Funciones Trigonometrícas

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E.E. T. P. y S. O. P. I. Nº 8013 – “San José” 
 
Curso: 3ro 2da / 3ra Matemática 
Trigonometría 1 
 
 
Trigonometría 
 
Segmentos representativos de las funciones trigonométricas 
 
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Trigonometría 2 
 
 
 
 
 
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Trigonometría 3 
 
 
Identidades trigonométricas 
 
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que involucran razones 
trigonométricas verificables para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos. 
 
Si consideramos un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a una unidad, la base de dicho 
triángulo será coincidente con el valor del coseno y la altura coincidente con el valor del seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando el Teorema de Pitágoras, obtendremos lo que se conoce con el nombre de 
IDENTIDAD FUNDAMENTAL 
 
 
 
 
 
 
Para la verificación de identidades trigonométricas, hay que tener en cuenta que recordar las 
siguientes identidades, que surge de la definición 
 
sxco
senx
tgx  
senx
sxco
ctgx  
 
sxco
ecxs
1
 
senx
ecxosc
1
 
La operatoria para la verificación de una identidad trigonométrica, es partiendo de uno de los 
miembros, llegar al otro miembro por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades. 
En este tipo de ejercicios NUNCA se realizan pasajes de términos, los términos siempre 
permanecen en el miembro en que se originaron 
 
Ejemplo: Verificar la siguiente identidad trigonométrica 
 
  senxsxcotgxsxco  1 
senxsxco
sxco
senx
sxco 





 1 
senxsxco
sxco
osxcsenx
sxco 




 
 
 
 
senxsenx  
 
xsenxsco 221 
senxsxcosxcosenx 
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Trigonometría 4 
 
 
Ejercicio 
 
1) Verificar las siguientes identidades trigonométricas 
a) 
sxco
senx
tgxcocxseco


1
 
b) xcseco
xcse
xtg 2
2
2
1
1



 
c) 
 
cxsecocxse
ecxs
nxse
sxcosenx



2
1
2
 
d) otgxcosxcxcoecxssenx
osxcsenx
xsco
xcotgx 

 secsec
2
 
e) cxseco
senx
osxc
osxc
senx
2
1
1




 
f) 
   
otgxcosxc
sxcosxco
tgxco
osxc
tgxco
osxc















11
11
 
g)     xosc
senx
ecxosc
xtgxsco 222 11  
h)  11 222  xtgxsenxcse 
 
Ecuaciones trigonométricas 
 
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar, si existen, el o los valores angulares que la 
verifican. 
Como las ecuaciones trigonométricas son periódicas y sus valores se repiten cíclicamente , 
como hemos visto en la circunferencia trigonométrica, si las ecuaciones tienen soluciones, 
éstas son infinitas y se repiten cíclicamente. 
Si el ejercicio no lo aclara, deberemos dar todas las soluciones que encontremos en la primera 
vuelta a la circunferencia. En cambio si nos indica que el ángulo debe pertenecer a 
determinado cuadrante solo daremos ese resultado. 
 
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 
 
xscoxtg 22
3
2
2
1





  
xsco
xosc
xsen 2
2
2
3
2
2
1






 
xscoxsen 22
3
2
2
1
 
 xsenxsen 22 1
3
2
2
1
 
xsenxsen 22
3
2
3
2
2
1
 
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Trigonometría 5 
 
 
 
 
xsen 2
10
7
 







10
7
arcsenx 
'''
1 72,204756
x 
'''
12 2,3912123180
 xx
 
'''
13 72,2047236180
 xx
'''
14 2,3912303360
 xx
Ejercicio 
 
2) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas 
 
a) 
osxctgx
senx


4
3
16
 
b) IIcx
senx
cxseco  ,
3
24 
c) IVcxsenx
senxcxseco


,
2
3
3
1
 
d) 
2
52
2
3

cxseco
sxcotgx 
e) 
xcseco
xscoxtg
2
22 52
4
3
 
f) IIIcx
xsco
xsen  ,7,0
5
2
2 
g) IIcx
xsen
xsco  ,
5
1
3
2
2 
h) IIIcxxsenxsenxtgco  ,
2
1222 
xsen 2
3
5
6
7

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Trigonometría 6 
 
 
 
Resolución de triángulos oblicuángulos 
 
 Teorema del seno: 
 
 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆˆˆ
 
 
 
Demostración: 
 
 









Csenbh
b
h
Csen
Bsench
c
h
Bsen
a
a
a
a
ˆˆ
ˆˆ
 CsenbBsenc ˆˆ
Csen
c
Bsen
b
ˆˆ
 (1) 
Trazando la altura desde el vértice c se obtendrá: 
Bsen
b
Asen
a
ˆˆ
 (2) 
 
 
De (1) y (2) obtenemos: 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆˆˆ
 
 
 
 Teorema del coseno: 
 
(1) AscocAH ˆ 
(2) AscocbAHbHC ˆ 
 
 
 
 
Aplicando el teorema de Pitágoras 
  AscocAscobcbhAscocbhHCha bbb ˆˆ2ˆ 222222
)2(
222  
AscochAHhc bb ˆ
222
)2(
222  
Restando miembro a miembro 
 
 Ascobcbca ˆ2222 Ascobcbca ˆ2222  
 
 
Análogamente, se podrían haber obtenido las siguientes relaciones 
 
Cscoabbac
Bscoaccab
ˆ2
ˆ2
222
222


 
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Trigonometría 7 
 
 
 
Ejercicio 
3) Resolver los siguientes problemas, aplicando el teorema del seno y del coseno 
 
a) Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 10 cm y forman entre sí un ángulo de 20º. 
Halla la longitud del tercer lado. 
 Rta: 3,473 cm 
 
b) La generatriz de un cono mide 23 cm y forma un ángulo de 64º con la base. Halla el radio de la 
base; la altura del cono y su volumen. 
 Rta: r=10,083cm,h=20,672cm,V=2200,85cm3 
 
c) Calcula los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 20 cm y 15 cm y forman un 
ángulo de 42º 
 Rta: a=6,69cm, b=16,36cm 
 
d) El lado de un rombo mide 10 cm y uno de sus ángulos es de 50º. Averigua la longitud de sus 
dos diagonales. 
 Rta: D=8,452cm, d=18,126cm 
 
e) Desde dos posiciones A y B separadas 300 m se ve el “punto objetivo” C. Se obtienen estos 
datos: CAB = 112º y CBA = 53º, ¿a qué distancia se encuentra el “punto objetivo” C de cada 
posición? 
 
 Rta: d=1074,7m, b =925,7m 
 
f) Las agujas de un reloj de pared miden 15 cm y 11 cm. 
i) ¿Qué ángulo forman entre sí a las 12.20 hs? 
ii) A esa hora, ¿qué distancia habrá entre los extremos de las agujas? 
 Rta: α = 110º, d=21,42cm 
 
g) Halla el área de un pentágono regular de 6 cm de lado. 
 Rta: A=61,937cm2 
 
h) Para medir la altura de una montaña hallamos el ángulo que forma la visual al punto más alto 
con la horizontal, obteniendo 60º. Nos alejamos 100m y ahora el nuevo ángulo es de 54º, 
¿cuánto mide la altura de la montaña? 
 Rta: h=670,27m 
 
i) Desde un avión que vuela a 2000 m de altura se observa el inicio de la pista de aterrizaje 22º por 
debajo de la línea horizontal de vuelo. ¿A qué distancia de avión está el inicio de la pista? 
 Rta: d = 5338,93m 
 
j) Se tiene en el suelo un segmento AB de 500m de longitud. Las visuales dirigidas desde A 
y desde B hasta el extremo superior del asta de una bandera, forman con AB ángulos de 112º y 
63º respectivamente. ¿A qué distancia de A se encuentra la bandera? 
Rta: x=1914,83m 
 
k) La base mayor de un trapecio isósceles mide 30 cm, su altura 10 cm y los lados forman un 
ángulo de 76º con la base mayor. Halla la base menor y el lado. 
 Rta: b=25,013cm, l=10,306cm 
 
l) Desde un barco que está cerca de la costa se divisa un faro en lo alto de un acantilado. El faro 
tiene una altura de 20 m. La recta que une el barco con el pie del faro forma un ángulo de 10º 
con la horizontal. La recta que une el barco con el extremo superior del faro forma un ángulo de 
12º con la horizontal. Determina la altura del acantilado y la distancia del barco a la costa. 
 
 Rta: h=97,339m d=552,035m 
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Trigonometría8 
 
 
 
m) Estando situado a 87 m de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22º. Mi amigo ve el mismo 
olmo bajo un ángulo de 25º, ¿a qué distancia está mi amigo del olmo? 
 Rta: d=75,38m 
 
n) Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30º, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la distancia 
fuese el doble? ¿y si fuese el triple? 
 Rta :α=16°6’8’’,β=10°53´36’’ 
 
o) La base de la pirámide de Keops es un cuadrado de 227m de lado y el vértice está a 138m de 
altura. Calcula: 
i) el ángulo de inclinación de una cara cualquiera respecto al suelo 
ii) la longitud de la mediana de una cara cualquiera trazada desde el vértice 
iii) la longitud de las aristas 
iv) el ángulo que forman dos caras contiguas entre si 
 Rta: α=50°33’50’’; md=178,68m; a=211,68m; β=90º 
 
p) Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B 
forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión? ¿A 
qué distancia se encuentra de cada ciudad? 
Rta: da=57,37km,db=40,78km,h=27,81km 
 
q) Dada una circunferencia de 5 cm de radio, trazamos dos rectas tangentes a ella desde un punto 
situado a 7 cm del centro. ¿qué ángulo forman entre sí las tangentes? 
 Rta: 91°10´10´´ 
 
r) Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un ángulo de 32º. ¿Cuánto 
miden sus diagonales? 
 Rta: d1= 4,31cm d2= 13,47cm 
 
s) Calcular x e y en la siguiente figura si α = 50º y r = 10cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rta: x=12,856cm; y=18,794cm 
 
t) Calcular el ancho del río a partir de los datos de la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rta: 4,98m 
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Trigonometría 9 
 
 
Funciones trigonométricas 
 
Función Seno 
La función   senxxf  , de Dominio R, es una función periódica, de período 2, pues repite 
sus valores cíclicamente en intervalos de dominio de longitud 2. La imagen de la función seno 
es el intervalo  1,1 
 
Función Coseno 
La función   sxcoxf  , de Dominio R, es una función periódica de período 2, y su imagen es 
el intervalo  1,1 
 
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Trigonometría 10 
 
 
Función Tangente 
La función   tgxxf  es una función que no está definida para todos los reales, sino que su 
Dominio es: 
  xRxxDom f ,/ 
Es una función periódica, de período 
No tiene máximo ni mínimo, su imagen la constituyen 
 
 
 
Función Cotangente 
Al igual que la función tangente, la función   ctgxxf  , es periódica, de período 
No posee máximos ni mínimos. Su imagen es . 
El dominio se expresa de la siguiente manera:   xRxxDom f ,/ 
 
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Trigonometría 11 
 
 
Función Secante 
La función   cxsexf  , es una curva discontinua, periódica de período 
Su Dominio es:  fDom 
Su Imagen es:  fmI 
 
 
Función Cosecante 
La función   cxosecxf  , es una curva discontinua, periódica, de período 
Su Dominio es:  fDom 
Su Imagen es:  fmI 
 
 
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Trigonometría 12 
 
 
Corrimientos de la función seno 
 
Ejemplos:     cbxnseaxf  
 
Ubica, al lado de cada gráfica, el nombre de la función que le corresponde. 
 
  nxsexf    nxsexg  2   nxsexh  3 
 
   xnsexi 2    xnsexj 3    xnsexk 32  
 
Acorde a la ley:     ktnseaxf   atribuir a cada una de las gráficas representadas el 
nombre que le corresponde, teniendo en cuenta los parámetros estipulados 
a) 
 1)2/2(.3)(1  tsentf 
 
 
b) 
 2)24(
2
1
)(2  tsentf 
 
 
c) 
 
4
1
)
2
()(3  
t
sentf 
 
1
2/
2
3




k
A


2
2
4
2/1




k
A


4
1
2
1
1




k
A


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Trigonometría 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 
4) Realizar a través de corrimientos las siguientes gráficas 
 
a)     13  xnsexf 
b)     32  xnsexf 
c)     32  xnsexf 
d)   




 xnsexf
2
1
2 
e)     234  xnsexf