Problemas de calculo vectorial-75

Vista previa del material en texto

6.7 Potenciales vectoriales 223
882 Consideremos la superficie M en R3 definida por las ecuaciones:
z = x+ y, y2 ≤ x, x2 ≤ 2y.
Sea el campo vectorial F(x, y, z) = (z, x, y) definido en todo R3. Calcula
el flujo de F a través de M orientado hacia el exterior,
(a) Directamente.
(b) Mediante el teorema de Gauss.
(c) Mediante el teorema de Stokes.
883 Hallar el flujo del campo F(x, y, z) = (z, x, y) a través de la superficie S
dada por
y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1,
directamente y mediante el Teorema de Stokes.
884 Denotemos por S el casquete de elipsoide{
2(x− 1)2 + (y + 1)2 + z2 = 1, 1 ≤ 2
√
2x ≤ 2
}
y F(x, y, z) = (x, y,−2z). Calcula la integral I =
∫
S
F usando de algún
modo:
(a) El teorema de la divergencia.
(b) El teorema de Stokes.
Solución 884:
En primer lugar observamos que el campo F tiene divergencia nula.
Si completamos el casquete dado con las dos tapas correspondientes a
x = 1
2
√
2
(S1) y x =
1√
2
(S2) tenemos una superficie cerrada que encierra
una parte sólida del elipsoide R. Luego
0 =
∫∫∫
R
div F dV =
∫
S
F +
∫
S1
F +
∫
S2
F.
Como estas dos últimas integrales tienen normales unitarias exteriores
(−1, 0, 0) y (1, 0, 0), respectivamente, sus integrales se calculan inmedia-
tamente. En efecto∫
S1
F =
∫
S1
(−x) = − 1
2
√
2
Área(S1) = −
1
2
√
2
π
(√
2− 5
4
)
,
pues S1 es el ćırculo en el plano x =
1
2
√
2
, (y + 1)2 − z2 ≤
√
2 − 54 . Del
mismo modo,∫
S2
F =
∫
S2
x =
1√
2
Área(S2) =
1√
2
2π(
√
2− 1).
224 Capı́tulo 6 Análisis vectorial224 Capı́tulo 6 Análisis vectorial224 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
con S2 el ćırculo en el plano x =
1√
2
, (y+1)2+z2 ≤ 2(
√
2−1) Finalmente∫
S
F =
π
16
(
40− 21
√
2
)
.
Por otro lado, si G es un potencial vectorial para F, tendremos como
en casos anteriores que ∫
S
F =
∫
∂S
G,
donde una elección ventajosa de G es (yz,−xz, 0). La frontera ∂S consta
de dos curvas que son
(y + 1)2 + z2 =
√
2− 5
4
, x =
1
2
√
2
,
y
(y + 1)2 + z2 = 2(
√
2− 1), x = 1√
2
.
Los cálculos involucrados en resolver las integrales de G sobre estas dos
curvas son estándar y se han realizado ya en algunas ocasiones. Dejamos
al lector el comprobar que el resultado final coincide con el ya obtenido
anteriormente.
885 Sea S la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 cortada por el cono
z2 = 4x2 + (2y − 1)2, z ≥ 0, orientada con la normal exterior, y el campo
F(x, y, z) = (0, 0, 1). Calcula el flujo de F a través de S directamente y
mediante el teorema de Stokes.
886 Consideremos la superficie M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, y ≥ z ≥ 0}
y el campo vectorial F (x, y, z) = (x, x,−z). Calcular el flujo de F a través
de M , con orientación exterior:
(a) Usando el Teorema de Gauss.
(b) Usando el Teorema de Stokes.
Solución 886:
(a) La superficie S es la pared ciĺındrica limitada por y ≥ z ≥ 0,
como puede verse en la Figura 67. Como no es una superficie
cerrada necesitamos cerrarla para aplicar el Teorema de Gauss.
Consideramos las superficies S1 y S2 correspondientes a las tapas
(inferior y superior, respectivamente) que cierran S, y sea D el
volumen encerrado por la unión de estas tres superficies. Entonces,
si suponemos orientación exterior en cada una de las superficies, el
Teorema de Gauss afirma que:∫
S
F +
∫
S1
F +
∫
S2
F =
∫∫∫
D
div F dV = 0,
6.7 Potenciales vectoriales 225
−1
0
1 0
0.5
1
0
0.5
1
Figura 67: Cuña ciĺındrica del Ejercicio 886
pues div F = 0, como se comprueba fácilmente.
Por tanto, ∫
S
F = −
∫
S1
F−
∫
S2
F.
Puesto que S1 es una superficie plana, para calcular
∫
S1
F · dS
usaremos
∫
S1
F ·N1, donde N1 es la normal unitaria exterior a S1.
Dicho vector es N1 = (0, 0,−1), y entonces,∫
S1
(x, x,−z) · (0, 0,−1) =
∫
S1
z = 0 pues z = 0 sobre S1.
Del mismo modo, puesto que S2 está sobre el plano y = z, su
normal unitaria exterior es N2 = (0,− 1√2 ,
1√
2
), luego∫
S2
(x, x,−z) · (0,− 1√
2
, 1√
2
) = − 1√
2
∫
S2
(x+ z).
Para calcular esta integral usamos una parametrización de S2,
Φ(r, t) = (r cos t, r sen t, r sen t), t ∈ [0, π], r ∈ [0, 1].
El vector normal asociado a la parametrización es n(r, t) =
(0,−r, r) y su norma vale
√
2r. Por tanto,
− 1√
2
∫
S2
(x+ z) = − 1√
2
∫ 1
0
∫ π
0
√
2r2(cos t+ sen t) dt dr = −2
3
Conclusión
∫
S
F =
2
3
.