Matematica todo 1 y 2

Vista previa del material en texto

Tema 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aprendizaje de la Matemática 
Conectivos Lógicos 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
2 
 
 
 
 
 
Índice Pág. 
 
1.1. Pilares de la Matemática 3 
1.2. Lógica Matemática 3 
1.2.1. Proposición 4 
1.3. Conectivos Lógicos 4 
1.3.1. Negación 5 
1.3.2. Conjunción 5 
1.3.3. Disyunción 6 
1.3.4. Disyunción exclusiva 7 
1.3.5. Condicional 7 
1.3.6. Bicondicional 9 
1.4. Tablas de Verdad de proposiciones 
compuestas 10 
1.5. Equivalencia Lógica 12 
 
Bibliografía 13 
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
3 
1.1 Pilares de la Matemática 
No se puede hacer matemática, en nuestro caso no podemos saber 
matemática, si al estudiarla falta uno o más de los cuatro pilares, bases o 
elementos de la matemática (Benalcázar, 2015): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Elementos indispensables en el estudio de la matemática (Benalcázar, 2015) 
 
Sucede que para estudiar cualquiera de las ramas de la matemática (según 
la Sociedad Americana de Matemática existen como 5000 ramas distintas) se 
necesita de estos cuatro pilares que están relacionados entre sí. (Benalcázar, 
2015). 
 
Al ser éste, un curso inicial de matemática, iniciaremos con el estudio de la 
Lógica Matemática, luego continuaremos con los conjuntos, los números reales 
y las funciones. 
1.2 Lógica Matemática 
La Lógica estudia los métodos y principios que permiten distinguir el 
razonamiento correcto del incorrecto. La Lógica Matemática surge de la 
aplicación de los métodos de la Lógica a la Matemática (Galindo, 2012, pág. 
19) . 
 
En este tema se estudiará los elementos de la Lógica Matemática tales 
como las proposiciones y las reglas de la Lógica Matemática. 
 
 
 
 
Lógica Reales 
Conjuntos Funciones 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
4 
1.2.1. Proposición 
Es un enunciado “expresión” que posee un valor de verdad, es decir ante 
esa expresión podemos afirmar sin ninguna ambigüedad que es falsa o 
verdadera, ejemplos: 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Estas proposiciones por su simplicidad son conocidas como 
proposiciones atómicas o simples (Castillo, Navas, & Toro, 2016). 
 
Con propósitos de simplificación se utiliza la letra para indicar que la 
proposición es falsa y cuando es verdadera; y, para notar las proposiciones 
se acostumbra a usar las letras 
 
A continuación se mencionan algunos ejemplos de no proposiciones (Note 
que no se puede decir si son verdaderas o falsas. 
(a) Buenos días 
(b) ¿Cuántos años tienes? 
(c) ¡Qué chica tan guapa! 
(d) 
También tenemos las proposiciones moleculares o compuestas, que se 
forman mediante la conexión de dos o más proposiciones simples (Castillo, 
Navas, & Toro, 2016). 
1.3 Conectivos Lógicos 
Para generar proposiciones se utiliza los conectores o conectivos lógicos. 
El proceso de enlazar dos o más proposiciones utilizando conectivos lógicos 
constituye una operación lógica (Galindo, 2012, pág. 20). 
 
A continuación se definen los conectivos junto a su tabla de verdad 
(Benalcázar, 2015). Estos conectivos se utilizan en todo el estudio de la 
matemática. 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
5 
1.3.1. Negación 
Su símbolo es: y se lee . Lo explicamos mediante unos ejemplos 
 
Proposición Negación de la proposición 
 
 
 
Tabla de verdad de la negación: 
 
 
V 
F 
F 
V 
 
1.3.2. Conjunción 
Su símbolo es: se lee . Tomando las proposiciones y del 
ejemplo del conector anterior, tenemos la proposición compuesta: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Tabla de verdad: 
 
 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
F 
F 
 
Esta tabla de verdad nos da la definición de la conjunción y es que una 
proposición compuesta es verdadera si y solamente si las dos 
proposiciones simples , son verdaderas, caso contrario es falsa. 
 
A continuación mencionamos la utilidad y uso de este conector en un 
problema de matemática, así si se pide la determinación el dominio de la 
función dada por: 
 ( ) √
 
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
6 
 
resulta que se deben resolver las dos desigualdades: 
 
 
 
 
 
 
1.3.3. Disyunción o Disyunción Inclusiva 
Su símbolo es: se lee (Lara & Arroba, 2007). Igualmente tomando 
las proposiciones , del ejemplo del conector de la negación, tenemos la 
proposición compuesta: 
 
 ( ) 
 
Tabla de verdad: 
 
 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
F 
F 
V 
V 
V 
F 
 
Esta tabla de verdad nos da la definición de la disyunción y es que una 
proposición compuesta es verdadera si y solamente al menos una de las 
dos proposiciones simples , son verdaderas, caso contrario son falsas; 
podemos también dar la definición de la disyunción indicando que la 
proposición compuesta es falsa solo si ambas proposiciones simples , 
son falsas. 
 
A continuación mencionamos la utilidad y uso de este conector en un 
problema de matemática, así cuando se resuelve la ecuación: 
 
 
( )( ) 
 
 
1.3.4. Disyunción Exclusiva 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
7 
Su símbolo es: se lee . También tomemos las proposiciones , 
del ejemplo del conector de la negación, tenemos la proposición compuesta: 
 
 ( ) ( ) 
 
Tabla de verdad: 
 
 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
V 
F 
 
Esta tabla de verdad nos da la definición de la disyunción exclusiva y es 
que una proposición compuesta es verdadera si y solamente si una de las 
dos proposiciones simples , es verdadera y la otra es falsa, caso contrario la 
proposición compuesta es falsa. 
 
A continuación mencionamos la utilidad y uso de este conector en una 
situación de matemática, y es que una de las propiedades de orden de los 
números reales dice: 
 
Para cualquier par de números elemento de los reales se tiene que: 
 
1.3.5. Condicional 
Su símbolo es y se lee , también , tiene la 
siguiente estructura: 
 
Si: entonces 
 
Qué también se escribe: 
 
Si: , 
 
El siguiente es un ejemplo del uso del condicional: 
 
Partamos de las proposiciones simples: 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
8 
 
 
 
 
y generamos la proposición compuesta: 
 
 
 
La proposición indica que si se cumple la condición , entonces 
necesariamente se cumplirá la proposición . Tenga en cuenta que 
 , no necesariamente es porque llovió 
 
Las proposiciones , toman las siguientes denominaciones: 
 
p q 
antecedente consecuente 
Hipótesis Tesis 
Condición suficiente Condición necesaria 
 
Tabla de verdad: 
 
 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
 
Esta tabla de verdad nos da la definición del condicional y es que una 
proposición compuesta es verdadera si se tiene en cuenta que jamás 
una verdad implica una falsedad, o que a partir de una verdad no podemos 
concluir una falsedad. 
 
Todos los teoremas dematemática consisten en un condicional, los datos o 
las proposiciones que son verdaderas constituyen la hipótesis a partir de los 
cuales se demuestra la tesis. 
 
Ejemplo: analizando el enunciado del teorema de Thales cuyo enunciado 
dice: 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
9 
“Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los 
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los 
segmentos correspondientes en la otra.” 
 
Se observa que la proposición o Hipótesis es: “dos rectas 
cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas” y la proposición o 
Tesis es: “los segmentos determinados en una de las rectas son 
proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra”. 
 
Esto significa que si se cumple la proposición “dos rectas cualesquiera 
se cortan por varias rectas paralelas”, necesariamente se cumplirá la 
proposición “los segmentos determinados en una de las rectas son 
proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra”. 
 
Observación: a partir del condicional se generan las siguientes 
proposiciones: 
 
la directa: el condicional como tal y que necesitamos que sea verdadero 
 ( ) 
el recíproco, el mismo que no conocemos su valor de verdad 
 ( ) 
y el contrarecíproco, que también es verdadero 
( ) ( ) ( ) 
 
1.3.6. Bicondicional 
Su símbolo es y se lee que para simplificar se 
escribe “ ”. Este conector genera una proposición compuesta 
verdadera únicamente cuando ambas proposiciones , son verdaderas o 
ambas proposiciones , son falsas, ejemplo: 
 
 
 
 
Tabla de verdad: 
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
10 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
 
Observación: 
Si la proposición es verdadera, la proposición ( ) ( ) también 
es verdadera. 
 
Note que la proposición “El superhéroe Batman estudia en la ESPE si y 
solamente si yo nací en el planeta marte” es verdadera. 
 
Todas las definiciones en matemática están expresadas mediante un 
bicondicional. Justamente la definición de polígono equilátero es: 
 
 
 
Note que en las definiciones de los conectores anteriores ya usamos el 
bicondicional. 
 
Se conocen como conectores básicos o fundamentales, los siguientes 
 Negación 
 Conjunción 
 Disyunción 
Se conocen como conectores compuestos 
 Disyunción exclusiva 
 Condicional 
 Bicondicional 
 
1.4 Tablas de Verdad de Proposiciones 
Compuestas 
En base a las tablas de verdad de los conectivos lógicos se pueden 
elaborar tablas de verdad y determinar valores de verdad de proposiciones 
compuestas en las cuales aparecen varios conectivos lógicos. Así: sean 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
11 
proposiciones, elabore tablas de verdad para: 
1. [ ] [ ( )] 
 ( ) [ ] [ ( )] 
V V F F F V V 
V F F F V V V 
F V V V F F F 
F F V F V V V 
2. [ ( )] [( ) ( )] 
 ( ) 
( )
 ( ) 
[ ( )] 
[( ) ( )] 
V V V V V V V V V 
V V F F V V V V V 
V F V F V V V V V 
V F F F V V V V V 
F V V V V V V V V 
F V F F F V F F V 
F F V F F F V F V 
F F F F F F F F V 
3. ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
V V F V F 
V F V F F 
F V V F F 
F F F V F 
4. Considere que la proposición es falsa, la proposición es verdadera y 
la proposición ( ) [ ( )] es una tautología. Determine el valor de 
verdad de la proposición . 
Puesto que es F y es V, por la definición de la conjunción ( ) es F. 
Como la proposición ( ) [ ( )] es V, por la definición del 
bicondicional ( ) es F (pero es V), entonces es F. Por tanto es V. 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
12 
Observando las Tablas de Verdad elaboradas anteriormente, se tiene que: 
La proposición compuesta de la tabla 2. constituye una Tautología, esto 
quiere decir que independientemente de los valores que tomen las 
proposiciones simples, esta proposición compuesta siempre será verdadera 
(Castillo, Navas, & Toro, 2016). 
La proposición compuesta de la tabla 3. constituye una Contradicción, 
esto quiere decir que independientemente de los valores que tomen las 
proposiciones simples, esta proposición compuesta siempre será falsa. 
La proposición compuesta de la tabla 1. no constituye una Tautología y 
tampoco es una Contradicción, el valor de verdad de esta proposición 
compuesta depende de los valores que tomen las proposiciones simples. 
1.5 Equivalencia Lógica 
Dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando la proposición 
 es un tautología (Lara & Arroba, 2007). La Equivalencia Lógica entre y 
 , se representa mediante: 
 
Generalmente las proposiciones representan a proposiciones 
compuestas. 
Ejemplo: Puesto que la proposición compuesta [ ( )] [( ) 
( )] constituye una tautología (literal 1.4, tabla de verdad 2.), se tiene que: 
 La proposición: [ ( )] es lógicamente equivalente a la 
proposición [( ) ( )]. 
 Las proposiciones [ ( )] , [( ) ( )] son lógicamente 
equivalentes. 
 [ ( )] [( ) ( )] 
 
Bibliografía 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
Conectivos Lógicos. Caizaguano R 
 
13 
Benalcázar, H. (2015). Fundamentos Matemáticos. Quito: Universidad Central 
del Ecuador. 
Castillo, C., Navas, F., & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de Matemática. 
Quito: EPN. 
Galindo, E. (2012). Matemáticas superiores (Vol. Parte 1). Quito: Prociencia 
Editores. 
Lara, J., & Arroba, J. (2007). Análisis Matemático. Quito: Centro de Matemática 
Universidad Central. 
 
Cuarto Nivel 
 1/14 
2.1.1. Involución 
¬(¬𝑝) ≡ 𝑝 
2.1.2. Idempotencia 
𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝 
2.1.3. Complemento 
¬𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝐹 ¬𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑉 
2.1.4. Identidad 
𝑝 ∧ 𝑉 ≡ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑉 ≡ 𝑉 𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹 𝑝 ∨ 𝐹 ≡ 𝑝 
2.1.5. Conmutativa 
𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝 
2.1.6. Asociativa 
(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 
 
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) (𝑝 ⟺ 𝑞) ⟺ 𝑟 ≡ 𝑝 ⟺ (𝑞 ⟺ 𝑟) 
2.1.7. Distributiva 
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 
 
(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ (𝑝 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ (𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 
 
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ (𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 
2.1.8. De Morgan1 
¬(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ (¬𝑞) ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ (¬𝑞) 
2.1.9. Absorción 
(𝑝 ∨ 𝑟) ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 (𝑝 ∧ 𝑟) ∨ 𝑝 ≡ 𝑝 
2.1.10. Otras equivalencias 
 
(𝑝 ⟹ 𝑞) ≡ (¬𝑞 ⟹ (¬𝑝)) Contrarecíproco 
 
1 Nunca van juntos dos operadores. 
¬(𝑝 ⟹ 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ (¬𝑞) Negación del condicional 
(𝑝 ⟺ 𝑞) ≡ (¬𝑞 ⟺ (¬𝑝)) Equivalencia del bicondicional 
¬(𝑝 ⟺ 𝑞) ≡ 𝑝 ∨ 𝑞 Equivalencia de la disyunción exclusiva 
(𝑝 ⟺ 𝑞) ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝) Equivalencia del bicondicional 
(𝑝 ⟹ 𝑞) ≡ (¬𝑝 ∨ 𝑞) Equivalencia del condicional 
 
Cuarto Nivel 
 2.2. Simplificación de proposiciones 
Dadas las proposiciones compuestas, simplifique a su mínima expresión: 
Simplificación 1 
Simplificación 23/14 
Cuarto Nivel 
 2.2. Simplificación de proposiciones 
Dadas las proposiciones compuestas, simplifique a su mínima expresión: 
Simplificación 1 
Simplificación 2 
 3/14 
1. 𝑝 ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞) 
𝑝 ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ (𝑝 ∨ 𝑞) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ (¬𝑝 ∨ 𝑝) ∨ 𝑞 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ 𝑉 ∨ 𝑞 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 ≡ 𝑉 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 
2. (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ⟺ 𝑞) 
(𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ⟺ 𝑞) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. 𝑏𝑖𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ [(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑝)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ [(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑝)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ [(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑝)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ [¬(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ∨ 𝑞)] ∧ [¬(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑞 ∨ 𝑝)] 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ [¬𝑝 ∨ (¬𝑞) ∨ (¬𝑝) ∨ 𝑞] ∧ [¬𝑝 ∨ (¬𝑞) ∨ ¬𝑞 ∨ 𝑝] 𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛, 𝑎𝑠𝑜𝑐. 
 ≡ [𝑉] ∧ [𝑉] 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 
 ≡ 𝑉 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
Sin elaborar tablas de verdad, demuestre las equivalencias lógicas: 
1. 𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑝 ⟹ 𝑟) 
La demostración se puede hacer de tres maneras. 
● Se parte de la proposición del lado izquierdo y se llega a la proposición del 
lado derecho: 
𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ¬𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ (¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑟) 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑝 ⟹ 𝑟) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
 
 
● De la misma manera, se puede partir de la proposición de lado derecho y se 
llega a la proposición del lado izquierdo: 
(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑝 ⟹ 𝑟) ≡ (¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑟) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ ¬𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ 𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
● Se puede simplificar las dos proposiciones enlazadas con el condicional y 
llegar a una V. Este principio se basa en la definición de proposiciones 
lógicamente equivalentes. Esta tercera opción resulta útil cuando las dos 
primeras opciones se complican. 
 Entonces probemos que la proposición: 
[𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟺ [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑝 ⟹ 𝑟)] 
es una tautología. 
[𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟺ [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑝 ⟹ 𝑟)] 
 ≡ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟺ [(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑟)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟺ [¬𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟺ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ ([𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟹ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)]) ∧ ([𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟹ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)]) 𝑏𝑖𝑐𝑜𝑛𝑑 
 ≡ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ⟹ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
 ≡ ¬[𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∨ [𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)] 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ 𝑉 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
 
 
 
 
 
2. ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ (𝑝 ⟺ 𝑞) ⟹ (¬𝑞) 
(𝑝 ⟺ 𝑞) ⟹ (¬𝑞) ≡ [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝)] ⟹ (¬𝑞) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑖𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ ¬[(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑝)] ∨ (¬𝑞) 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 ≡ (𝑝 ∧ (¬𝑞)) ∨ [𝑞 ∧ (¬𝑝)] ∨ (¬𝑞) 𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛 
 ≡ (𝑝 ∧ (¬𝑞)) ∨ ([𝑞 ∧ (¬𝑝)] ∨ (¬𝑞)) 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ (𝑝 ∧ (¬𝑞)) ∨ [(𝑞 ∨ (¬𝑞)) ∧ ((¬𝑝) ∨ (¬𝑞))] 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ (𝑝 ∧ (¬𝑞)) ∨ [𝑉 ∧ ((¬𝑝) ∨ (¬𝑞))] 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 ≡ (𝑝 ∧ (¬𝑞)) ∨ ((¬𝑝) ∨ (¬𝑞)) 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 
 ≡ [(𝑝 ∧ (¬𝑞)) ∨ (¬𝑞)] ∨ (¬𝑝) 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎, 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 ≡ [¬𝑞] ∨ (¬𝑝) 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 
 ≡ ¬(𝑝 ∧ 𝑞) 𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛, 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
Cuarto Nivel 
 2.4. Circuitos lógicos 
2.1.1. Circuito en serie 
 
Un circuito lógico es la representación gráfica de una o más proposiciones, utilizando los esquemas de un circuito 
eléctrico. (Galindo, pág. 26) 
Una proposición simple se representa como el interruptor de un circuito, abriendo o cerrando el circuito. 
Si el circuito funciona, está cerrado y pasa corriente, entonces la proposición p es verdadera. 
Si el circuito no funciona, está abierto y no pasa corriente, entonces la proposición p es falsa. 
p 
El circuito funciona si todos los interruptores están cerrados (proposiciones verdaderas). 
 
Por tanto, este circuito representa la conjunción p ^ q. 
p q
 5/14 
Cuarto Nivel 
 2.4. Circuitos lógicos 
2.4.2. Circuito en paralelo 
2.4.3. Representación de conectivos compuestos 
 
El circuito no funciona si todos los interruptores están abiertos (proposiciones falsas). 
 
Por tanto, este circuito representa la disyunción p V q. 
Los conectivos ¬,^,V son básicos, los conectivos V ,=> , <=> son compuestos y se los puede definir en 
términos de los conectivos básicos. 
Representación de p => q: 
Representación de p <=> q: 
 6/14 
Cuarto Nivel 
 2.4. Circuitos lógicos 
2.4.3. Representación de conectivos compuestos 
 
Ejercicio 
Simplifique el circuito 
El circuito está representado por la proposición: 
[[(p v (¬q)) ^ p] v (q ^ r) v q] ^ p 
Procedemos a la simplificación: 
[[(p v (¬q)) ^ p]v(q ^ r) v q] ^ p 
≡[[p] v ((q ^ r) v q)] ^ p asociativa,absorción 
≡[p v (q)] ^ p absorción 
≡p absorción 
Por tanto el circuito simplificado es: 
 7/14 
Cuarto Nivel 
 Bibliografía
Benalcázar, H. (2015). Fundamentos matemáticos. Quito: Universidad Central del 
Ecuador. 
Castillo, C., Navas, F. & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de matemática. Quito: EPN. 
Galindo, E. (2012). Matemáticas superiores (Vol. Parte 1). Quito: Prociencia Editores. 
Lara, J. & Arroba, J. (2007). Análisis matemático. Quito: Centro de Matemática 
Universidad Central. 
 8/14 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 1 de 5
Una tautología es la proposición 
q v (¬ p ^ q) <=>q. 
q ^ (¬ p v q) <=>q. 
qv (¬ p ^ q) <=>q. 
Todas las opciones. 
Ninguna de las opciones. 
 9/14 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 2 de 5
Una tautología es la proposición 
q v (¬p ^ q). 
q ^ (¬p v q). 
q v (p ^ q). 
Todas las opciones. 
Ninguna de las opciones. 
 10/14 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 3 de 5
Considere las proposiciones “p: este polígono tiene 4 lados”, “q: este polígono es un cuadrado”. ¿Cuál de las siguientes 
proposiciones es verdadera? 
q entonces p. 
p entonces q. 
p ssi q. 
¬q entonces ¬p. 
Ninguna de las opciones. 
 11/14 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 4 de 5
Considere las dos proposiciones simples “p: Juan es ecuatoriano”, “q: Juan es latinoamericano”. La condición suficiente está 
dada por la proposición 
p. 
q. 
¬p. 
¬q. 
Ninguna de las opciones. 
 12/14 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 5 de 5
La tabla de verdad de una proposición compuesta “p” es idéntica a la tabla de verdad de otra proposición compuesta “q”. 
Resulta que 
Las proposiciones son lógicamente equivalentes. 
p ssi q es una proposición verdadera. 
p ssi q es una tautología. 
La simplificación de: p ssi q da V. 
Todas las opciones. 
 13/14 
Cuarto Nivel 
 1/22 
Cuarto Nivel 
 3.1. Razonamiento 
3.1.1. Razonamiento lógico 
Razonamiento es el resultado de organizar y estructurar ideas para obtener una conclusión. (Pérez & Gardey, 2013) 
En lógica matemática las ideas serán proposiciones (una o más) y se denominan premisas que al ser verdaderas 
permiten obtener una conclusión también verdadera. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción 
y se consigue mediante la aplicación de las reglas de inferencia. (Castillo, Navas, & Toro, 2016, pág. 17) 
A partir de un grupo de proposiciones simples y compuestas que son verdaderas, y mediante las reglas de inferencia 
determinaremos si un razonamiento es lógicamente válido. 
Un conjunto de proposiciones llamadas premisas y una conclusión que también es una proposición se 
denomina razonamiento. (Castillo,Navas, & Toro, 2016) 
 2/22 
Cuarto Nivel 
 3.1. Razonamiento 
3.1.2. Razonamiento válido 
 
Un razonamiento lógicamente válido es aquel que teniendo todas sus premisas verdaderas, su conclusión 
también tiene que ser verdadera. (Castillo, Navas, & Toro, 2016, pág. 17) 
Ejemplo de razonamiento 
p => q ≡ Si Juan estudia para sus exámenes entonces obtendrá buenas calificaciones. 
p ≡ Juan estudia para sus xámenes. 
_____________________________________________________________ 
c ≡ Juan obtiene buenas calificaciones. 
Las proposiciones p, p => q son verdaderas y son las premisas. La proposición c es la conclusión. Este conjunto 
de proposiciones de denomina razonamiento. 
El anterior es un razonamiento sencillo pero lógicamente válido; en cambio el siguiente razonamiento es no 
válido: 
p => q ≡ Si Juan estudia para sus exámenes entonces obtendrá buenas calificaciones. 
q ≡ Juan estudia para sus exámenes. 
__________________________________________________________ 
c ≡ Juan estudió para sus exámenes. 
A los razonamientos también se los conoce como argumentos. 
 3/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.1. Modus Ponendo Ponens 
 
Una regla de inferencia constituye un caso particular de razonamiento, pues sobre la base de la sintaxis de sus 
premisas entrega una conclusión (Benalcázar, 2015). A continuación se mencionan las estructuras de las principales 
reglas de inferencia. 
Esta regla de inferencia es el método que afirma el consecuente, afirmando el antecedente: 
 p => q 
 p 
 ___________ 
Conclusión: q 
El siguiente es un razonamiento no válido que se conoce como la falacia del Modus Ponens. 
 p => q 
 q 
 ___________ 
Conclusión: p 
En los razonamientos mostrados de ejemplo, estamos aplicando la regla del Modus Ponendo Ponens. 
 4/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.2. Doble negación 
3.2.3. Modus Tollendo Tollens 
 
Es una regla simple que permite pasar de una única premisa a la conclusión: 
 ¬(¬p) 
 ___________ 
Conclusión: p 
Ejemplo 
 ¬(¬p): no ocurre que Juan no es estudiante
 ____________________________________ 
Conclusión: p: Juan es estudiante 
Esta regla de inferencia es el método que niega el antecedente, negando el consecuente.
 p => q 
 ¬q 
 ___________ 
 Conclusión: ¬p 
 5/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.3. Modus Tollendo Tollens 
 
El siguiente es un razonamiento no válido que se conoce como la falacia del Modus Ponens. 
 p => q 
 ¬p 
 ___________ 
Conclusión: ¬q 
Ejemplo 
 p => q : si el polígono es un cuadrado, entonces es un cuadrilátero 
 ¬q: el polígono no es un cuadrilátero 
 __________________________________________ 
Conclusión: ¬p: el polígono no es un cuadrado 
 6/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.4. Introducción de la conjunción 
 
Se basa en la definición de la conjunción. Si dos proposiciones son verdaderas, la proposición compuesta 
enlazada con la conjunción también es verdadera. 
 p 
 q 
 ___________ 
Conclusión: p ^ q 
Ejemplo 
 p: 2 es menor que 3 
 q: 52=25 
 _______________________________ 
Conclusión: p ^ q: 2 es menor que 3 y 52 =25 
 7/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.5. Eliminación de la conjunción 
 
También se basa en la definición de la conjunción: 
 p ^ q 
 ___________ p ^ q 
 ___________ 
 Conclusión: p Conclusión: q 
Ejemplo 
 p ^ q: 2 es menor que 3 y 52=25 
 __________________________ 
Conclusión: p: 2 es menor que 3
 8/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.6. Introducción de la disyunción 
 
Se basa en la definición de la disyunción inclusiva. Si una proposición es verdadera, la proposición compuesta 
enlazada con cualquier proposición mediante la disyunción también es verdadera: 
 p 
 ___________ 
Conclusión: p v q 
Ejemplo 
 p: 2 es menor que 3 
 __________________________________________ 
Conclusión: p v q: 2 es menor que 3 o 52=25 
 9/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.7. Eliminación de la disyunción 
 
También se basa en la definición de la disyunción inclusiva. 
 p v q 
 ¬q 
 ___________ 
Conclusión: p 
Ejemplo 
 p v q: 52=25 o 2 es mayor o igual que 3 
 ¬q: 2 no es mayor o igual que 3 
 __________________________________________ 
Conclusión: p: 52=25 
 10/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.8. Silogismo hipotético 
 
Consiste de una cadena de inferencias, donde las premisas son proposiciones condicionales y la conclusión 
también es una proposición condicional. 
 p => q 
 q => r 
 ___________ 
Conclusión: p => r 
Ejemplo 
 p => q: si el polígono es un cuadrado, entonces es un cuadrilátero. 
 q => r: si el polígono es un cuadrilátero, entonces tiene 4 lados. 
 _______________________________________________________ 
Conclusión: p => r: si el polígono es un cuadrado, entonces tiene 4 lados. 
 11/22 
Cuarto Nivel 
 3.2. Reglas de inferencia 
3.2.9. Silogismo disyuntivo 
 
Consiste en una disyunción y dos proposiciones condicionales y la conclusión es una disyunción formada con los 
consecuentes de los condicionales. 
 p v q 
 p => r 
 q => s 
 ___________ 
Conclusión: r v s 
Ejemplo 
 p v q: 2=3 o (-4)2=16 
 p => r: si 2=3, entonces 4=9 
 q => s: si (-4)2=16, entonces |-4|=4 
 ______________________________ 
Conclusión: r v s: 4=9 o |-4|=4 
 12/22 
Cuarto Nivel 
 3.3. Aplicaciones 
1. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora. ¿Qué puede 
 concluir? Exprese las proposiciones de manera simbólica. 
Las proposiciones simples involucradas en el razonamiento son: 
p: nos despedimos ahora. 
q: cumpliremos nuestro plan. 
El razonamiento expresado simbólicamente es: 
 a) ¬ p => (¬ q) 
 b) ¬p 
 c) ¬ q (Modus Ponendo Ponens) 
La conclusión es: 
 No cumpliremos nuestro plan. 
 13/22 
Cuarto Nivel 
 3.3. Aplicaciones 
2. Si no ocurre que si un objeto flota en el agua, entonces es menos denso que el agua, entonces se puede caminar 
 sobre el agua, pero no se puede caminar sobre el agua. 
Si un objeto es menos denso que el agua entonces se puede desplazar una cantidad de agua igual a su peso. 
Se puede desplazar una cantidad de agua igual a su peso, entonces el objeto flotaría en el agua.Por tanto, un objeto flotará en el agua si y solo si es menos denso que el agua. 
Las proposiciones simples involucradas en el razonamiento son: 
p: el objeto flota en el agua. 
q: el objeto es menos denso que el agua. 
r: se puede caminar sobre el agua. 
s: el objeto puede desplazar una cantidad de agua igual a su peso. 
El razonamiento expresado simbólicamente es: 
1. ¬[p => q] => r 
2. ¬r 
3. q => s 
4. s => p 
_____________ 
 C:p => q 
 14/22 
Cuarto Nivel 
 3.3. Aplicaciones 
Ahora analicemos la validez del razonamiento: 
1. ¬[p => q] => r 
2. ¬r 
________________ 
5. p => q Modus Tollendo Tollens 
3. q => s 
4. s => p 
________________ 
6. q => p Silogismo hipotético 
5. p => q 
6. q => p 
________________ 
7.(p => q) ^ (q => p) Adición de la conjunción 
7.(p => q) ^ (q => p) 
__________________ 
C:p <=> q Equivalencia del <=> 
Por tanto el razonamiento es válido. 
 15/22 
Cuarto Nivel 
 Bibliografía
Benalcázar, H. (2015). Fundamentos matemáticos. Quito: Universidad Central del 
Ecuador. 
Castillo, C., Navas, F. & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de matemática. Quito: EPN. 
Galindo, E. (2012). Matemáticas superiores (Vol. Parte 1). Quito: Prociencia Editores. 
Lara, J. & Arroba, J. (2007). Análisis matemático. Quito: Centro de Matemática 
Universidad Central. 
 16/22 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 1 de 5
Todos los deportistas son fuertes. Todos mis hermanos son deportistas. Por lo tanto, 
Todos los fuertes son deportistas. 
Todos los deportistas son mis hermanos. 
Todos mis hermanos son fuertes. 
Todos los fuertes son mis hermanos. 
Ninguna de las opciones. 
 17/22 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 2 de 5
Si es cierto que todos los seres humanos viven en el planeta Tierra, entonces, también es cierto que 
Todos los que viven en la Tierra son seres humanos. 
Algunos seres humanos viven en la Tierra. 
Si no es ser humano, entonces no vive en la Tierra. 
Ningún ser humano vive en la Tierra. 
Ninguna de las opciones. 
 18/22 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 3 de 5
Todos los ciudadanos responsables son cooperadores. Algunos vecinos son ciudadanos responsables. Por lo tanto
Todos los vecinos son cooperadores. 
Algunos vecinos son cooperadores. 
Ningún vecino es cooperador. 
Ningún ciudadano es cooperador. 
Ninguna de las opciones. 
 19/22 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 4 de 5
Si todos los atletas llevan una dieta rigurosa, entonces 
Todos los que llevan una dieta rigurosa son atletas. 
Algunos atletas no llevan una dieta rigurosa. 
Paúl lleva una dieta rigurosa y, por lo tanto, tiene que ser atleta. 
Nora es atleta y, por lo tanto, tiene que llevar una dieta rigurosa. 
Ninguna de las opciones. 
 20/22 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 5 de 5
Si Juan estudia bastante para los exámenes, tiene excelentes calificaciones. Juan obtuvo excelentes calificaciones. Se 
concluye que _ _ _ _ . 
Juan estudió bastante para los exámenes. 
Juan estudió para los exámenes. 
Juan debe haber estudiado bastante para los exámenes. 
No se sabe si Juan estudió bastante para los exámenes. 
Ninguna de las opciones 
 21/22 
Cuarto Nivel 
 1/23 
Cuarto Nivel 
 4.1. Función proposicional 
Recordemos que proposición es un enunciado del cual se puede decir si es verdadero o falso1 . 
La expresión: x+ 3=7 no es una proposición, puesto que no sabemos que es el símbolo x, x no es nada o x no 
significa nada. 
Si escribimos: “x+ 3=7, con x € R”, estamos ante una función proposicional; puesto que estamos indicando que es el 
símbolo x, ahora ya sabemos que es x; en otras palabras, estamos indicando un dominio. En este caso, la función 
proposicional es y se representa como (Benalcázar, 2015): 
P(x): x+ 3=7; x € R 
 
Una función proposicional tampoco es una proposición, pues no se puede decir que P(x) sea verdadera o falsa. 
La expresión: “existe algún número real x, tal que se cumple que x + 3 = 7” es una proposición, ya que se sabe que es 
verdadera. 
Construir proposiciones a partir de funciones proposicionales con el uso de cuantificadores será nuestro objetivo en el 
desarrollo de este tema. 
 2/23 
Cuarto Nivel 
 4.2. Cuantificadores 
Los cuantificadores permiten obtener proposiciones a partir de funciones proposicionales. Así, consideremos la función 
proposicional (Benalcázar, 2015): 
P(x): x+ 3=7; x € R 
 
La proposición: 
p: existe algún número real x, tal que se cumple que x + 3 = 7 
también se puede escribir: 
p: existe al menos un número real x tal que se cumpla que x + 3 = 7 
y se puede simbolizar: 
p: x € R: x+3=7 
 
El símbolo se lee “existe algún”, “existe al menos un”, “existe por lo menos un” y es el cuantificador existencial 
(Castillo, Navas, & Toro, 2016), y como se ve, ha permitido obtener una proposición a partir de la cuantificación de la 
función proposicional P(x). 
Puesto que si existe al menos un x € R (el número 4) que hace verdadera a la expresión P(x): x+ 3=7, la proposición p 
es verdadera. 
 3/23 
Cuarto Nivel 
 4.2. Cuantificadores 
De manera similar, considere la proposición: 
q: para cualquier número real x se cumple que x+3=7 
que también se puede escribir: 
q: para todo número real x se cumple que x+3=7 
y que se puede simbolizar: 
q: x € R: x+3=7 
 
El símbolo se lee “para todo”, “para cualquier” y es el cuantificador universal (Castillo, Navas, & Toro, 2016), y como 
se ve, ha permitido obtener una proposición a partir de la cuantificación de la función proposicional P(x). 
Puesto que existen muchos x € R (cualquiera que no sea el número 4) que hacen falsa la expresión P(x): x+ 3=7, la 
proposición q es falsa. 
 
 4/23 
Cuarto Nivel 
 4.3. Negación de proposiciones 
Consideremos nuevamente las proposiciones p y q: 
p: x € R: x+3=7 ≡Verdadera 
p: Existe al menos un x € R tal que: x+3=7 
 
la negación de la proposición p es: 
¬p: x € R: x+3≠7 ≡Falsa 
¬p: Para todo x € R se cumple que: x + 3≠ 7 
¬p: Para todo x € R no se cumple que: x+3=7 
¬p: Para cualquier x € R se cumple que: x + 3≠ 7 
 
Se observa que la negación de un “existe”; es un “para todo”; y, se debe negar el cuantificador y la función 
proposicional. De la misma manera, la negación de un “para todo” es un existe (Castillo, Navas, & Toro, 2016). 
En resumen: 
Proposición Negación de la proposición 
p: x € A:P(x) ¬p: x € A:¬P(x) 
q: x € A:P(x) ¬q: x € A:¬P(x)
Ejemplo 
Exprese simbólicamente las siguientes proposiciones. Escriba la negación de dicha proposición y coloque el valor de 
verdad. 
 5/23 
Cuarto Nivel 
 4.3. Negación de proposiciones 
Los políticos ecuatorianos son corruptos 
Es necesario definir el conjunto que contiene a todos los políticos ecuatorianos, así: 
A= {x/x es político ecuatoriano} 
 
la frase “los políticos” se refiere a todos los políticos; p simboliza a la proposición propuesta de manera simbólica es: 
p: x € A: x es corrupto ≡ Falsa 
 
la negación es: 
¬p: x € A: x no es corrupto ≡ Verdadera 
 
 Todas las mujeres son infieles. 
Definimos el conjunto que contiene a todas las mujeres: 
M={x/x es mujer} 
 
simbólicamente la proposición es: 
p: x € M: x es infiel ≡ F 
la negación de p: 
¬p: x € M: x no es infiel ≡ V 
 
 6/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
En el tema 1, cuando se revisaba la definición de los conectivos lógicos, se mencionó que todos lo teoremas en 
matemática constituyen un condicional, es decir, tienen la estructura: 
H => T 
 
Con el uso de las funciones proposicionales y haciendo referencia a un conjunto U, un teorema se puede escribir 
utilizando la siguiente proposición: 
x € U:[P (x) => Q (x)] 
 
donde P(x) es la hipótesis y Q(x) la tesis o conclusión del teorema. 
Para demostrar un teorema, se debe justificar que el condicional, acompañado del cuantificador (no necesariamente 
es el cuantificadoruniversal), P(x) => Q (x) es verdadero. 
A continuación se mencionan los métodos de demostración más utilizados. 
 7/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.1. Método directo 
 
En este método se prueba que la tesis “q” es verdadera, siempre y cuando se cumpla que la hipótesis “p” es 
verdadera. 
Ejemplo 
Demuestre el teorema: 
La suma de dos números enteros impares es un número par. 
La hipótesis de este teorema está dada por: 
El número impar m tal que: m=2j+1;j € Z 
El número impar n tal que: m=2k+1;k € Z 
La tesis es: 
m+n=2p,p € Z 
En la demostración debemos probar que m+n es un número par, así: 
 8/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.1. Método directo 
 
representamos la suma de los dos números impares y realizamos operaciones: 
m+n=(2j+1)+(2k+1); j,k € Z 
=2j+2k+2; j,k € Z 
=2(j+k)+2; j,k € Z 
puesto que j,k son números enteros, j+k es un número entero. 
sea p=j+k, entonces: m+n=2p+2; p € Z 
Con esto queda probado que m+n es un número par. 
Observación 
Z es el conjunto de los números enteros. 
 9/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.2. Método de reducción al absurdo 
 
Puesto que un teorema tiene la estructura: 
H => T 
y se desea demostrar que este condicional es verdadero; puesto que la hipótesis es verdadera, debe cumplirse 
que la tesis también es verdadera. 
En el método de reducción al absurdo se parte suponiendo que el condicional H => T es falso, es decir que: ¬(H 
=> T) es verdadero, por tanto se tiene: 
Se supone que: 
¬(H => T) es verdadero 
por la equivalencia del condicional: 
¬(¬H v T) 
y por De Morgan: 
H ^ (¬T) 
Entonces, asumiendo que la negación de la tesis (¬T) es verdadera (o que la tesis es falsa) se llega a concluir 
un absurdo que generalmente contradice la hipótesis, con lo cual se concluye que lo supuesto es falso y que 
por tanto H => T es verdadero. 
 10/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.2. Método de reducción al absurdo 
 
Ejemplo 
Demuestre que 1 / 0 € R 
La hipótesis de este teorema está dada por las propiedades de campo e identidad de los números reales. 
La tesis es probar justamente que 1 / 0 € R. 
En la demostración por reducción al absurdo, suponemos que: 1 / 0 € R, por tanto podemos escribir: 
1 / 0=x;con x € R 
con lo que se tiene: 
1=x·0;con x € R 
pero cualesquier número real multiplicado con cero da cero, resulta que: 
1=0 
lo cual es una contradicción o un absurdo, por tanto, lo supuesto es falso y se cumple que: 
1 / 0 € R 
 11/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.3. Método del contrarecíproco 
 
En este método, la demostración del condicional (estructura de un teorema): 
H => T 
se realiza demostrando la validez de su contrarecíproco, es decir, se realiza una demostración con el método 
directo para el condicional dado por: 
(¬T) => (¬H) 
Ejemplo 
Demuestre el teorema: 
Si n2 es un número par, entonces n es un número par. 
Entones vamos a demostrar que: 
Si n no es un número par, entonces n2 no es un número par. 
La hipótesis de este teorema está dada por: 
n no es un número par 
La tesis es: 
n2 no es un número par 
 12/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.3. Método del contrarecíproco 
 
Para demostrar, iniciemos utilizando la hipótesis. Así: 
n no es un número par, => n es un número impar 
utilizando la representación de los números impares y realizando operaciones, tenemos: 
 =>n = 2j+1;j € Z 
 => n^2 = (2j+1)2;j € Z 
 =>n2 = 4j2+4j+1;j € Z 
 =>n^2 = 2(j2+2j)+1;j € Z 
Por propiedades de los números enteros, y puesto que j∈Z, se tiene que: 
(2j2+2j) € Z 
Entonces, tomado k=(2j2+2j) se tiene para n2: 
 13/23 
Cuarto Nivel 
 4.4. Métodos de demostración 
4.4.3. Método del contrarecíproco 
 
por tanto: 
n2 es un número impar 
con esto queda demostrado que: n2 no es un número par. 
Por tanto se ha probado que: 
Si n no es un número par, entonces n2 no es un número par. 
y por el contrarecíproco queda probado que: 
Si n2 es un número par, entonces n es un número par. 
Observación 
Estos tres métodos de demostración siguen un procedimiento deductivo. Existe también el método de 
demostración por inducción, conocido como inducción matemática, solo que este método está fuera del objetivo 
de este curso. 
 14/23 
Cuarto Nivel 
 Bibliografía
Benalcázar, H. (2015). Fundamentos matemáticos. Quito: Universidad Central del 
Ecuador. 
Castillo, C., Navas, F. & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de matemática. Quito: EPN. 
Galindo, E. (2012). Matemáticas superiores (Vol. Parte 1). Quito: Prociencia Editores. 
Lara, J. & Arroba, J. (2007). Análisis matemático. Quito: Centro de Matemática 
Universidad Central. 
 15/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 1 de 7
1. Considere el conjunto E formado por todos los escritores ecuatorianos. ¿Cuál de las proposiciones es verdadera?
A) Para todo x que pertenece a E: x es quiteño. 
B) Existe al menos un x que pertenece a E: x es quiteño. 
C) Ninguno de los x que pertenece a E: x es quiteño. 
D) Para todo x que pertenece a E: x no es quiteño. 
E) Ninguna de las opciones. 
 16/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 2 de 7
2. Considere el conjunto E formado por todos los escritores ecuatorianos. ¿Cuál de las proposiciones es falsa? 
A) Para todo x que pertenece a E: x es quiteño. 
B) Existe al menos un x que pertenece a E: x es quiteño. 
C) Para todo x que pertenece a E: x no es quiteño. 
D) Todas las opciones. 
E) Ninguna de las opciones. 
 17/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 3 de 7
3. Considere la función proposicional P(x): x es felino y el conjunto G={x/x es gato}. Escoja la proposición verdadera. 
A) Para todo x elemento de G: P(x). 
B) Para todo x elemento de G: ¬P(x). 
C) Existe un x elemento de G: ¬P(x). 
D) Para todo x que no es elemento de G: P(x). 
E) Ninguna de las opciones. 
 18/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 4 de 7
4. Considere la función proposicional P(x): x es felino, el conjunto G={x/x es gato} y la proposición p: Existe un x elemento de 
G: ¬P(x). La negación de la proposición p es 
A) Para todo x elemento de G: P(x). 
B) Para todo x elemento de G: ¬P(x). 
C) Existe un x elemento de G: ¬P(x). 
D) Para todo x que no es elemento de G: P(x). 
E) Ninguna de las opciones. 
 19/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 5 de 7
5. Considere la función proposicional P(x): x es reptil y el conjunto S={x/x es serpiente}. Escoja la proposición verdadera. 
A) Existe x elemento de S: P(x). 
B) Para todo x elemento de S: P(x). 
C) Existe un x que no pertenece a S: P(x). 
D) Todas las opciones. 
E) Ninguna de las opciones. 
 20/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 6 de 7
6. Considere: la función proposicional P(x): x es reptil y el conjunto S={x/x es serpiente}. La negación de la proposición “p: 
Existe un x que pertenece a S: P(x)” 
A) Para todo x que pertenece a S: ¬P(x). 
B) Para todo x que no pertenece a S: ¬P(x). 
C) Para todo x que no pertenece a S: P(x). 
D) Todas las opciones. 
E) Ninguna de las opciones. 
 21/23 
Cuarto Nivel 
Autoevaluación 
Pregunta 7 de 7
7. Considere: la función proposicional P(x): x es reptil y el conjunto S={x/x es serpiente}. La negación de la proposición “p: 
Existe un x que pertenece a S: ¬P(x)” 
A) Para todo x que pertenece a S: ¬P(x). 
B) Para todo x que no pertenece a S: ¬P(x). 
C) Para todo x que pertenece a S: P(x). 
D) Todas las opciones. 
E) Ninguna de las opciones. 
 22/23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aprendizaje de la MatemáticaEl Campo de los Números Reales 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
2 
 
 
 
 
 
Índice Pág. 
 
6.1. Operación Interna 3 
6.2. Grupo Conmutativo 4 
6.3. Campo o Cuerpo 6 
6.4. Axiomas de Campo e Identidad de los 
Reales 7 
 
Bibliografía 8 
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
3 
6.1 Operación Interna 
 
El álgebra se encarga del estudio de las denominadas Estructuras 
Algebraicas, entre ellas tenemos: Grupos, Anillos, Campos o Cuerpos, 
Espacios Vectoriales. Ahora son de nuestro interés el Grupo Conmutativo y el 
Campo o Cuerpo (Benalcázar, 2015). 
 
Definición de operación interna: Sea 𝐺 un conjunto cualesquiera no 
vacío. Se define la función: 
⊞: 𝐺 × 𝐺 → 𝐺
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 ⊞ 𝑣
 
 
que es conocida como una “ley de composición interna” u “operación 
interna”. En tal virtud esta función nos dice que si tomamos dos elementos 
cualesquiera del conjunto 𝐺 y aplicamos la operación ⊞, el resultado que se 
obtiene continúa estando en 𝐺 (Castillo, Navas, & Toro, 2016). 
 
La función ⊞ también es conocida con el nombre de Operador. 
 
Un ejemplo de operación interna es la adición de números naturales “ℕ”, 
donde 
𝐺 = ℕ = {0,1,2,3, … }, así: 
 
+: ℕ × ℕ → ℕ
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 + 𝑣
 
 
Cuando se tiene una operación interna definida en un conjunto, se dice que 
se cumple la ley clausurativa o que estamos ante una operación cerrada 
(Castillo, Navas, & Toro, 2016). 
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
4 
6.2 Grupo Conmutativo 
 
La dupla (𝐺,⊞) es un Grupo Conmutativo ssi ⊞ es una operación interna y 
además cumple con los siguientes axiomas: 
⊞ es conmutativa. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺: 𝑎 ⊞ 𝑏 = 𝑏 ⊞ 𝑎 
⊞ es asociativa. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺: 𝑎 ⊞ 𝑏 ⊞ 𝑐 = 𝑎 ⊞ (𝑏 ⊞ 𝑐) = (𝑎 ⊞ 𝑏) ⊞ 𝑐 
⊞ tiene neutro. ∃𝑒 ∈ 𝐺, ∀𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎 ⊞ 𝑒 = 𝑎; 𝑒 es el neutro de ⊞ 
⊞ tiene opuestos. ∀𝑎 ∈ 𝐺, ∃�̂� ∈ 𝐺: 𝑎 ⊞ �̂� = 𝑒; �̂� es el opuesto de 𝑎 en ⊞ 
 
Ejemplo: ¿ (ℕ, +)𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜? 
 
La función: 
+: ℕ × ℕ → ℕ
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 + 𝑣
 
 
es una ley de composición interna; y además se cumple: 
 
+ es conmutativa. ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
+ es asociativa. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 
+ tiene neutro. ∃𝑒 ∈ ℕ, ∀𝑎 ∈ ℕ: 𝑎 + 𝑒 = 𝑎; 𝑒 = 0 es el neutro de + 
 
Pero no se cumple la existencia de opuestos: 
+ tiene opuestos. ∀𝑎 ∈ ℕ, ∃�̂� ∈ ℕ: 𝑎 + �̂� = 𝑒 
Por ejemplo, si tenemos: 3 + ̂ = 0, ¿qué número natural debo sumarle a 
3 para obtener cero?. Simplemente: no hay. 
 
Por tanto (ℕ, +) no es un Grupo Conmutativo. 
 
Observación: La dupla (ℕ, +) es una estructura denominada Semigrupo. 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
5 
Note que (ℤ, +) si es un Grupo Conmutativo. ¡Usted puede verificarlo! 
 
ℤ es el conjunto de los números enteros. 
ℤ = {⋯ − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ⋯ } 
 
La función 
+: ℤ × ℤ → ℤ
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 + 𝑣
 
es una ley de composición interna. 
 
Obviamente: todos nosotros sabemos que en la suma con los números 
enteros: 
El orden de los sumandos no altera el resultado. 
La suma se da entre dos números enteros; si queremos el resultado de 
sumar tres números enteros, primero sumamos dos y este resultado lo 
operamos con el tercero; y da lo mismo sumar al primero el resultado del 
segundo y del tercero. 
El elemento neutro de la suma es el cero, es decir 𝑒 = 0, puesto que el 
resultado de sumar cero a cualquier número entero es el mismo número entero. 
El opuesto de un número entero 𝑎 si existe y es – 𝑎. Tenga en cuenta que 
0 = −0. 
 
Por tanto la dupla (ℤ, +) si es un Grupo Conmutativo. 
 
 Observación: Un grupo conmutativo también se dice que es un Grupo 
Abeliano. 
 
Note que la dupla (ℤ,∙) no es un Grupo Conmutativo, ¿por qué? (∙ es el 
producto). Usted también puede verificar que (ℚ, +) si es un Grupo 
Conmutativo. 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
6 
ℚ es el conjunto de los números racionales 
ℚ = {
𝑎
𝑏
𝑎, 𝑏 ∈ ℤ⁄ ∧ 𝑏 ≠ 0} 
 
Observación: Cuando una dupla (𝐺,⊞) no cumple con la propiedad 
conmutativa, si con las otras del Grupo Abeliano; se denomina Grupo. Las 
estructuras de Grupo, no están al alcance de nuestro estudio. 
 
6.3 Campo o Cuerpo 
 
La terna (𝕂,⊞,⊠) es un Campo o Cuerpo ssi ⊞,⊠ son operaciones 
internas y además se cumplen: 
 
(𝕂,⊞) es un Grupo Conmutativo 
⊠ es conmutativa. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝕂: 𝑎 ⊠ 𝑏 = 𝑏 ⊠ 𝑎 
⊠ es asociativa. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂: 𝑎 ⊠ 𝑏 ⊠ 𝑐 = 𝑎 ⊠ (𝑏 ⊠ 𝑐) = (𝑎 ⊠ 𝑏) ⊠ 𝑐 
⊠ tiene neutro multiplicativo. ∃�̇� ∈ 𝕂, ∀𝑎 ∈ 𝕂: 𝑎 ⊠ �̇� = 𝑎 
 �̇� es el neutro de ⊠ 
⊠ tiene inversos. ∀𝑎 ∈ 𝕂 ∖ {𝑒}, ∃�̂� ∈ 𝕂: 𝑎 ⊠ �̂� = 𝒆 
�̂� es el inverso de 𝑎 en ⊠ 
𝑒: es el neutro de la primera operación ⊞ 
⊠ se distribuye sobre ⊞: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂: 𝑎 ⊠ (𝑏 ⊞ 𝑐) = (𝑎 ⊠ 𝑏) ⊞ (𝑎 ⊠ 𝑐) 
 
Propiedad: El conjunto de los números reales con la adición y el producto 
constituye un Campo o Cuerpo. 
 
La terna (ℝ, +,∙) es un Campo o Cuerpo, pues +,∙ son operaciones internas: 
 
+: ℝ × ℝ → ℝ
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 + 𝑣
 
∙: ℝ × ℝ → ℝ
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 ∙ 𝑣
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
7 
y además se cumple: 
 
(ℝ, +) es un Grupo Conmutativo 
∙ es conmutativa. ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 
∙ es asociativa. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 
∙ tiene neutro multiplicativo: ∃�̇� ∈ ℝ, ∀𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ �̇� = 𝑎 
�̇� = 𝟏 es el neutro de ∙ 
∙ tiene inversos multiplicativos. ∀𝑎 ∈ ℝ ∖ {0}, ∃�̂� ∈ ℝ: 𝑎 ∙ �̂� = 𝟏 
1
𝑎
 es el inverso de 𝑎 en ∙ 
∙ se distribuye sobre +: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑎 ∙ 𝑐) 
 
 
6.4 Axiomas de Campo e Identidad de los Reales 
 
Axiomas de campo de los números reales. 
 
Clausurativo: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎 ⋅ 𝑏) ∈ ℝ 
Conmutativo: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑎) ∧ (𝑎 ⋅ 𝑏) = (𝑏 ⋅ 𝑎) 
Asociativa: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∧ (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) 
Existencia del neutro o elemento unidad: ∀𝑎 ∈ ℝ: (𝑎 + 0) = 𝑎 ∧ (𝑎 ⋅ 1) = 𝑎 
Existencia de opuestos: ∀𝑎 ∈ ℝ: (𝑎 + (−𝑎)) = 0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∖ {0}: (𝑎 ⋅
1
𝑎
) = 1 
Distributiva: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑎 ∙ 𝑐) 
 
Axiomas de identidad de los números reales 
 
Reflexivo: ∀𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 = 𝑎 
Transitivo: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑐) ⟹ 𝑎 = 𝑐 
Cancelativo : ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐) ⟹ 𝑎 = 𝑏 
𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐 ⟹ 𝑎 = 𝑏; 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ≠ 0 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Unidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
8 
Propiedades que se deducen de los axiomas de campo e identidad de 
los ℝ 
 ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∗ 0 = 0 
 ∀𝑎 ∈ ℝ: −(−𝑎) = 𝑎 
 ∀𝑎 ∈ ℝ: −1 ∙ 𝑎 = −𝑎 
 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: 𝑎 ≠ 0, ∃𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 
 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 
 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: −𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (−𝑏) = −(𝑎 ∙ 𝑏) 
 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: −𝑎 ∙ (−)𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 
 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∖ {0}: (𝑎 ∙ 𝑏)−1 = 𝑎−1 ∙ 𝑏−1 
 
 
 
Bibliografía 
 
Benalcázar, H. (2015). Fundamentos Matemáticos. Quito: Universidad Central 
del Ecuador. 
Castillo, C., Navas, F., & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de Matemática. 
Quito: EPN. 
Galindo, E. (2012). Matemáticas superiores (Vol. Parte 1). Quito: Prociencia 
Editores. 
Lara, J., & Arroba, J. (2007). Análisis Matemático. Quito: Centro de Matemática 
Universidad Central. 
 
 
 
 
 
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPEUnidad de Educación a Distancia 
 
El Campo de los Reales. Caizaguano R. 
 
9 
AUTOEVALUACION TEMA 6 
1. Sea x un número real cualesquiera, escoja la proposición verdadera 
Solamente una de las tres posibilidades x es negativo, x es positivo, x es cero. 
 
2. Considere como S el conjunto solución de la ecuación solución de la ecuación 3x-7=2. 
Seleccione la proposición falsa. 
S es subconjunto de los números irracionales 
3. Considere a Q como el conjunto de los números racionales. Seleccione la proposición 
falsa. 
Existe un elemento a que pertenece a Q, tal que: para todo x elemento de Q, se cumple que x 
a=1. 
4. Si x es un número real, escoja la proposición falsa. 
X tiene inverso multiplicativo. 
5. Si x es un número natural, escoja la proposición verdadera. 
X tiene neutro multiplicativo. 
 
 
 
 
 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
1 
6.1 Conjuntos Ordenados, Discretos y 
Continuos 
 
Los siguientes conjuntos son ordenados, numerables o contables y también 
discretos (no son conjuntos continuos) 
ℕ = {0,1,2,3,4,5, … … . } 
ℤ = {… … , −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, … … . } 
ℚ = {𝑎/𝑏 ∶ 𝑎, 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 ˄ 𝑏 ≠ 0} 
 
Existen algunas maneras para enumerar los elementos de conjunto de los 
números racionales, pero eso no es lo que buscamos en este curso. 
 
Los reales ℝ es un conjunto ordenado, no numerable o no contable y 
también continuo (no es un conjunto Discreto). A cada punto de una recta se 
asocia un número real, por esa razón se habla de la recta real. 
 
Figura 7.1. La recta real. 
 
A más de los naturales, enteros, y racionales, existen los números 
irracionales denominados así porque no pueden ser representados mediante 
fracciones. En este curso notaremos a los números irracionales con el símbolo 
𝕀. 
 
Con estos conjuntos, se tienen las siguientes relaciones de igualdad o 
contenencia: 
 
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 
ℚ⋃𝕀 = ℝ 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
2 
ℚ ∩ 𝕀 = ∅ 
 
 
Figura 7.2. Representación de los números reales en un diagrama de Carroll 
(Benalcázar, 2015) 
 
Los Reales como un conjunto ordenado: 
Todos estos conjuntos son infinitos y puesto que sus elementos 
representan cantidades, respecto de cierto número, un elemento puede 
representar más y otro menos, es decir, hay una relación de orden entre 
estos elementos. 
 
Los reales como un conjunto continuo: 
Justamente la unión de los racionales con los irracionales hace que el 
conjunto de los números reales sea continuo1. Axiomáticamente la continuidad 
de los números reales se basa en la veracidad de la siguiente proposición: 
 
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦, ∃𝑧 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑧 < 𝑦 
 
 
1 Relacione continuidad de los números con ausencia de huecos o vacíos en la recta real 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
3 
6.2 Axiomas de Orden de los Reales 
 
Tengamos en cuenta la siguiente relación: 
ℝ = ℝ− ∪ {0} ∪ ℝ+ 
 
−∞ 0 +∞ 
ℝ− ℝ+ 
 
 
En el conjunto de los números reales se tienen los siguientes axiomas, 
denominados axiomas de orden. 
 
 1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+: 𝑥 + 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ⋅ 𝑦 ∈ ℝ+ 
2) Ley de tricotomía: ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0: 𝑥 ∈ ℝ+ ∨ (−𝑥) ∈ ℝ+ 
3) El número real cero no es positivo: 0 ∉ ℝ+ 
 
Observación: considere los números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 
 
 
 −∞ 𝒂 𝒃 +∞ 
 
𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑏 > 𝑎 ⇔ (𝒃 − 𝒂) ∈ ℝ+ 
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) 
𝑎 ≥ 𝑏 ⇔ (𝑎 > 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) 
𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 ≤ 𝑏 
𝑎 > 𝑏 ⟹ 𝑎 ≥ 𝑏 
 
Propiedades que se deducen de los axiomas de orden. Sea 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ 
números reales: 
 
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ⟹ 𝑎 < 𝑐 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
4 
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑏 < 𝑏 + 𝑐 
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 > 0 ⟹ 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 ⟹ 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 
𝑆𝑖 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0 ⟹ 𝑎 ∙ 𝑏 > 0 
𝑆𝑖 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 > 0 ⟹ 𝑎 ∙ 𝑏 < 0 
𝑆𝑖 𝑎 ≠ 0 ⟹ 𝑎2 > 0 
𝑆𝑖 𝑎 > 0 →
1
𝑎
> 0 
𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 𝑏 → 0 < 𝑏−1 < 𝑎−1 
𝑆𝑖 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 → 0 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑏2 
 
6.3 Intervalos 
 
Un intervalo es un subconjunto continuo de los números reales. A 
continuación se revisa los tipos de intervalos y su notación: 
 
Intervalo abierto: 
 
]𝑎, 𝑏[ = (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏⁄ } 
 
 −∞ 𝑎 𝑏 +∞ 
𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ ⟺ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 
 
Intervalo al infinito: 
 
[𝑎, +∞[ = [𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≥ 𝑎 } 
 
 
 −∞ 𝑎 +∞ 
𝑥 ∈ [𝑎; +∞[ ⟺ 𝑥 ≥ 𝑎 
 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
5 
Intervalo al menos infinito: 
 
] − ∞; 𝑏[= (−∞; 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 < 𝑏 } 
 
−∞ 𝑏 +∞ 
𝑥 ∈] − ∞; 𝑏[⟺ 𝑥 < 𝑏 
 
 
Intervalo semi-abierto o semi-cerrado: 
 
[𝑎, 𝑏[= [𝑎, 𝑏) = {𝑡 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 𝑡 < 𝑏 } 
 
 
−∞ 𝑎 𝑏 +∞ 
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏[⟺ 𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑏 
 
 
Unión de intervalos: 
 
En el gráfico considere los intervalos: 
]−∞, 𝑏[ , [𝑎, +∞[ 
 
 
−∞ 𝑎 𝑏 + ∞ 
 
]−∞, 𝑏[ ∪ [𝑎, +∞[ =] − ∞, +∞[= ℝ 
𝑥 ∈ ]−∞, 𝑏[ ∨ 𝑥 ∈ [𝑎, +∞[ ⟺ 𝑥 ∈] − ∞, +∞[⟺ 𝑥 ∈ ℝ 
𝑥 < 𝑏 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ∈] − ∞, +∞[⟺ 𝑥 ∈ ℝ 
 
 
Intersección de intervalos: 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
6 
 
En el gráfico considere los intervalos: 
]−∞, 𝑏[ , [𝑎, +∞[ 
 
 
−∞ 𝑎 𝑏 + ∞ 
 
]−∞, 𝑏[ ∩ [𝑎, +∞[ = [𝑎, 𝑏[ 
𝑥 ∈ ]−∞, 𝑏[ ∧ 𝑥 ∈ [𝑎, +∞[ ⟺ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏[ 
𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏[ 
 
6.4 Aplicaciones 
 
Utilizando las propiedades de orden de los números reales resuelva las 
inecuaciones: 
 
 (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) < 𝟎 
 
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) < 𝟎 
[𝑥 + 2 < 0 ∧ 𝑥 + 3 > 0] ∨ [𝑥 + 2 > 0 ∧ 𝑥 − 3 < 0] 
[𝑥 < −2 ∧ 𝑥 > 3] ∨ [𝑥 > −2 ∧ 𝑥 < 3] 
𝑥 ∈ ∅ ∨ 𝑥 ∈ ]−2,3[ 
 
 
−∞ − 2 3 + ∞ 
 
∅ ∪ ]−2,3[ 
]−2,3[ 
 
 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
7 
 
−𝟓
(𝒙𝟐+𝟏)(𝒙−𝟐)
≥ 𝟎 
−5
(𝑥2 + 1)(𝑥 − 2)
≥ 0 
−5
(𝑥2 + 1)(𝑥 − 2)
≥ 0 
−5
(𝑥2 + 1)
∙
1
(𝑥 − 2)
≥ 0 
 
Puesto que 
−5
(𝑥2+1)
 siempre es negativo ⟹
1
𝑥−2
≤ 0 
⟺ (𝑥 − 2) < 0 
𝑥 < 2 
𝑥 ∈ ]−∞; 2[ 
 
Para resolver las siguientes inecuaciones se aplicarán artificios, pero que 
igual se sustentan en las propiedades de orden: 
 
 𝒙 + 𝟒 < 𝟎 
𝑥 + 4 < 0 
 
El factor 𝑥 + 4 se hace cero en 𝑥 = −4 
- + 
−∞ − 4 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−∞, −4[ 
 
 
De la misma manera se resuelve 𝒙 + 𝟒 > 𝟎 
- + 
−∞ − 4 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−4, +∞[ 
 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
8 
Mientras que: 𝒙 + 𝟒 ≥ 𝟎 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = [−4, +∞[ 
 
 𝒙𝟐 − 𝟒 ≥ 𝟎 
𝒙𝟐 − 𝟒 ≥ 𝟎 
 
El factor 𝑥2 − 4 se hace cero en 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2 
+ - + 
−∞ − 2 2 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−∞, −2] ∪ [2, +∞[ 
 
De la misma manera se resuelve: 𝑥2 − 4 < 0 
+ - + 
−∞ − 22 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−2,2[ 
 
 
(𝒙𝟐−𝟏)(𝒙+𝟐)
𝒙−𝟓
< 𝟎 
(𝑥2 − 1)(𝑥 + 2)
𝑥 − 5
< 0 
 
El factor 𝑥2 − 1 se hace cero en 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 1. El factor 𝑥 + 2 se hace 
cero en 𝑥 = −2 y el factor 𝑥 − 5 se hace cero en 𝑥 = 5. 
 
Se ubican estos valores sobre la recta real. Se debe tener cuidado con el 
orden de los números: 
 
+ - + - + 
−∞ − 2 − 1 1 5 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−2, −1[ ∪ ]1,5[ 
La solución de la inecuación 
(𝑥2−1)(𝑥+2)
𝑥−5
≤ 0 es: 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
9 
 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = [−2, −1] ∪ [1,5[ 
 
y de 
(𝑥2−1)(𝑥+2)
𝑥−5
≥ 0 es: 
 
+ - + - + 
−∞ − 2 − 1 1 5 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−∞, −2] ∪ [−1,1] ∪ ]5, +∞[ 
 
 
 Resuelva la inecuación: 
2
𝑥 − 1
+
1
𝑥 − 3
<
1
𝑥 + 1
 
 
Aplicamos propiedades de campo y orden de los número reales: 
2
𝑥 − 1
+
1
𝑥 − 3
−
1
𝑥 + 1
< 0 
 
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
2(𝑥2 − 2𝑥 − 3) + (𝑥2 − 1) − (𝑥2 − 4𝑥 + 3)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
2𝑥2 − 4𝑥 − 6 + 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 4𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
2𝑥2 − 10
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
2(𝑥2 − 5)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
⟹
(𝑥2 − 5)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
⟹
(𝑥 − √5)(𝑥 + √5)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
< 0 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
10 
 
- + - + - + 
−∞ − √5 − 1 1 √5 3 + ∞ 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]−∞, −√5[ ∪ ]−1,1[ ∪ ]√5, 3[ 
 
 
 
AUTOEVALUACION 
1. El conjunto de los números naturales es: 
Contable 
Infinito 
Numerable 
Discreto 
NINGUNA DE LAS ANTERIORES 
 
2. El conjunto de los números reales es: 
Discreto 
 
3. El conjunto de los números racionales es: 
Contable, 
Discreto 
Infinito 
Numerable 
NINGUNA OPCION ES CORRECTA 
 
4. El conjunto de los números reales es: 
Contínuo 
 
5. El conjunto de números naturales es: 
Contable, Discreto, Infinito, Ordenado 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
11 
 
6. El conjunto de los números enteros es: 
Ordenado 
7. El conjunto de los números racionales 
Contable, Infinito, Discreto, Ordenado 
TODAS LAS OPCIONES 
 
8. El conjunto de los números reales es: 
Ordenado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía 
 
Benalcázar, H. (2015). Fundamentos Matemáticos. Quito: Universidad Central 
del Ecuador. 
TEMA 7 MATEMÁTICAS 
 
Orden en los Reales. Caizaguano R. 
 
12 
Castillo, C., Navas, F., & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de Matemática. 
Quito: EPN. 
Galindo, E. (2012). Matemáticas superiores (Vol. Parte 1). Quito: Prociencia 
Editores. 
Lara, J., & Arroba, J. (2007). Análisis Matemático. Quito: Centro de Matemática 
Universidad Central. 
 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
1 
8.1 Clasificación de los Números Reales 
 
La idea de número no lleva a la idea de cantidad. El número permite 
cuantificar los objetos que observamos en la naturaleza (Galindo, 2012). 
 
A la representación de un número mediante símbolos convencionales se 
denomina numeral (Galindo, 2012, pág. 3). 
 
A través de la Historia de la Humanidad han existido diversos sistemas de 
símbolos para la representación de los números, así: los numerales egipcios, 
chinos, mayas, romanos, arábigos (Galindo, 2012, pág. 3). 
 
Los símbolos que usamos en la actualidad son tomados de los números 
arábigos; son 10, y con éstos se pueden representar todos los números. 
 
Se denomina cifra o dígito a los símbolos que se usan para la formación 
de los numerales, en nuestro caso son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; esto genera el 
denominado Sistema de Numeración Decimal, ya que utiliza al número 10 
como su base (Galindo, 2012, pág. 4), así se tiene que: 
 10 unidades forman una decena 
 10 decenas forman un centena 
 10 centenas forman un millar; y así sucesivamente. Esto lo podemos 
esquematizar en: 
 
Millones 
Centenas 
de mil 
Decenas 
de mil 
Miles1 Centenas Decenas Unidades 
1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1 
 
A través del tiempo y de acuerdo a su avance, con el propósito de resolver 
sus problemas, las civilizaciones han clasificado a los números en conjuntos 
 
1 Para facilitar la lectura, se usa la , o el . los denominados separadores, pero pueden aparecer 
problemas con e separador de decimales 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
2 
con los cuales han realizado diferentes operaciones tales como la suma, resta, 
multiplicación, división, potenciación, etc. Estos son los conjuntos numéricos: 
 
Los números naturales: 
ℕ = {0,1,2,3,4,5, … … . } 
 
Los números enteros: 
ℤ = {… … , −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, … … . } 
 
Los números racionales: 
ℚ = {𝑎/𝑏 ∶ 𝑎, 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 ˄ 𝑏 ≠ 0} 
 
El conjunto de los números racionales contiene a los números enteros 
(ejemplo: 79, −23, 3865), los números fraccionarios (ejemplo: 
5
2
,
−17
63
,
9
8
), las 
expresiones decimales periódicas (ejemplo: 
1
3
= 0.333 ⋯ = 0. 3̅, 
1
4
= 0.25, 
−3
5
=
−0. 6̅) y las expresiones decimales periódicas positivas y negativas con un 
número finito de dígitos (ejemplo: 3.47 =
347
100
, −0.0128 = −
128
10000
) (Galindo, 
2012, pág. 3). 
 
Existes números que no son racionales, tienen una representación decimal 
infinita no periódica (ejemplo: √2 = 1.4142 ⋯ , 𝜋 = 3.14159 ⋯ , 𝑙𝑛(4) = 1.3863 ⋯) 
y se denominan números irracionales se los denota con 𝕀 (Galindo, 2012, 
pág. 3). 
 
La unión del conjunto de los números racionales con los números 
irracionales da como resultado los números reales, que se denota con ℝ. 
ℚ⋃𝕀 = ℝ 
8.2 Operaciones con Números Naturales 
 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
3 
Las operaciones fundamentales con los números naturales son la adición, 
la sustracción, la multiplicación y la división, se explican a continuación. 
 
La adición es una operación binaria en la que dos números llamados 
sumandos se reúnen en uno solo llamado suma, así: 
 
𝑎 + 𝑏 = 𝑐
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
Ejemplo: 
3 + 8 = 11
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
 
La sustracción es una operación en la que se busca un sumando 
desconocido, conociendo el otro y la suma de los dos, así: 
 
3 + 𝑥 = 11
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
 
Para buscar 𝑥 se propone: 
 
11 − 3 = 𝑥
𝑀𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
 
 
y puesto que: 
3 + 𝟖 = 11
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
se tiene: 
11 − 3 = 𝟖
𝑀𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
 
 
La multiplicación es suma abreviada de sumandos iguales. El sumando 
que se repite se llama multiplicando, el número que indica las veces que se 
toma dicho sumando se llama multiplicador. Tanto el multiplicando, como el 
multiplicador se llaman factores y el resultado se llama producto, así: 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
4 
 
Para la suma2: 
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 
 
3 es el multiplicando 
5 es el multiplicador 
 
la suma abreviada de los cinco sumandos, se representa: 
 
3
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
× 5
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
= 15
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
 
La división es la operación inversa de la multiplicación donde se calcula un 
factor de la multiplicación a partir del otro factor y su producto. 
 
3 × 𝑥 = 15
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
 
 
Para buscar 𝑥 se propone: 
 
15 ÷ 3 = 𝑥
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒y puesto que: 
3 × 5 = 15
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
 
se tiene: 
15 ÷ 3 = 5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
Ejemplo de aplicación: 
 
 
2 Tenga en cuenta la propiedad asociativa de (ℕ, +) 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
5 
En una escuela hay 183 empleados. Si se suspenden temporalmente a 5 
secretarias, 2 conserjes y 4 docentes; ¿cuántos empleados asistirán durante el 
período de suspensión? 
 
Para dar solución al problema, primero usamos la adición para determinar 
el total de empleados suspendidos: 
 5
+2
 4
11
 
 
Luego aplicamos la sustracción, restamos el número empleados 
suspendidos del total de empleados: 
 183
− 11
172
 
 
Entonces, el número de empleados que laboran durante la suspensión es 
de 172. 
 
Pueden existir otras formas de resolver el problema, todo depende de la 
creatividad e imaginación de quién resuelve. 
 
8.3 Operaciones con Números Enteros 
 
Definiremos las operaciones fundamentales con los números enteros. 
 
La adición es una operación binaria en la que dos números llamados 
sumandos se reúnen en uno solo llamado suma, así: 
 
𝑎 + 𝑏 = 𝑐
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
Ejemplo: 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
6 
3 + 8 = 11
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
 
En la adición con números enteros se puede tener sumandos solo 
positivos, solo negativos, o positivos y negativos; para esto se tiene en cuenta 
la siguiente regla: 
“sumandos de igual signo se adicionan y se conserva el signo; sumandos 
de diferente signo se restan y se coloca el signo del sumando de mayor valor 
absoluto” 
 
Ejemplos: 
 
Sumandos con signos iguales: 
 
3 + 8 = 11
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
 
−3 + (−8) = −11
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
 
Sumandos con signos diferentes: 
 
−3 + 8 = 5
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
“se efectúa la resta, el sumando con mayor valor absoluto es 8, por tanto el 
resultado lleva signo positivo”. 
3 + (−8) = −5
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎
 
“se efectúa la resta, la cantidad con mayor valor absoluto es 8, por tanto el 
resultado lleva signo negativo”. 
 
La sustracción con enteros se define como la adición con el opuesto. 
 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
7 
Ejemplos: 
3 − 8 = 3 + (−8) = −5 
Se efectúa la resta y puesto que el sumando con mayor valor absoluto es 8, el 
resultado lleva signo negativo: 
11 − 8 = 11 + (−8) = 3 
 
Puesto que en los enteros hay números positivos y números negativos, 
para la multiplicación se tiene en cuenta la denominada Regla de los Signos: 
(−) × (−) = + 
(−) × (+) = − 
(+) × (−) = − 
(+) × (+) = + 
Ejemplos3: 
−3
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
× −5
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
= 15
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
−3
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
× 5
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
= −15
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
3
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
× −5
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
= −15
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
3
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
× 5
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
= 15
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
La división de números enteros es la operación inversa de la multiplicación 
donde se calcula un factor de la multiplicación a partir del otro factor y su 
producto. 
 
9 × 𝑥 = 45
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
 
 
Para buscar 𝑥 se propone: 
 
3 Se puede omitir el signo × , reemplazarlo por ∙ o ∗. 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
8 
 
45 ÷ 9 = 𝑥
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
y puesto que: 
9 × 5 = 45
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
 
se tiene: 
45 ÷ 9 = 5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
 
De una manera simplificada podemos decir que: 
35 ÷ 7 = 5 
porque 
7 × 5 = 35 
 
Igualmente se tiene la Regla de los Signos: 
(−) ÷ (−) = + 
(−) ÷ (+) = − 
(+) ÷ (−) = − 
(+) ÷ (+) = + 
 
 
Ejemplos: 
−30
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
÷ −5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= 6
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
−30
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
÷ 5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= −6
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
30
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
÷ −5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= −6
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
9 
30
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
÷ 5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= 6
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
 
 
Observación: 
 
La división: 
28 ÷ 4 = 7 
se obtiene porque existe la multiplicación 7 × 4 = 28 
 
Pero si se quiere dividir 
28 ÷ 3 = 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 
pues no existe un número entero que multiplicado por 3 de como resultado 28. 
 
De aquí surgen los tipos de división: 
 
División Exacta: ya que 28 = 7 × 4 se tiene: 
 
28 ÷ 4 = 7 
 
División Inexacta: ya que 27 = 9 × 3 se tiene 
28 ÷ 3 = 9; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎 1 
el valor que sobra, el 1. Se denomina residuo. 
 
La división se esquematiza de la siguiente manera: 
 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 ⟶ 𝐷 𝑑 ⟵ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 ⟶ 𝑟 𝑞 ⟵ 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
y se cumple: 
𝐷 = 𝑑 × 𝑞 + 𝑟 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
10 
Ejemplos: 
 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 ⟶ 12 4 ⟵ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 ⟶ 0 3 ⟵ 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
12 = 4 × 3 + 0 
 
 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 ⟶ 13 4 ⟵ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 ⟶ 1 3 ⟵ 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
13 = 4 × 3 + 1 
 
Nota: En una división exacta el residuo es cero. 
 
8.3.1. Divisibilidad 
 
Puesto que: 56 = 8 × 7, se puede escribir que: 56 ÷ 8 = 7 o que 56 ÷ 7 = 8. 
De esta situación se dice que 𝟓𝟔 es divisible para 𝟖 o también que 𝟓𝟔 es 
divisible para 𝟕. 
 
Entonces un número entero es divisible para otro cuando entre los dos 
existe una división exacta. 
 
Note que: 56 = 2 × 4 × 7, entonces 56 es divisible para 2 o también 56 es 
divisible para 44. 
 
8.3.2. Números Primos 
 
 
4 Muchos textos o artículos presentan las denominadas Reglas o Criterios de Divisibilidad. Se sugiere 
acceder al enlace: https://www.pinterest.es/pin/437412182550600511/ 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
11 
Son aquellos números enteros positivos que son divisibles únicamente 
para si mismos y para 1 (existen autores que hablan de la existencia de 
números primos negativos). Ejemplos: 
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ⋯ 
 
8.3.3. Notación Sigma 
 
Considera la siguiente igualdad: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ∑ 𝑗
10
𝑗=1
 
es decir, la suma: 
 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 
 
se puede abreviar con la notación: 
∑ 𝑗
10
𝑗=1
 
 
denominada “Notación sigma de la suma de los primeros diez números enteros 
positivos”. 
 
Entonces, la suma de los primeros 𝑛 números enteros positivos es: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ⋯ + 𝑛 = ∑ 𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 𝒋 se denomina Contador e indica la posición de cada uno de los 
sumandos. También se usa 𝑖, 𝑘, 𝑙 
 ∑ es el Signo Sumatorio. 
 
De manera general, se tiene la siguiente suma: 
 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑗
𝑛
𝑗=1
= ∑ 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
= ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Por Ejemplo: 
TEMA 8 
 
Operaciones con Números Reales. Caizaguano R. 
 
12 
13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = ∑ 𝑗3
𝑛
𝑗=1
 
 
Propiedades del signo sumatorio 
 
 
Para la suma: 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 se tiene: 
 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑗
𝑘
𝑗=1
+ ∑ 𝑎𝑗
𝑛
𝑗=𝑘+1
 
 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑗
𝑛
𝑗=1
= ∑ 𝑎𝑗+1
𝑛−1
𝑗=0
= ∑ 𝑎𝑗−4
𝑛+5
𝑗=5
 
 
 
Propiedad de Linealidad: 
 
∑(𝛼 ∗ 𝑎𝑗 + 𝑏𝑗) = 𝛼 ∑ 𝑎𝑗
𝑛
𝑗=1
+ ∑ 𝑏𝑗
𝑛
𝑗=1
 ; 𝛼𝜖ℝ
𝑛
𝑗=1
 
 
 
 
8.4 Jerarquía de las Operaciones 
 
La multiplicación