Lista de Ejercicios 1 - Alfredo Mallea (2)

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Lista de Ejercicios 1
2do Semestre, 2019
1. Hallar el valor de la integral
1∫
−1
2∫
0
√
| y − x2 |dy dx .
Resp: 53 +
π
2
2. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0 , y = x y la super�cie z2 = 1−y2 .
Resp:
4
3
3. Considerar la región R encerrada por la curva (x2 + y2)2 = 2xy2 . Calcule el volumen del sólido
de revolución que se genera al rotar R en torno del eje y .
Resp: π
2
32
4. Sea
Ω = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9 ; x√
3
≤ y ≤
√
3x }
Calcular
∫∫
Ω
arc tg
(y
x
)
dA .
Resp. π
2
6
5. Calcule la masa de una lámina delgada de densidad ρ(x , y) = 2 y de forma(x
2
+
y
3
)4
= x2 + y2
ubicada en el 1er cuadrante.
Resp: 26
6. Use un cambio de variable apropiado para calcular la integral∫∫
R
x(x2y + 1) dA
donde R es la región plana que se encuentra en el primer cuadrante y que está acotada por las
curvas y = x2 ; y = x2 + 1 ; y + x2 = 2 e y + x2 = 3 .
Resp: 58
7. Calcular
∫∫
R
√
1− x2 − y2
1 + x2 + y2
dA
donde R es la región determinada por las inecuaciones : x2 + y2 ≤ 1 ; x ≥ 0 y y ≥ 0 .
Resp: π4
(
π
2 − 1
)
MAT024 1
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8. Calcular
∫∫
D
e−
√
x2
4
+ y
2
9 dA
Donde D =
{
(x, y) :
x2
4
+
y2
9
≤ 1
}
Resp: 12π
(
1− 2
e
)
9. Calcular la integral ∫ ∫
D
e−(2x
2−2xy+5y2) arctan
(
x+ y
x− 2y
)
dA
donde
D = {(x, y)/1 ≤ 2x2 − 2xy + 5y2 ≤ 9; (1−
√
3)x+ (1 + 2
√
3)y ≤ 0;
√
3(x+ y) ≥ x− 2y}
Resp: =
e−1− e−9
144
π2
10. Dibuje el dominio de integración y luego calcule el valor de I .
I =
1/2∫
1/3
9x2∫
1
x e−x
2/y dy dx+
2/3∫
1/2
9x2∫
4x2
x e−x
2/y dy dx+
1∫
2/3
4∫
4x2
x e−x
2/y dy dx
11. Considere el sólido encerrado entre los paraboloides z = x2 +y2 , z = 14(x
2 +y2) y que está debajo
del cono z =
√
x2 + y2 . Calcular su volumen.
Resp: 21π2
12. Use el cambio de variables x = u , y = uv para calcular
∫∫
R
√
x2 + y2 dx dy , donde R es la
región acotada por el triángulo de vértices (0,0) , (4,0) y (4,4) .
13. Un sólido está limitado por la super�cie z = x2 − y2 , el plano xy y los planos x = 1 y x = 3 .
Calcule su volumen usando integrales dobles.
Resp.
80
3
.
14. Considere la integral ∫
D
∫ (
2x+ y
x− 2y + 5
)2
dA
donde D es un cuadrado, en el plano xy, cuyos vértices son (0, 0) , (1,−2) , (2, 1) , (3,−1) .
15. Haga un cambio de variable adecuado y calcule la integral
∫∫
D
x2 ex
2/y
y(x2 + y2)
dA
MAT024 2
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donde D es la región acotada por las curvas x = y , x = 2y ,x2 = y y x2 = 2y .
Resp:
(
e2− e1
) (
arc tg(2)− π
4
)
16. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0 , y = x y la super�cie z2 = 1−y2 .
Resp:
4
3
17. Considerar la región R , acotada por las curvas xy = 2 , xy = 4 , y = x
2
2 y = 2x
2 . Calcular∫∫
R
ln(xy) + ln(yy)
x2
dy dx
Resp: 3 ln(2)− 1
18. Considerar Ωt = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x2/3 + y2/3 ≤ t4 y sea
f(t) =
∫∫
Ωt
e−(x
2/3+y2/3)
(xy)2/3
dA
Calcular ĺım
t→∞
f(t) .
Resp: 9π
MAT024 3