Problemas de calculo vectorial-62

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184 Capı́tulo 6 Análisis vectorial184 Capı́tulo 6 Análisis vectorial184 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
792 Sea C la curva de parametrización σ(t) =
(
t
1+t2 ,
−t
1+t4 ,
t
1+t6
)
, con t ∈
[0, 1]. Calcular la integral
I =
∫
C
y2z3 dx+ (2xyz3 + z2) dy + (3xy2z2 + 2yz + 1) dz.
Solución 792:
Se trata de calcular la integral del campo
F = (y2z3, 2xyz3 + z2, 3xy2z2 + 2yz + 1)
sobre la curva que se da. Los cálculos pueden resultar tediosos o incluso
imposibles de realizar, a menos que el campo F resulte ser gradiente en
cuyo caso, con un potencial, la integral se calcula inmediatamente. Si
calculamos el rotacional de F encontramos que, efectivamente, se trata
de un campo gradiente. Además, siguiendo con cuidado los pasos para
determinar un potencial, encontramos que la función
f(x, y, z) = xy2z3 + yz2 + z
es un potencial escalar de F. Aśı pues
I =
∫
C
F = f(σ(1))− f(σ(0)) = f( 12 ,−
1
2 ,
1
2 )− f(0, 0, 0) = 2564 .
793 Calcular
∫
C
1
1 + x2 + y2 + z2
(x dx+y dy+z dz), donde C es la curva dada
por y = x2, z = x4 entre los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1).
794 Calcular la integral de ĺınea del campo F : R3 −→ R3 dado por
F(x, y, z) =
(
exz(xyz2 + yz), xzexz, exz(x2yz + xy)
)
,
a lo largo de la curva definida por:
σ(t) =
(
log(t2 − t+ 1), sen
(π
2
(t3 + 3t2 − 3t)
)
,
cos(t5 − t)− 1
(t2 + t+ 1)4/7
)
,
para t ∈ [0, 1].
Solución 794:
Una simple comprobación muestra que el campo F es gradiente, pues
está definido en todo el espacio y satisface ∇× F = 0. Buscamos pues,
un potencial escalar, es decir, f : R3 → R tal que ∇f = F:
∂f
∂x
= exz(xyz2 + yz)
∂f
∂y
= xzexz
∂f
∂z
= exz(x2yz + xy)

6.2 Integrales de lı́nea. Campos conservativos 185
entonces
f(x, y, z) =
∫
xzexz dy = xyzexz + ϕ(x, z).
Para determinar ϕ usamos las otras dos ecuaciones:
∂f
∂x
= exz(xyz2 + yz) = exz(yz + xyz2) +
∂ϕ
∂x
⇒ ϕ(x, z) ≡ ϕ(z),
∂f
∂z
= exz(x2yz + xy) = exz(xy + x2yz) + ϕ′(z)⇒ ϕ(z) = cte.
Luego una función potencial es f(x, y, z) = xyzexz. Finalmente, como
σ(0) = (0, 0, 0), σ(1) = (0, 1, 0),∫
C
F · dσ = f(0, 1, 0)− f(0, 0, 0) = 0.
795 Obtener el valor de la siguiente integral de ĺınea:∫
C
x
1 + x2 + y2 + z2
dx+
(
y
1 + x2 + y2 + z2
+ 2y
)
dy
+
(
z
1 + x2 + y2 + z2
+
1
z2 + 1
)
dz,
donde C es el trozo de curva dada por las ecuaciones z2 = x2 + y2,
x2 + y2 = y, x ≥ 0, desde el origen al punto (0, 1, 1).
Solución 795:
Es inmediato comprobar que el campo vectorial
F(x, y, z) =
(
x
1+x2+y2+z2 ,
y
1+x2+y2+z2 + 2y,
z
1+x2+y2+z2 +
1
z2+1
)
,
es gradiente, pues está definido en todo R3 y satisface ∇ × F = 0.
Buscamos pues, un potencial escalar, resolviendo
∂f
∂x
=
x
1 + x2 + y2 + z2
∂f
∂y
=
y
1 + x2 + y2 + z2
+ 2y
∂f
∂z
=
z
1 + x2 + y2 + z2
+
1
z2 + 1
Es fácil obtener
f(x, y, z) = log
√
1 + x2 + y2 + z2 + y2 + arctan z.
Finalmente,∫
C
F · dσ = f(0, 1, 1)− f(0, 0, 0) = log
√
3 + 1 +
π
4
.
186 Capı́tulo 6 Análisis vectorial186 Capı́tulo 6 Análisis vectorial186 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
796 Sea F(x, y, z) = (z3 + 2xy, x2, 3xz2). Comprobar que la integral de F a lo
largo del disco unidad en el plano XY es cero:
(a) Directamente.
(b) Probando que F es el gradiente de alguna función f que habrá que
determinar.
797 Sea F = (yz, xz + y, xy + 1) un campo vectorial. Definimos la función
f(x, y, z) =
∫
C
F donde C es el segmento que une el punto (0, 0, 0) con
(x, y, z). Determinar f evaluando la integral de ĺınea que la define y luego
probar que ∇f = F.
Solución 797:
El segmento de recta que une (0, 0, 0) con un punto genérico (x, y, z) es
σ(t) = t(x, y, z), t ∈ [0, 1].
El producto escalar que debemos integrar entre 0 y 1 es
F(σ(t)) · σ′(t) =
(
t2yz, t2xz + ty, t2xy + 1
)
· (x, y, z)
= 3t2xyz + ty2 + z.
Aśı pues
f(x, y, z) =
∫
C
F =
∫ 1
0
(3t2xyz + ty2 + z) dt = xyz +
y2
2
+ z.
Si ahora calculamos el gradiente de esta función f , comprobamos que
en efecto
∇f = F,
luego f es un potencial para F y por tanto este campo es gradiente.
798 Dado el campo vectorial F : R2 −→ R2,
F(x, y) = (2x3 + x− y2 − 2xy, 2y3 + y − x2 − 2xy)
y la curva dada por la parametrización
σ(t) = (t sen(πt2), t cos(πt2)),
para t ∈ [0, 1], calcular la integral
∫
σ
F · dσ.
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	Teorema de Green