Pauta Certamen 2 -sp - Alfredo Mallea (2)

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MATEMÁTICA - MAT024
Pauta Certamen II
10 de noviembre 2022
DATOS PERSONALES:
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Firma
Paralelo Nombre del Profesor
INDICACIONES GENERALES:
Tiempo 70 minutos.
Escriba con lápiz pasta o tinta. Los desarrollos con lápiz grafito no tienen derecho a
apelación.
Escriba con claridad y justifique cada uno de sus desarrollos.
No está permitido el uso de calculadoras, celulares ni hojas adicionales.
Quienes sean sorprendidos cometiendo actos de deshonestidad académica tendrán nota 0
en esta prueba.
CALIFICACIÓN:
PREGUNTA
P1 P2 P3 P4 CALIFICACIÓN
(30 Pts) (30 Pts) (40 Pts) (-) CERTAMEN
PUNTAJE
1
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 2 - MAT024
P1) [30 Ptos.] Sea el campo vectorial F⃗ : R2 → R2 dado por
F⃗ (x, y) = (xy + ex
2
, x2 + ey
2
),
la región poligonal D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ |x|, x+ 3y ≤ 4}.
a) Grafique la región D indicando sus vértices.
b) Calcule
�
C
F⃗ · dr⃗, donde C es la frontera de D recorrida en sentido positivo (antihorario).
Solución:
a) Luego de graficar e intersectar las rectas que conforman la frontera de D, se tiene que sus
vértices son (0, 0, ), (−2, 2) y (1, 1).
x
y
C
D
y = xy = −x y = x
x+ 3y = 4
(1, 1)
(−2, 2)
b) Dado que F⃗ es de clase C1 en todo R2, podemos aplicar el Teorema de Green para dominio
simplemente conexo.
Haciendo F⃗ = (P,Q), tenemos que Qx − Py = 2x− x = x.
Entonces,
�
C
F⃗ · dr⃗ =
�
D
xdA
=
� 0
−2
� (4−x)/3
−x
xdydx+
� 1
0
� (4−x)/3
x
xdydx
=
� 0
−2
x
(
4 + 2x
3
)
dx+
� 1
0
x
(
4− 4x
3
)
dx
=
2
3
� 0
−2
(
2x+ x2
)
dx+
4
3
� 1
0
(
x− x2
)
dx
= −8
9
+
2
9
= −2
3
.
2
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 2 - MAT024
P2) [30 Ptos.] Sea S la superficie dada por la ecuación z =
√
x2 + y2, z > 0, encerrada por
el cilindro x2 + y2 = 2y, si se sabe que la densidad es igual a la distancia de cada punto de S
al plano xy. Calcule la masa de la superficie S.
Solución:
Se tiene que la parametrización natural para S es :
ϕ(x, y) =
(
x, y,
√
x2 + y2
)
, (x, y) ∈ D, donde D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2y}.
De lo anterior se obiene que ϕx =
(
1, 0,
x√
x2 + y2
)
, ϕy =
(
0, 1,
y√
x2 + y2
)
, de donde
||ϕx × ϕy|| =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
(
−x√
x2 + y2
,
−y√
x2 + y2
, 1
)∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = √2.
Del enunciado, la densidad viene dada por δ(x, y, z) = z, entonces la masa es:
�
S
δ(x, y, z) dS =
�
D
√
x2 + y2
√
2 dA,
utilizando x = r cos(θ), y = r sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), J = r, se tiene
�
S
δ(x, y, z) dS =
√
2
� π
0
� 2 sen(θ)
0
r2 drdθ =
8
√
2
3
� π
0
sen3(θ) dθ
=
32
√
2
9
.
3
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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 2 - MAT024
P3) [40 Ptos.] Se desea calcular el valor de la integral
�
γ
F⃗ · dr⃗ , donde
F⃗ (x, y) =
(
2x
x2 + (y − 1)2
, 3x+
2(y − 1)
x2 + (y − 1)2
)
,
a lo largo de la curva γ que es parte de la elipse
x2
25
+
y2
16
= 1, recorrida en sentido positivo
(antihorario) desde el punto (5, 0) hasta el punto (0,−4). Para esto:
a) Encuentre una parametrización para el segmento de recta C1 que va del punto (0,−4)
hacia el origen, y para el segmento de recta C2 que va desde el origen hacia el punto (5, 0).
b) Plantee una versión adecuada del Teorema de Green que permita calcular la integral
buscada.
c) Utilizando lo obtenido anteriormente calcule el valor de
�
γ
F⃗ · dr⃗.
Indicación: El área de la elipse
x2
a2
+
x2
b2
= 1 es πab.
Solución:
a) Una parametrización:
� Para C1 es r⃗1(t) = (0,−4) + t(0, 4) = (0,−4 + 4t), t ∈ [0, 1].
� Para C2 es r⃗2(t) = (0, 0) + t(5, 0) = (5t, 0), t ∈ [0, 1].
(Estas parametrizaciones no son únicas)
b) El campo vectorial F⃗ posee una discontinuidad, cerramos esta discontinuidad por medio de
la circunferencia (sentido positivo) Cϵ : x
2+(y−1)2 = ϵ2, con ϵ suficientemente pequeño, y
utilizando los segmentos de rectas encontrados anteriormente para cerrar la curva, podemos
utilizar el Teorema de Green para dominio múltiplemente conexo. Resultando�
∂R
F⃗ · dr⃗ =
�
R
(Qx − Py) dA,
donde R es la región encerrada por γ ∪ C1 ∪ C2 y exterior a Cϵ.
Otra manera de escribir seŕıa
�
γ
F⃗ · dr⃗ =
�
R
(Qx − Py) dA−
�
C1
F⃗ · dr⃗ −
�
C2
F⃗ · dr⃗ +
�
Cϵ
F⃗ · dr⃗.
x
y
5
−4
γ
R
C1
C2
C−ϵ
4
c) Una parametrización para la curva Cϵ es r⃗3(t) = (ϵ cos(t), 1 + ϵ sen(t)), −π ≤ t ≤ π.
Entonces, resolviendo cada integral del miembro derecho en la igualdad anterior se tiene:
•
�
R
(Qx − Py) dA =
�
R
3 dA = 3(15π − πϵ2) = 45π − 3πϵ2
•
�
C1
F⃗ · dr⃗ =
� 1
0
(
0,
2
4t− 5
)
· (0, 4) dt =
� 1
0
8
4t− 5
dt = 2 ln |4t− 5|
∣∣∣∣1
0
= −2 ln(5)
•
�
C2
F⃗ · dr⃗ =
� 1
0
(
10t
25t2 + 1
, 15t− 2
25t2 + 1
)
· (5, 0) dt =
1�
0
50t
25t2 + 1
dt = ln(26)
•
�
Cϵ
F⃗ · dr⃗ =
� π
−π
(
ϵ cos(t)
ϵ2
, 3ϵ cos(t) +
2ϵ sen(t)
ϵ2
)
· (−ϵ sen(t), ϵ cos(t)) dt
=
� π
−π
3ϵ2 cos2(t) dt = 3πϵ2.
Por lo tanto
�
γ
F⃗ · dr⃗ = 45π + 2 ln(5)− ln(26).
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Certamen 2 - MAT024
(hoja en blanco para calculos. No retirar)
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