SEMANA 5 - SOL - HOJA DE TRABAJO 5-3 - Angela Moreno

Vista previa del material en texto

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 2016-0 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD II: ÁLGEBRA 
SEMANA 05-3: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS 
 
 
 
VISITA LA VIDEOCLASE EN EL CANAL TuCiencia. 
 
I. Resuelva las siguientes ecuaciones y aplicaciones: 
 
1. Un determinado producto tiene como precio de venta por unidad p = 300 + 20x soles. 
Determina el número de unidades que se deben producir para obtener un ingreso mensual 
de S/. 27 000 
 Solución: 
 
P=300+20x 
I= 2700 
 
(300 + 20x).x = 2700 
300x + 20x2-2700 = 0 
(x + 45).(x - 30) 
X = -45: x = 30 
 
 Rpta: El número de unidades que se deben producir es 30 
 
 
2. Con una cartulina cuadrada se construye una charola cortando en cada esquina un cuadrado 
de 3 cm de lado y doblando después hacia arriba los lados ¿Qué tamaño tenía la cartulina 
original, si la charola tiene un volumen de 192 cm3? 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V =192 
 x.x.3 = 192 
 3x2 =192 
 x = 8 
 
 Rpta: 3 + x + 3 = 14 cm 
 
 
 
 
 
COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA 
FACULTAD DE NEGOCIOS 
 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 x 
3 
x 
x 
http://www.youtube.com/user/TuCiencia
https://www.youtube.com/watch?v=aHdWcmnXObA&list=PLXmofKuuH4wlvQJyJykZ-J4KndHhoouCw&index=6
https://www.youtube.com/watch?v=yXqF9nMfhVk&list=PLXmofKuuH4wlvQJyJykZ-J4KndHhoouCw&index=5
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 2016-0 
 
3. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena 
uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². 
Solución: 
 
 
(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540 
4x2 + 168x − 540 = 0 x2 + 42x − 135 = 0 
x = 3 y x = −45 
La anchura del camino es 3 m . 
4. Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo con alambre. Si el costo por 
preparar el terreno es de 0.5 dólares por metro cuadrado y la cerca cuesta 1 dólar el metro lineal. 
Determinar las dimensiones del terreno si el costo por prepararlo y cercarlo es de 120 dólares. 
Solución: 
 
Sea x: el ancho del terreno = largo del terreno 
Organizando los datos 
Perímetro del terreno = 4x metros 
Área del terreno = x2 metros 
Costo en dólares por: 
Cercar 1 metro Cercar todo el terreno Preparar 1 m2 Preparar todo el terreno 
1 1(4x) 0,5 0,5 x2 
 De los datos del problema obtenemos la siguiente ecuación 
4𝑥 + 0,5𝑥2 = 120 
Multiplicado por 10 
40𝑥 + 5𝑥2 = 1200 
Ordenando: 
5𝑥2 + 40𝑥 − 1200 = 0 
𝑥2 + 8𝑥 − 240 = 0 
x +20 
x – 12 
(x + 20)(x – 12) = 0 
C. S = {-20; 12} 
Como las dimensiones del terreno deben ser números positivos, luego la medida de cada lado 
del cuadrado es 12 metros. 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 2016-0 
 
5. Un distribuidor adquiere balones de gas a un costo de 4 dólares la unidad. Cuando el precio de 
venta es de 10 dólares se venden 4000 unidades en un mes. Se quiere subir los precios y se 
estima que por cada aumento de 1dólar en el precio se venderán 200 balones menos. ¿Qué 
precio se deberá fijar con el fin de obtener una utilidad de 24 000 dólares? 
Solución: 
 
Sea “x” el número de incrementos de 1 dólar sobre el precio actual 
Así el nuevo precio está dado por: (10 + x) = p ………..(1) 
Y el número de balones vendidos a este precio está dado por: (4000 – 200x) 
Despejando “x” de la primera ecuación: x = p – 10 ……..(2) 
Entonces: Ingreso = (precio de venta)(cantidad vendida) 
I = p (4000 – 200x) ……….(3) 
Usando (2) en (3) 
I = p (4000 – 200(p – 10)) 
I = p (4000 – 200p + 2000) 
I = p (6000 – 200p) 
Entonces: Costo = (precio de costo)(cantidad producida) 
C = 4 (4000 – 200x) 
C = 4 (4000 – 200(p – 10)) 
 C = 4 (4000 – 200p + 2000) 
C = 4 (6000 – 200p) 
Además: 
Utilidad = Ingreso – Costo 
24 000 = p(6000 – 200p) – 4(6000 – 200p) 
24 000 = (6000 – 200p)(p – 4) 
24 000 = 6000p – 24000 – 200p2 + 800p 
200p2 – 6800p + 48000 = 0 
p2 – 34p + 240 = 0 
𝑝 =
34 ± √(34)2 − 4(240)
2
 
𝑝 =
34 ± √196
2
=
34 ± 14
2
 
𝑝1 = 24 
 
𝑝2 = 10 
 
 
6. Un vendedor vendió un reloj en 75 dólares. Su porcentaje de ganancia fue igual al precio de 
costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj. 
Solución: 
 
Sea Pv: precio de venta, entonces Pv = 75 
Pc: precio de costo 
G: ganancia 
Pv = Pc + G …. (1) 
Como su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares, entonces: 
(Pc/100) es el porcentaje de ganancia 
Reemplazando en (1) 
75 = 𝑃𝑐 + 
𝑃𝑐
100
(𝑃𝑐) 
75 = 𝑃𝑐 + 
(𝑃𝑐)2
100
 
7500 = 100𝑃𝑐 + 𝑃𝑐2 
𝑃𝑐2 + 100𝑃𝑐 − 7500 = 0 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 4 2016-0 
 
Pc + 150 
Pc – 50 
(Pc + 150)(Pc – 50) = 0 
Pc = 50 ó Pc = – 150 
Como el precio de costo no puede ser negativo: 
Pc = 50 dólares 
 
7. Una caja sin tapa se fabricara a partir de una hoja rectangular de lata cortando, cuatro pulgadas 
de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas 
menos que el largo y la caja contiene 280 pulgadas cubicas, encuentre las dimensiones de la 
hoja de lata. 
Solución: 
 
Si denotamos con “x” pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es (x+3) pulgadas y su 
altura 4 pulgadas 
El volumen de la caja está dado por 
(largo)(ancho)(altura) = (x+3)(x)4 = 4x(x+3) 
Pero la caja contiene 280 pulg3 de modo que: 
4x (x+3) = 280 
Dividiendo entre 4 
x (x+3) = 70 
𝑥2 + 3𝑥 − 70 = 0 
x + 10 
x – 7 
(x + 10)(x – 7) = 0 
x = – 10óx = 7 
Pero x = – 10 no es aceptable; ya que representa el ancho de una caja, así x = 7 
Las dimensiones de la hoja de lata antes de que le cortemos las esquinas son: (x+8) y 
(x+3) + 8; ya que x = 7; las dimensiones son 15 y 8 pulgadas 
 
8. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 𝑅 = 800𝑝 − 7𝑝2, donde p es el precio en 
dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de 10 000 dólares, 
si el precio debe ser mayor de 50 dólares? 
Solución: 
Datos: 
Ingreso: R = 800p – 7p2 
P: precio en dólares 
Para qué valor de p; R = 10 000; si p>50 
10 000 = 800p – 7p2 
7𝑝2 − 800𝑝 + 10000 = 0 
𝑝 =
800 ± √(800)2 − 4(7)(10000)
14
 
𝑝 =
800 ± √360000
14
=
800 ± 600
14
 
𝑝1 = 100 
 
𝑝2 = 14,285 
Como p>50, entonces p= 100 
Rpta: el precio debe ser 100 dólares 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=UM9JU8jbNgk&list=PLXmofKuuH4wlvQJyJykZ-J4KndHhoouCw&index=11
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 5 2016-0 
 
9. Cada semana, una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p 
dólares cada uno, en donde 𝑝 = 600 − 5𝑥. A la compañía le cuesta 8000 + 75𝑥dólares 
producir 𝑥 unidades. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para 
generar un ingreso de 17 500 dólares?, ¿Cuántas unidades debe producir y vender cada 
semana para obtener una utilidad semanal de 5 500 dólares? 
Solución: 
 
a) 𝑰 = 𝟏𝟕 𝟓𝟎𝟎 
 𝑃𝑢𝑥 = 17 500 
(600 − 5𝑥)𝑥 = 17 500 
600𝑥 − 5𝑥2 − 17 500 = 0 
5𝑥2 − 600𝑥 + 17 500 = 0 
(𝑥 − 70)(𝑥 − 50) = 0 
𝐶. 𝑆. = {50; 70} 
 
 Interpretación: Para generar un ingreso de 17 500 dólares se debe vender 50 o 70 
unidades de dicho producto. 
 
b) 𝑼 = 𝑰 − 𝑪 
 
𝟓 𝟓𝟎𝟎 = (600 − 5𝑥)𝑥 − (8000 + 75𝑥) 
𝟓 𝟓𝟎𝟎 = 600𝑥 − 5𝑥2 − 8000 − 75𝑥 
𝟓 𝟓𝟎𝟎 = −5𝑥2 + 525𝑥 − 8000 
5𝑥2 − 525𝑥 + 8000 + 5500 = 0 
5𝑥2 − 525𝑥 + 13500 = 0 
𝑥2 − 105𝑥 + 2700 = 0 
(𝑥 − 60)(𝑥 − 45) = 0 
𝐶. 𝑆. = {45; 60} 
Interpretación: Debe producir y vender 45 o 60 unidades de dicho producto cada semana 
para obtener una utilidad semanal de 5 500 dólares. 
 
10. Steve es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 departamentos. Élpuede rentar 
todos los departamentos si cobra una renta de 180 dólares mensuales. A una mayor renta, 
alguno de los departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de 5 
dólares en la renta, 1 departamento quedara vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre la 
renta que debe cobrar por cada departamento para obtener un ingreso total de 11475 dólares. 
Solución: 
 
Denótese con “n” el número de incrementos de 5 dólares 
Entonces el aumento en la renta por departamento es 5n dólares, lo cual significa que la 
renta por departamento es: (180 + 5n) dólares 
Asi el número de unidades no rentadas será n, de modo que el número de rentados será 
(60 – n). 
La renta total que él recibirá está dada por: 
Ingreso por la renta = (Renta por departamento)(número de departamentos) 
Por tanto: 
11475 = (180 + 5n)(60 – n) 
O bién: 
11475 = 5(36 + n)(60 – n) 
Dividiendo entre 5: 
2295 = (36 + n)(60 – n) 
Por tanto: 
𝑛2 − 24𝑛 + 135 = 0 
http://www.youtube.com/watch?v=6bDqHm3uqtA&list=PLXmofKuuH4wlvQJyJykZ-J4KndHhoouCw&index=12
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 6 2016-0 
 
n – 9 
n – 15 
(n–9)(n – 15) = 0 
n = 9ón = 15 
 
Por lo que n = 9 o n = 15. Por consiguiente, la renta debe ser (180 + 5n); que es 
(180 + 45) = 225 ó 180 + 75 = 255. 
En el primer caso; 9 de los departamentos quedan vacantes y los 51 departamentos rentados 
producirán un ingreso de 225 cada uno. En el segundo caso; cuando la renta es 255; 15 
departamentos quedan vacantes y sólo 45 rentados, pero el ingreso total es el mismo, 11475 
dólares. 
 
11. Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $2 una botella y la vende a p dólares por botella. 
El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x =24 – 2p, 
cuando el precio es p. ¿Qué valor de p da un ingreso total de $7 millones por semana?, ¿Qué 
valor de p da, a la Cámara del Vino, una utilidad de $4.8 millones semanales? 
Solución: 
 
Sea x = número de botellas en cientos de miles por semana 
Costo por la compra = 2 (24 – 2p) 
Ingreso por las ventas = p (24 – 2p) 
Como las ventas son en miles de cientos entonces el ingreso simplificado quedaría: 
7 000 000 / 100 000 = 70 
Entonces: 
 
a) El valor de “p” que da un ingreso de 7 millones (simplificado seria 70) 
Ingreso = (precio)(cantidad) 
70 = p (24 – 2p) 
70 = 24p – 2p2 
2p2 -24p + 70 = 0 
p2 – 12p + 35 = 0 
p – 7 
p – 5 
(p – 7)(p – 5) = 0 
P = 7 v P = 5 
Entonces los precios de cada botella, que da un ingreso de 7 millones de dólares por 
semana son: 7 dólares y 5 dólares 
 
b) Como 4,8 millones se debe considera primero en cientos de miles: 4 800 000 
Y como la cantidad es en cientos de miles, entonces reducimos a unidades: 
4 800 000 / 100 000 = 48 
Ahora 
Utilidad = Ingreso – Costos 
48 = p (24 – 2p) – 2(24 – 2p) 
48 = 24p – 2p2 – 48 + 4p 
p2 – 14p + 48 = 0 
p – 8 
p – 6 
(p – 8)(p – 6) = 0 
 
P=8 v P = 6 
Entonces los valores de p que dan una utilidad de 4,8 millones de dólares semanales son 
de 8 dólares y 6 dólares. 
 
Visita tu canal de videos: TuCiencia En videos, descubre el poder de MicrosoftMathematics 
https://www.youtube.com/user/TuCiencia
https://www.youtube.com/playlist?list=PLXmofKuuH4wnodXCe97JbKboq9LEZQEG1