Pauta Control 3 sp - Alfredo Mallea (2)

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Control 3 - MAT024
24 de noviembre, 2022
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Paralelo
Problema 1:
a) Sea C la intersección de la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0 y el cilindro x2 + y2 = y,
que tiene sentido positivo visto desde el eje y+.
Verifique que ϕ(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ),
√
1− r2), con (r, θ) ∈ D, donde
D = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π} es una parametrización de la superficie que
tiene por frontera a la curva C.
b) Utilizando lo anterior calcule ∮
C
ex
2
dx+ yz2dy + xzdz
Indicación: Se sabe que
∫ π
0
sen4(θ) dθ =
3π
8
.
Solución:
a) De la ecuación del cilindro se tiene x = r cos(θ), y = r sen(θ), con 0 ≤ r ≤ sen(θ), 0 ≤
θ ≤ π; y de la ecuación de la esfera tenemos z =
√
1− r2. por tanto una parametrización
es:
ϕ(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ),
√
1− r2), con (r, θ) ∈ D,
donde D = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
Otra forma:
La parametrización satisface la ecuación de la esfera y además satisface la ecuación del
cilindro cumpliendo la orientación pedida.
b) Claramente no podemos calcular directamente la ingtegral de lı́nea. Por tanto utilizamos
el teorema de Stokes ∮
C
ex
2
dx+ yz2dy + xzdz =
∫∫
S
rot(F⃗ ) · n̂dS
donde S es la región de la superficie de la semiesfera cuya frontera es la curva C.
El vector normal a la superficie es:
∂ϕ
∂r
× ∂ϕ
∂θ
=
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
cos(θ) sen(θ) − r√
1− r2
−r sen(θ) r cos(θ) 0
∣∣∣∣∣∣∣
=
(
r2 cos(θ)√
1− r2
,
r2 sen(θ)√
1− r2
, r
)
.
Coordinación MAT024
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Control 3 - MAT024
24 de noviembre, 2022
Además el rotor del campo F es rot(F⃗ ) = (−2yz,−z, 0).
Entonces,∫
C
ex
2
dx+ yz2dy + xzdz =
∫∫
S
rot(F⃗ ) · n̂dS =
∫∫
D
rot(F⃗ )(ϕ(r, θ)) · (ϕr × ϕθ) dA
=
∫ π
0
∫ sen(θ)
0
(−2r3 cos(θ) sen(θ)− r2 sen(θ))drdθ
= −
∫ π
0
(
r4
2
cos(θ) sen(θ) +
r3
3
sen(θ)
) ∣∣∣sen(θ)
0
dθ
= −
∫ π
0
(
sen5(θ)
2
cos(θ) +
sen4(θ)
3
)
dθ = −π
8
.
Problema 2: Sea el campo vectorial
F⃗ (x, y, z) =
(
ez,− zx
x2 + y2 + z2
,
xy
x2 + y2 + z2
)
y sea la superficie S descrita por
x2
4
+
y2
9
+
z2
16
= 1, la cual está orientada según el vector
normal unitario exterior. Calcule
∫∫
S
F⃗ · n̂ dS.
Solución:
Es necesario determinar
∫∫
S
F⃗ · n̂ dS, donde n̂S es vector normal unitario exterior a S para
esto procedemos aplicando el teorema de la divergencia. Observamos en primera instancia
que el campo no es de clase C1 en el origen ası́ que para esto definimos mediante Sϵ la
superficie x2 + y2 + z2 = ϵ2 orientada respecto a la normal unitaria exterior n̂Sϵ en la cual
ϵ > 0 se selecciona de modo que la superficie Sϵ este contenida en el sólido limitado por S.
Además Ω ⊂ R3 representara al sólido limitado por el interior de S y exterior de Sϵ.∫∫
S
F⃗ · n̂ dS −
∫∫
Sϵ
F⃗ · n̂Sϵ dS =
∫∫∫
Ω
∇ · F⃗ dV
luego
∇·F⃗ = ∂x (ey)+∂y
(
− zx
x2 + y2 + z2
)
+∂z
(
xy
x2 + y2 + z2
)
= 0+
2xyz
(x2 + y2 + z2)2
− 2xyz
(x2 + y2 + z2)2
= 0
de esta forma ∫∫
Ω
∇ · F⃗ dV = 0.
Ası́ solo resta calcular
∫∫
Sϵ
F⃗ · n̂Sϵ dS, para esto parametrizamos la superficie como
Φ(θ, φ) = (ϵ cos θ sinφ, ϵ sin θ sinφ, ϵ cosφ)
con 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π, donde el vector normal exterior está determinado por
Φφ × Φθ =
(
ϵ2 cos θ sin2 φ, ϵ2 sin θ sin2 φ, ϵ2 cosφ sinφ
)
,
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de esta forma∫∫
Sϵ
F⃗ · n̂Sϵ dS =
∫ π
0
∫ 2π
0
(
eϵ cosφ,− cos θ sinφ cosφ, sin θ cos θ sin2 φ
)
· (Φφ × Φθ) dθdφ,
reemplazando el vector normal y observando que por simetrı́a muchos términos tienen
integran igual a cero, se tiene que:∫∫
Sϵ
F⃗ · n̂Sϵ dS = ϵ2
∫ π
0
∫ 2π
0
eϵ cosφ cos θ sin2 φdθdφ
= 0.
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