n es 0,15.
f(x)
X
1
0,5
m
0,2
n
2 3 4
A)	 Solo	I
B)	 Solo	II
C)	 Solo	I	y	III
D)	 Solo	II	y	III
E)	 I,	II	y	III
MATEMÁTICA
33Cpech El Preuniversitario de Chile
75.	 En	la	tabla	adjunta	se	muestra	los	valores	respectivos	que	toman	la	función	de	probabilidad	
P	y	la	función	de	distribución	acumulada	F	de	una	variable	aleatoria	X, cuyo recorrido es 
{a1, a2, a3}.	¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	siempre	verdadera(s)?
I)	 b1	=	c1
II)	 c3	=	1	–	b3
III)	 c2	=	b2 – b1
X P F
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
A)	 Solo	I
B)	 Solo	II
C)	 Solo	I	y	III
D)	 Solo	II	y	III
E)	 I,	II	y	III
76. En un experimento sicológico en el que participaron 60 personas, se les pidió a 35 de ellas 
que	vieran	una	película	de	terror	y	al	resto	se	les	solicitó	que	no	la	viera,	para	evaluar	el	
efecto	que	producía	en	el	sueño	dicha	película.	Al	cabo	de	una	semana,	la	probabilidad	de	
escoger	al	azar	entre	las	personas	que	vieron	la	película	a	alguien	que	haya	tenido	pesadillas	
es 4
5
, mientras que la probabilidad de escoger al azar a alguien que haya tenido pesadillas 
entre las que no la vieron es 4
25
.	Si	de	los	participantes	del	experimento	se	escogió	al	azar	
una persona, y esta no ha tenido pesadillas, entonces ¿cuál es la probabilidad de que haya 
visto	la	película?
	 A)	 	 1
5
	 B)	 7
12
	 C)	 	 1
4
	 D)	 	 1
3
	 E)	 	 1
7
ENSAYO MT-024
Cpech El Preuniversitario de Chile34
77.		Se	lanza	un	dado	común	ocho	veces.	Se	puede	determinar	la	probabilidad	de	obtener	el	
número n exactamente m	veces,	si	se	conoce:
(1)		 el	valor	de	n.
(2)		 el	valor	de	m.
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
78.	 Sea	Y una variable aleatoria con distribución normal de media 32 y desviación estándar 
5 y X	una	variable	aleatoria	con	distribución	normal	tipificada.	Entonces,	la	probabilidad	
de que Y sea menor o igual que 30 es equivalente a la probabilidad de que X sea menor 
o igual que
	 A)	 –	2,0
	 B)	 			2,0
	 C)	 			2,5	
	 D)	 –	0,6
	 E)	 –	0,4
79. En un laboratorio se mide diariamente, durante tres años, el volumen en litros de gas 
metano que produce un reactor, el que se ajusta a una distribución normal de media µ y 
varianza 25 litros2.	Si	al	escoger	un	día	al	azar,	la	probabilidad	de	que	se	haya	producido	
una cantidad igual o menor a 243,6 litros de gas es de un 10%, ¿cuál es el valor de µ?
A)	 250	litros
B)	 237,2	litros
C)	 256	litros
D)	 251,8	litros
E)	 275	litros
MATEMÁTICA
35Cpech El Preuniversitario de Chile
80.	 El	 gráfico	 adjunto	 representa	 la	 función	 de	 densidad	 de	 probabilidad	 de	 una	 variable	
aleatoria continua X. El valor de m es
 
f(x)
m
3 7 x
A)	
3
8 
B)	 14 
C)	
5
8 
D)	
3
4 
E)	 12 
ENSAYO MT-024
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MATEMÁTICA
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