Apuntes de Clases Integrales Múltiples - Alfredo Mallea (2)

Vista previa del material en texto

Matemática IV (MAT024)
Campus Santiago San Joaquı́n
Apuntes de Clases
Capı́tulo 1: Integración en varias variables
Contenidos
Sección 1: La integral doble sobre rectángulos.
Sección 2: Cambios de variable en Integrales dobles.
Sección 3: Integrales Triples.
Sección 4: Cambios de variable en Integrales triples.
Sección 5: Aplicaciones de las Integrales múltiples
La integral doble sobre un rectángulo
Sea R = [a, b]× [c, d] ⊆ R un rectángulo, consideremos particiones regulares en [a, b] de
m+ 1 puntos y en [c, d] de n+ 1 puntos, esto es, consideramos colecciones {xi}mi=0 y {yj}
n
j=0
tales que
a = x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xm = b
y
c = y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < yn = d
tales que
∆xi = xi − xi−1 =
b− a
m
para i ∈ {1, . . . ,m}
y
∆yj = yj − yj−1 =
d− c
n
para j ∈ {1, . . . , n}
la grilla formada por las rectas x = xi para i ∈ {0, . . . ,m} e y = yj para j ∈ {0, . . . , n},
determina mn sub-rectángulos de R los que denotaremos por Rij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj].
Llamaremos a la colección P = {R11, R12, . . . , Rmn} una partición regular de R.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Sea f : [a, b]× [c, d]→ R una función positiva, la partición regular P = {R11, R12, . . . , Rmn}
divide el sólido bajo la gráfica de z = f (x, y) en mn sólidos, digamos Sij donde tales sólidos
están limitados por abajo por Rij y por arriba por la superficie z = f (x, y) que se encuentra
directamente sobre el rectángulo.
Sea
(
x∗i , y
∗
j
)
∈ Rij un punto cualquiera, el paralelepı́pedo de base Rij , altura f
(
x∗i , y
∗
j
)
y
volumen
Vij = f
(
x∗i , y
∗
j
)
∆xi∆yj
aproxima el volumen del sólido Sij
MAT024 2 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
se sigue que el volumen total es aproximado por
V =
m∑
i=1
n∑
j=1
f
(
x∗i , y
∗
j
)
∆xi∆yj
intuitivamente, si n,m→∞ la aproximación debe ser cada vez mejor.
Definición 1.1. Sea f : R = [a, b] × [c, d] → R una función y P = {R11, R12, . . . , Rmn} una
partición regular de R. Se define la integral doble de f sobre R como∫∫
R
f (x, y) dA = ĺım
n,m→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
f
(
x∗i , y
∗
j
)
∆xi∆yj
siempre que este lı́mite exista y sea el mismo para cualquier elección posible de los puntos(
x∗i , y
∗
j
)
∈ Rij .
Mediante la definición es complicada la obtención del valor de la integral (y la existencia
de la misma), necesitamos un método práctico que nos permita calcular el valor de la
integral. Del curso Mat022 recordamos el método para el cálculo de volúmenes por área de
MAT024 3 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
secciones transversales conocidas. Si A (x) es el área de la sección transversal de un sólido
(perpendicular al eje x) y x ∈ [a, b] entonces el volumen es dado por
V =
∫ b
a
A (x) dx
Supongamos que f : [a, b]× [c, d]→ R es una función continua, calcularemos el volumen
bajo z = f (x, y) utilizando secciones transversales. Sea x fijo, el área de la sección transversal
determinada por el plano perpendicular al eje x en x es dada por
A (x) =
∫ d
c
f (x, y) dy
luego el volumen del sólido es
V =
∫ b
a
A (x) dx =
∫ b
a
∫ d
c
f (x, y) dydx
de la misma manera, tomando secciones transversales perpendiculares al eje y se tiene
V =
∫ d
c
A (y) dy
=
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y) dxdy
estas integrales son llamadas integrales iteradas.
Note que tenemos dos formas de calcular el volumen, con las sumas de Riemann y con
las integrales iteradas, el teorema de Fubini que enunciaremos a continuación establece
condiciones bajo las cuales estas cantidades coinciden, lo que nos entrega un método para el
cálculo de integrales dobles mediante integrales de una variable (integrales iteradas), antes,
enunciaremos un criterio de integrabilidad para funciones dos variables.
Sea f : [a, b]× [c, d] ⊆ R2→ R una función acotada que es continua
salvo quizás en un conjunto que es unión finita de gráficas de
funciones continuas de una variable, entonces f es integrable en
[a, b]× [c, d].
Teorema
MAT024 4 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 1.1. La función f (x, y) = sin
(
1
|x|−|y|
)
para |x| 6= |y| y f (x, y) = 0 para |x| = |y| es
integrable en cualquier rectángulo [a, b]× [c, d] pues es continua salvo en el conjunto
D =
{
(x, y) ∈ R2 : |x| = |y|
}
=
{
(x, y) ∈ R2 : y = x
}
∪
{
(x, y) ∈ R2 : y = −x
}
que es unión de dos gráficas de funciones continuas.
Sea f : [a, b] × [c, d] ⊆ R2→ R una función acotada que es conti-
nua salvo quizás en un conjunto que es unión finita de gráficas
de funciones continuas de una variable, si para todo x ∈ [a, b]
la integral
∫ d
c
f (x, y) dy existe entonces
∫ b
a
∫ d
c
f (x, y) dydx existe
además ∫∫
R
f (x, y) dA =
∫ b
a
∫ d
c
f (x, y) dydx
de manera similar si para todo y ∈ [c, d] la integral
∫ b
a
f (x, y) dx
existe entonces
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y) dxdy existe además
∫∫
R
f (x, y) dA =
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y) dxdy
Teorema de Fubini
Ejemplo 1.2. Si R = [0, 1]× [0, 1], calcular
∫∫
R
(x3y + x) dA.
La función f (x, y) = x3y + x es continua en R2, en particular en [0, 1]× [0, 1] se sigue que
el teorema de Fubini es aplicable de donde obtenemos∫∫
R
(
x3y + x
)
dA =
∫ 1
0
∫ 1
0
(
x3y + x
)
dxdy
=
∫ 1
0
(
x4
4
y +
x2
2
)∣∣∣∣1
0
dy
=
∫ 1
0
(
y
4
+
1
2
)
dy
=
5
8
MAT024 5 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
o bien ∫∫
R
(
x3y + x
)
dA =
∫ 1
0
∫ 1
0
(
x3y + x
)
dydx
=
∫ 1
0
(
x3
y2
2
+ xy
)∣∣∣∣1
0
dx
=
∫ 1
0
(
x3
2
+ x
)
dx
=
5
8
Proposición 1.1. Sean f, g : R = [a, b]× [c, d] ⊆ R2 → R funciones integrales, a, β ∈ R :
1. αf + βg es integrable en R además∫∫
R
(αf (x, y) + βg (x, y)) dA = α
∫∫
R
f (x, y) dA+ β
∫∫
R
g (x, y) dA
2. Si R1 y R2 son subrectángulos de R tales que R = R1 ∪R2 y R1, R2 comparten solo un borde
entonces ∫∫
R1∪R2
f (x, y) dA =
∫∫
R1
f (x, y) dA+
∫∫
R2
f (x, y) dA
3. Si f ≥ 0 en R entonces ∫∫
R
f (x, y) dA ≥ 0
4. Si f ≥ g en R entonces ∫∫
R
f (x, y) dA ≥
∫∫
R
f (x, y) dA
Veremos como extender la integral a dominios de definición más generales:
Definición 1.2. Diremos que el conjunto acotado D ⊆ R2 es:
1. Una región elemental de primer tipo, si existen funciones continuas ψ1, ψ2 : [a, b]→ R
tales que, para todo x ∈ [a, b] se cumple ψ1 (x) ≤ ψ2 (x) y
D =
{
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ ψ1 (x) ≤ y ≤ ψ2 (x)
}
2. Una región elemental de segundo tipo, si existen funciones continuas ψ1, ψ2 : [c, d]→ R
tales que, para todo y ∈ [c, d] se cumple ϕ1 (y) ≤ ϕ2 (y) y
D =
{
(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d ∧ ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y)
}
3. Una región elemental de tercer tipo, si es de primer y segundo tipo a la vez.
MAT024 6 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Supongamos que D es una región elemental (luego acotada) y f : D ⊆ R2 → R es una
función continua, la función
f ∗ (x, y) =

f (x, y) (x, y) ∈ D
0 (x, y) ∈ [a, b]× [c, d]−D
donde [a, b]× [c, d] es un rectángulo que contiene a D entonces f ∗ (x, y) cumple con el criterio
de integrabilidad luego, si la región es de primer tipo∫∫
[a,b]×[c,d]
f ∗ (x, y) dA =
∫ b
a
∫ d
c
f ∗ (x, y) dydx
=
∫ b
a
(∫ ψ1(x)
c
f ∗ (x, y) dy +
∫ ψ2(x)
ψ1(x)
f ∗ (x, y) dy +
∫ d
ψ2(x)
f ∗ (x, y) dy
)
dx
=
∫ b
a
(∫ ψ2(x)
ψ1(x)
f (x, y) dy
)
dx
de manera similar, si la región es de segundo tipo
MAT024 7 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
∫∫
[a,b]×[c,d]
f ∗ (x, y) dA =
∫ d
c
∫ b
a
f ∗ (x, y) dxdy
=
∫ d
c
(∫ ϕ1(y)
a
f ∗ (x, y) dx+
∫ ϕ2(y)
ϕ1(y)
f ∗ (x, y) dx+
∫ b
ϕ2(y)
f ∗ (x, y) dx
)
dy
=
∫ d
c
(∫ ϕ2(y)
ϕ1(y)
f (x, y) dx
)
dy
y si es de tercer tipo se pueden aplicar las dos expresiones anteriores, según sea conveniente.
Observación 1.1. Las propiedades de la integral doble sobre rectángulos se mantienen para
regiones elementales, es de particular interés notar que si D = D1 ∪D2 con D1 ∩D2 solo la
gráfica de una función continua de una variable entonces∫∫
D
f (x, y) dA =
∫∫
D1
f (x, y) dA+
∫∫
D2
f (x, y) dA
esto haceposible trabajar con regiones que son uniones de regiones elementales.
Ejemplo 1.3. Cambiar el orden de integración en∫ 1
0
∫ √y
y
f (x, y) dxdy
Notar que en esta integral 0 ≤ y ≤ 1 y y ≤ x ≤ √y corresponde a una región de segundo
tipo, la misma región se puede describir como
R =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 ≤ y ≤ x
}
de donde obtenemos ∫ 1
0
∫ √y
y
f (x, y) dxdy =
∫ 1
0
∫ x
x2
f (x, y) dydx
Ejemplo 1.4. Cambiando el orden de integración, escribir la suma en una sola integral∫ 1
0
∫ x
0
f (x, y) dydx+
∫ 2
1
∫ 2−x
0
f (x, y) dydx
La región de la primera integral es
D1 =
{
(x.y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
}
y en la segunda
D2 =
{
(x.y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2− x
}
entonces
D1 ∪D2
se puede describir como
D =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2− y
}
ası́ ∫ 1
0
∫ x
0
f (x, y) dydx+
∫ 2
1
∫ 2−x
0
f (x, y) dydx =
∫ 1
0
∫ 2−y
y
f (x, y) dxdy
MAT024 8 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 1.5. Calcular la integral ∫∫
A
sinx
x
dA
donde A es el triángulo en el plano xy acotado por el eje x, la recta x = y y la recta x = 1.
Note que la primitiva de sinx
x
no es conocida, luego no podemos realizar una integración
primero en x, veamos como describir el triángulo de manera conveniente∫∫
A
sinx
x
dA =
∫ 1
0
∫ x
0
sinx
x
dydx
= 1− cos 1
Ejemplo 1.6. Calcular el volumen bajo la gráfica del plano z = x+ y + 1 sobre la región del
plano xy encerrada por las rectas
y − x = 1
y − x = −1
y + x = 1
y + x = 2
Ejemplo 1.7. Escribir las integrales que permiten calcular el volumen del sólido definido
como la parte de la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 2 que se encuentra al interior del como z =
√
x2 + y2.
Cambios de variables en Integrales dobles
Ejemplo 2.1. Calcular la integral ∫∫
D
(x+ y) dA
donde D es la región del primer cuadrante limitada por los cı́rculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.
Notamos que la región se puede dividir en dos regiones de primer tipo
D1 =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧
√
1− x2 ≤ y ≤
√
4− x2
}
D2 =
{
(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤
√
4− x2
}
luego ∫∫
D
(x+ y) dA =
∫∫
D1
(x+ y) dA+
∫∫
D2
(x+ y) dA
=
∫ 1
0
∫ √4−x2
√
1−x2
(x+ y) dydx+
∫ 2
1
∫ √4−x2
0
(x+ y) dydx
=
∫ 1
0
(
x
√
4− x2 − x
√
1− x2 + 3
2
)
dx
+
∫ 2
1
(
x
√
4− x2 − 1
2
x2 + 2
)
dx
=
(
23
6
−
√
3
)
+
(√
3 +
5
6
)
=
14
3
MAT024 9 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
la pregunta aquı́ es, ¿Existirá una forma más sencilla de calcular esta integral?
La región sobre la cual se esta realizando la integración puede ser descrita en coordenadas
polares en forma muy sencilla, el radio va de 1 a 2 y el ángulo de 0 a π
2
.
Esto es, la transformación
F : [1, 2]×
[
0,
π
2
]
→ D
(r, θ) → F (r, θ) = (r cos θ, r sin θ)
sin embargo es fácil ver que las integrales sobre esta regiones [1, 2]×
[
0, π
2
]
y D no son iguales,
por ejemplo ∫∫
[1,2]×[0,π2 ]
drdθ =
∫ π/2
0
∫ 2
1
drdθ =
π
2
6=
∫
D
dxdy
=
4π
4
− π
4
=
3
4
π
lo que falta es un factor de deformación del área. Recordemos el teorema de cambio de
variables en una variable, este dice que∫ b
a
f (g (x)) g′ (x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u) du
luego al cambiar el intervalo [g (a) , g (b)] por [a, b] aparece en factor de deformación g′ (x) en
la integral.
Sean D y D∗ regiones elementales del plano. Sea F : D∗ → D,
(u, v) → (x (u, v) , y (u, v)) una función de clase C1 biyectiva, si
f : D → R es integrable entonces∫∫
D
f (x, y) dxdy =
∫∫
D∗
f (F (u, v)) |det (DF (u, v))| dudv
=
∫∫
D∗
f (x (u, v) , y (u, v))
∣∣∣∣∂ (x, y)∂ (u, v)
∣∣∣∣ dudv
donde
∂ (x, y)
∂ (u, v)
= det
 ∂x∂u ∂x∂v
∂y
∂u
∂y
∂v

es llamado Jacobiano (es el determinante de la matriz jacobiana)
Teorema del cambio de variables
MAT024 10 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Observación 2.1. Notar el valor absoluto en la integral.
Ejemplo 2.2. Calcular la integral ∫∫
D
(x+ y) dA
donde D es la región del primer cuadrante limitada por los cı́rculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.
Usamos la función
F (r, θ) = (r cos θ, r sin θ)
definida en [1, 2]×
[
0, π
2
]
, se sigue F
(
[1, 2]×
[
0, π
2
])
= D y∫∫
D
(x+ y) dA =
∫
[1,2]×[0,π2 ]
(r cos θ + r sin θ)
∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ
∣∣∣∣ dθdr
=
∫
[1,2]×[0,π2 ]
(r cos θ + r sin θ) rdrdθ
=
∫ π/2
0
∫ 2
1
(r cos θ + r sin θ) rdrdθ
=
14
3
Ejemplo 2.3. Calcular la integral doble∫∫
D
(1 + x+ y) dA
donde D es la región limitada por las rectas
y − x = 1
y − x = −1
y + x = 1
y + x = 2
Un cambio de variables adecuado en este caso es
u = y − x
v = y + x
entonces −1 ≤ u ≤ 1 y 1 ≤ v ≤ 2 se sigue que la transformación
F : [−1, 1]× [1, 2]→ D
(u, v) →
(
v − u
2
,
u+ v
2
)
luego ∫∫
D
(1 + x+ y) dA =
∫ 1
−1
∫ 2
1
(1 + v)
∣∣∣∣det( −1/2 1/21/2 1/2
)∣∣∣∣ dvdu
=
∫ 1
−1
∫ 2
1
(1 + v)
∣∣∣∣−12
∣∣∣∣ dvdu
=
∫ 1
−1
∫ 2
1
1 + v
2
dvdu
=
5
2
MAT024 11 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 2.4. Calcular ∫∫
D
(
x2y2
)
dA
donde D es la región limitada por las curvas
xy = 1
xy = 2
y
y = x/2
y = 3x
El cambio de variables en este caso deberı́a ser
u = xy
y
v =
y
x
entonces
1 ≤ u ≤ 2 y 1
2
≤ v ≤ 3
notemos que
uv = y2 ⇒ y =
√
uv
x =
√
u
v
ası́ la transformación es
F : [1, 2]×
[
1
2
, 3
]
→ D
(u, v) →
(√
u
v
,
√
uv
)
se sigue ∣∣∣∣∂ (x, y)∂ (u, v)
∣∣∣∣ = 12v
luego ∫∫
D
(
x2y2
)
dA =
∫ 2
1
∫ 3
1/2
(
u2
) 1
2v
dvdu
=
7
6
ln 6
MAT024 12 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Observación 2.2 (Importante). Del teorema de la función inversa de mat023 sabemos que
DF−1 = (DF )−1
entonces
det
(
DF−1
)
=
1
det (DF )
esto nos dice que
∂ (x, y)
∂ (u, v)
=
1
∂(u,v)
∂(x,y)
luego, si
u = xy
y
v =
y
x
entonces
∂ (u, v)
∂ (x, y)
=
∣∣∣∣ ∂u∂x ∂u∂y∂v
∂x
∂v
∂y
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ y x−y
x2
1
x
∣∣∣∣
=
2y
x
= 2v
entonces
∂ (x, y)
∂ (u, v)
=
1
∂(u,v)
∂(x,y)
=
1
2v
lo que puede ser más rápido de calcular.
Ejemplo 2.5. Calcular ∫∫
D
e
−
(√
x2
4
+ y
2
9
)
dA
donde
D =
{
(x, y) ∈ R2 : x
2
4
+
y2
9
≤ 1
}
Vamos a hacer 2 cambios de variables, primero pongamos
u =
x
2
y v =
y
3
entonces ∫∫
D
f (x, y) dxdy =
∫∫
D∗
f (F (u, v)) |det (DF )| dudv
=
∫∫
D∗
f (2u, 3v)
∣∣∣∣( 2 00 3
)∣∣∣∣ dudv
= 6
∫∫
D∗
f (2u, 3v) dudv
= 6
∫∫
D∗
e−(
√
u2+v2)dudv
MAT024 13 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
donde
D∗ =
{
(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 ≤ 1
}
ahora usamos polares
u = r cos θ
v = r sin θ
donde θ ∈ [0, 2π] y r ∈ [0, 1] se tiene
6
∫∫
D∗
e−(
√
u2+v2)dudv = 6
∫ 2π
0
∫ 1
0
e−(
√
r2)rdrdθ
= 12π
∫ 1
0
re−rdr
= 12π
(
1− 2
e
)
Ejemplo 2.6. Considere la región R del primer cuadrante limitada por las curvas y =
√
3x,
y = 1√
3
x, y = x2 y x+ y = 10 (vea figura)
Determine el valor de la integral∫∫
R
y
x4
(
1 +
2y
x
)
cos
( y
x2
)
dA
usando un cambio de variables adecuado.
Usamos el cambio de variables
u =
y
x
v =
y
x2
inducido por las curvas y la integral, se tiene que
∂ (u, v)
∂ (x, y)
=
∣∣∣∣ ∂∂x
(
y
x
)
∂
∂y
(
y
x
)
∂
∂x
(
y
x2
)
∂
∂y
(
y
x2
) ∣∣∣∣
=
y
x4
MAT024 14 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
entonces
∂ (x, y)
∂ (u, v)
=
1(
y
x4
)
se sigue que∫∫
R
y
x4
(
1 +
2y
x
)
cos
( y
x2
)
dA =
∫∫
R2
y
x4
(1 + 2u) cos (v)
∣∣∣∣∣ 1( y
x4
)∣∣∣∣∣ d (u, v)
=
∫∫
R2
(1 + 2u) cos (v) d (u, v)
solo debemos encontrar la región en la cual se transforma
y =
√
3x→ u =
√
3
y =
1√
3
x→ u = 1√
3
y = x2 → v = 1
x+ y = 10→?
para determinar la última necesitamos las variables
u =
y
x
⇒ xu = y
v =
y
x2
⇒ x2v = y
se sigue
xv = u⇒ x = u
v
ası́
y =
u2
v
se sigue
x+ y = 10
u
v
+
u2
v
= 10
entonces
v =
u+ u2
10
MAT024 15 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
entonces ∫∫
R2
(1 + 2u) cos (v) d (u, v)
=
∫ √3
1√
3
∫ 1
u+u2
10
(1 + 2u) cos (v) dvdu
=
∫ √3
1√
3
−
(
sin
(
1
10
u2 +
1
10
u
)
− sin 1
)
(2u+ 1) du
=
8
3
sin 1 + 10 cos
(
1
10
√
3 +
3
10
)
− 10 cos
(
1
30
√
3 +
1
30
)
+
2
3
√
3 sin 1
Ejercicios propuestos1. Cambiar el orden de integración en la integral∫ 2
0
∫ √4x−x2
x
f (x, y) dydx
2. Cambiando el orden de integración escriba la expresión en una sola integral∫ 2
1
∫ x3
x
f (x, y) dydx+
∫ 8
2
∫ 8
x
f (x, y) dydx
3. Hallar los limites de integración de la integral
∫∫
Ω
f (x, y) dA si el conjunto Ω es la
región encerrada por las rectas y = x, y = x+ 3, y = −2x+ 1 e y = −2x+ 5.
4. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el cilindro
x2 + y2 = ax donde a > 0.
5. Mediante un cambio de variable apropiado calcule:
a)
∫∫
Ω
(x− y)2 sin2 (x+ y) dA donde Ω es el paralelogramo de vértices (π, 0), (2π, π),
(π, 2π), (0, π).
b)
∫∫
Ω
arctan
(
y
x
)
dA donde
Ω =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 9, y ≥ x√
3
, y ≤
√
3x
}
MAT024 16 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Integrales triples
Las integrales de funciones de tres variables se definen de manera similar al caso de
funciones de dos variables. Si
P1 = {x0, x1, . . . , xm}
P2 = {y0, y1, . . . , yn}
P3 = {z0, z1, . . . , zl}
son particiones regulares de [a, b], [c, d] y [p, q] respectivamente y f : [a, b]×[c, d]×[p, q]→ R
es una función, diremos que f es integrable sobre [a, b]× [c, d]× [p, q] si el lı́mite
ĺım
n,m,l→∞
n,m,l∑
i,j,k
f (cijk) ∆xi∆yj∆zk
existe y es independiente de la elección de los elementos cijk ∈ [xi−1, xi]× [yj−1, yj]× [zk−1, zk],
en este caso denotaremos el valor del lı́mite por
ĺım
n,m,l→∞
n,m,l∑
i,j,k
f (cijk) ∆xi∆yj∆zk =
∫∫∫
[a,b]×[c,d]×[p,q]
f (x, y, z) dV
=
∫∫∫
[a,b]×[c,d]×[p,q]
f (x, y, z) d (x, y, z)
esta integral comparte el criterio de integrabilidad, el teorema de fubini y las propiedades
de las integrales dobles por lo que no las enunciaremos nuevamente, solo analizaremos las
integrales en regiones más generales y el teorema del cambio de variables que tiene 2 casos
particulares especiales.
MAT024 17 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 3.1. Calcular ∫∫∫
[0,1]×[1,2]×[−1,1]
(
x2y + zy2
)
d (x, y, z)
Usando el teorema de Fubini (la función es continua) se sigue que la integral es igual a las
integrales iteradas, ası́∫∫∫
[0,1]×[1,2]×[−1,1]
(
x2y + zy2
)
d (x, y, z) =
∫ 1
−1
∫ 2
1
∫ 1
0
(
x2y + zy2
)
dxdydz
=
∫ 1
−1
∫ 2
1
1
3
y (3yz + 1) dydz
=
∫ 1
−1
(
7
3
z +
1
2
)
dz
= 1
Para las integrales triples, las regiones elementales son de los siguientes tipos
Definición 3.1. Una región elemental respecto al plano xy es una región de la forma
T =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R, k1 (x, y) ≤ z ≤ k2 (x, y)
}
donde R es una región elemental en R2 y k1 (x, y) , k2 (x, y) son funciones continuas en R.
En la figura vemos una región elemental respecto al plano xy en este caso la integral triple
quedarı́a ∫∫∫
T
f (x, y, z) dV =
∫∫
R
∫ k2(x,y)
k1(x,y)
f (x, y, z) dzdA
=
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ k2(x,y)
k1(x,y)
f (x, y, z) dzdydx
MAT024 18 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
si la región elemental R fuera de segundo tipo, es decir
R =
{
(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y)
}
entonces ∫∫∫
T
f (x, y, z) dV =
∫∫
R
∫ k2(x,y)
k1(x,y)
f (x, y, z) dzdA
=
∫ d
c
∫ ϕ2(y)
ϕ1(y)
∫ k2(x,y)
k1(x,y)
f (x, y, z) dzdxdy
de manera similar podemos definir regiones elementales en R3 respecto al plano yz y xz por
T =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (y, z) ∈ R, k1 (y, z) ≤ x ≤ k2 (y, z)
}
y
T =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (x, z) ∈ R, k1 (x, z) ≤ y ≤ k2 (x, z)
}
respectivamente (ver figuras)
MAT024 19 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejercicio 3.1. Escribir las integrales
∫∫∫
T
f (x, y, z) dV si T es región elemental respecto a los
planos yz y xz.
Ejemplo 3.2. Si queremos calcular ∫∫∫
T
f (x, y, z) dV
donde
T =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x
2
4
+ y2 +
z2
9
≤ 1
}
entonces podemos describir T de las siguientes formas:
1. Proyectamos T al plano xy, esto nos da
R =
{
(x, y) ∈ R2 : x
2
4
+ y2 ≤ 1
}
si miramos donde se mueve z en tal región tenemos
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 1
despejamos z
−3
2
√
4− x2 − 4y2 ≤ z ≤ 3
2
√
4− x2 − 4y2
se sigue ∫∫∫
T
f (x, y, z) dV =
∫∫
R
∫ 3
2
√
4−x2−4y2
− 3
2
√
4−x2−4y2
f (x, y, z) dzdA
la región R es de tipo 3 en el plano luego podemos describirla como
R =
{
(x, y) ∈ R2 : x
2
4
+ y2 ≤ 1
}
=
{
(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2,−
√
1− x
2
4
≤ y ≤
√
1− x
2
4
}
o bien
R =
{
(x, y) ∈ R2 : x
2
4
+ y2 ≤ 1
}
=
{
(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ y ≤ 1,−2
√
1− y2 ≤ x ≤ 2
√
1− y2
}
ası́ ∫∫∫
T
f (x, y, z) dV =
∫∫
R
∫ 3
2
√
4−x2−4y2
− 3
2
√
4−x2−4y2
f (x, y, z) dzdA
=
∫ 2
−2
∫ √1−x2
4
−
√
1−x2
4
∫ 3
2
√
4−x2−4y2
− 3
2
√
4−x2−4y2
f (x, y, z) dzdydx
=
∫ 1
−1
∫ 2√1−y2
−2
√
1−y2
∫ 3
2
√
4−x2−4y2
− 3
2
√
4−x2−4y2
f (x, y, z) dzdxdy
MAT024 20 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
2. Ejercicio (en el plano yz)
3. Ejercicio (en el plano xz)
Ejemplo 3.3. Calcular ∫∫∫
T
√
x2 + z2dV
donde T es la región acotada por el cilindro x2 + z2 = 1 y los planos y + z = 2, y = 0.
El sólido es mostrado en la figura
Esta región es elemental respecto al plano xz se tiene∫∫∫
T
√
x2 + z2dV =
∫∫
R
∫ 2−z
0
√
x2 + z2dydA
=
∫∫
R
√
x2 + z2 (2− z) dA
MAT024 21 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
para calcular esta integral usaremos cambio de variables polares
x = r cos θ
z = r sin θ
con 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ 2π entonces∫∫
R
√
x2 + z2 (2− z) dA =
∫ 2π
0
∫ 1
0
r (2− r sin θ) rdrdθ
=
∫ 2π
0
(
2
3
− 1
4
sin θ
)
dθ
=
4
3
π
Ejemplo 3.4. Calcular ∫∫∫
Ω
(
1 +
(
x2 + y2
)2)
dV
donde Ω es la región acotada por el cono z =
√
x2 + y2 y el plano z = 2.
La región de integración es elemental respecto al plano xy, la proyección en este caso es la
región del plano xy limitada por √
x2 + y2 = 2
⇔
x2 + y2 = 4
y
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2 es decir,
Ω =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4,
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2
}
se sigue ∫∫∫
Ω
(
1 +
(
x2 + y2
)2)
dV =
∫∫
R
∫ 2
√
x2+y2
(
1 +
(
x2 + y2
)2)
dzdA
donde
R =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4
}
luego ∫∫∫
Ω
(
1 +
(
x2 + y2
)2)
dV =
∫∫
R
(
2−
√
x2 + y2
)(
1 +
(
x2 + y2
)2)
dA
para calcular esta integral usaremos coordenadas polares∫∫
R
(
2−
√
x2 + y2
)(
1 +
(
x2 + y2
)2)
dA =
∫ 2π
0
∫ 2
0
(2− r)
(
1 +
(
r2
)2)
rdrdθ
= 2π
∫ 2
0
(2− r)
(
1 +
(
r2
)2)
rdr
=
184
21
π
MAT024 22 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Cambio de variable en Integrales triples
Sean D y D∗ regiones elementales de R3. Sea F : D∗ → D, (u, v, w) →
(x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) una función de clase C1 biyectiva, si f :
D → R es integrable entonces∫∫∫
D
f (x, y, z) dxdydz
=
∫∫∫
D∗
f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w))
∣∣∣∣ ∂ (x, y, z)∂ (u, v, w)
∣∣∣∣ dudvdw
donde
∂ (x, y, z)
∂ (u, v, w)
= det

∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w

Teorema del cambio de variables
En este caso vamos a estudiar dos casos particulares que son particularmente útiles en
condiciones de simetrı́a: las coordenadas cilı́ndricas y coordenadas esféricas que son otras
formas de describir el espacio:
Coordenadas Cilı́ndricas
Las coordenadas cilı́ndricas son otra forma de describir los puntos del espacio, un punto
en coordenadas cilı́ndricas se representa mediante una terna (r, θ, z) y la relación que existe
MAT024 23 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
entre estas coordenadas y las coordenadas cartesianas esta dada por
F : R3 → R3
(r, θ, z) → F (r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z)
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
estas coordenadas al igual que las coordenadas polares permiten simplificar algunas integra-
les con simetrı́as. El valor absoluto del determinate del jacobiano en este caso es |r| al igual
que en las polares
Ejemplo 4.1. Calcular la integral ∫∫∫
D
(
x2 + y2
)
dxdydz
donde D es la region acotada por el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, por el plano z = 0 y por el
paraboloide z = x2 + y2.
La coordenada z se mueve entre z = 0 y z = r2 el ángulo θ entre 0 y π y el radio desde 0 a
2 sin θ entonces∫∫∫
D
(
x2 + y2
)
dxdydz =
∫ π
0
∫ 2 sin θ
0
∫ r2
0
r2rdzdrdθ
=
10
3
π
MAT024 24 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Coordenadas esféricas
En este caso un punto en el espacio esta determinado por 3 coordenadas (ρ, φ, θ) en este
caso la forma de transformación es
x = r cos θ
y = r sin θ
z = ρ cosφ
r = ρ sinφ
se sigue
x = ρ sinφ cos θ
y = ρ sinφ sin θ
z = ρ cosφ
se puede mostrar que el Jacobiano de esta transformación es ρ2 sinφ
Ejemplo 4.2. Esfera en esféricas
x2 + y2 + (z − 1)2 = 1
se transforma en
ρ = 2 cosφ
Ejemplo 4.3. El cono z =
√
x2 + y2 se transforma en φ = π
4
.
Ejemplo 4.4. Calcular la integral ∫∫∫
D
zdV
donde D es la region acotada por el cono z =
√
x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = z.
MAT024 25 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Ejemplo 4.5. Calcular el volumen limitado por la superficie(
x2
4
+ y2 + z2
)2
=
x2
4
+ y2 − z2
Desarrollo: Se ve que la ecuación no cambia al reemplazar x, y o z por −x,−y o −z
respectivamente, por tanto hay simetrı́a respecto a todos los ejes, vamos a utilizar una
modificación de las coordenadas esféricas para calcular el volumen:
x = 2ρ cos θ sinφ
y = ρ sin θ sinφ
z = ρ cosφ
en estas coordenadas la superficie es
ρ4 = −ρ2 cos 2φ
entonces
ρ =
√
− cos 2φ
la cual esta definida si φ ∈
[
π
4
, π
2
]
(cálculo en el primer octante) entonces
V = 8
∫ π/2
0
∫ π/2
π/4
∫ √− cos 2φ
0
2ρ2 sinφdρdφdθ
=
π2
2
√
2
el Jacobiano de la transformación es
2ρ2 sinφ
Obs.: Si Ω es la región limitada por la ecuación(
x2
4
+ y2 + z2
)2
=
x2
4
+ y2 − z2
se puede transformar usando
x = 2u
y = v
z = w
entonces (
x2
4
+ y2 + z2
)2
=
x2
4
+ y2 − z2
⇔(
u2 + v2 + w2
)2
= u2 + v2 − w2
luego ∫∫∫
Ω
dV =
∫∫∫
Ω1
∣∣∣∣ ∂ (x, y, z)∂ (u, v, w)
∣∣∣∣ d (u, v, w)
=
∫∫∫
Ω1
2d (u, v, w)
MAT024 26 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
donde Ω1 es la región encerrada por(
u2 + v2 + w2
)2
= u2 + v2 − w2
en esta ecuación usamos esféricas
u = ρ cos θ sinφ
v = ρ sin θ sinφ
w = ρ cosφ
ρ4 = ρ2 cos2 θ sin2 φ+ ρ2 sin2 θ sin2 φ− ρ2 cos2 φ
= ρ2 sin2 φ− ρ2 cos2 φ
= −ρ2 cos (2φ)
ası́
ρ =
√
− cos (2φ)
de donde ∫∫∫
Ω
dV =
∫∫∫
Ω1
2d (u, v, w)
= 8
∫ π/2
0
∫ π/2
π/4
∫ √− cos 2φ
0
2ρ2 sinφdρdφdθ
Ejemplo 4.6. Calcular el volumen común a los elipsoides sólidos
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1 y x
2
a2
+
y2
b2
+
(z − c)2
c2
≤ 1
Desarrollo: Usaremos el cambio de variables
x = aρ sinφ cos θ
y = bρ sinφ sin θ
z = cρ cosφ
en este caso
∂ (x, y, z)
∂ (ρ, φ, θ)
= abcρ2 sinφ
ahora vamos a ver donde se mueven las nuevas variables, notemos que
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
luego
ρ = 1
y para la otra
ρ2 +
−2zc+ c2
c2
= 1
MAT024 27 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
se sigue
ρ2 = 2
z
c
= 2
cρ cosφ
c
ası́
ρ = 2 cosφ
ahora veamos donde intersectan estas ecuaciones
1 = 2 cosφ
luego
φ =
π
3
ası́ el volumen es
V =
∫ 2π
0
∫ π/3
0
∫ 1
0
(
abcρ2 sinφ
)
dρdφdθ
+
∫ 2π
0
∫ π/2
π/3
∫ 2 cosφ
0
(
abcρ2 sinφ
)
dρdφdθ
=
1
3
πabc+
1
12
πabc
=
5
12
πabc
(para visualizar mejor proyectar en el plazo YZ eso dará claridad sobre donde se mueve ρ
para determinados φ).
Ejemplo 4.7. Considere el sólido encerrado entre los paraboloides z = x2 + y2, z = 1
4
(x2 + y2)
y que esta debajo del cono z =
√
x2 + y2 calcular su volumen.
Desarrollo: En el plano ZY (esto es x = 0) la región es
usando coordenadas cilı́ndricas las ecuaciones de las gráficas son
z = x2 + y2 = r2
z =
1
4
(
x2 + y2
)
=
r2
4
z =
√
x2 + y2 = r
MAT024 28 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
luego el volumen es
V =
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ r2
r2/4
rdzdrdθ +
∫ 2π
0
∫ 4
1
∫ r
r2/4
rdzdrdθ
=
3
8
π +
81
8
π
=
21
2
π
un gráfico de la región.
Ejemplo 4.8. Calcular el volumen de la intersección de las esferas (x− 1)2 + y2 + z2 ≤ 1 y
x2 + (y − 1)2 + z2 ≤ 1
Desarrollo: Proyectamos en el plano XY en este caso las ecuaciones se ven
(x− 1)2 + y2 = 1
x2 + (y − 1)2 = 1
estas circunferencias intersectan en x = 1, y = 1 y en x = 0, y = 0 se sigue que la integral
debe dividirse en 2 partes, el ángulo θ se mueve entre 0 y π
4
y de π
4
a π
2
ahora expresaremos
MAT024 29 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
las ecuaciones en esféricas
(x− 1)2 + y2 + z2 = 1
x2 + y2 + z2 − 2x = 0
ρ2 = 2ρ cos θ sinφ
ρ = 2 cos θ sinφ
y
x2 + (y − 1)2 + z2 = 1
x2 + y2 + z2 − 2y = 0
ρ2 = 2ρ sin θ sinφ
ρ = 2 sin θ sinφ
se sigue que
V =
∫∫∫
Ω
dV
=
∫ π/4
0
∫ π
0
∫ 2 sin θ sinφ
0
ρ2 sinφdρdφdθ
+
∫ π/2
π/4
∫ π
0
∫ 2 cos θ sinφ
0
ρ2 sinφdρdφdθ
= − 1
12
π
(
5
√
2− 8
)
+
(
− 1
12
π
(
5
√
2− 8
))
=
1
6
π
(
8− 5
√
2
)
Aplicaciones de las Integrales múltiples
Las integrales dobles y triples tienen otras aplicaciones a parte del cálculo de área y
volumen, daremos una lista de ellas:
MAT024 30 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
1. Sea ρ (x, y) o ρ (x, y, z) la densidad de una región plana Ω en R2 o un sólido T en R3
respectivamente, entonces:
a) La masa esta dada por
m =
∫∫
Ω
ρ (x, y) dA
para una región plana y
m =
∫∫∫
T
ρ (x, y, z) dV
para un sólido.
b) Los centros de masa están dados por
(x, y) =

∫∫
Ω
xρ (x, y) dA∫∫
Ω
ρ (x, y) dA
,
∫∫
Ω
yρ (x, y) dA∫∫
Ω
ρ (x, y) dA

y en el caso del espacio
(x, y, z) =

∫∫∫
T
xρ (x, y, z) dV∫∫∫
T
ρ (x, y, z) dV
,
∫∫∫
T
yρ (x, y, z) dV∫∫∫
T
ρ (x, y, z) dV
,
∫∫∫
T
zρ (x, y, z) dV∫∫∫
T
ρ (x, y, z) dV

c) Los momentos de inercia respecto a una recta L están dados por
IL =
∫∫∫
T
r2ρdV
en el caso de un sólido y
IL =
∫∫
Ω
r2ρdA
en el caso de una región plana (r2 es la distancia desde el punto (x, y, z) a la recta
L)
d) El radio de giro en torno a L es dado por
RL =
√
IL
m
1. Calcule la masa de una lámina delgada de densidad ρ (x, y) = 2 y de forma(x
2
+
y
3
)4
= x2 + y2
en el primer cuadrante. Ind.: La masa de una lámina delgada esta dada por
∫∫
D
ρ (x, y) dA
donde ρ es la densidad.
MAT024 31 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Desarrollo: Hacemos el cambio de variables
x = 2r cos2 θ
y = 3r sin2 θ
donde 0 ≤ θ ≤ π
2
y tenemos que determinar donde se mueve r, reemplazando en la
ecuación
r4 = r2
(
4 cos4 θ + 9 sin4 θ
)
ası́
r =
(
4 cos4 θ + 9 sin4 θ
)1/2
luego tenemos que
M =
∫ π/2
0
∫ (4 cos4 θ+9 sin4 θ)1/2
0
2
∣∣∣∣∂ (x, y)∂ (r, θ)
∣∣∣∣ drdθ
pero ∣∣∣∣∂ (x, y)∂ (r, θ)
∣∣∣∣ = 12r cos θ sin θ
luego
M =
∫ π/2
0
∫ (4 cos4 θ+9 sin4 θ)1/2
0
2
∣∣∣∣∂ (x, y)∂ (r, θ)
∣∣∣∣ drdθ
=
∫ π/2
0
∫ (4 cos4 θ+9 sin4 θ)1/2
0
24r cos θ sin θdrdθ
=
∫ π/2
0
24 cos θ sin θ
∫ (4 cos4 θ+9 sin4 θ)1/2
0
rdrdθ
=
∫ π/2
0
24 cos θ sin θ
r2
2
∣∣∣∣(4 cos4 θ+9 sin4 θ)
1/2
0
dθ
=
∫ π/2
0
12 cos θ sin θ
(
4 cos4 θ + 9 sin4 θ
)
dθ
=
∫ π/2
0
48 cos5 θ sin θdθ +
∫ π/2
0
108 cos θ sin5 θdθ
= 8 + 18
= 26
2. Calcular la masa del sólido limitado por(
x2 + y2 + z2
)2
= x2 + y2 − z2
con densidad ρ (x, y, z) = 1
3
(x2 + y2 + z2) .
Desarrollo: Notemos que el sólido es simétrico respecto a todos los ejes, si proyectamos
en el plano Y Z entonces se tiene la ecuación(
y2 + z2
)2
= y2 − z2
MAT024 32 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
si hacemos
y = r cos θ
z = r sin θ
vemos que
r4 = r2
(
cos2 θ − sin2 θ
)
esto es
r2 = cos (2θ)
una lemniscata, por tanto el sólido es una lemniscata que se rota entorno al eje Z. Vamos
a utilizar coordenadas esféricas para calcular la masa,
x = ρ sinφ cos θ
y = ρ sinφ sin θ
z = ρ cosφ
reemplazando en la ecuación
ρ4 = ρ2
(
sin2 φ cos2 θ + sin2 φ sin2 θ − cos2 φ
)
ρ2 = − cos (2φ)
ası́
ρ =
√
− cos (2φ)
se sigue que π
2
≤ 2φ ≤ 3π
2
⇒ π
4
≤ φ ≤ 3π
4
luego
M =
∫∫∫
R
ρ (x, y, z) dV
=
∫ 2π
0
∫ 3π/4
π/4
∫ √− cos(2φ)
0
(
ρ2
3
)
ρ2 sinφdρdφdθ
=
2π
3
∫ 3π/4
π/4
∫ √− cos(2φ)
0
ρ4 sinφdρdφ
=
2π
3
∫ 3π/4
π/4
ρ5
5
∣∣∣∣
√
− cos(2φ)
0
sinφdφ
=
2π
15
∫ 3π/4
π/4
(− cos (2φ))5/2 sinφdφ
=
2π
15
∫ 3π/4
π/4
(
−
(
2 cos2 φ− 1
))5/2
sinφdφ
=
2π
15∫ 3π/4
π/4
(
1− 2 cos2 φ
)5/2
sinφdφ
=
2π
15
∫ 3π/4
π/4
(
1−
(√
2 cosφ
)2)5/2
sinφdφ
2
15
π
∫ −1
1
(
−1
2
√
2
(
1− u2
) 5
2
)
du =
1
48
√
2π2
MAT024 33 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
3. Calcule la masa del sólido elı́ptico de densidad ρ (x, y, z) = |xyz| dado por
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1
Desarrollo: Utilizamos coordenadas elı́ptico-esféricas
x = aρ sinφ cos θ
y = bρ sinφ sin θ
z = cρ cosφ
luego la masa pedida es (utilizando simetrı́a)
M =
∫∫∫
E
ρ (x, y, z) dV
= 8
∫ π/2
0
∫ π/2
0
∫ 1
0
(aρ sinφ cos θ) (bρ sinφ sin θ) (cρ cosφ) abcρ2 sinφdρdφdθ
= 8
∫ π/2
0
∫ π/2
0
∫ 1
0
a2b2c2ρ5 sin3 φ cosφ sin θ cos θdρdφdθ
=
8a2b2c2
6
(∫ π/2
0
sin θ cos θdθ
)(∫ π/2
0
sin3 φ cosφdφ
)
=
1
6
a2b2c2
4. Calcular el volumen del sólido que se genera al rotar la región del primer cuadrante
limitada por y2 = x, y2 = 8x, x2 = y, x2 = 8y en torno al eje X .
Desarrollo: Vamos a utilizar Pappus para determinar este volumen, para ello buscare-
mos las coordenadas del centroide
x0 =
∫∫
D
xρ (x, y) dA∫∫
D
ρ (x, y) dA
y0 =
∫∫
D
yρ (x, y) dA∫∫
D
ρ (x, y) dA
como ρ (x, y) = 1 se tiene
x0 =
∫∫
D
xdA∫∫
D
dA
y y0 =
∫∫
D
ydA∫∫
D
dA
pues bien notemos que este caso es conveniente es utilizar cambio de variable para
calcular estas integrales: La region la podemos describir como
y2
x
= 1,
y2
x
= 8
luego si u = y
2
x
entonces 1 ≤ u ≤ 8 y
x2
y
= 1,
x2
y
= 8
MAT024 34 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
se sigue que si v = x2/y entonces 1 ≤ v ≤ 8 ası́
u (x, y) =
y2
x
v (x, y) =
x2
y
se sigue
uv = xy ⇒ y = uv
x
⇒ u =
(
uv
x
)2
x
=
u2v2
x3
⇒ x = 3
√
uv2
y ası́
y =
uv
3
√
uv2
= u1−1/3v1−2/3 =
3
√
u2v
ahora calculamos el jacobiano
∂ (x, y)
∂ (u, v)
=
∣∣∣∣∣∣
∂
∂u
(
3
√
uv2
)
∂
∂v
(
3
√
uv2
)
∂
∂u
(
3
√
u2v
)
∂
∂v
(
3
√
u2v
) ∣∣∣∣∣∣ = −13
y ası́ ∫∫
D
dA =
∫ 8
1
∫ 8
1
1
3
dudv =
49
3
y ∫∫
D
xdA =
∫ 8
1
∫ 8
1
1
3
3
√
uv2dudv =
279
4
y ∫∫
D
ydA =
∫ 8
1
∫ 8
1
1
3
3
√
u2vdudv =
279
4
entonces
x0 =
279
4
49
3
=
837
196
= y0
entonces
V = 2π
(
837
196
)(
49
3
)
=
279
2
π
5. Determine el momento de inercia de una manzana de ecuación en esféricas ρ = 1−cosφ
y densidad δ = (x2 + y2 + z2) entorno al eje z.
Desarrollo: En este caso la distancia al eje de rotación es r (x, y, z) =
√
x2 + y2 ası́∫∫∫
D
(
x2 + y2
) (
x2 + y2 + z2
)
dV
MAT024 35 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
en esféricas
IL =
∫∫∫
R
r2δdV
=
∫∫∫
M
(
ρ2 sin2 φ cos2 θ + ρ2 sin2 φ sin2 θ
)
ρ2
(
ρ2 sinφ
)
dρdφdθ
=
∫∫∫
M
ρ6 sin3 φdρdφdθ
los limites de integración son∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 1−cosφ
0
ρ6 sin3 φdρdφdθ
=
∫ 2π
0
∫ π
0
sin3 φ
ρ7
7
∣∣∣∣1−cosφ
0
dφdθ
=
∫ 2π
0
∫ π
0
sin3 φ
(1− cosφ)7
7
dφdθ
=
2π
7
∫ π
0
sin3 φ (1− cosφ)7 dφ
=
2π
7
∫ π
0
sin2 φ sinφ (1− cosφ)7 dφ
=
2π
7
∫ π
0
(
1− cos2 φ
)
sinφ (1− cosφ)7 dφ
si ponemos u = cosφ entonces
= −2π
7
∫ −1
1
(
1− u2
)
(1− u)7 du
=
1024
315
π
Ejercicios
1. Sea Ω := {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ y ≤ 1, y ≥ 1/2− x}. Calcule:∫∫
Ω
yey
(x+ y)2
dxdy
AYUDA: Considere x+ y = u, y = uv.
Desarrollo: Despejando, x = u−y = u−uv. Utilizamos el teorema de cambio de variable
con T (u, v) = (u− uv, uv).
Observar que
∂(x, y)
∂(u, v)
= JT (u, v) = u
Teniendo en cuenta que las hipótesis del teorema se satisfacen se tiene∫∫
Ω
f(x, y)dxdy =
∫∫
Ω∗
f(T (u, v))|u|dudv
donde Ω∗ es la región a determinar en el plano uv.
MAT024 36 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
El segmento (x, 1), x ∈ [0, 1], da
(u, v) = T−1(x, 1) = (x+ 1,
1
x+ 1
).
Esta curva es el segmento de la parabola uv = 1, con u, v > 0, 1 ≤ u ≤ 2.
El segmento (x, x), x ∈ [1/4, 1] es el segmento (u, 1/2) con u ∈ [1/2, 2].
El segmento y = 1/2− x, x ∈ [0, 1/4] nos da el segmento (1/2, v) con v ∈ [1/2, 1].
El segmento (0, y), y ∈ [1/2, 1] es el segmento (u, 1) con u ∈ [1/2, 1].
Esto sugiere que
Ω∗ = {(u, v) ∈ R2 : 1/2 < v < 1 1/2 < u < 1/v}
Como u > 0 en la región Ω∗ se tiene∫∫
Ω
yey
(x+ y)2
dxdy =
∫ 1
1/2
∫ 1/u
1/2
veuvdudv
resolviendo se tiene∫∫
Ω
yey
(x+ y)2
dxdy =
∫ 1
1/2
(e− ev/2)dv = 1
2
e− 2e1/2 + 2e1/4
2. Calcule el volumen de la región sólida encerrada entre
x2 + y2 = 9, y + z = 5, z = 1.
Desarrollo: Usando coordenadas cilı́ndricas
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
obtenemos que el volumen V de esta región se expresa como:∫∫∫
Ω
dV
=
∫ 2π
0
∫ 3
0
∫ 5−sin θ
1
rdzdrdθ
=
∫ 2π
0
∫ 3
0
r(4− r sin θ)drdθ
= 36π.
3. Determine el centroide de la región acotada por
z3 =
(
x2
4
+ y2 + z2
)2
Ind.: El centroide de Ω es dado por
∫∫∫
Ω
xdV∫∫∫
Ω
dV
,
∫∫∫
Ω
ydV∫∫∫
Ω
dV
,
∫∫∫
Ω
zdV∫∫∫
Ω
dV

MAT024 37 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
Desarrollo: Usando
x = 2ρ cos θ sinφ
y = ρ sin θ sinφ
z = ρ cosφ
se tiene
z3 =
(
x2
4
+ y2 + z2
)2
⇔
ρ3 cos3 φ = ρ4
es decir
ρ = cos3 φ
se sigue ∫∫∫
Ω
dV
=
∫ 2π
0
∫ π/2
0
∫ cos3 φ
0
2ρ2 sinφdρdφdθ
=
∫ 2π
0
∫ π/2
0
1
3
cos9 φ sinφdφdθ
= 2π
(
1
30
)
=
2π
15
además ∫∫∫
Ω
xdV =
∫ 2π
0
∫ π/2
0
∫ cos3 φ
0
(2ρ cos θ sinφ)
(
2ρ2 sinφ
)
dρdφdθ
=
∫ 2π
0
∫ π/2
0
2 cos θ sin2 φ
cos12 φ
4
dφdθ
= 2
(∫ 2π
0
cos θdθ
)(∫ π/2
0
2 sin2 φ
cos12 φ
4
dφ
)
= 0∫∫∫
Ω
ydV =
∫ 2π
0
∫ π/2
0
∫ cos3 φ
0
(ρ sin θ sinφ)
(
2ρ2 sinφ
)
dρdφdθ
=
(∫ 2π
0
sin θdθ
)(∫ π/2
0
∫ cos3 φ
0
(ρ sinφ)
(
2ρ2 sinφ
)
dρdφ
)
= 0
(5 puntos) y ∫∫∫
Ω
zdV =
∫ 2π
0
∫ π/2
0
∫ cos3 φ
0
(ρ cosφ)
(
2ρ2 sinφ
)
dρdφdθ
= 2
∫ 2π
0
∫ π/2
0
1
4
cos13 φ sinφdφdθ
=
2
28
π
MAT024 38 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
ası́ el centroide es (
0, 0,
2
28
π
2π
15
)
=
(
0, 0,
15
28
)
4. Calcule el volumen de la región del primer octante dado por
√
x+ y + 3
√
z ≤ 1
Desarrollo: Notemos que la región esta dada por los puntos que están bajo la gráfica de
√
x+ y + 3
√
z = 1
es decir,
z =
(
1−
√
x− y
)3
la proyección del volumen al plano xy es
√
x+ y ≤ 1
luego
0 ≤ y ≤ 1−
√
x
ası́
V =
∫ 1
0
∫ 1−√x
0
∫ (1−√x−y)3
0
dzdydx
=
∫ 1
0
∫ 1−√x
0
(
1−
√
x− y
)3
dydx
=
∫ 1
0
1
4
(√
x− 1
)4
dx
=
1
60
otra forma: Ponemos x = u4 , y = v2, z = w6 entonces J = 4u32v6w5 = 48u3vw5
V =
∫∫∫
Ω
dV
=
∫∫∫
Ω2
48u5vw5dV
entonces
V =
∫ 1
0
∫ π/2
0
∫ π/2
0
48 (ρ cos θ sinφ)3 (ρ sin θ sinφ) ((ρ cosφ))5 ρ2 sinφdρdφdθ
=
∫ 1
0
∫ π/2
0
∫ π/2
0
48ρ11 cos3 θ cos5 φ sin θ sin5 φdρdφdθ
= 48
(∫ 1
0
ρ11dρ
)(∫ π/2
0
cos3 θ sin θdθ
)(∫ π/2
0
cos5 φ sin5 φdφ
)
=
1
60
MAT024 39 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
5. Calcular la masa del sólido encerrado por(
x2 + y2 + z
)3
= 3xy
√
z
si la densidad es dada por ρ (x, y, z) = x2 + y2.
Desarrollo: La masa del sólido es
M =
∫∫∫
Ω
ρ (x, y, z) dV
=
∫∫∫
Ω
(
x2 + y2
)
dV
analizamos el sólido Ω; Note que al tener
√
z se debe cumplir z ≥ 0. Si z ≥ 0 entonces(
x2 + y2 + z
)3 ≥ 0
entonces
3xy
√
z ≥ 0
lo que implica xy ≥ 0 luego hay volumen en los octantes x, y, z ≥ 0 y x, y ≤ 0, z ≥ 0.
Notemos además que el volumen es simétrico respecto al origen pues al reemplazar x
por −x e y por −y la ecuación no cambia, se sigue
M = 2
∫∫∫
Ω∩{x,y,z≥0}
(
x2 + y2
)
dV
ahora usaremos cambio de variables
x = u
y = v
z = w2
entonces
M = 2
∫∫∫
Ω2
(
u2 + v2
)
2wdV
donde Ω2 es lo encerrado por (u2 + v2 + w2)
3
= 3uvw para u, v, w en el primer octante,
ahora usamos esféricas
ρ6 = 3 (ρ sinφ cos θ) (ρ sinφ sin θ) (ρ cosφ)
= 3ρ3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
ası́
ρ =
3
√
3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
MAT024 40 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
ası́
M = 2
∫∫∫
Ω2
(
u2 + v2
)
2wdV
= 2
∫ π/2
0
∫ π/2
0
∫ 3√3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
0
(
ρ2 sin2 φ
)
(2ρ cosφ)
(
ρ2 sinφ
)
dρdφdθ
= 2
∫ π/2
0
∫ π/2
0
∫ 3√3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
0
2ρ5 cosφ sin3 φdρdφdθ
= 2
∫ π/2
0
∫ π/2
0
2 cosφ sin3 φ
(∫ 3√3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
0
ρ5dρ
)
dφdθ
= 2
∫ π/2
0
∫ π/2
0
2 cosφ sin3 φ
(
3
√
3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
)6
6
dφdθ
=
∫ π/2
0
∫ π/2
0
4 (cosφ)(sinφ)3
((
3 cos θ cosφ sin θ sin2 φ
)2
6
)
dφdθ
=
∫ π/2
0
∫ π/2
0
6 cos2 θ cos3 φ sin2 θ sin7 φdφdθ
= 6
(∫ π/2
0
cos2 θ sin2 θdθ
)(∫ π/2
0
cos3 φ sin7 φdφ
)
=
3
320
π
6. Usando un cambio de variables apropiado, calcule la integral∫∫
Ω
x
(
x2y + 1
)
dA
donde Ω es la región encerrada por las curvas y = x2, y = x2 + 1, y+ x2 = 2 e y+ x2 = 3.
Desarrollo: Note que estas curvas limitan dos regiones (en el primer y segundo cua-
drantes), usamos el cambio de variables
u = y − x2
v = y + x2
entonces
∂ (u, v)
∂ (x, y)
=
∣∣∣∣ −2x 12x 1
∣∣∣∣ = −4x
⇒
∂ (x, y)
∂ (u, v)
=
1
4 |x|
=
1
4
∣∣∣±√v−u2 ∣∣∣ =
1
4
√
v−u
2
MAT024 41 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.
APUNTES DE CLASES MATEMÁTICA UTFSM
ası́ 0 ≤ u ≤ 1, 2 ≤ v ≤ 3 nos queda∫∫
Ω
x
(
x2y + 1
)
dA
=
∫ 1
0
∫ 3
2
−
√
v − u
2
((
v − u
2
)(
v + u
2
)
+ 1
)
1
4
√
v−u
2
dvdu
+
∫ 1
0
∫ 3
2
√
v − u
2
((
v − u
2
)(
v + u
2
)
+ 1
)
1
4
√
v−u
2
dvdu
= 0
este valor lo explica la imparidad (al cambiar x por −x en la función el signo cambia).
7. Sea S el sólido del primer octante limitado por la superficie
(x+ y + z)4 = xyz
calcular su volumen.
8. Calcular ∫∫∫
V
(x+ y + z) (x+ y − z) (x− y − z) dV
donde V es la región acotada por los planos x+ y+ z = 0, x+ y− z = 0, x− y− z = 0 y
2x− z = 1.
9. Considere la integral triple
∫ 2
0
∫ √2x−x2
0
∫ √x2+y2
0
z
√
x2 + y2dzdydx
a) Expresarla en coordenadas esféricas y cilı́ndricas
b) Calcular la integral en cualquier sistema.
MAT024 42 J.B.I./ N.C.F./L.G.C.