Ensayo Cpech 054 - Matemáticas (2016) (E) - Antonia Salinas

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ENSAYO MT-054
SI
M
EX
4L
CA
02
58
6V
1
Matemática
EN
SC
ES
M
T0
54
-A
16
V1
Matemática 
1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán 
consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta 
tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una 
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fila	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafito.
4. NO se descuenta puntaje por respuestas erradas. 
5.	 Las	 figuras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
6.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
7.	 Cuide	 la	 hoja	 de	 respuestas.	 No	 la	 doble,	 ni	 la	 manipule	
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
8. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES
Matemática 
EN
SA
YO
9. Instrucciones	para	las	preguntas	Nº	7,	17,	22,	33,	49,	54,	67	
y 77.
 En estas preguntas no se pide la solución al problema, sino 
que se decida si con los datos proporcionados tanto en el 
enunciado	como	en	las	afirmaciones	(1)	y	(2),	son	suficientes	
para llegar a la solución del problema.
 Es así, que se deberá marcar la opción:
	 A)	 (1) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (1)	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 la	
afirmación	(2)	por	sí	sola	no	lo	es,
	 B)	 (2) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (2)	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 la	
afirmación	(1)	por	sí	sola	no	lo	es,	
	 C)	 Ambas juntas, (1) y (2),	si	ambas	afirmaciones	(1)	y	
(2)	juntas	son	suficientes	para	responder	a	la	pregunta,	
pero	 ninguna	 de	 las	 afirmaciones	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente,
	 D)	 Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola 
es	suficiente	para	responder	a	la	pregunta,
	 E)	 Se requiere información adicional, si ambas 
afirmaciones	 juntas	 son	 insuficientes	 para	 responder	
a	la	pregunta	y	se	requiere	información	adicional	para	
llegar a la solución.
3Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que 
puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.	 Las	figuras	que	aparecen	en	el	modelo	son	solo	indicativas.
3.	 Los	gráficos	que	se	presentan	en	este	modelo	están	dibujados	
en un sistema de ejes perpendiculares.
4.	 Se	entenderá	 por	 dado	 común,	 a	 aquel	 que	posee	6	 caras,	
donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son 
equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6.	 (f	o	g)	(x)	=	f(g(x))
7. Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación 
x2	+	1	=	0.
8.	 Si	z	es	un	número	complejo,	entonces	z es su conjugado y |z| 
es su módulo.
9.	 Si	Z	es	una	variable	aleatoria	continua,	tal	que	Z	∼	N(0,	1)	y	
donde	la	parte	sombreada	de	la	figura	representa	a	P(Z ≤ z),	
entonces	se	verifica	que:
z P(Z ≤ z)
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
1,15 0,875
1,28 0,900
1,64 0,950
1,96 0,975
2,00 0,977
2,17 0,985
2,32 0,990
2,58 0,995
0 z Z
 
4 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
< es menor que ≅ es congruente con
> es mayor que ∼ es semejante con
≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a
≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de
 ángulo recto // es paralelo a
∠ ángulo ∈ pertenece a
log logaritmo en base 10 AB trazo AB
∅ conjunto vacío |x| valor absoluto de x
ln	 logaritmo	en	base	e		 x!	 factorial	de	x
∪ unión de conjuntos ∩ intersección de conjuntos
Ac complemento del conjunto A u→ vector u
5Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
1.	 ¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	NO es siempre verdadera?
	 A)	 La	 suma	entre	un	número	entero	positivo	múltiplo	de	12	 y	un	
número entero positivo múltiplo de 18 es múltiplo de 6.
	 B)	 El	producto	entre	dos	números	enteros	positivos	múltiplos	de	15	
es múltiplo de 9.
	 C)	 La	 suma	 de	 dos	 números	 enteros	 positivos	múltiplos	 de	 7	 es	
múltiplo de 14.
	 D)	 El	 cuadrado	 de	 un	 número	 entero	 positivo	 múltiplo	 de	 8	 es	
múltiplo de 4.
	 E)	 El	producto	entre	un	número	entero	positivo	múltiplo	de	16	y	un	
número entero positivo múltiplo de 5 es múltiplo de 10.
2. La expresión ( 12x + 12 ) es siempre equivalente a
	 A)	 2
x + 1 + 2
2 
	 B)	
2
 2x 
	 C)	 2
x + 2
2x
	 D)					2
x + 1
2 
	 E)						2
x + 2
2x + 1
3.	 Si	a	un	atleta	 le	 faltaron	20	metros	para	alcanzar	a	dar	4	vueltas	a	
una pista rectangular de 80 metros de largo por 60 metros de ancho, 
entonces ¿cuántos metros recorrió?
	 A)	 					200	
	 B)	 					260
	 C)	 		1.100
	 D)	 19.120
	 E)	 19.180
6 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO4. 645 + 645		=
 
	 A)	 231
	 B)	 230
	 C)	 250
	 D)	 220
	 E)	 226
5. En la secuencia 5, 9, 17, 33, …; el valor del quinto término es
	 A)	 42
	 B)	 50
	 C)	 64
	 D)	 65
	 E)	 66
6.	 ¿Cuál(es)	 de	 las	 siguientes	 afirmaciones	 es	 (son)	 siempre 
verdadera(s)?
	 I)	 La	suma	de	dos	números	pares	consecutivos	es	divisible	por	2.
	 II)	 La	diferencia	positiva	de	dos	números	impares	consecutivos	es	
divisible por 3.
	 III)	 Todo	número	entero	que	es	divisible	por	4	y	por	3	a	la	vez,	es	
divisible por 2.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	I	y	III
7Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
7.	 Sean	a y b	números	enteros	positivos.	Se	puede	determinar	que	
( a + b 3 ) es un número par, si:
	 (1)	 a es el quíntuple de b.
	 (2)	 (a	+	b)	es	múltiplo	de	3.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
8. El valor de la expresión log2 (�22 )	es
	 A)	 	– 1
2
 
	 B)	 		 1
2
 
	 C)	 			1
	 D)	 – 2
	 E)	 		0
9.	 Si	m	>	0,	entonces	log	(100m)100 es igual a
	 A)	 10.000	• log m
	 B)	 100	•	(2	+	log	m)
	 C)	 100	•	(2	+	m)
	 D)	 2	•	(2	+	m)
	 E)	 2	•	(2	+	log	m)
8 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO10. Si	18
7
 < �7 < 8
3
, ¿entre qué números se encuentra el valor de
 
 4
�7 – 2
?
 
	 A)	 Entre	3	y	4.
	 B)	 Entre	4	y	5.
	 C)	 Entre	5	y	6.
	 D)	 Entre	6	y	7.
	 E)	 Entre	7	y	8.
11.	 Si	a y b son números positivos, entonces la igualdad
 �a	–	x + �b	+	x	=	�a	 + �b es siempre verdadera si
	 I)	 x	=	0
	 II)	 x	=	a	+	b
	 III)	 x	=	a	–	b	
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	III.
	 C)	 solo	I	y	II.
	 D)	 solo	I	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
9Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
12. En	la	recta	numérica	de	la	figura,	la	razón	 FG
GH 
 es igual a
	 A)	 12 
F
2
G
2�2
H
�2
	 B)	 �2	2 
	 C)	 	1
	 D)	 �2	
	 E)	 	2
13.	 Si	log16 5 es aproximadamente 
3
5
 , ¿cuál de los siguientes valores es 
el más cercano a log16 80?
	 A)	 	 4
5
	 B)	 	 8
5
 
	 C)	 		5
	 D)	 48
5
	 E)	 	10
10 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO14. Un cuadrado de lado m tiene una diagonal de medida p. ¿Cuál de las 
siguientes expresiones representa siempre a un número irracional?
	 A)	 m	+	p
	 B)	 m2 + p
	 C)	 			m
p
 
	 D)	 m	• p
	 E)	 m	+	p2
15.	 Sea	z	un	número	complejo.	Si	el	conjugado	de	z se multiplica por el 
inverso aditivo de z, siempre resulta 
	 A)	 el	inverso	aditivo	del	cuadrado	del	módulo	de	z.
	 B)	 el	módulo	de	z.
	 C)	 el	cuadrado	del	módulo	de	z.
	 D)	 el	inverso	aditivo	del	módulo	de	z.
	 E)	 ninguno	de	los	resultados	anteriores.
16.	 Si	p	=	4	–	3i,	entonces	(2p	•	(1	–	p))	es	igual	a
	 A)–	24	–	18i
	 B)	 –	15	+	33i
	 C)	 –	42	–	6i
	 D)	 –	18	+	24i
	 E)	 –	6	+	42i
11Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
17.		Se	puede	determinar	que	el	valor	numérico	de	la	expresión	5	+	3in es 
igual a 2, con i la unidad imaginaria, si:
(1)		 in corresponde a un número real negativo.
(2)	 n es múltiplo de 2.
A)		 (1)	por	sí	sola.
B)		 (2)	por	sí	sola.
C)		 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)		 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)		 Se	requiere	información	adicional.
18. 2(a	+	b)(a	–		b)	=
	 A)	 2a2 – b2
	 B)	 2a2 – 2b2
	 C)	 4a	–		2b
	 D)	 4a	–		4b
	 E)	 4a2 – b2
19.	 En	la	figura,	el	área	del	rectángulo	PQRS	se	puede	expresar	como
P
b + a
Q
RS
b – a
b
b
	 A)	 4b2 – a2 
	 B)	 a2 – 4b2
	 C)	 2b2 – 2a2
	 D)	 2b2 – a2
	 E)	 a2 – 2b2
20. Si	el	cuádruple	del	antecesor	de	(n	+	a)	es	igual	al	triple	del	sucesor	
de	(n	+	a),	con	a y n números enteros, entonces el valor de n es
	 A)	 –	a	–	1
	 B)	 –	a
	 C)	 7a	+	3
	 D)	 –	a	+	7
	 E)	 un	valor	que	no	depende	de	a.
12 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO21.	 Sean	las	expresiones	a	=	x6 + 8x3	–	729,	b	=	2x		y		c	=	x3 – 4x2, con 
 c + b2	≠	27.	La	expresión	( a – b3c + b2 – 27 ) es equivalente a 
	 A)	 xx3 – 27 
	 B)	 x
3 + 27
x3 – 27 
	 C)	 x3 – 27
	 D)	 x3 + 27
	 E)	 				1
22. Sea		x	+	y	=	12.	Se	puede	determinar	el	valor	numérico	de	y, si:
	 (1)	 3x	+	3y	=	36
	 (2)	 2x	–	3y	=	–	21	
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
23.	 Si	m	•	n	=	–	5		y		m	+	n	=	2,	entonces	una	ecuación	de	segundo	grado	
que tiene a m y n	como	raíces	(o	soluciones)	es		
 
	 A)	 x2	+	5x	+	2	=	0
	 B)	 x2	+	2x	–	5	=	0
	 C)	 x2	–	5x	+	2	=	0
	 D)	 x2	–	2x	+	5	=	0
	 E)			 x2	–	2x	–	5	=	0
13Cpech El Preuniversitario de Chile
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24.	 ¿Qué	valor	debe	tener	k en la ecuación x2	–	(k	+	10)x	+	(10k	–	2)	=	0	
para que el producto de las raíces sea 58?
	 A)	 –	48	
	 B)	 		–	6
	 C)	 					6
	 D)	 			48
	 E)	 			68
25. 	En	 la	 figura	 adjunta,	 ABFG	 es	 un	 rectángulo	 que	 representa	 el	
terreno donde se construirá una vivienda, CDEF es un rectángulo 
que representa el estacionamiento de la vivienda y C pertenece al 
segmento	BF.	Si	los	valores	indicados	en	la	figura	están	en	metros,	se	
puede	afirmar	que
I)	 si	 el	 estacionamiento	 tiene	 un	 área	 de	 21	metros	 cuadrados,	
entonces la vivienda tendrá un área de 105 metros cuadrados.
II)	 si	la	vivienda	tiene	un	área	de	240	metros	cuadrados,	entonces	
el estacionamiento tendrá un área de 96 metros cuadrados.
III)	 el	área	de	la	vivienda	y	el	área	del	estacionamiento	no	pueden	
ser iguales. 
Es	(son)	verdadera(s)
D
C
A
E
B F
G
x + 8
x – 4
x
x
A)	 solo	I.
B)	 solo	III.
C)	 solo	I	y	II.
D)	 solo	II	y	III.
E)	 I,	II	y	III.
26.	 Sea	M	=	4	–	2b,	con	b	un	número	real.	Si		–	7	≤	b	≤	1,	¿qué	valores	
puede tomar M?
	 A)	 Solo	los	valores	entre	el	3	y	el	11,	ambos	incluidos.
	 B)	 Solo	los	valores	entre	el	2	y	el	18,	ambos	incluidos.
	 C)	 Solo	los	valores	entre	el	–	10	y	el	2,	ambos	incluidos.			
	 D)	 Todos	los	valores	menores	o	iguales	que	18.
	 E)	 Todos	los	valores	menores	o	iguales	que	2.
14 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO27.	 Sea	la	función	f(x)	=	 x + 11 – x , con x un número real distinto de 1. 
	 Si	a	es	un	número	mayor	que	1,	entonces	f(f(a))	es	igual	a
	 A)	 			– 1a
	 B)	 			–	1
	 C)	 	
1
a + 1 
	 D)	 			–	a
	 E)								 1a 
28.	 La	función	en	los	reales	que	representa	a	la	recta	de	la	figura	es
y
x
a
a
	 A)	 f(x)	=	x	–	1
	 B)	 g(x)	=	–	x	–	1
	 C)	 h(x)	=	x	–	a
	 D)	 m(x)	=	–	x	+	a
	 E)	 n(x)	=	–	ax	+	a
29.	 Todos	 los	números	reales	x	para	 los	cuales	h(x)	=	�100 – x2 es un 
número	real,	son	aquellos	que	satisfacen	que
	 A)	 x	≤	100
	 B)	 x	<	10
	 C)	 x	≥	–	10
	 D)	 –	10	≤	x	≤	10
	 E)	 x	≤	10
15Cpech El Preuniversitario de Chile
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30.	 Del	gráfico	de	la	función	real	f(x)	=	log( 14x ),	con	x	>	0,	se	puede	afirmar	
que
	 I)	 es	decreciente.
	 II)	 corta	al	eje	de	las	abscisas	en	x	=	 14 .
	 III)	 pasa	por	el	punto	( 52 , – 1).
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	I	y	III.
	 D)	 solo	II	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
31. En el comportamiento del crecimiento de una población de bacterias, 
se observa que la cantidad de bacterias se duplica cada tres minutos. 
Si	 inicialmente	 hay	 5.000	 bacterias,	 ¿cuál(es)	 de	 las	 siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 Dentro	de	3	minutos	habrá	10.000	bacterias.
	 II)	 Dentro	de	6	minutos	habrá	15.000	bacterias.
	 III)	 Dentro	de	media	hora	habrá	5.000	· 210 bacterias.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
16 Cpech El Preuniversitario de Chile
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EN
SA
YO32.	 El	máximo	valor	que	alcanza	la	función	real	g(x)	=	(m	–	x)	• x es
	 A)	 	m
	 B)	 	m
2
4 
	 C)	 	 m
2 
	 D)	 – m
2
4 
	 E)	 	m
2
2 
33.	 Sea	una	parábola	cuya	función	es	f(x)	=	x2 + mx + n, con x en los reales. 
Se	pueden	determinar	los	puntos	de	intersección	de	la	parábola	con	
los ejes, si:
	 (1)	 m	=	4
	 (2)	 n	=	–	5
 
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
34.	 Se	 invierten	 $100.000	 en	 un	 proyecto,	 con	 una	 tasa	 de	 interés	
compuesta	anual	del	5%.	Si	no	se	hacen	nuevos	depósitos	ni	retiros,	
la expresión que representa el dinero acumulado luego de 72 meses 
es
	 A)	 $	100.000	•	(1,5)72
	 B)	 $	100.000	•	(1,5)6
	 C)	 $	100.000	•	(1,05)6
	 D)	 $	100.000	•	(1,05)72
	 E)	 $	100.000	•	(1,05)12
17Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
35.		Sean	las	funciones	reales	g(x)	=	ax3,	h(x)	=	ax	+	b	y	j(x)	=	b	• log x, con 
a y b	números	reales	distintos	de	cero.	¿Cuál(es)	de	 las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
I)	 g	es	biyectiva	en	los	reales.
II)	 h	es	inyectiva	en	los	reales.
III)	 j	es	sobreyectiva	en	los	reales.
A)	 Solo	II
B)	 Solo	I	y	II
C)	 Solo	I	y	III
D)	 Solo	II	y	III
E)	 I,	II	y	III
36.	 Sean	las	funciones	p(x)	=	–	x2	y	h(x)	=	x3, con x en los reales. ¿Cuál 
es el intervalo de todos los valores de x donde se cumple que
	 p(x)	>	h(x)?	
	 A)	 ]–	1,	+	∞[
	 B)	 ]–	∞, 0[
	 C)	 ]–	∞, – 1[
	 D)	 ]–	1,	0[
	 E)	 ∅
37.	 Si	al	punto	(–	m,	p)	se	le	aplica	una	rotación	positiva	de	90°	en	torno	
al origen, queda en la posición
	 A)	 (m,	p)
	 B)	 (–	p,	m)
	 C)	 (–	p,	–	m)
	 D)	 (–	m,	–	p)
	 E)	 (p,	m)				
18 Cpech El Preuniversitario de Chile
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EN
SA
YO38.	 Si	 las	 figuras	 I,	 II	 y	 III	 están	 formadas	por	 cuadrados	 congruentes,	
entonces	¿cuál(es)	de	ellas	tiene(n)	simetría	central?
I) II) III) 
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
39.	 Si	a, b y c son números reales tales que b < c < 0 < a, ¿cuál de los 
siguientes puntos se encuentra en el segundo cuadrante del plano 
cartesiano?
	 A)	 (–	a,	c	–	b)	
	 B)	 (–	c,	b)	
	 C)	 (b	–	c,	–	a)	
	 D)	 (b,	c	–	a)
	 E)	 (–	b,	a)
40. Dos triángulos son siempre congruentes si tienen
	 A)	 sus	tres	lados	respectivamente	proporcionales.
	 B)	 sus	tres	ángulos	interiores	respectivamente	congruentes.
	 C)	 igual	perímetro.
	 D)	 igual	área.
	 E)	 sus	tres	lados	respectivamente	congruentes.
19Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO Matemática 
41.	 Al	punto	(–	2,	–	3)	se	le	aplica	una	traslación	obteniendo	el	punto	(1,	–	4).	
Si	al	punto	(–	4,	1)	se	le	aplica	la	misma	traslación,	se	obtiene	el	punto
	 A)	 (–	3,	–	3)
	 B)	 (–	1,	–	2)
	 C)	 (–	1,	0)
	 D)	 (3,	–	5)
	 E)	 (–	7,	2)
42.	 Si	al	punto	(1,	–	7),	en	el	plano	cartesiano,	se	le	aplica	una
	 I)	 traslación	de	4	unidades	hacia	la	izquierda	y	3	unidades	hacia	
arriba,	resulta	el	punto	(5,	–	4).
	 II)	 rotación	de	270°	en	sentido	antihorario,	con	respecto	al	origen,	
resulta	el	punto	(–	7,	–	1).III)	 simetría	con	respecto	al	eje	Y,	resulta	el	punto	(–	1,	–	7).
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	III.
	 C)	 solo	I	y	II.
	 D)	 solo	II	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
43.	 En	la	figura,	el	segmento	SP	es	tangente	a	la	circunferencia	en	S	y	el	
punto	R	está	en	la	circunferencia.	Para	que	Q	sea	el	punto	medio	del 
segmento	RP,	debe	cumplirse	que	la	medida	de	SP debe ser igual a 
la medida de RP multiplicada por
P
R
S
Q
	 A)	 	 12
	 B)	 �2
	 C)	 		2
	 D)	 �2
2
	 E)	 2�2
20 Cpech El Preuniversitario de Chile
Matemática 
EN
SA
YO44.	 En	la	circunferencia	de	centro	O	de	la	figura,	el	arco	DA	mide	120º.	Si		
DB y AC son diámetros, la medida del ángulo x es
B
A
C
D
O x
	 A)	 		30º
	 B)	 		50º
	 C)	 		60º
	 D)	 		80º
	 E)	 120º
45.	 En	el	triángulo	ABC	de	la	figura,	AB // DE.	Si	CD	=	5,	DA	=	9	y	DE	=	4,	
entonces el valor de AB es
BA
C
D E
	 A)	 36 5
 
	 B)	 56 5
	 C)	 45 4
	 D)	 35 2
	 E)	 35 4
46.	 En	la	figura,	el	triángulo	ABC	es	rectángulo	en	C	y	CD ⊥ AB , con D en 
AB . ¿Cuál es el valor de CD ?
A B
C
D
6 8
	 A)	 			 75
			 B)	 � 245
			 C)	 14
�28
			 D)	 		 245
			 E)		 		 145
21Cpech El Preuniversitario de Chile
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47.	 En	la	figura,	CB y CA 	son	cuerdas	de	la	circunferencia.	¿Cuánto mide 
el ángulo x?
x
p
2p	+	30º
p	+	10º
C
B
A
	 A)	 40º
	 B)	 45º
	 C)	 55º	 	 	 	 	 	
	 D)	 80º
	 E)	 90º
48.	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 En	un	triángulo	rectángulo	cualquiera,	la	altura	que	cae	sobre	la	
hipotenusa divide al triángulo en otros dos que son semejantes 
entre sí y semejantes con el triángulo original.
	 II)	 Si	 dos	 triángulos	 tienen	 dos	 de	 sus	 ángulos	 respectivamente	
congruentes, entonces son triángulos semejantes.
	 III)	 En	 dos	 triángulos	 semejantes,	 la	 razón	 entre	 sus	 áreas	
corresponde al cuadrado de la razón entre sus lados homólogos.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
22 Cpech El Preuniversitario de Chile
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EN
SA
YO49.	 En	la	figura,	el	triángulo	ABC	es	equilátero	y	B	está	en	el	segmento	AR.	
Se	puede	afirmar	que	el	triángulo	ABC	es	semejante	con	el	triángulo	
PQR,	si:
A B R
C
Q P
	 (1)	 El	triángulo	PQR	es	equilátero.
	 (2)	 El	segmento	AR	es	paralelo	con	el	segmento	QP.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
50.	 En	la	figura,	el	punto	P	está	en	el	eje	X	y	el	segmento	PQ	mide	�6 . 
¿Cuál es el valor de a? 
a
P
– 2
aQ
x
y
	 A)	 2�2 – 1
	 B)	 2�2 
	 C)	 �2 + 1 
	 D)	 �2 
	 E)	 �2 – 1 
23Cpech El Preuniversitario de Chile
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51.	 La	recta	que	pasa	por	los	puntos		A(3,	7)	y	B(–	3,	–	5)	tiene	pendiente		
	 A)				 –	2
	 B)			 			0
	 C)			 			0,5
	 D)			 			2
	 E)			 indefinida.
52.	 Si	el	punto	(2,	–	1)	pertenece	a	la	recta	de	ecuación	nx	–	3y	=	7,	¿cuál	
es el valor de n?
	 A)	 					5
	 B)	 					2
	 C)	 		–	2
	 D)	 		–	5
	 E)	 –	10
53.	 Sean	L1:	py	+	1	=	x	+	p		y		L2:	x	+	y	=	1		dos	rectas	en	el	plano.	Se	
puede	afirmar	que	si
	 I)	 p	=	0,	entonces	la	recta	L1	es	paralela	al	eje	X.
	 II)	 p	=	1,	entonces	la	recta	L1 es perpendicular a la recta L2.
	 III)	 p	=	–	1,	entonces	la	recta	L1 es paralela a la recta L2.
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	III.
	 C)	 solo	I	y	II.
	 D)	 solo	II	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
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EN
SA
YO54.	 Sean	P(3,	7)	y	Q	dos	puntos	en	el	plano.	Se	puede	determinar	 las	
coordenadas	del	punto	Q,	si:
	 (1)	 P	y	Q	pertenecen	a	una	recta	que	es	paralela	al	eje	Y.
	 (2)	 Q	está	a	dos	unidades	de	distancia	de	P.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
55.	 Si	el	volumen	de	un	cubo	mide	216	m3, ¿cuánto mide la diagonal de 
una de sus caras? 
	 A)	 6�3m
	 B)	 6�2m
	 C)	 3�3m
	 D)	 3�2m
	 E)		 6�6m
56.	 La	diferencia	de	medida	entre	las	aristas	de	dos	cubos	es	de	2	cm.	
Si	la	arista	del	cubo	menor	mide	x	cm,	¿cuál	es	la	diferencia	positiva	
entre los volúmenes de los cubos? 
	 A)	 8
	 B)	 6x2 – 12x – 8
	 C)	 6x2 + 12x + 8
	 D)	 4x2 – 4
	 E)	 4x2 + 4
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57.	 Si	un	cuadrado	de	lado	2	se	gira	indefinidamente	en	torno	a	una	de	
sus	diagonales,	se	forma	un	cuerpo	geométrico	cuya	área	total	es
	 A)	 2�2π
	 B)	 4�2π
	 C)	 2�2π 
3
	 D)	 8�2π
	 E)	 4�2π 
3
58.	 En	el	sistema	tridimensional	de	la	figura	se	ubican	los	puntos	A(1,	0	,	0),	
B(0,	1,	0),	C(0,	0,	1)	y	D(1,	0,	1).	¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	
es FALSA?
C
D
A
B y
x
z
	 A)	 Δ DBC ≅ Δ DBA
	 B)	 AD ⊥ AB 
	 C)	 ∠ ADC ≅ ∠ DCB
	 D)	 ∠	CBA	=	60º
	 E)	 DC // AB 
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EN
SA
YO59. En una muestra estadística, calcular el segundo quintil siempre es 
equivalente a calcular
	 I)	 el	percentil	60.
	 II)	 el	primer	cuartil.
	 III)	 la	mediana.
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	III.
	 D)	 solo	I	y	II.
	 E)	 ninguna	de	ellas.
60. La tabla adjunta muestra la distribución de edades de un grupo de 
personas,	en	años	cumplidos.	¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	
es	(son)	verdadera(s)?
Edad (años) Frecuencia
[17	–	19] 16
[20	–	22] 8
[23	–	25] 6
	 I)	 El	promedio	obtenido	a	partir	de	la	marca	de	clase	es	20	años.
	 II)	 El	intervalo	modal	es	[17,	19].
	 III)	 El	intervalo	donde	se	encuentra	la	mediana	es	[20,	22].
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 I,	II	y	III
	 E)	 Ninguna	de	ellas.
27Cpech El Preuniversitario de Chile
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61.	 En	la	tabla	adjunta	se	muestra	una	distribución	de	frecuencias	para	
tres	intervalos	consecutivos	de	igual	rango.	La	frecuencia	acumulada	
del intervalo B es
Intervalo Frecuencia Frecuenciaacumulada
A 14
B n + 2
C n 36
	 A)	 10
	 B)	 12
	 C)	 19
	 D)	 22
	 E)	 26
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EN
SA
YO62.	 El	 gráfico	 de	 la	 figura	 muestra	 el	 número	 de	 niños	 por	 familia	 en	
un	 condominio.	 ¿Cuál(es)	 de	 las	 siguientes	 afirmaciones	 es	 (son)	
verdadera(s)?
6
4
2
3 – 5 6 – 80 – 2
Nº	familias
Nº	niños
I)	 El	intervalo	modal	es	0	–	2.
II)	 El	promedio	de	los	niños	por	familia,	a	partir	de	la	marca	de	clase,	
es 3.
III)	 1 4 	de	las	familias	del	condominio	NO tienen niños.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
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63.	 Según	la	tabla	de	distribución	de	frecuencias	adjunta,	¿cuál(es)	de	las	
siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
Dato Frecuencia
1 20
2 15
3 35
4 30
	 I)	 El	percentil	30	es	4.
	 II)	 El	cuartil	3	es	3.	
	 III)	 El	decil	8	es	1.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 Ninguna	de	ellas.
64. Un conjunto de números tiene 10 elementos, los que toman solamente 
el	valor	1	o	2.	¿Cuál(es)	de	los	siguientes	parámetros	del	conjunto	se	
puede(n)	calcular	solo con los datos entregados?
	 I)	 El	promedio.
	 II)	 La	varianza.
	 III)	 El	rango.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 Ninguno	de	ellos.
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EN
SA
YO65.	 La	tabla	adjunta	representa	la	distribución	de	frecuencias	de	un	dato	
en una población. ¿Cuál es la varianza de dicho dato?
 
Dato Frecuencia
6 2
9 1
	 A)	 2
	 B)	 3
	 C)	 4
	 D)	 6
	 E)	 7
66.	 Sea	el	conjunto	M	=	{(p	–	1),	(p	+	1)},	con	p un número entero positivo. 
¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	verdadera?
	 A)	 La	varianza	de	M	es	0.	
	 B)	 La	desviación	estándar	de	M	es	igual	a	la	varianza	de	M.
	 C)	 La	varianza	de	M	depende	del	valor	de	p.
	 D)	 La	varianza	deM	es	mayor	que	la	desviación	estándar	de	M.
	 E)	 La	desviación	estándar	de	M	es	2.
67. Es posible determinar la media de una población de n elementos, con 
n > 5, si se conocen:
(1)	 Las	medias	de	todas	las	muestras	de	tamaño	4	que	se	pueden	
extraer de la población.
(2)	 Las	medias	de	todas	las	muestras	de	tamaño	3	que	se	pueden	
extraer de la población.
A)	 (1)	por	sí	sola.
B)	 (2)	por	sí	sola.
C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
E)	 Se	requiere	información	adicional.
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68.	 El	gráfico	de	la	figura	muestra	una	distribución	normal	asimétrica.	Con	
respecto a la ubicación de las medidas de tendencia central en el 
gráfico,	¿cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	verdadera?
	 A)	 media	<	mediana	<	moda
	 B)	 moda	<	mediana	<	media
	 C)	 mediana	<	media	<	moda
	 D)	 moda	<	media	<	mediana
	 E)	 media	<	moda	<	mediana
69. La cantidad de un principio activo presente en un medicamento se 
ajusta a una distribución normal con desviación estándar 50 y cuya 
media poblacional µ se estima que se encuentra en el intervalo 
[508,08;	 515,92],	 con	un	 coeficiente	 asociado	al	 nivel	 de	 confianza	
igual a 1,96. ¿Cuántas muestras se utilizaron para determinar el 
intervalo	de	confianza?
A)	 					10
B)	 					25
C)								157
D)								625
E)		 1.250
70.	 Si	la	probabilidad	de	que	un	suceso	ocurra	es	a, ¿cuál es la probabilidad 
de que dicho suceso NO ocurra?
	 A)	 			0
	 B)	 			1
	 C)	 		 1a
	 D)	 a	–	1
	 E)	 1	–	a
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EN
SA
YO71. Un coleccionista de discos musicales tiene en una caja 18 discos de 
música heavy metal, 15 discos de música jazz y 12 discos de música 
rock.	 Si	 quiere	 escuchar	 un	 disco	 de	 la	 caja	 al	 azar,	 ¿cuál	 es	 la	
probabilidad de NO escoger un disco de música heavy metal?
	 A)	 	 25
	 B)	 	 13
	 C)	 	 35
	 D)	 	 23
	 E)	 1115
72. En una caja solo hay bolitas rojas y blancas, todas de igual peso y 
tamaño.	Si	 la	probabilidad	de	extraer	al	azar	una	bolita	 roja	es	 25 , 
¿cuántas bolitas blancas y rojas podrían haber en la caja?
	 A)	 10	blancas	y	50	rojas.
	 B)	 20	blancas	y	50	rojas.
	 C)	 20	blancas	y	30	rojas.
	 D)	 30	blancas	y	20	rojas.
	 E)	 50	blancas	y	20	rojas.
73.	 ¿Cuál(es)	 de	 los	 siguientes	eventos	 tiene(n)	 la	misma	probabilidad	
que al lanzar un dado común salga un número primo?
	 I)	 Que	al	lanzar	un	dado	común	salga	un	número	par.
	 II)	 Que	al	lanzar	un	dado	común	salga	un	número	impar.
	 III)	 Que	al	lanzar	una	moneda	salga	cara	o	sello.	
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 I,	II	y	III
	 E)	 Ninguna	de	ellas.
33Cpech El Preuniversitario de Chile
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74.	 Un	jugador	de	fútbol,	cuando	patea	un	penal,	tiene	una	probabilidad	
de 45 	de	anotar.	Si	patea	dos	penales,	¿cuál	es	 la	probabilidad	de	
anotar	el	primero	de	ellos	y	fallar	el	segundo?
	 A)	 425
	 B)	 825
	 C)	 	 12
	 D)	 		1
	 E)	 	 45
75. En una baraja de 48 naipes se tienen oros, bastos, espadas y copas. 
Cada uno de estos grupos consta de doce cartas numeradas del 1 
al	12.	Si	se	extraen	dos	cartas	al	azar,	una	tras	otra	y	sin	reposición,	
¿cuál es la probabilidad de obtener primero un 9 y luego un 5? 
	 A)	 448 + 
4
48 
	 B)	 448 + 
4
47 
	 C)	 448 ⋅ 
4
48 
	 D)	 448 ⋅ 
4
47 
	 E)	 448 ⋅ 
3
47 
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EN
SA
YO76.	 Se	lanzan	tres	veces	un	dado	común.	¿Cuál	es	la	probabilidad	de	que	
la suma de sus caras sea 15?
	 A)	 5108
	 B)	 	 124
	 C)	 	 172
	 D)	 	 1
36
	 E)	 	 1
16
77.	 En	una	caja	se	tienen	N	tarjetas	de	la	misma	forma	y	tamaño,	con	N	>	3,	
con	un	número	escrito	en	cada	una	de	ellas.	Se	realiza	el	experimento	
de	extraer	dos	tarjetas	al	azar	y	se	define	la	variable	aleatoria	X como 
el producto de los dos números obtenidos. Es posible determinar los 
valores que puede tomar la variable X, si:
	 (1)	 N	=	20
	 (2)	 Dos	tarjetas	tienen	escrito	el	número	1	y	el	resto	tiene	escrito	el	
número 2.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
35Cpech El Preuniversitario de Chile
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78. En una sala hay 26 hombres y 24 mujeres. La mitad de las mujeres 
está	 casada	 y	 18	 de	 los	 hombres	 no	 están	 casados.	 Si	 entre	 las	
personas casadas se escoge una al azar, ¿cuál es la probabilidad de 
que sea hombre?
	 A)	 425
	 B)	 413
	 C)	 	 25
	 D)	 	 12
	 E)	 910
79.	 Se	 tiene	un	dado	de	cuatro	caras,	numeradas	del	1	al	 4,	donde	al	
lanzarlo todas ellas son equiprobables de salir. Un experimento 
consiste	en	lanzar	el	dado	dos	veces	y	se	define	la	variable	aleatoria	
X como la suma de los resultados de ambos lanzamientos. ¿Cuál es 
el	valor	de	P(3	≤	X	≤	5)?
	 A)	 	 17
	 B)	 316
	 C)	 	 37
	 D)	 	 12
	 E)	 916
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EN
SA
YO80.	 Sea	 X	 una	 variable	 aleatoria	 con	 función	 de	 probabilidad	 normal	
tipificada	P.	Si	P(X	≤	a)	=	 5 8 ,	entonces	el	valor	de	P(–	a	≤	X	≤	a)	es	
	 A)	 	 1 4
	 B)	 5 16
	 C)	 	 3 8
	 D)	 	 3 4
	 E)	 13 16
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