Ensayo Cpech 024 - Matemáticas (2015) (E) - Antonia Salinas

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ENSAYO MT-024
SI
M
EX
4L
CA
02
58
6V
1
Matemática
EN
SC
ES
M
T0
24
-A
15
V1
Matemática 
1. Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada una de ellas tiene 
5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola 
de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fi	la	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafi	to.
4.	 Lea	atentamente	las	instrucciones	específi	cas	para	responder	
las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se 
explica la forma de abordarlas.
5.	 Las	 fi	guras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
6.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
7. Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule 
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
8. Es obligatorio devolver el facsímil íntegramente antes de 
abandonar la sala.
9. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES
Matemática 
EN
SA
YO1. 5 + 1
4 – 1
3 + 12
 = 
 A) 73
 B) 13726
 C) 11
2
 D) 7
 E) 7615
2.	 Si	x es igual a 20
3
 redondeado a la centésima e y es igual a 19
4
 
truncado a la décima, entonces la diferencia entre x e y es
 A) 2
 B) 1,97
 C) 1,92
 D) 1,9
 E) 1,87
3.	 Tres	 hermanos	 se	 repartirán	 una	 herencia	 de	 $	 1.200.000.	 El	
testamento estipula que el mayor reciba 25 del total, el menor reciba 
2
3 del resto y el del medio reciba el dinero que quede. ¿Cuánto dinero 
de la herencia le corresponde al hermano del medio?
	 A)	 $	240.000
	 B)	 $	320.000
	 C)	 $	400.000
	 D)	 $	480.000
	 E)	 $	720.000
Cpech Preuniversitarios 3
ENSAYO Matemática 
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 5
x
5
 – 5x?
 A) 5x – 1 – 5x + 2 
 B) 5x + 1 – 5x 
 C) – 4 • 5x – 1
 D) – 5x + 1
 E) – 5x
5. Para un estudio bacteriológico se toma una muestra que está 
compuesta de 12,5 • 1015	 bacterias.	 Si	 por	 error	 se	 agregó	 un	
antiséptico a la muestra, el cual mató a varias bacterias, quedando 
solo 49 de la muestra inicial, ¿cuántas bacterias murieron?
 A) 1,25 • 1016
 B) 19 • 6,25 • 10
16
 C) 19 • 5 • 10
17
 D) 13 • 1,25 • 10
16
 E) 19 • 1,25 • 10
16
6.	 Sean	v, w y z tres números reales tales que w = v3 y z = v – 
v
3 . ¿En 
cuál(es)	de	las	siguientes	afi	rmaciones	se	cumple	que	w	≤	z	≤	v?
 I) v = 3
 II) z = 0,6
 III) w = 0,5
	 A)	 Solo	en	I
	 B)	 Solo	en	III
	 C)	 Solo	en	I	y	en	II
	 D)	 Solo	en	II	y	en	III
 E) En I, en II y en III
Cpech Preuniversitarios4
Matemática 
EN
SA
YO7. Si	log16 5 es aproximadamente 
3
5
 , ¿cuál de los siguientes valores es 
el más cercano a log16 80?
 A) 4
5
 B) 8
5
 
 C) 5
 D) 48
5
 E) 10
8.	 Si	a	= √3 , b = 3√4 y c = 4√5, el orden correcto entre ellos es
 A) c < b < a
 B) b < c < a
 C) a < b < c 
 D) c < a < b
 E) a < c < b
9. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones tiene(n) un valor que está 
entre 2 y 3?
 I) log3 16
 II) log4 65
 III) log5 100
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
Cpech Preuniversitarios 5
ENSAYO Matemática 
10.	 Sean	a	=	√2 y b = √18 .	Si	el	resultado	de	(a	+	b)	truncado	a	la	cuarta	
cifra decimal es 5,6568, entonces el resultado de (a – b) truncado a la 
décima es
 A) 4,2
 B) 2,8
 C) – 2,8
 D) – 4,2
 E) – 5,6
11.	 Si	 p	 =	 log b – log a
2
, con a, b y p números positivos, entonces 
¿cuál(es)	de	las	siguientes	afi	rmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) a > b
 II) 102p = ba
	 III)	 Si	b	=	2a	y	log	2	truncado	a	la	décima	es	0,3;	entonces	el	valor	
de p es 0,6.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
12.	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afi	rmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) (√7 + √14) = √21
 
 II) 5
√5 – 2
 = 5√5 + 10
3
 
 III) √8 + √3 = 4√67
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) Ninguna de ellas. 
Cpech Preuniversitarios6
Matemática 
EN
SA
YO13. √258 – √ 92 =
 A) – 78
 B) – √24
 C) √63
 D) √2
 E) √24
14.	 Si	log	a	=	2;	log	b	=	3	y	log	c	=	5,	entonces	¿cuál(es)	de	las	siguientes	
afi	rmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) log (a + b) = log c
 II) logb 10
3 = loga a
 III) log ( abc ) = 0 
	 A)	 Solo	I	y	II
	 B)	 Solo	I	y	III
	 C)	 Solo	II	y	III
 D) I, II y III
 E) Ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios 7
ENSAYO Matemática 
15.	 En	 la	 fi	gura	 se	muestra	 la	 representación	 en	 el	 plano	 complejo	 de	
cierto número z, que corresponde al vértice de un rectángulo cuyos 
otros vértices se encuentran en los ejes y en el origen. El valor del 
área del rectángulo se puede expresar como
z
Im
Re
 A) z • z
 B) – Re(z) • Im(z) 
 C) – z • z 
 D) √z • z 
 E) Re(z) • Im(z) 
16.	 Sea	z	=	 (1	–	 i),	 con	 i	 la	unidad	 imaginaria.	El	 inverso	multiplicativo	
(recíproco) del cuadrado de z es igual a
 A) – 2i
 B) 1 + i2
 C) 2i
 D) 1 + i
 E) i2
17. Dado el siguiente enunciado: “Hace diez años la edad de un padre era 
quince veces la edad de su hijo”, siendo P la edad actual del padre y 
H la edad actual de su hijo. La ecuación que representa el enunciado 
es
 A) P – 10 = 15 • H
 B) P – 10 = 15 • (H – 10)
 C) 15 • P = H – 10
 D) 10 – P = 15 • H
 E) 15 • P = H + 10
Cpech Preuniversitarios8
Matemática 
EN
SA
YO18.	 En	la	fi	gura	se	muestra	un	rectángulo	al	cual	se	le	han	quitado	dos	
cuadrados de lado x, ubicados en sus esquinas. El área sombreada 
se puede expresar como
1
2
 A) 4(x + 2)
 B) 2(2x + 1)
 C) (2x + 1)2
 D) 2(x + 1)2
 E) 2(x2 + 1)
19. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
 I) (4x + 4– x)2 = 16x + 2 + 16– x
 II) x – 1
√x – 1
 = √x + 1, con x > 1.
 III) x – √x – 12 = (√x + 3)(√x – 4), con x positivo.
		 A)	 Solo	I
		 B)	 Solo	II
		 C)	 Solo	I	y	II
 D) I, II y III
 E) Ninguna de ellas.
20.	 Ana	tiene	$	500,	compra	3	dulces	del	mismo	precio	y	le	quedan	$	20.	
Si	Luisa	quisiera	comprar	2	de	los	mismos	dulces,	 le	faltarían	$	20.	
¿Cuánto dinero tenían entre las dos, antes que Ana comprara?
 
	 A)	 $	760
	 B)	 $	780
	 C)	 $	800
	 D)	 $	820
 E) Faltan datos para determinarlo.
Cpech Preuniversitarios 9
ENSAYO Matemática 
21.	 ¿Cuál	 de	 los	 siguientes	 sistemas	 de	 ecuaciones	 tiene	 infi	nitas	
soluciones?
 A) x + 2y = 30
15 – x = 
y
2
 B) 2y = 20 + x
2x – 40 = 4y 
 C) 2x + y = 30
x = 15 – 
y
2
 
 D) x + 4y = 1
x
y
 = 2 
 E) 2x + 3y = 0
x – y = 5 
22. Para x > 0, la expresión 1 – 1
1 – 1
x2
 + 1
x3
 
 es equivalente a
 A) x – 1
x3 – x + 1
 B) – 1
x2 + x – 1
 C) x
x2 + x – 1
 D) 1 – x
x3 – x + 1
 E) 1 + x
x3 – x + 1
Cpech Preuniversitarios10
Matemática 
EN
SA
YO23.	 Si	 el	 ancho	 de	 un	 rectángulo	 es	 25	 unidades	menor	 que	 su	 largo	
y además el doble de su área es 232, entonces el perímetro del 
rectángulo es
 A) 64
 B) 65
 C) 66
 D) 67
 E) 68
24. Dada la ecuación x2 – 2x + 2k + 1 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes 
afi	rmaciones	es	(son)	siempre verdadera(s)?
	 I)	 Si	k	>	0,	las	soluciones	de	la	ecuación	son	reales	y	distintas.
	 II)	 Si	k	=	0,	las	soluciones	de	la	ecuación	son	reales	e	iguales.
	 III)	 Si	k	<	0,	las	soluciones	de	la	ecuación	son	complejas	y	distintas.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
25.	 Si	 la	diferencia	entre	el	antecesor	de	un	número	y	1	es	a	 lo	menos	
el triple de la suma entre el sucesor de ese número y 1, entonces la 
expresión que representa tal situación es
 A) x – 2 ≥ 3x + 6
 B) x – 1 ≥ 3x + 2
 C) x – 2 > 3x – 6
 D) x – 2 < 3x – 2
 E) x – 1 > 3x + 6
Cpech Preuniversitarios 11
ENSAYO Matemática 
26.	 Si m – nn < –1,	con	n	≠	0,	se	cumple	siempre que
 A) m y n tienen el mismo valor.
 B) m y n tienen igual signo.
 C) m y n tienen distinto signo.
 D) m es negativo.
 E) n es negativo.
27. El conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x + 2 > 1
2 – x ≤ 5
3
 
 , es
 A) – 1
3
, 1
3
 
 B) – ∞, – 1
3
 C) – 1
3
, 1
3
 
 D) 1
3
, + ∞ 
 E) 1
3
,+ ∞ 
28.		El	gráfi	co	que	representa	la	solución	del	sistema	 x + 3 < 1
1	–	x	≥	2
 , es
 A) 
– 2 1
 B) 
– 1
– ∞
 C) 
– 2
– ∞
 D) 
– 2 – 1
 E) 
3
– ∞
Cpech Preuniversitarios12
Matemática 
EN
SA
YO29.	 Un	gásfi	ter	cobra	$	5.000	por	la	visita	más	$	18.000	por	hora	de	trabajo,	
sin incluir los materiales necesarios para hacer las reparaciones. 
¿Cuál de las siguientes funciones representa el monto que cobrará el 
gásfi	ter	en	pesos,	para	a horas de trabajo, sin incluir los materiales?
 A) f(a) = 5.000a + 18.000
 B) g(a) = (5.000 + 18.000)a
 C) h(a) = 5.000 • 18.000 • a
 D) r(a) = 5.000 + (18.000 + 5.000)a
 E) s(a) = 5.000 + 18.000a
30.	 Sean	las	funciones	f(x)	=	x	–	4	y	g(x)	=	x2. ¿Cuál es la expresión que 
representa a g(f(x))?
 A) x2 – 4x
 B) x2 – 16
 C) x2 – 4
 D) x2 – 8x + 16
 E) x2 – 8x + 8
31. Para la función real h(x) = √x2 + 2,	es	correcto	afi	rmar	que
 I) el dominio de la función es IR.
 II) el recorrido de la función es IR.
 III) h(2) = h(– 2)
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo III.
 D) solo I y III.
 E) solo II y III.
Cpech Preuniversitarios 13
ENSAYO Matemática 
32. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor	al	gráfi	co	de	 la	
fi	gura?
y
x
2
1
– 1
 A) f(x) = log x
 B) g(x) = log2 x
 C) h(x) = log4 x
 D) j(x) = log1
2
 x
 E) k(x) = log1
4
 x
33.	Sea	la	función	exponencial	f(x)	=	( 15 )
– x
, con x en los reales. ¿Cuál(es) 
de las siguientes	afi	rmaciones	es	(son)	siempre verdadera(s)? 
 I) La función es decreciente.
	 II)	 El	gráfi	co	de	la	función	intersecta	al	eje	de	las	ordenadas	en	el	
punto (1, 0).
 III) La función f(x) es equivalente a la función g(x) = 5x.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	I	y	III
Cpech Preuniversitarios14
Matemática 
EN
SA
YO34.	 Sea	f	una	función	real	defi	nida	por	f(x)	=	x2 – 5x + 9. El valor mínimo 
que alcanza la función es
 A) 9
 B) 6
 C) 112
 D) 114
 E) 52
35.	 Si	 f(x)	=	–	3x5 y g(x) = 9x4, con x en los reales, ¿para cuál de los 
siguientes	intervalos	se	cumple	que	g(x)	≥	f(x)?
 A) [– 3, + ∞[
 B) ] – ∞, – 3]
 C) ] – ∞, 3]
 D) [– 9, + ∞[
 E) [– 9, 0]
36.	 En	la	fi	gura,	el	triple de la suma entre r→ y s→ es
5
– 3
– 3
– 1
y
x
r→
s→
 A) (– 4, 3)
 B) (– 12, 6)
 C) (– 8, – 4)
 D) (4, 16)
 E) (– 6, – 12)
Cpech Preuniversitarios 15
ENSAYO Matemática 
37.	 Sean	los	puntos	P( – 23 , 4) y	Q(a,	–	3).	Si	M(– 2, 12 ) es el punto medio 
del trazo PQ, ¿cuál es el valor de a?
 A) – 103 
 B) – 43 
 C) 13 
 D) 76 
 E) 83 
38. En el plano cartesiano, a un triángulo ABC de vértices A(3, 0), B(7, 0) 
y	C(5,	5)	se	le	aplica	una	traslación	T.	Si	el	vértice	C	trasladado	tiene	
coordenadas (– 7, 12), entonces los vértices A y B trasladados son, 
respectivamente,
 A) (– 4, 12) y (0, 12)
 B) (0, 12) y (– 4, 12)
 C) (5, 7) y (9, 7)
 D) (– 15, 7) y (– 19, 7)
 E) (– 9, 7) y (– 5, 7)
39.	 Si	al	punto	(7,	3)	se	 le	aplica	una	simetría	axial	con	respecto	al	eje	
X	y	luego	una	traslación	de	acuerdo	al	vector	T(–	9,	5),	entonces	las	
nuevas coordenadas del punto son
 A) (– 2, 8)
 B) (– 16, 8)
 C) (– 6, 12)
 D) (– 12, 6)
 E) (– 2, 2)
Cpech Preuniversitarios16
Matemática 
EN
SA
YO40.	 En	la	fi	gura,	AC y DB son diagonales del rombo ABCD, con AC > DB.	Si	
E es el punto de intersección de las diagonales, ¿cuál de las siguientes 
afi	rmaciones	es	FALSA?
A
D
B
C
E
 A) Δ ACD ≅ Δ CAB
 B) ∠ DCE ≅ ∠ ECB
 C) DE ≅ EB
 D) El triángulo BCE es rectángulo en E.
 E) El triángulo ACD es equilátero.
41.	 Si	al	punto	 (4,	–	6)	se	 le	 realiza	una	 rotación	de	150°	 respecto	del	
origen,	en	sentido	horario,	seguida	de	una	rotación	de	60°	respecto	
del origen, en sentido antihorario, se obtiene el punto
 A) (6, – 4) 
 B) (6, 4) 
 C) (– 6, 4) 
 D) (– 6, – 4) 
 E) (4, 6) 
42.	 En	 la	 fi	gura,	el	 triángulo	PQR	se	obtiene	como	 refl	ejo	del	 triángulo	
ABC bajo una simetría axial respecto del eje Y. ¿Cuál es el área del 
trapecio formado al unir los puntos B, P, R y C?
y
C 6
– 7 – 5 – 2
A B P Q
R
x
2
 A) 14 
 B) 21 
 C) 28
 D) 40
 E) Faltan datos para determinarla. 
Cpech Preuniversitarios 17
ENSAYO Matemática 
43.	 Si	en	un	triángulo	rectángulo	de	catetos	a y b se traza la altura hacia 
la hipotenusa, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el valor 
de dicha altura?
 A) ab
√a2 + b2
 B) aba + b
 C) a
2b2
a + b
 D) √a + b
a2b2
 E) Faltan datos para determinarla.
44.	 En	el	triángulo	de	la	fi	gura,	el	valor	de	p es
(p – 1)
H
F T G
3
2
 A) 1,5
 B) 2,5
 C) 3,5
 D) 4,5
 E) 5,5
45.	 En	la	circunferencia	de	la	fi	gura,	AD es	cuerda.	Si	el	ángulo	ACB	mide	
60º y el arco DC mide 80º, ¿cuál es la medida del ángulo α?
A
C
α
D
B
 A) 40º
 B) 60º
 C) 80º
 D) 100º
 E) 120º
Cpech Preuniversitarios18
Matemática 
EN
SA
YO46. En	la	fi	gura,	el	punto	T	divide	interiormente	al	trazo	RS	en	la	razón	a	:	b.	
¿Cuál de las siguientes expresiones permite determinar la longitud del 
trazo	TS?
R T S A) 
b
a •	RT
 B) ab •	RT
 C) b – ab •	RT
 D) a – bb •	RT
 E) a – ba •	RT
47.	 En	el	triángulo	ABC	de	la	fi	gura,	ED // BC .	Si	CB	=	10,	AE	=	x		y
 EB = x – 10, entonces el trazo ED en términos de x es
A
C
B
D
E
 A) 10xx – 10 
 B) 1010 – x 
 C) 12x – 1 
 D) 5xx – 5 
 E) 5x – 5 
Cpech Preuniversitarios 19
ENSAYO Matemática 
48. En	la	fi	gura,		 los	puntos	A,	B,	C	y	D	pertenecen	a	la	circunferencia,		
AC intersecta a BD en E, OA es tangente a la circunferencia en A y 
OB	es	secante.	Si	AE	=	2,	EC	=	4,	BE	=	2x,	ED	=	x,	¿cuál	es	la	medida	
del	segmento	OA?
B
C
E
A D
O
7x
 A) √70
 B) 2√70
 C) 4√5
 D) √5
 E) 4√14
49. En	la	circunferencia	de	la	fi	gura,	PD y PC 	son	secantes.	Si	el	arco	CD	
mide 1 4 de la circunferencia y el arco AB mide 
2 
15 de la circunferencia, 
¿cuánto mide el ángulo CPD? 
D
C
A
B
P
 A) 21º
 B) 42º
 C) 69º
 D) 138º
 E) Ninguna de las medidas anteriores.
Cpech Preuniversitarios20
Matemática 
EN
SA
YO50.	 En	 el	 triángulo	 	 ABC	 de	 la	 fi	gura,	 ¿cuál(es)	 de	 las	 siguientes	
afi	rmaciones	es	(son)	siempre verdadera(s)?
 I) El perímetro del triángulo BCD es el doble del perímetro del 
triángulo CAD.
 II) El área del triángulo BCD es cuatro veces el área del triángulo 
CAD.
 III) ∠ DAC ≅ ∠ DCB
1 cm
BA
C
D
2 cm
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
51.	Si	al	 triángulo	equilátero	de	 la	fi	gura	se	 le	aplica	una	homotecia	de	
razón menor que – 1, ¿cuál de las siguientes opciones representa 
mejor un resultado posible de obtener?
5
 A) 6 B) 
4
 C) 
6
 D) 5 E) 4
Cpech Preuniversitarios 21
ENSAYO Matemática 
52. De acuerdo a la recta y = mx + n, ¿cuál(es) de las siguientes 
afi	rmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 Si	n	=	0	y	m	≠	0,	la	recta	es	paralela	al	eje	Y.
	 II)	 Si	m	=	0	y	n	≠	0,	la	recta	es	paralela	al	eje	X.
	 III)	 Si	m	>	0	y	n	<	0,	la	recta	es	creciente.
 
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
53. ¿Cuál de los siguientes sistemas está mejor representado en la 
gráfi	ca?
y
7
1
x
	 A)	 y	=	2x	+	3	;	y	=	–	5x	+	7
	 B)	 y	=	x	+	4	;	y	=	–	4(x	+	5)
	 C)	 y	=	2x	;	y	=	–	5x	+	7
	 D)	 y	=	2x	+	5	;	y	=	–	7(x	–	2)
	 E)	 y	=	3x	+	3	;	y	=	–	6x	+	9	
54. Si	el	punto	P	de	coordenadas	(2,	6)	se	rota	en	90°,	en	sentido	antihorario,	
se obtiene el punto P’ y si el punto Q de coordenadas (5, 4) se traslada 
según	el	vector	T(–	2,7),	se	obtiene	el	punto	Q’.	¿Cuál	es	la	distancia	
entre P’ y Q’?
 A) √13
 B) √26
 C) 2√18
 D) 12
 E) 9√2
Cpech Preuniversitarios22Matemática 
EN
SA
YO55.	 En	el	gráfi	co	de	la	fi	gura,	la	pendiente	de	la	recta	es
b
a
y
x
 A) 0
 B) ab
 C) – ab
 D) ba
 E) – ba
56.	 Se	defi	ne	la	recta	v(t)	=	(2,	a,	–	1)	+	t(1,	b,	a),	con	t en los números 
reales.	Si	el	punto	(–	4,	3,	1)	pertenece	a	la	recta	v(t),	entonces	el	valor	
de b es 
 A) 103 
 B) – 59 
 C) – 16 
 D) – 13 
 E) – 6 
Cpech Preuniversitarios 23
ENSAYO Matemática 
57. Dado un cilindro de radio r, altura h y volumen V, ¿cuál de las siguientes 
afi	rmaciones	es	correcta?
	 A)	 Si	su	radio	aumenta	al	doble,	su	volumen	aumenta	cuatro	veces.
	 B)	 Si	su	radio	disminuye	a	la	mitad,	su	volumen	también	lo	hace.
	 C)	 Si	su	altura	disminuye	a	la	mitad,	su	volumen	disminuye	cuatro	
veces.
	 D)	 Si	su	altura	aumenta	al	doble,	su	volumen	aumenta	cuatro	veces.
	 E)	 Si	su	radio	y	altura	disminuyen	a	la	mitad,	su	volumen	disminuye	
cuatro veces.
58.	 La	fi	gura	representa	un	trozo	de	papel	compuesto	por	un	cuadrado	
central, cuatro rectángulos congruentes, unidos a los lados del cuadrado 
y	un	último	cuadrado	congruente	al	central.	Se	sabe	que	el	área	de	
cada rectángulo mide 32 cm2 y el área de cada cuadrado, 16 cm2. El 
volumen del paralelepípedo que se forma al doblar el papel construyendo 
el cuerpo mide
 A) 16 cm3
 B) 48 cm3
 C) 64 cm3
 D) 96 cm3
 E) 128 cm3
Cpech Preuniversitarios24
Matemática 
EN
SA
YO59.	 El	siguiente	gráfi	co	circular	muestra	el	resultado	de	un	estudio	acerca	
de las edades de las personas que conforman un grupo juvenil de 
teatro. 
20%
40%30%
10%
27 a 29
años
18 a 20
años
21 a 23
años
24 a 26
años
 Entonces, en el grupo de teatro
 I) hay más personas de 18 a 23 años que personas de 24 a 29 
años.
 II) 13 de las personas tienen de 24 a 26 años.
 III) el promedio (o media aritmética) a partir de la marca de clase es 
22,3 años.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo II.
 B) solo III.
 C) solo I y II.
 D) solo I y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 25
ENSAYO Matemática 
60. La tabla adjunta representa un estudio estadístico acerca de la 
producción de las parcelas de una región, agrupándolas en intervalos 
dependiendo de las toneladas de hortalizas que producen por 
temporada.
Cosecha [ton] Nº de parcelas
1 - 10 5
11 - 20 6
21 - 30 11
31 - 40 20
41 - 50 17
51 - 60 21
 De acuerdo a la información de la tabla, el tercer cuartil de la muestra 
se encuentra en el intervalo
 A) 51 - 60
 B) 41 - 50
 C) 31 - 40
 D) 21 - 30
 E) 1 - 10
Cpech Preuniversitarios26
Matemática 
EN
SA
YO61.	 El	gráfi	co	adjunto	muestra	los	puntajes	de	un	curso	obtenidos	en	una	
prueba.
1
0
[0,10[ [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[
2
3
4
5
6
7
8
Puntajes
Fr
ec
ue
nc
ia
 
	 Es	correcto	afi	rmar	que
 I) el intervalo modal es el intervalo [20,30[.
 II) la mediana se encuentra en el intervalo [30,40[.
 III) más de las tres cuartas partes del curso tiene a lo menos 20 
puntos.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo I y II.
 D) solo I y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 27
ENSAYO Matemática 
62.	 Si	se	tienen	cuatro	números	naturales	pares	consecutivos,	entonces	
su desviación estándar es siempre
 A) 32 
 B) √52 
 C) √5
 D) √6
 E) dependiente de los números.
63.	 Sean	x1, x2, x3, x4, x5 números naturales consecutivos, cuya desviación 
estándar es σ, varianza σ2 y media aritmética μ.¿Cuál de las siguientes 
afi	rmaciones	es	FALSA?
 A) σ	≠	σ2
 B) σ = √2
 C) σ > σ2
 D) σ2 > 1
 E) σ < μ
Cpech Preuniversitarios28
Matemática 
EN
SA
YO64.	 Sea	 la	variable	Z	defi	nida	como	 la	estatura	de	una	persona.	En	un	
grupo de alumnos de un colegio, se observa que Z tiene distribución 
normal	de	promedio	165	cm	y	desviación	estándar	10	 cm.	Si	X es 
una	variable	de	distribución	normal	tipifi	cada,	¿cuál	de	las	siguientes	
relaciones permite expresar X en términos de Z?
 A) X = Z – 16510 
 B) X = Z • 10165 
 C) X = Z – 10165 
 D) X = Z + 16510 
 E) X = Z • 16510 
65.	 En	una	tómbola	se	tienen	2	bolitas	con	la	letra	S,	3	bolitas	con	la	letra	
M y 5 bolitas con la letra K. ¿De cuántas formas distintas se pueden 
ordenar	las	bolitas	en	una	fi	la?
 A) 10!
 B) 10!3! 
 C) 10!30!
 D) 10!2 • 3 • 5
 E) 10!2! • 3! • 5!
Cpech Preuniversitarios 29
ENSAYO Matemática 
66.	 Se	realiza	un	experimento	aleatorio	que	consiste	en	 lanzar	4	veces	
una moneda, entonces
 I) la probabilidad de obtener a lo más 3 sellos es 1516 .
 II) la probabilidad de obtener solo una cara es igual a la probabilidad 
de obtener solo dos sellos.
 III) la probabilidad de obtener solo dos caras o solo un sello es 78 .
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo I y II.
 D) solo II y III.
 E) I, II, III.
67.	 Si	 se	 lanzan	 simultáneamente	 2	 dados	 comunes,	 ¿cuál	 es	 la	
probabilidad que la suma de sus caras sea 3 ó 10?
 A) 536 
 B) 12 
 C) 56 
 D) 112 
 
 E) Ninguno de los valores anteriores.
Cpech Preuniversitarios30
Matemática 
EN
SA
YO68. El dueño de una tienda de muebles realiza un inventario de los 
productos que tiene, registrando la siguiente tabla.
Tipos de muebles Antiguo Contemporáneo
Silla 16 10
Mesa 4 2
Mesa de centro 5 5
Sofá 2 4
	 Si	se	elige	un	mueble	al	azar,	la	probabilidad	de	que	el	mueble	escogido	
sea una silla contemporánea o un mueble antiguo es
 A) 1112 
 B) 56 
 C) 3748 
 D) 2748 
 E) 524 
Cpech Preuniversitarios 31
Matemática ENSAYO
69.	 Diego	lanza	dos	dados	comunes	y	defi	ne	la	variable	aleatoria	x como 
la	suma	de	los	números	que	se	obtienen	al	lanzar	dichos	dados.	Si	P 
es la función de probabilidad de x,	¿cuál	de	las	siguientes	afi	rmaciones	
es verdadera?
 A) Los valores de x solo pueden ser 2,3,4,5 ó 6.
 B) P(x = 2) = 118 
 C) P(x < 3) = 16 
 D) P(x > 2) = 3536 
 E) El dominio de la función P es ]2,12], con x ∈ IN.
70. En una urna hay 12 bolitas, de las cuales 3 son rojas, 4 son violeta, 
2	son	azules	y	3	son	blancas,	 todas	de	 igual	peso	y	 tamaño.	Si	se	
hacen tres extracciones, las dos primeras con reposición y la última 
sin reposición, entonces ¿cuál es la probabilidad de obtener, en ese 
orden, una bolita blanca, una azul y por último una violeta?
 A) 766 
 B) 172 
 C) 566 
 D) 912 
 E) 166 
Cpech Preuniversitarios32
Matemática 
EN
SA
YO71. Una bolsa tiene 30 tarjetas, de las cuales tres de ellas tienen un 2, 
cuatro de ellas un 5, cinco de ellas un 6, siete de ellas un 10, cinco de 
ellas	un	11	y	seis	de	ellas	un	14.	Se	realiza	el	experimento	de	extraer	
una	tarjeta	al	azar	y	se	defi	ne	la	variable	aleatoria	x como el número 
obtenido.	Si	 la	 función	de	probabilidad	de	x es P, ¿cuál(es) de las 
siguientes	afi	rmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) P(x = 10) > P(x = 11)
 II) P(x = 6) = 16 
 III) P(x = 14) = 15 
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
72.	 Se	tiene	la	siguiente	distribución	en	tres	cursos	de	un	colegio:	en	6°	
básico	hay	2	hombres	y	10	mujeres,	en	7°	básico	hay	8	hombres	y	3	
mujeres	y	en	8°	básico	hay	6	hombres	y	7	mujeres.	Si	se	reúnen	los	
tres cursos en el gimnasio del colegio, al escoger al azar
	 I)	 una	mujer,	lo	más	probable	es	que	sea	de	6°	básico.
	 II)	 un	hombre,	lo	más	probable	es	que	sea	de	7°	básico.
	 III)	 una	 persona	 cualquiera,	 lo	 más	 probable	 es	 que	 sea	 de	 8°	
básico.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo III.
 D) solo I y II.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 33
ENSAYO Matemática 
73. La siguiente función de distribución acumulada F	 se	 defi	ne	 para	
una variable aleatoria discreta x en el intervalo [1,5], con función de 
probabilidad f.
 
 114 , si x = 1
 27 , si x = 2F(x) = 
 37 , si x = 3
 1114 , si x = 4
 ¿Cuál es el valor de f(2) + f(3)?
 A) 47
 B) 12
 C) 514
 D) 314
 E) 17
Cpech Preuniversitarios34
Matemática 
EN
SA
YOInstrucciones para las preguntas Nº 74 ala Nº 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, 
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema 
más	los	indicados	en	las	afi	rmaciones	(1)	y	(2),	son	sufi	cientes	para	llegar	
a esa solución.
Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra:
A) (1) por sí sola,	 si	 la	 afi	rmación	 (1)	 por	 sí	 sola	 es	 sufi	ciente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afi	rmación	(2)	por	sí	sola	no	lo	es;
B) (2) por sí sola,	 si	 la	 afi	rmación	 (2)	 por	 sí	 sola	 es	 sufi	ciente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afi	rmación	(1)	por	sí	sola	no	lo	es;	
C) Ambas juntas, (1) y (2),	 si	 ambas	 afi	rmaciones	 (1)	 y	 (2)	 juntas	
son	 sufi	cientes	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 ninguna	 de	 las	
afi	rmaciones	por	sí	sola	es	sufi	ciente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),	si	cada	una	por	sí	sola	es	sufi	ciente	
para	responder	a	la	pregunta;
E) Se	requiere	información	adicional,	si	ambas	afi	rmaciones	juntas	son	
insufi	cientes	para	responder	a	la	pregunta	y	se	requiere	información	
adicional para llegar a la solución.
74.	Si	q es un número natural, entonces se puede determinar que este es 
un número par si:
 (1) q2 es un número par.
 (2) (q + 3)2 es un número impar.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 35
ENSAYO Matemática 
75.	Sean	x e y	 números	 reales	distintos.	Se	puede	determinar	el	 valor	
numérico de x – y • (x + y)x – y si:
 (1) x = 3
 (2) x + y = 5
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
76.	 Sean	f(x)	=	3x	–	2		y		g(x)	=	mx	+	n,	dos	funciones	reales.	Es	posible	
determinar el valor númerico de n si:
	 (1)	 Los	gráfi	cos	de	f	y	g	son	perpendiculares	entre	sí.
	 (2)	 Los	gráfi	cos	de	f	y	g	se	intersectan	en	el	eje	de	las	ordenadas.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
77.	En	la	fi	gura,	Δ ABC ∼ Δ DEC si:
 (1) AD ≅ DC y BE ≅ EC.
 (2) El segmento DE es mediana del triángulo ABC.
A
C
B
D E
 A) (1) por sí sola. 
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios36
Matemática 
EN
SA
YO78. Se	puede	afi	rmar	que	el	punto	(1,	7)	pertenece	a	la	recta	de	ecuación	
y = mx + n, si:
 (1) m + n = 7
 (2) m – n = 3
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
79. La tabla adjunta, muestra el resultado de las notas obtenidas por 
tres	 cursos	 en	 una	 prueba.	 Se	 puede	 determinar	 el	 curso	 más	
homogéneo si:
Curso Promedio Desviación estándar
A 5,6 y
B 5,4 0,6
C 5,8 x
 (1) x = 0,8
 (2) y = 0,1
 
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 37
ensayo
80.	Se	tiene	una	lista	con	30	números	naturales	consecutivos.	Al	escoger	
al azar dos números de la lista, con reposición, es posible determinar 
la probabilidad que los dos números escogidos sean primos si:
 (1) El menor de los números de la lista es 21.
 (2) El mayor de los números de la lista es 50.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios38
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