Apuntes de Clases Series de Fourier - Alfredo Mallea (2)

Vista previa del material en texto

Matemática IV (MAT024)
Campus Santiago San Joaquı́n
Apuntes de Clases
Tema: Series de Fourier
Contenidos
Clase 1: Series de Fourier; Coeficientes de Fourier
Clase 2: Desarrollos de medio rango; Integral de Fourier.
Clase 1
El espacio SC]− L , L[
Se define el espacio vectorial SC]− L,L[ como el conjunto de todas las funciones continuas
por partes en ]− L,L[ . Esto es, a lo más tienen un número finito de discontinuidades, en los
cuales los lı́mites laterales
ĺım
x→x+0
f(x)
Notación
= f
(
x+0
)
ĺım
x→x−0
f(x)
Notación
= f
(
x−0
)
existen. Además en los extremos, los limites laterales correspondientes tambien existen.
En SC]− L , L[ diremos que dos funciones son iguales, si son iguales punto a punto, salvo
un número finito de puntos.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Proposición 1.1. SC] − L,L[ con la suma usual de funciones y el producto escalar usual es un
R-Espacio vectorial.
La demostración es elemental y se puede dejar como ejercicios.
Definición 1.1. En SC]− L,L[ se define el producto
〈f , g〉 =
L∫
−L
f(x)g(x) dx
Se cumple:
Proposición 1.2. Para f ; f1 ; f2 ; g ∈ SC]− L,L[ y α ∈ R . Se tiene.
1. 〈f , f〉 ≥ 0 .
2. 〈f , f〉 = 0 ⇔ f ≡ 0 (es la función nula, en el sentido de la definición anterior).
3. 〈f , g〉 = 〈g , f〉 .
4. 〈f1 + f2 , g〉 = 〈f1 , g〉+ 〈f2 , g〉 .
5. 〈αf , g〉 = 〈f , αg〉 = α〈f , g〉 .
Las demostraciones son elementales y se pueden dejar como ejercicio. Luego se cumple:
Proposición 1.3. SC]− L , L[ es un espacio vectorial con producto punto.
Ejemplo 1.1.
〈1 , 1〉 =
l∫
−L
dx = 2L
〈
1 , cos
(nπx
L
)〉
=
L∫
−L
cos
(nπx
L
)
=
L
nπ
sen
(nπx
L
) ∣∣∣∣∣
L
−L
= 0
〈
1 , sen
(nπx
L
)〉
=
L∫
−L
sen
(nπx
L
)
= − L
nπ
cos
(nπx
L
) ∣∣∣∣∣
L
−L
= 0
MAT024 2 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
〈
sen
(nπx
L
)
, sen
(mπx
L
)〉
=
L∫
−L
sen
(nπx
L
)
sen
(mπx
L
)
dx =
 L n = m
0 n 6= m
〈
cos
(nπx
L
)
, cos
(mπx
L
)〉
=
L∫
−L
cos
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx =
 L n = m
0 n 6= m
〈
sen
(nπx
L
)
, cos
(mπx
L
)〉
=
L∫
−L
sen
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx = 0
De aquı́ se tiene
La familia
B =
{
1 , cos
(nπx
L
)
, sen
(nπx
L
)}
n∈N
Es una familia ortogonal en SC]− L,L[ y por tanto linealmente independiente.
Proposición
Para Espacios vectoriales de dimensión fı́nita se cumple:
Proposición 1.4. Sean V un espacio vectorial ; B = {v1 , v2 , . . . , vn} una base ortogonal de V y
w ∈ V , entonces se cumple
w =
〈w , v1〉
〈v1 , v1〉
v1 +
〈w , v2〉
〈v2 , v2〉
v2 + · · · +
〈w , vn〉
〈vn , vn〉
vn
Además si H = 〈 v1 , v2 , . . . , vr〉 con r < n entonces la proyección ortogonal de w ∈ V es el
vector
proyH(w) =
〈w , v1〉
〈v1 , v1〉
v1 +
〈w , v2〉
〈v2 , v2〉
v2 + · · · +
〈w , vr〉
〈vr , vr〉
vr
Y proyH(w) es la mejor aproximación de w por elementos de H , o bien proyH(w) es el punto de H
más próximo a w .
MAT024 3 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Las demostraciones se hacen (o debieran hacerse) en Mate 2 . Nos gustarı́a poder replicar
estas propiedades en Espacios Vectoriales con producto punto, de dimensión infinita. En
particular en SC]− L , L[ .
Observación 1.1. Sea f ∈ SC]− L,L[ y suponer que
f(x) =
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos
(
kπx
L
)
+ bk sen
(
kπx
L
)
Entonces, salvo el tema de la convergencia de la serie, se debe cumplir para n ∈ N fijo
〈
f(x) , cos
(nπx
L
)〉
=
〈
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos
(
kπx
L
)
+ bk sen
(
kπx
L
)
, cos
(nπx
L
)〉
Usando las propiedades del producto punto y la ortogonalidad de la familia B queda
= an
〈
cos
(nπx
L
)
, cos
(nπx
L
)〉
Despejando an se tiene:
an =
〈
f(x) , cos
(nπx
L
)〉
〈
cos
(nπx
L
)
, cos
(nπx
L
)〉 = 1
L
L∫
−L
f(x) cos
(nπx
L
)
dx
Analogamente haciendo los mismos cálculos
bn =
〈
f(x) , sen
(nπx
L
)〉
〈
sen
(nπx
L
)
, sen
(nπx
L
)〉 = 1
L
L∫
−L
f(x) sen
(nπx
L
)
dx
a0
2
=
〈f(x) , 1〉
〈1 , 1〉
⇒ a0 =
1
L
L∫
−L
f(x) dx
Definición 1.2. Sea f ∈ SC] − L,L[ . Llamaremos Serie de Fourier de f a la serie trigo-
nométrica
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos
(
kπx
L
)
+ bk sen
(
kπx
L
)
Los coeficientes
MAT024 4 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
a0 =
1
L
L∫
−L
f(x) dx ; an =
1
L
L∫
−L
f(x) cos
(nπx
L
)
dx ; bn =
1
L
L∫
−L
f(x) sen
(nπx
L
)
dx
Se llaman coeficientes de Fourier de f .
Definición 1.3. Sea f ∈ SC] − L,L[ Diremos que f es suave a pedazos si f y f ′ son
continuas a pedazos y además en los puntos de discontinuidad los lı́mites laterales, tanto de
f como de f ′ existen y son fı́nitos. Lo mismo para los lı́mites laterales en los extremos del
intervalo.
Se cumple:
Sea f ∈ SC]− L,L[ suave a pedazos, entonces la serie de Fourier de f converge a f(x)
en todos los puntos de continuidad . En los puntos de discontinuidad la serie converge
al promedio
f(x+) + f(x−)
2
Teorema
Observación 1.2. Sea f ∈ SC]− L,L[ una función suave a pedazos, considerar la extensión
periodica definida por la ecuación f(x + 2L) = f(x) . Ası́ f está definida en todo R .
Entonces la serie de Fourier converge a f(x) en todos los puntos de continuidad y converge
al promedio
f(x+) + f(x−)
2
en los puntos de discontinuidad. Esto incluye tambien los extremos del intervalo ]− L,L[ .
Observar que en los puntos de continuidad el promedio anterior coincide con f(x) , pues los
lı́mites laterales son iguales a f(x) . Ası́ decimos que la serie converge a f(x) en promedio.
Ejemplo 1.2. Sea f(x) = |x| para −π < x < π y suponer que f(x + 2π) = f(x) . Los
coeficientes de Fourier para f son:
a0 =
1
π
π∫
−π
|x| dx = 2
π
π∫
0
x dx = π
an =
1
π
π∫
−π
|x| cos(nx) dx = 2
π
π∫
0
x cos(nx) dx
MAT024 5 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Integrando por partes
u = x → du = dx
dv = cos(nx) dx → v = sen(nx)
n
La integral queda
=
2
π
x sen(nx)
n
∣∣∣∣∣
π
0
− 1
n
π∫
0
sen(nx) dx

=
2
n2π
(cos(nπ)− cos(0))
=
2
n2π
( (−1)n − 1) =

0 si n es par
−4
n2π
si n es impar
bn =
1
π
π∫
−π
|x| sen(nx) dx = 0
pues se trata de la integral de una función impar entre −π y π .
Ası́
|x| = π
2
+
∞∑
n=1
2
n2π
( (−1)n − 1) cos(nx) = π
2
− 4
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos((2n− 1)x)
para todo −π < x < π . En particular para x = 0 se tiene:
π2
8
=
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
Ejemplo 1.3. Sea f(x) = x con −1 < x < 1 , suponer además que f(x + 2) = f(x) . Los
coeficientes de Fourier para f(x) son
MAT024 6 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
a0 =
1
1
1∫
−1
x dx = 0
an =
1
1
1∫
−1
x cos(nπx) dx = 0
Por otra parte
bn =
1
1
1∫
−1
x sen(nπx) dx = 2
1∫
0
x sen(nπx) dx
Haciendo integración por partes queda
= 2
− x cos(nπx)
nπ
+
1
n2π2
sen(nπx)
∣∣∣∣∣
1
0
 = 2
nπ
(−1)n+1
Luego para todo x ∈ ]− 1 , 1[ se cumple la igualdad
x =
∞∑
n=1
2
nπ
(−1)n+1 sen(nπx) = 2
π
(
sen(πx)− 1
2
sen(2πx) +
1
3
sen(3πx)− 1
4
sen(4πx) + · · ·
)
En particular para x =
1
2
se cumple
1
2
=
2
π
[
sen
(π
2
)
+
1
3
sen
(
3π
2
)
+
1
5
sen
(
5π
2
)
+
1
7
sen
(
7π
2
)
+ · · ·
]
=
2
π
(
1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
− 1
11
+ · · ·
)
Despejando
π
4
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
− 1
11
+ · · ·
De donde se pueden obtener aproximaciones de π con tantos decimales como se desee.
MAT024 7 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Observar que si evaluamos en x = 1 entonces la serie converge a 0, que corresponde al
promedio
f(1+) + f(1−)
2
=
(−1) + 1
2
.
Proposición 1.5. Para una función f ∈ SC]− L,L[ suave a pedazos se cumple
(i) Si f es una función impar, entonces a0 = an = 0 para todo n ∈ N . En tal caso la serie de
Fourier para f es una serie senoidal.
(ii) Si f es una función par, entonces bn = 0 para todo n ∈ N y la serie de Fourier de f es una
serie cosenoidal.
Las demostraciones son elementales y se realizan en un curso básico de integración.
Ejemplo 1.4. Considerar f(x) = x2 con −π < x < π y suponer que f(x + 2π) = f(x) .
Observar que se trata de una función par y por tanto
bn = 0 ; ∀n ∈ N
Por otra parte
a0 =
1
π
π∫
−π
x2 dx =
2
π
π∫0
x2 dx =
2π2
3
an =
1
π
π∫
−π
x2 cos(nx) dx =
2
π
π∫
−π
x2 cos(nx) dx
=
2
π
x2 sen(nx)
n
∣∣∣∣∣
π
0
− 2
n
π∫
0
x sen(nx) dx

= − 4
nπ
π∫
0
x sen(nx) dx
= − 4
nπ
−x cos(nx)
n
∣∣∣∣∣
π
0
+
1
n
π∫
0
cos(nx) dx

=
4 cos(nπ)
n2
=
4
n2
(−1)n
MAT024 8 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Luego
x2 =
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos(nx)
para todo x ∈] − π , π[ . Observar que incluso en los extremos del intervalo se cumple la
igualdad anterior. Más aún, la serie no solo aproxima a x2 en el intervalo [−π , π] sino en
toda su extensión periodica.
Evaluando en x = π la serie de Fourier converge a π2 y se tiene:
π2
6
=
∞∑
n=1
1
n2
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+ · · ·
Ejemplo 1.5. Sea α un número real no entero.
(i) Encontrar el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) = cosαx − π < x < π
Solución
Observar que f es una función par y por tanto los bn son todos 0.
Por otra parte
a0 =
1
π
∫ π
−π
cosαx dx =
1
π
senαx
α
∣∣∣∣π
−π
=
1
απ
(senαπ − sen(−απ))
=
2 senαπ
απ
Para n = 1 , 2 , 3 , . . . se tiene
an =
1
π
∫ π
−π
cosαx cosnx dx
=
2
π
∫ π
0
1
2
(cos(α + n)x+ cos(α− n)x) dx
MAT024 9 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
=
1
π
(
sen(α + n)x
α + n
+
sen(α− n)x
α− n
)π
0
=
1
π
(
sen(α + n)π
α + n
+
(α− n)π
α− n
)
=
1
π
(
senαπ cosnπ + sennπ cosαπ
α + n
+
senαπ cosnπ − sennπ cosαπ
α− n
)
=
1
π
(
(−1)n senαπ
α + n
+ (−1)n senαπ
α− n
)
=
(−1)n senαπ
π
(
1
α + n
+
1
α− n
)
=
(−1)n senαπ
π
(
α− n+ α + n
α2 − n2
)
=
(−1)n2α senαπ
π (α2 − π2)
∴ cosαx =
senαπ
απ
+
∞∑
k=1
2α(−1)k senαπ
π (α2 − k2)
cos kx
cosαx =
senαπ
απ
+
2α senαπ
π
∞∑
n=1
(−1)n
α2 − n2
cosnx
(ii) Usar esta serie para calcular el valor de la suma
1
π
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
.
Solución
En x = π se cumple que la serie converge a
f(π+) + f(π−)
2
=
cosαπ + cosαπ
2
= cosαπ
MAT024 10 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Luego
cosαπ =
senαπ
απ
+
2α senαπ
π
∞∑
n=1
(−1)n
α2 − n2
cosnπ
cotgαπ =
1
απ
+
2α
π
∞∑
n=1
1
α2 − n2
=
1
π
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
Observación 1.3. Sea f suave a pedazos. Considerar la serie de Fourier de f
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos
(
kπx
L
)
+ bk sen
(
kπx
L
)
Hacer
‖f‖2 =
〈
f ,
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
+ bn sen
(nπx
L
)〉
=
a0
2
〈 f , 1 〉+
∞∑
n=1
an
〈
f , cos
(nπx
L
)〉
+ bn
〈
f , sen
(nπx
L
)〉
=
a0
2
La0 +
∞∑
n=1
an Lan + bn Lbn
⇒ 1
L
L∫
−L
(
f(x)2
)
dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
a2n + b
2
n
Sea f ∈ SC]− L , L[ suave a pedazos y sean a0 , an y bn los coeficientes de Fourier de
f . Se cumple
1
L
L∫
−L
(f(x))2 dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
a2n + b
2
n
Identidad de Parseval
MAT024 11 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejercicio 1.1. Sea f : ]a, b[→ R suave a pedazos. Probar que f admite una Serie de Fourier
de la forma
ao
2
+
∞∑
n=1
an cos
(
2nπx
b− a
)
+ bn sen
(
2nπx
b− a
)
convergente a f en promedio. Encontrar los coeficientes de Fourier.
Ejemplo 1.6. Sea f(x) = x definida en ]0, π[ ; y suponer que f(x + π) = f(x) . Observar
que f admite una serie de Fourier en las condiciones del ejercicio anterior. Hacer
a0 =
2
π
π∫
0
x dx = π
an =
2
π
π∫
0
x cos(2nx) dx
=
2
π
x sen(2nx)
2n
∣∣∣∣∣
π
0
− 1
2n
π∫
0
sen(2nx) dx
 = 0
bn =
2
n
π∫
0
x sen(2nx) dx
=
2
π
−x cos(2nx)
2n
∣∣∣∣∣
π
0
+
1
2n
π∫
0
cos(2nx) dx
 = − 1
n
Luego para 0 < x < π , se cumple
x =
π
2
−
∞∑
n=1
sen(2nx)
n
(en promedio)
Ejercicio 1.2. Use la función f(x) =
{
x 0 ≤ x < 1
1− x 1 ≤ x ≤ 2
Para probar que
1
12
+
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · · = π
2
8
MAT024 12 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Desarrollos de medio rango
Sea f : [0 , L[→ R suave a pedazos. Queremos aproximar f mediante una serie cosenoidal
o senoidal, segun sea el caso y la necesidad, para ello podemos extender f a todo el intervalo
]− L , L[ de modo que la extensión sea par (f̃) o impar (f̂) . En tal caso encontramos una
serie cosenoidal que converge (en promedio) a f̂ en el intervalo ] − L , L[ y en particular
converge (en promedio) a f en el intervalo [0 , L[ . Asimismo podemos encontrar una serie
senoidal que converge a f̂ (en promedio) en el intervalo ]− L , L[ y en particular converge
(en promedio) a f en el intervalo [0 , L]
Sea f̃ la extensión par de f al intervalo ]− L , L[ .
f̃(x) =
 f(x) para 0 ≤ x < Lf(−x) para − L < x < 0
Los coeficientes de Fourier para f̃ quedan
a0 =
1
L
L∫
−L
f̃(x) dx =
2
L
L∫
0
f(x) dx
an =
1
L
L∫
−L
f̃(x) cos
(nπx
L
)
dx =
2
L
L∫
0
f(x) cos
(nπx
L
)
dx
bn = 0
Ası́
f̃(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
∀ − L < x < L (en promedio)
En particular para 0 ≤ x < L se cumple
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
(en promedio)
Luego para f se cumple:
MAT024 13 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Sea f : [0 , L[→ R suave a pedazos, entonces
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
; ∀ 0 ≤ x < L (en promedio)
Donde los coeficientes se calculan como:
a0 =
2
L
L∫
0
f(x) dx ; an =
2
L
L∫
0
f(x) cos
(nπx
L
)
dx
Serie Cosenoidal
Por otra parte, sea f̂ la extensión impar de f al intervalo ]− L , L[
f̂ =
 f(x) para 0 ≤ x < L−f(−x) para − L < x < 0
Los coeficientes de Fourier para f̂ son
ao = an = 0
bn =
1
L
L∫
−L
f̂(x) sen
(nπx
L
)
dx =
2
L
L∫
0
f(x) sen
(nπx
L
)
dx
Luego f̂ se puede representar como
f̂(x) =
∞∑
n=1
bn sen
(nπx
L
)
∀ − L < x < L (en promedio)
En particular para 0 ≤ x < L se cumple
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen
(nπx
L
)
(en promedio)
De este modo f se puede expresar mediante una serie senoidal.
MAT024 14 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Sea f : [0 , L[→ R suave a pedazos, entonces
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen
(nπx
L
)
; ∀ 0 ≤ x < L (en promedio)
Donde:
bn =
2
L
L∫
0
f(x) sen
(nπx
L
)
dx
Serie Senoidal
Ejemplo 1.7. Sea
f(x) =

x 0 ≤ x ≤ π
2
π − x π
2
< x < π
Hallar su serie cosenoidal.
solución:
a0 =
2
π
π∫
0
f(x) dx =
2
π
 π/2∫
0
x dx+
π∫
π/2
(π − x) dx
 = π
2
an =
1
π
L∫
0
f(x) cos(nx) dx =
2
π
 π/2∫
0
x cos(nx) dx+
π∫
π/2
(π − x) dx

=
2
π
[
2
n2
cos
(nπ
2
)
− 1
n2
(1 + (−1)n)
]
=
 −
2
k2π
si n = 2k con k impar
0 en todos los otros casos
Luego para todo 0 ≤ x < π :
f(x) =
π
4
− 2
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos(2(2n− 1)x)
MAT024 15 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 1.8. Considere la función f(x) = sen2(x) con 0 < x < π .
1. Encuentre la serie senoidal para f .
2. Calcule la suma
1
1 · 3 · 5
− 1
3 · 5 · 7
+
1
5 · 7 · 9
− 1
7 · 9 · 11
+ · · ·
solución:
1. Para n 6= 2 se tiene:
bn =
2
π
∫ π
0
sen2(x) sen(nx) dx
=
2
π
∫ π
0
1
2
(1− cos(2x)) sen(nx) dx
=
1
π
∫ π
0
sen(nx) dx − 1
π
∫ π
0
cos(2x) sen(nx) dx
=
1
π
∫ π
0
sen(nx) dx − 1
2π
∫ π
0
[sen((n+ 2)x) + sen((n− 2)x)] dx
= − 1
nπ
[(−1)n − 1] + 1
2π
[
cos((n+ 2)x)
n+ 2
+
cos((n− 2)x)
n− 2
] ∣∣∣∣π
0
=
1
π
[
1
n
− n
n2 − 4
]
[1 − (−1)n]
=

0 Si n es par
− 8
(n− 2)n(n+ 2)π
Si n es impar
Para n = 2 facilmente se concluye que b2 = 0
Luego se tiene:
sen2(x) = − 8
π
[
1
(−1) · 1 · 3
sen(x) +
1
1 · 3 · 5
sen(3x) +
1
3 · 5 · 7
sen(5x) +
1
5 · 7 · 9
sen(7x) + · · ·
]
2. Evaluando en x =
π
2
se cumple:
MAT024 16 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
1 = − 8
π
[
− 1
1 · 3
− 1
1 · 3 · 5
+
1
3 · 5 · 7
− 1
5 · 7 · 9
+
1
7 · 9 · 11
− · · ·
]
Despejando
π
8
− 1
3
=
1
1 · 3 · 5
− 1
3 · 5 · 7
+
1
5 · 7 · 9
− 1
7 · 9 · 11
+ · · ·
Luego se tiene:
1
1 · 3 · 5
− 1
3 · 5 · 7
+
1
5 · 7 · 9
− 1
9 · 11 · 13
+ · · · = 3π − 8
24
Ejemplo 1.9. Sea f : [0, π[→ R definida por f(x) = x(π − x)
1. Encontrar la serie senoidal de Fourier de f .
solución:
bn =
2
π
∫ π
0
x(π − x) sen(nx) dx
=
2
π
(
π
∫ π
0
x sennx dx−
∫ π
0
x2 sennx dx
)
=
2
π
(
π2(−1)n+1
n
− (−1)
n+1π
n
+
2
n3
(1− (−1)n)
)
=
4
πn3
(1− (−1)n) =

0 n par
8n3π
n impar
∴ x(π − x) = 8
π
∞∑
n=1
1
(2n− 1)3
sen((2n− 1)x) 0 ≤ x ≤ π
2. Use lo anterior para calcular la suma de la serie
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)3
.
MAT024 17 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
solución:
Evaluando en x =
π
2
π2
4
=
8
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)3
⇒
∞∑
(2n−1)3
(−1)n+1
(2n− 1)3
=
π3
32
MAT024 18 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
De la Serie de Fourier a la Integral de Fourier
Sea f una función suave a pedazos, integrable en R . Se quiere representar f a traves de
una integral, de la misma forma como una función periodica se representa como una serie.
Para ello restringimos f al intervalo ] − L , L[ de tal forma que f se puede representar
mediante serie de Fourier y luego hacemos que L→∞ . Ası́:
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
+ bn sen
(nπx
L
)
=
1
2L
L∫
−L
f(t) dt +
∞∑
n=1
 1
L
L∫
−L
f(t) cos
(
nπt
L
)
dt
 cos(nπx
L
)
+
 1
L
L∫
−L
f(t) sen
(
nπt
L
)
dt
 sen(nπx
L
)
Hacer αn =
nπ
L
. Con esto L =
nπ
αn
y ∆α = αn+1 − αn =
π
L
.
Se cumple:
∆α→ 0 ⇔ L→∞
Luego f(x) se puede reescribir como
f(x) =
∆α
2π
L∫
−L
f(t) dt+
1
π
∞∑
n=1
 L∫
−L
f(t) cos(αnt) dt
 cos(αnx) +
 L∫
−L
f(t) sen(αnt) dt
 sen(αnx)
 ∆α
Para todo x ∈]− L , L[ (en promedio) . Observar que este último sumando corresponde a
una suma de Riemman para la función
g(α) =
 L∫
−L
f(t) cos(αt) dt
 cos(αx) +
 L∫
−L
f(t) sen(αt) dt
 sen(αx)
Luego haciendo ∆α→ 0 (o equivalentemente L→∞ ) se tiene por una parte
ĺım
∆α→0
∆α
2π
L∫
−L
f(t) dt = 0
Y por la otra
MAT024 19 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
ĺım
∆α→0
1
π
∞∑
n=1
g(αn) ∆α =
1
π
∞∫
0
g(α) dα
Ası́:
f(x) =
1
π
∞∫
0
 ∞∫
−∞
f(t) cos(αt)
 cos(αx) +
 ∞∫
−infty
f(t) sen(αt)
 sen(αx)
 dα
Sea f : R → R suave a pedazos, entonces
f(x) =
1
π
∞∫
0
[A(α) cos(αx) +B(α) sen(αx)] dα
Donde los coeficientes se calculan como:
A(α) =
∞∫
−∞
f(t) cos(αt) dt ; B(α) =
∞∫
−∞
f(t) sen(αt) dt
La integral converge a f(x) en los puntos de continuidad y al promedio
f(x+) + f(x−)
2
en los puntos de discontinuidad.
Integral de Fourier
Observación 1.4. (i) si f es par, entonces B(α) = 0 y A(α) = 2
∞∫
0
f(t) cos(αt) dt y
f(x) =
1
π
∞∫
0
A(α) cos(αx) dα =
2
π
∞∫
0
 ∞∫
0
f(t) cos(αt) dt
 cos(αx) dα
(ii) Si f es impar, entonces A(α) = 0 y B(α) = 2
∞∫
0
f(t) sen(αt) dt y
f(x) =
1
π
∞∫
0
B(α) sen(αx) dα =
2
π
∞∫
0
 ∞∫
0
f(t) sen(αt) dt
 sen(αx) dα
MAT024 20 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 1.10. Encuentre la integral de Fourier de f(x) =
{
1 |x| ≤ 1
0 |x| > 1
Calcule
∫ ∞
0
sen(w)
w
dw
Solución:
Observar que f(x) es una función par, por tanto B(w) = 0
A(w) = 2
∫ ∞
0
f(x) cos(wx) dx
= 2
∫ 1
0
cos(wx) dx
= 2 · sen(wx)
w
∣∣∣∣1
0
= 2 · sen(w)
w
Con esto f(x) =
1
π
∫ ∞
0
2
sen(w)
w
cos(wx) dw (en promedio)
Evaluando en x = 0 se tiene
f(0) = 1 =
2
π
∫ ∞
0
sen(w)
w
dw ⇒
∫ ∞
0
sen(w)
w
dw =
π
2
Pues f es continua en x = 0 .
Ejemplo 1.11. Considerar f(x) = x e−|x| . Observar que
∫
R
x e−|x| dx = 2
∞∫
0
x e−x dx = 2
(
−x e−x− e−x
∣∣∣∣∣
∞
0
)
= 2
Luego f puede ser representado por una integral.
Observar que f es una función impar y por tanto A(w) = 0 . Por otra parte
B(w) =
∞∫
−∞
t e−|t| sen(wt) dt = 2
∞∫
0
t e−t sen(wt) dt =
4w
(1 + w2)2
El cálculo de la integral se hace integrando por partes varias veces. A modo de ejemplo:
MAT024 21 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
∞∫
0
t e−t sen(wt) dt = − e−t(1 + t) sen(wt)
∣∣∣∣∣
∞
0
+ w
∞∫
0
e−t(1 + t) cos(wt) dt
La primera parte es 0, ası́ que queda:
=w
− e−t(2 + t) cos(wt) ∣∣∣∣∣
∞
0
− w
∞∫
0
e−t(2 + t) sen(wt) dt

= 2w − w2
∞∫
0
t e−t sen(wt) dt− 2w2
∞∫
0
e−t sen(wt) dt
Despejando queda:
∞∫
0
t e−t sen(wt) dt =
2w − 2w2 ∞∫
0
e−t sen(wt) dt
 1
1 + w2
La continuación del cálculo de la integral se deja como ejercicio.
Volviendo a la integral de Fourier y considerando la continuidad de f , se tiene
x e−|x| =
4
π
∞∫
0
w
(1 + w2)2
sen(wx) dw
Observación 1.5. Para una función f definida en R+0 se puede considerar una extensión
par de ella y obtener ası́ una representación de f mediante una integral cosenoidal, la cual
converge, en promedio, a f(x) para todo x ≥ 0 . Queda
f(x) =
1
π
∞∫
0
A(w) cos(wx) dw =
2
π
∞∫
0
 ∞∫
0
f(t) cos(wt) dt
 cos(wx) dw
Analogamente se puede considerar una extensión impar y obtener ası́ una representación de
f mediante una integral senoidal, la cual converge, en promedio, a f(x) para todo x ≥ 0 .
Queda
f(x) =
1
π
∞∫
0
B(w) sen(wx) dw =
2
π
∞∫
0
 ∞∫
0
f(t) sen(wt) dt
 sen(wx) dw
Los argumentos son iguales a como se hizo para obtener series senoidales o cosenoidales
para una función definida en [0 , L[ .
MAT024 22 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 1.12. Considerar
f(x) =

π
2
sen(x) 0 ≤ x ≤ π
0 x > π
f puede representarse mediante una integral senoidal haciendo
B(α) = 2
∞∫
0
f(t) sen(αt) dt
= 2
π∫
0
π
2
sen(t) sen(αt) dt
=
π
2
π∫
0
[cos((1− α)t)− cos((1 + α)t)] dt
entonces para α 6= 1 se tiene
=
π
2
[
sen((1− α)t)
1− α
− sen((1 + α)t)
1 + α
∣∣∣∣∣
π
0
]
=
π sen(απ)
1− α2
Por lo tanto
f(x) = 2
∫ ∞
0
sen(απ) sen(αx)
1− α2
dα
MAT024 23 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.