Ecuaciones e Inecuaciones - Nivelación de Matemática

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NIVELACIÓN DE CARRERA 
MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS 
ADMINISTRATIVAS
MSC. GUTSAVO HERMOSA
Contenido
› Unidad 2 Ecuaciones e Inecuaciones.
› Definiciones y principios.
› Clasificación de ecuaciones.
› Ecuación lineal, fraccionaria, y cuadrática.
› Valor Absoluto
› Inecuaciones
MSC. GUTSAVO HERMOSA
UNIDADAD 2
Ecuaciones e Inecuaciones
MSC. GUTSAVO HERMOSA
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN
Es toda igualdad que se verifica para determinados valores de la variable (soluciones o raíces de la
ecuación). Una ecuación contiene al menos una variable que puede ser remplazado por un número
cualquiera de un conjunto de números diferentes, y las constantes que son números fijos.
• Nunca se permita que en una ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa ecuación 
no esté definida por ejemplo, en
𝑦
𝑦−4
= 6 Y no puede ser 4, porque provocaría que el denominador fuese cero.
Mientras que en 𝑥 − 3 = 9, debe cumplirse que x ≥ 3, (No es posible dividir entre cero ni obtener 
raíces cuadradas de números negativos).
Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuación 
es verdad. Estos valores se denominan soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación. 
Cuando solo está involucrada una variable, la solución también se conoce como raíz. Al conjunto de 
todas las soluciones se le llama conjunto solución de la ecuación. 
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Ecuaciones
TERMINOLOGÍA
› X+2=3; la variable x es la 
incógnita, el único valor de x que 
satisface la ecuación es 1. De aquí 
1 sea una raíz y el conjunto 
solución sea [1]
ECUACIONES EQUIVALENTES
› Se dice que dos ecuaciones son
equivalentes si ambas tienen las
mismas soluciones, lo que significa
› 4x-5=2x+13 y x+3=12; tiene
como solución x=9
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Clasificación de las ecuaciones 
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Otras clasificaciones de las ecuaciones
• Por sus coeficientes: numéricas o literales
• Por sus incógnitas: De 1, 2, 3,…, etc. incógnitas
• Por su grado: Primer grado, segundo grado, …, etc. grado
• Por su número de soluciones:
a) Compatible o consistentes (tienen un número limitado de soluciones)
• Determinado (1,2,3,.. soluciones)
• Indeterminado (Infinitas soluciones).
b) Incompatibles, inconsistentes o absurdas (No tienen solución).
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Principios fundamentales para la resolución 
de ecuaciones
✓ Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma expresión numérica o
algebraica definida, se obtendrá otra ecuación equivalente a la primera.
Ejemplo:
5𝑥 − 5 = 2𝑥
5𝑥 − 5 + 5 = 2𝑥 + 5
✓ Si se multiplica o dividen ambos miembros de una ecuación por una misma cantidad 
diferente de cero, da como resultado una ecuación equivalente.
Ejemplo:
𝑥 − 2 = 0 2𝑥 − 4 = 0
2𝑥 + 6 = 0 𝑥 + 3 = 0
✓ Si ambos miembros de una ecuación tienen diferentes factores comunes, no es recomendable 
simplificarlo porque se pueden perder posibles soluciones.
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Principios fundamentales para la resolución 
de ecuaciones
Incorrecto:
𝑥 − 2 𝑥 + 4 = 5 𝑥 − 2
𝑥 = 1
Correcto:
𝑥 − 2 𝑥 + 4 − 5 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 − 1
𝑥 = 1 ; 𝑥 = 2
✓ Si a ambos miembros de una ecuación se le eleva a una misma potencia, la nueva ecuación conserva las
soluciones anteriores, pudiendo darse el caso que lleve a otra solución más llamada solución extraña.
𝑥 + 𝑥 + 5 = 7
𝑥 + 5 = 7 − 𝑥
𝑥2 − 15𝑥 + 44 = 0
𝑥 − 11 𝑥 − 4 = 0𝑥1 = 11 ∨ 𝑥2 = 4
11 + 11 + 5 = 7 ; 11 + 4 = 7 Falso
4 + 4 + 5 = 7 ; 4 + 3 = 7 Verdadero
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Principios fundamentales para la resolución 
de ecuaciones
✓ Si a ambos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la nueva ecuación tiene menos 
soluciones que la primera.
2𝑥 − 1 2 = 9 ; sacando la raíz a ambos miembros
2𝑥 − 1 2 = 32 ; aquí se está cancelando una solución ya que la ecuación es de segundo grado.
2𝑥 − 1 = 3
2𝑥 = 4
𝑥 = 2
La forma correcta es:
2𝑥 − 1 2 = 9
4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 9 = 0
4𝑥2 − 4𝑥 − 8 = 0
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0
𝑥1 = 2 ∨ 𝑥2 = −1
Siendo la solución 𝑥1 = 2 ó 𝑥2 = −1
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Ecuación lineal
DEFINICIÓN
› Una ecuación lineal en la variable x o de 
primer grado es una ecuación que puede 
escribirse en la forma ax+b=0; donde a y b 
son constantes y a≠0.
› Para resolver una ecuación lineal se 
realizan operaciones sobre ella hasta 
obtener una ecuación equivalente cuyas 
soluciones sean obvias, lo que significa 
hallar una ecuación en la que la variable 
quede aislada en un lado de la ecuación.
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Ecuaciones Lineales
INTERPRETACIÓN
› Si 𝑎 ≠ 0 ^ 𝑏 ≠ 0; se tendrá 𝑥 = −
𝑏
𝑎
ó 𝑥 =
𝑏
𝑎
› Si 𝑎 ≠ 0 ^ 𝑏 = 0; se tendrá 𝑥 = 0 (solución nula)
› Si 𝑎 = 0 ^ 𝑏 = 0; se tendrá 𝑥 =
0
0
(indeterminación)
› Si 𝑎 = 0 ^ 𝑏 ≠ 0; se tendrá 𝑥 =
𝑏
0
lo que significa que no hay solución o es
una ecuación incompatible o absurda
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Ecuaciones con literales
DEFINICIÓN 
› Las ecuaciones en las que algunas de las constantes no están especificadas, pero
están representadas por letras, como a, b, c o d, se llaman ecuaciones con literales
y las letras se conocen como constantes literales. Por ejemplo, en la ecuación con
literales x +a =4b, puede considerarse a y b como constantes arbitrarias.
› Ejemplo
Interés simple
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Ecuaciones fraccionarias
DEFINICIÓN 
› Una ecuación fraccionaria es una ecuación en la que hay una incógnita en
un denominador. En esta sección, se demostrará que al resolver una
ecuación no lineal de este tipo puede obtenerse una ecuación lineal
Ejemplo
1) Resuelva: 
5
𝑥 − 4
=
6
𝑥 − 3
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Ecuaciones fraccionarias
NOTA
✓En el primer paso se multiplica a cada lado por una expresión que incluye a
la variable x, esto significa que no se tiene garantía de que la última
ecuación sea equivalente a la original. Así que es necesario verificar si el
resultado satisface o no la ecuación original.
✓Algunas ecuaciones que no son lineales no tienen solución. En ese caso se
deduce que el conjunto solución es el conjunto vacío, que se denota por Ø
✓Ejemplo
Resuelva para x la siguiente ecuación 
3𝑥+4
𝑥+2
−
3𝑥−5
𝑥−4
=
12
𝑥2−2𝑥−8
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Ecuación con radicales
DEFINICIÓN
› Una ecuación con radicales es 
aquélla en la que una incógnita 
aparece en un radicando. Los dos 
ejemplos siguientes ilustran las 
técnicas empleadas para resolver 
tales ecuaciones.
FORMA DE RESOLVER
› Para resolver esta ecuación radical,
se elevan ambos lados a la misma
potencia para eliminar el radical.
Esta operación no garantiza la
equivalencia, de modo que es
necesario verificar las “soluciones”
resultantes
Ejemplo 1:
𝒙𝟐 + 𝟑𝟑 − 𝒙 = 𝟑
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Ecuación de segundo grado
DEFINICIÓN
› Una ecuación cuadrática en la
variable x es una ecuación que
puede escribirse de la forma 𝐚𝐱𝟐
+ 𝐛𝐱 + 𝐜 ; donde a, b y c son
constantes y 𝑎 ≠ 0.
› .
FORMA DE RESOLVER
› Un método útil para resolver
ecuaciones cuadráticas se basa en la
factorización o en caso de que no
sea posible se puede recurrir a la
regla de Ruffini o a la formula
general.
Ejemplo 1:
𝒙𝟐 + 𝟑𝟑 − 𝒙 = 𝟑
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
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Tarea para la casa
1) RESUELVA LA SIGUIENTE ECUACIÓN PARA “X”
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Tarea para la casa
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Tarea para la casa
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Tarea para la casa
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Ejercicios ecuaciones cuadráticas
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Ejercicios refuerzo
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› Costo fijo es la suma de todos los
costos que son independientes
del nivel de producción, como
renta, seguros, etc. Este costo
debe pagarse independientemente
de que la compañía produzca o
no. Costo variable es la suma de
todos los costos dependientes
del nivel de producción, como
mano de obra y materiales. Costo
total es la suma de los costos
variable y fijo:
› costo total = costo variable +
costofijo
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› Ingreso total es el dinero que
un fabricante recibe por la
venta de su producción:
› ingreso total = (precio por
unidad)(número de unidades
vendidas)
› Utilidad es el ingreso total
menos el costo total: utilidad
= ingreso total − costo total
› La Formula para calcular la
utilidad de un producto es:
› % Ut= (PVU-CTU)/PVU
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Problemas aplicados a la economía 
1) Impuesto de venta Un agente de ventas necesita calcular el costo de un artículo cuyo impuesto 
de venta de 8.25%. Escriba una ecuación que represente el costo total c de un artículo que cuesta x 
dólares
2) Depreciación lineal Si usted compra un artículo para uso empresarial, puede repartir su costo
entre toda la vida útil del artículo cuando prepare la declaración de impuestos. Esto se denomina
depreciación. Un método de depreciación es la depreciación lineal, en la cual la depreciación anual
se calcula al dividir el costo del artículo, menos su valor de rescate, entre su vida útil. Suponga que
el costo es C dólares, la vida útil es N años y no hay valor de rescate. Entonces el valor V (en
dólares) del artículo al final de n años está dado por 𝑣 = 𝐶 1 −
𝑛
𝑁
.Si el mobiliario nuevo de una
oficina se compró por $3200, tiene una vida útil de 8 años y no tiene valor de rescate, ¿después de
cuántos años tendrá un valor de $2000?
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Problemas aplicados a la economía 
3) Utilidad. La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es 
de $6 y el costo fijo de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el 
número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de $60,000
4) Inversión Se invirtió un total de $10,000 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del
primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 54
3% %, respectivamente, sobre las inversiones
originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de
$588.75?
5) Negocios Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el precio sea 
de (80 − q)/4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso por ventas 
sea de $400?
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Problemas aplicados a la economía 
6) El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R = 800p − 7p2, donde p es el precio del 
producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10 000 si el precio debe ser 
mayor de $50? 
7) Negocios Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es
$2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son $1500 y $1000, respectivamente, y se
producen 25 unidades más de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?
8) Punto de equilibrio. Un fabricante de juegos de video, vende cada copia en $21.95. El costo de 
fabricación de cada copia es de $14.92. Los costos fijos mensuales son de $8500. Durante el 
primer mes de ventas de un juego nuevo, ¿cuántos debe vender para llegar al punto de equilibrio 
(esto es, para que el ingreso total sea igual al costo total)? 
9) Retiro de bonos En tres años, una compañía requerirá de $1 125 800 con el fin de retirar algunos 
bonos. Si ahora invierte $1 000 000 para este propósito, ¿cuál debe ser la tasa de interés, compuesta 
anualmente, que debe recibir sobre este capital para poder retirar los bonos?
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Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
ECUACIÓN EXPONENCIAL 
› En una ecuación exponencial la
incógnita aparece en un exponente,
como en 23𝑥 = 7.
› Para su resolución es necesario
recordar las propiedades de
potenciación.
RECUERDA QUE:
› Dos potencias con la misma base 
son iguales si, y solamente si, sus 
exponentes son iguales.
› Se puede extraer factor común para 
simplificar su resolución.
› Se puede aplicar un cambio de 
variable.
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Ejercicios ecuaciones exponenciales.
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Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
ECUACIÓN LOGARÍTMICA 
› Incluye al logaritmo de una
expresión que contiene una
incógnita. Por ejemplo, 2 ln (x + 4)
= 5 es una ecuación logarítmica
› El número de sistemas de
logaritmos es infinito, pero solo se
estudian dos como los más
notables; el decimal y neperiano.
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Ecuación logarítmica
DEFINICIÓN
› Como 𝑦 = 𝑎𝑥; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 es una 
función uno a uno, tiene en consecuencia 
una función inversa. La función 
logarítmica es una función de la forma: 
› y= Potencia (Número Real y Positivo); a=
Base del Logaritmo; x= Logaritmo
(resultado); x es el exponente al que se
eleva la base a para obtener “y”.
› El logaritmo de un número es una base 
dada, positiva y distinta de la unidad, es el 
exponente al cual debe elevarse la base 
para obtener dicho número.
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Sistemas logaritmos 
SISTEMA DE LOGARITMO DECIMAL
› El número de sistemas de logaritmos es 
infinito, pero solo se estudian dos como 
los más notables; el decimal y neperiano.
• Utiliza como base el número “10”
› log10𝑁 = log𝑁
SISTEMAS DE LOGARITMOS NEPERIANOS.
› El sistema de logaritmos neperianos, 
naturales o hiperbólicos tienen como base 
el numero trascendente “e”, donde e= 
2,71828,…; loge N = lnN.
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Propiedades Generales 
 
• No existe logaritmo de un número negativo log3 −7 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
• No existe logaritmo de una base negativa log(−3) 9 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
• No existe logaritmo si la base es la unidad log1 8 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
 
Propiedades particulares base: b>1 
 
• Si un número real es mayor que 1; su logaritmo es positivo: 
• Si un número es menor que 1; pero mayor que cero, su logaritmo es negativo 
• Logaritmos de base: b=10 
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Propiedades particulares logaritmos 
PROPIEDADES PARTICULARES BASE: 
0< B <1
• Si un número real es mayor que 1; su 
logaritmo es negativo:
• Si un número es menor que 1; pero mayor 
que cero, su logaritmo es positivo
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Propiedades Operativas
1) log𝑏 𝐴𝑋𝐵 = log𝑏 𝐴 + log𝑏 𝐵 9) log𝑏 𝑎 𝑥 log𝑎 𝑏 = 1 
 
2) log𝑏 
𝐴
𝐵
 = log𝑏 𝐴 − log𝑏 𝐵 10) log𝑏 𝐴 =
log 𝑎 𝐴
log 𝑎 𝑏
 
 
3) log𝑏 𝐴
𝑛 = 𝑛 log𝑏 𝐴 11) log𝑏𝛽 𝐴
𝛼 =
𝛼
𝛽
log𝑏 𝐴 
 
4) log𝑏 𝐴
𝑛
=
1
𝑛
log𝑏 𝐴 12) log𝑏 𝑎 log𝐶 𝑏 = log𝐶 𝑎 
 
5) log𝑏 𝑏 = 1 13) 
log 𝑎
lo g 𝑏
= log𝑏 𝑎 
 
6) log𝑏 1 = 0 14) 𝑎
log 𝑏 𝑐 = 𝑐log 𝑏 𝑎 
 
7) 𝑏log 𝑏 𝑁 = 𝑁 15) log𝑏 𝑏
𝑛 = 𝑛 
 
log𝑏 𝑎 = log𝑏𝑛 𝑎
𝑛 = log 𝑏𝑛 𝑎
𝑛
 16) log𝑏 𝑁 = 𝑋 → 𝑏
𝑥 = 𝑁 
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Ejercicios
RESOLVER LAS SIGUIENTES 
ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
› a) 3𝑥+4 = 21−3𝑥 R. -1.16
› b) log𝑥
𝑥4𝑥+6+1
2
= 2𝑥 − 3 R. 3/2
› c) log 𝑥3 − 9 = 2 R. 21,6
› d) 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 108 R. 104
› e) log2 4
𝑥 + 4 = 𝑥 + log2 2
𝑥+1 R. x=2
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Ejercicios de refuerzo
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Aplicaciones de ecuaciones exponenciales y 
logarítmicas.
INTERÉS COMPUESTO
› Las funciones exponenciales están
implicadas en el interés
compuesto, en el cual el interés
que genera una cantidad de dinero
invertida (o capital), se invierte
nuevamente de modo que también
genere intereses. Es decir, el interés
se convierte (o compone) en capital
y, por lo tanto, hay “interés sobre
interés”.
EJEMPLO
› Por ejemplo, suponga que se invierten 
$100 a una tasa de 5% compuesto 
anualmente. Al final del primer año, el 
valor de la inversión es el capital original 
($100), más el interés sobre el capital 
[100(0.05)]:
› Ésta es la cantidad sobre la cual se genera 
el interés para el segundo año. Al final del 
segundo año, el valor de la inversión es el 
capital del final del primer año ($105),más el interés sobre esa cantidad 
[105(0.05)]: 
S = 𝑃 1 + 𝑟 𝑛 
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Ejemplo
› Suponga que se invierten $1000
durante 10 años al 6% compuesto
anualmente.
› Encuentre el monto compuesto.
› Solución: Se utiliza la ecuación (1)
donde P = 1000, r = 0.06 y n = 10:
› S = 1000 1 + 0,06 10=$1790.85
› Encuentre el interés compuesto.
› Solución: Con el uso de los
resultados del inciso (a), se tiene
interés compuesto = S - P
› = 1790.85 - 1000 = $790.85
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Ejercicios
1. La población de una ciudad de 10,000 habitantes crece a razón de 2% anual. Encuentre la población 
dentro de tres años.
2. Planificación de servicio de agua potable. En la actualidad la ciudad de Quito (2015) tiene una 
población de 2´350.000 habitantes, se ha determinado estadísticamente que la población crecerá a 
razón del 1.7% anual. De los estudios actuales se desprende que el consumo de agua potable es de 
150 litros/habitante por día. Determine la cantidad de metros cúbicos de agua por cada día 
necesarios para el año 2025. 
3. Capital Encuentre el tiempo para que un capital de $25.000 se transforme en $30.000 con una tasa 
de interés del 5% capitalizable semestralmente.
4. Inversión Se compra un certificado de depósito por $6500 y se conserva durante seis años. Si gana 
4% compuesto trimestralmente, ¿cuál es el valor del certificado al cabo de seis años? R. $8253.28
5. Población A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón 
de 1.5% anual. Al inicio había 350 000 habitantes. ¿Cuántos habrá después de tres años? Dé su 
respuesta al entero más cercano. R. 334,485
6. Inversión Si se invierten $2500 en una cuenta de ahorros que genera interés a 4.3% compuesto 
anualmente, ¿después de cuántos años completos la cantidad al menos se duplicará? R. 3
7. Inversiones Encuentre el monto compuesto de una inversión de $4000 durante cinco años a una tasa
de 11% compuesto mensualmente.
8. Inversiones Si se invierten $2600 durante 62
1% años a 6% compuesto trimestralmente, determine (a)
el monto compuesto y (b) el interés compuesto. R. (a) $3829.04; (b) $1229.04MSC. GUTSAVO HERMOSA
Sistemas de Ecuaciones 
• Cuando una situación debe describirse
matemáticamente, no es raro que surja un
conjunto de ecuaciones, como
ቊ
 5𝑥 + 2𝑦 = 36 1
 8𝑥 − 3𝑦 = −54 2
• A este conjunto de ecuaciones le llamamos
sistema de dos ecuaciones lineales en las
variables (o incógnitas) x e y. La solución
consiste en encontrar los valores x e y para
las cuales las dos ecuaciones sean verdaderas
de manera simultánea. Estos valores se
llaman soluciones del sistema.
• Como las ecuaciones (1) y (2) son lineales, 
sus gráficas son líneas rectas; llamémoslas L1 
y L2, si éstas se dibujan en el mismo plano, 
existen tres posibles situaciones:
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Posibles situaciones al resolver un sistema 
L1
L2
(xo ; yo)
L1
L2
El sistema es consistente y las ecuaciones son
Independientes. Tiene exactamente una solución.
El sistema es Inconsistente. No hay solución.
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Posibles situaciones al resolver un sistema
El sistema es Consistente pero las ecuaciones son
dependientes. Tienen Infinitas Soluciones
L1
L2
En general un sistema de ecuación
puede tener soluciones (compatible) o
no tenerlo (Incompatible). Los sistemas
compatibles pueden tener una solución
(Determinado) o infinitas soluciones
(Indeterminado).
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Métodos de solución
IGUALACIÓN SUSTITUCIÓN 
› Despejar una de las variables de una de las
ecuaciones y reemplazar el resultado en la otro
ecuación.
Despejamos una misma variable de las dos
ecuaciones e igualamos sus valores,
encontrando de esta forma el valor de la una
variable con la cual sustituiremos su valor en
cualesquiera de las ecuaciones para hallar el
valor de la otra variable.
SUMA Y RESTA
› Determine la variable a eliminar en las ecuaciones,;
multiplique cada ecuación por el valor numérico de la
otra, de ser necesario cambiando el signo y sume en
forma vertical.
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Ejercicio aplicativo
DETERMINAR LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA POR LOS 3 MÉTODOS 
ቊ
 5𝑥 + 2𝑦 = 36 1
 8𝑥 − 3𝑦 = −54 2
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Sistemas de ecuaciones con 3 variables
PASOS PARA RESOLVERLO
➢Para la solución de sistemas de tres
ecuaciones y tres incógnitas utilizamos
el conocimiento en la solución de
sistemas de 2 ecuaciones.
➢Elija que variable va a eliminar y
trabaje combinando las ecuaciones,
por ejemplo, la (1) con (2) o (1) y (3) o
(2) y (3).
➢Ahora tiene 2 ecuaciones con dos
incógnitas con las mismas variables,
elimine una de ellas y el proceso es
similar al de dos variables
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Ejercicios en clase
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
MSC. GUTSAVO HERMOSA
Ejercicios en clase
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
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Ejercicios para casa
Telas Una fábrica textil produce telas elaboradas a partir de diferentes fibras. El propietario necesita
producir una tela que cueste $3.25 por libra con algodón, poliéster y nylon. El costo por libra de estas
fibras es de $4.00, $3.00 y $2.00, respectivamente. La cantidad de nylon debe ser la misma que la de
poliéster. ¿Cuánto de cada fibra debe tener el producto final? R. 0,5 lb de algodón, 0,25 de poliéster,
0,25 de nylon.
Venta de muebles Un fabricante de comedores produce dos estilos: americano antiguo y
contemporáneo. Por su experiencia, la gerencia ha determinado que pueden venderse 20% más
comedores del estilo americano antiguo que del contemporáneo. Cada venta de un americano antiguo
reporta una utilidad de $250, mientras que se gana $350 en cada contemporáneo. Si para el año próximo
la gerencia desea una ganancia total de $130,000, ¿cuántas unidades de cada estilo deben venderse? R.
240, 200
Costo de igualación United Products Co. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y
Whyton. En de Exton, los costos fijos son de $7000 al mes, y el costo de producir cada calculadora es de
$7.50. En la planta de Whyton, los costos fijos ascienden a $8800 al mes y la producción de cada
artículo cuesta $6.00. Para el mes que viene United Products necesita 1500 calculadoras. ¿Cuántas debe
producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo? R. 800 de Exton y 7000 de whyton.
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Ejercicios para casa
Corrida de producción Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y
sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, en cantidades que se indican en
la tabla siguiente. La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de
aluminio. Para la corrida de fin de temporada, se quiere utilizar todo el inventario. Para hacer esto,
¿cuántas sillas, mecedoras y sillones deben fabricarse? 100, 100 y 200
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Inecuaciones
DESIGUALDAD
› Es la relación que establece que dos
cantidades tienen diferente valor. Los
signos que se utilizan para designar
desigualdades son:
› Las desigualdades que no incluyen el signo 
igual se denominan estrictas y las que lo 
incluyen se denominan no estricta
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Propiedades desigualdades
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Tipos de desigualdades
DESIGUALDAD ABSOLUTA
DESIGUALDAD CONDICIONAL
Es una desigualdad que se verifica para determinados valores que se den en la 
variable.
2x – 7 > 1; x > 4 ; se verifica para todos los valores mayores que 4
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Nota:
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Intervalos
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Aplicaciones del buen uso de intervalos
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Nota 
MSC. GUTSAVO HERMOSA
Tipos de desigualdades
DESIGUALDAD LINEAL
› Una desigualdad lineal puede
expresarse en la forma: ax+b<0 o
con la solución no es única, sino
un conjunto de valores
representados por un intervalo.
› Para su resolución se considera si
la desigualdad es estricta o no
estricta para determinar el tipo de
intervalos en la soluciónde la
siguiente manera
DESIGUALDAD CUADRÁTICA 
› Donde 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ
› Para su resolución se aplica el
método del diagrama de signos o
de los puntos referenciales.
MSC. GUTSAVO HERMOSA
MSC. GUTSAVO HERMOSA
MSC. GUTSAVO HERMOSA
Nota
Raíces de multiplicidad Par o Impar
Al descomponer en factores el polinomio puede darse el caso
de que algunos factores se repitan (raíz múltiple), en cuyo
caso se debe considerar la siguiente regla:
a) Si se repite un número par de veces (multiplicidad par), los
signos en los intervalos situados a ambos lados de la raíz o
puntos críticos son iguales.
b) Si se repite un número impar de veces (multiplicidad impar)
los signos en los intervalos situados a ambos lados de la raíz
son diferentes.
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Inecuaciones fraccionarias
Para su resolución se debe proceder a factorizar el numerador y denominador,
cada factor se debe igualar a cero y obtener los puntos críticos, es importante
recordador que los puntos críticos del denominador deben ser valor abiertos en
la recta de valores.
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Ejercicios inecuaciones lineales
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Ejercicios inecuaciones cuadráticas
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Ejercicios inecuaciones polinomiales 
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Ejercicios
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Ejercicios Inecuaciones fraccionarias
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Aplicaciones de las inecuaciones
› 1. Utilidad La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos 
son de $600,000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. R.120.001
› 2. Arrendamiento versus compra Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un automóvil y el de
arrendarlo con opción a compra. Puede rentar un automóvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan, el costo por milla
(gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería de $4700, y los otros costos ascenderían a $0.08 por milla.
¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra? R.17.000
› 3. Publicaciones El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al distribuidor en $0.60, y la cantidad que
se recibe por publicidad es el 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas por arriba de las 30,000. Encuentre el número
mínimo de revistas que pueden publicarse sin pérdida —esto es, tal que la utilidad >= 0— suponiendo que se venderán 90% de los
ejemplares. R.37.500
› 5. Inversión Una compañía invierte un total de $30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5% y 64
3 %. Desea un 
rendimiento anual que no sea menor al 62
1 %. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir a la tasa de 64
3 %? R. . $25,714.29
› 6. Asignación de ventas En la actualidad, un fabricante tiene 2500 unidades de un producto en inventario. Hoy, su precio unitario es de $4.
El próximo mes el precio por unidad se incrementará en $0.50. El fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2500
unidades no sea menor que $10,750. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes? R. $1.000
› 7. (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en
materia prima y mano de obra al producir cada artículo, y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta.
Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana. R. 200
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Valor absoluto 
DEFINICIÓN
› El valor absoluto de un número real
“a”, se denota así | a | y es la
distancia, en una recta numérica,
desde el origen al punto cuya
coordenada es “a”.
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Propiedades del valor absoluto
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Soluciones de desigualdades lineales con 
valor absoluto
MÉTODO DE REGIONES
› Cuando se tiene dos o más valores absolutos 
lineales y no se puede aplicar las propiedades 
es útil recurrir al método de regiones
Desigualdad (d > 0) Solución 
|x| < d - d < x < d 
|x| ≤ d - d ≤ x ≤ d 
|x| > d x < -d ó x > d 
|x| ≥ d x ≤ -d ó x ≥ d 
 
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Ejercicios
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Ejercicios
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