Mentoría 2 solución - Benjamin Maldonado Antonio Nuñez

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Semestre 1 de 2023 
Escuela de Ingeniería Civil Informática 
 
Mentoría 2. Preparación Certamen 1 
 
 
• Material preparado para trabajarse en grupo según las comunidades de aprendizaje respectivas. 
• Tiempo sugerido: 80 minutos. 
 
 
1) Resolver la siguiente inecuación: 
2𝑥 + 1
𝑥 − 5
≥ 3 
 
 
 
2) Resolver la siguiente inecuación: 
 
(𝑥 − 1) ∙ |𝑥 + 2| ∙ (3 − 𝑥)
𝑥2 − 16
≤ 0 
 
 
 
3) De ser posible, resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
{ 
5𝑥 − 3𝑦 = −11
8𝑥 + 7𝑦 = 6
 
 
 
 
4) Una bióloga tiene 2 soluciones de salmuera, 𝐴 y 𝐵, una contiene una 
concentración de 5% de sal y la otra 20%. 
 
¿Cuántos litros de cada solución debe mezclar para obtener 8 litros de solución 
con una concentración de 14% de sal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Semestre 1 de 2023 
Escuela de Ingeniería Civil Informática 
 
Solución 
 
 
1) Dejamos cero a la derecha, factorizamos sin cancelar y manipulamos: 
 
2𝑥 + 1
𝑥 − 5
≥ 3 ⇔ 
2𝑥 + 1
𝑥 − 5
− 3 ≥ 0 ⇔ 
(−𝑥 + 16)
(𝑥 − 5)
≥ 0 ⇔ 
(−𝑥 + 16)
(𝑥 − 5)
≥ 0 
 
Identificamos los puntos críticos 𝑥 = 5 y 𝑥 = 16. Por inspección del 
denominador, imponemos la no división por cero como restricción: 
 
𝑥 ≠ 5 
 
Con los factores, ahora construimos una tabla de signos, donde por inspección 
y considerando que la desigualdad no es estricta obtenemos como conjunto 
solución: 
𝑺 = (𝟓, 𝟏𝟔] 
 
 
 
 
2) Factorizamos el denominador: 
 
(𝑥 − 1) ∙ |𝑥 + 2| ∙ (3 − 𝑥)
(𝑥 − 4) ∙ (𝑥 + 4)
≤ 0 
 
Identificamos los puntos críticos 𝑥 = −4, 
𝑥 = −2, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3 y 𝑥 = 4. Por 
inspección del denominador, imponemos 
la no división por cero como restricciones: 
 
𝑥 ≠ −4 y 𝑥 ≠ 4 
 
Inspeccionado la tabla y dado que la desigualdad no es estricta obtenemos el conjunto solución: 
 
𝑺 = (−∞, −𝟒) ∪ {−𝟐} ∪ [𝟏, 𝟑] ∪ (𝟒, ∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Semestre 1 de 2023 
Escuela de Ingeniería Civil Informática 
 
 
3) En el método de sustitución elegimos una ecuación y una variable a despejar: 
 
{ 
5𝑥 − 3𝑦 = −11 ⟹ 𝑥 =
3𝑦 − 11
5
8𝑥 + 7𝑦 = 6
 
 
reemplazando en la segunda ecuación: 
8 ∙
3𝑦 − 11
5
+ 7𝑦 = 6 
 
59𝑦 = 118 ⟹ 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥 =
3 ∙ 2 − 11
5
= −1 
así la solución es: 
{ 
𝒙 = −𝟏
𝒚 = 𝟐
 
 
En el método de eliminación elegimos eliminar una variable multiplicando convenientemente: 
 
{ 
5𝑥 − 3𝑦 = −11 / ∙ 8
8𝑥 + 7𝑦 = 6 /∙ −5
 
 
{ 
 40𝑥 − 24𝑦 = −88
−40𝑥 − 35𝑦 = −30
 
sumando las ecuaciones: 
 
−59𝑦 = −118 ⟹ 𝑦 = 2 
 
reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales: 
 
5𝑥 − 3 ∙ 2 = −11 ⟹ 𝑥 = −1 
 
así la solución es: 
{ 
𝒙 = −𝟏
𝒚 = 𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Semestre 1 de 2023 
Escuela de Ingeniería Civil Informática 
 
 
4) Sean 𝑎 y 𝑏 los litros de salmuera de las soluciones 𝐴 y 𝐵 respectivamente. La condición de los litros totales 
impone: 
𝑎 + 𝑏 = 8 
 
por otro lado, la condición de concentración final: 
 
(5%) ∙ 𝑎 + (20%) ∙ 𝑏 = (14%) ∙ 8 
 
Así obtenemos el sistema de ecuaciones lineal 2x2: 
 
{ 
 𝑎 + 𝑏 = 8
5𝑎 + 20𝑏 = 112
 
 
que resolvemos por eliminación: 
 
{ 
 𝑎 + 𝑏 = 8 /∙ −5
5𝑎 + 20𝑏 = 112 
 
 
{ 
−5𝑎 − 5𝑏 = −40
5𝑎 + 20𝑏 = 112 
 
sumando las ecuaciones: 
 
15𝑏 = 72 ⟹ 𝑏 = 4,8 ⟹ 𝑎 = 8 − 𝑏 = 3,2 
 
Así, hay que mezclar: 
 
𝟑, 𝟐 litros de la solución 𝑨, con 𝟒, 𝟖 litros de la solución 𝑩.