Problemas de calculo vectorial-58

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172 Capı́tulo 6 Análisis vectorial172 Capı́tulo 6 Análisis vectorial172 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
746 Probar que cualquier campo vectorial F(x, y) = (P (x), Q(y)), con P y Q
funciones derivables definidas en todo R, posee un potencial escalar.
747 Probar que todo campo vectorial F(x, y) = (f(x + y), f(x + y)), donde
f es una función derivable de una variable definida en todo R, posee un
potencial escalar.
748 Encontrar una función Q(x, y) tal que el campo
F(x, y) = (
√
xy3, Q(x, y))
sea conservativo.
Solución 748:
La condición para que el campo
F(x, y) =
(√
xy3, Q(x, y)
)
sea conservativo es que se verifique la igualdad de las derivadas parciales
∂Q
∂x
= 3y2
√
x.
Por lo tanto, basta tomar
Q(x, y) = 2y2
√
x3 + g(y),
para cualquier función g de la variable y.
6 2
INTEGRALES DE ĹINEA. CAMPOS CONSERVATIVOS
� Evaluar las integrales de trayectoria para las funciones y curvas siguientes:
749 f(x, y) = 9 + 8
√
y, σ(t) = (2t
√
t, t2), t ∈ [0, 1].
750 f(x, y) = y, σ(t) = (t, t3), t ∈ [−1, 0].
751 f(x, y, z) = (1 + 94z
2
3 )
1
4 , σ(t) = (cos t, sen t, t
3
2 ), t ∈ [0, 203 ].
752 f(x, y, z) = x cos z, σ(t) = (t, t2, 0), para t ∈ [0, 1].
753 f(x, y, z) = x+yz+y , σ(t) = (t,
2
3 t
3
2 , t), para t ∈ [1, 2].
754 f(x, y, z) = x+ cos2 z, σ(t) = (sen t, cos t, t), con t ∈ [0, 2π].
755 f(x, y) = x+ y, σ ≡ triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).
Solución:
6.2 Integrales de lı́nea. Campos conservativos 173
753 La fórmula para calcular la integral de una función escalar sobre
una curva es
I =
∫
σ
f =
∫ t1
t0
f(σ(t)) |σ′(t)| dt.
En este ejemplo concreto tendremos
f(σ(t)) = 1
pues x = z sobre la curva σ. Además
σ′(t) = (1,
√
t, 1), |σ′(t)| =
√
2 + t.
Por tanto
I =
∫ 2
1
√
2 + t dt =
2
3
(
8− 3
√
3
)
.
754 Calculamos
σ′(t) = (cos t,− sen t, 1), |σ′(t)| =
√
2,
f(σ(t)) = sen t+ cos2 t.
Aśı, la integral que nos solicitan será
I =
∫ 2π
0
(sen t+ cos2 t)
√
2 dt.
Teniendo en cuenta la fórmula del ángulo doble
cos2 t =
1 + cos(2t)
2
,
la integral anterior sale inmediatamente. Su valor final es π
√
2.
756 Encontrar el promedio de la coordenada y en la trayectoria dada por
σ(t) = (t2, t, 3), con t ∈ [0, 1].
Solución 756:
El promedio de la variable y sobre una curva es la integral
1
long(σ)
∫
σ
y.
Los elementos que nos hacen falta son
σ′(t) = (2t, 1, 0), |σ′(t)| =
√
1 + 4t2,
y(t) = t,
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long(σ) =
∫ 1
0
√
1 + 4t2 dt =
1
2
√
5− 1
4
log(
√
5− 2),[
con el cambio 1+4t
2
t2 = x
2
]
El valor promedio será por tanto∫ 1
0
t
√
1 + 4t2 dt.
La primitiva que debemos calcular es inmediata con el cambio de variable
s = 1+4t2. El resultado es 112 (5
√
5−1), y por tanto, el promedio pedido
es
1
12
(
5
√
5− 1
)
√
5
2 − 14 log
(√
5− 2
)
757 Sea f(x, y) = x − y y σ(t) = (t4, t4), para −1 ≤ t ≤ 1. Representar σ,
calcular
∫
σ
f dσ y la longitud de la curva.
758 Esbozar la curva paramétrica σ(t) = (t3, sen(t3)), con t ∈ [0, 3√π]. Si
f(x, y) =
√
2− y2, calcular
∫
σ
f dσ.
759 Esbozar la curva en el espacio σ(t) = (t2 cos t, t2 sen t, t), con 0 ≤ t ≤ 4π.
Si f(x, y, z) = z(2 +
√
x2 + y2), encontrar
∫
σ
f dσ.
Solución 759:
Para hacernos una idea de qué curva en el espacio representa la para-
metrización
σ(t) = (t2 cos t, t2 sen t, t), t ∈ [0, 4π],
observamos que en coordenadas ciĺındricas tenemos z =
√
r. Como la
superficie de ecuación z =
√
r es de revolución, su boceto se obtiene
haciendo rotar alrededor del eje Z el grafo de la función ráız cuadrada. La
curva se “enrolla” alrededor de esta superficie según la Figura 53. Para
calcular la integral que nos piden, necesitamos las expresiones siguientes
f(σ(t)) = t(2 + t2), |σ′(t)| =
√
1 + 4t2 + t4.
En concreto,
I =
∫ 4π
0
(2t+ t3)
√
1 + 4t2 + t4 dt.
Mediante el cambio de variable s = 1 + 4t2 + t4, la integral anterior se
convierte en
I =
1
4
∫ 1+64π2+256π4
1
√
s ds =
1
6
[(
1 + 64π2 + 256π4
) 3
2 − 1
]
.
	Análisis vectorial
	Integrales de línea. Campos conservativos