Fuerzas parales-estatica de un cuerpo

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Fuerzas paralelas de igual sentido 
La fuerza resultante es una fuerza, FR de: 
• Intensidad (módulo) suma de los módulos de F1 y F2. 
• Dirección paralela a F1 y F2 
• Sentido el de las fuerzas. 
• Punto de aplicación situado en el segmento que une los puntos de aplicación de F1 y F2 y lo 
divide en dos partes, x1 y x2, inversamente proporcionales a los módulos de F1 y F2 (la fuerza 
mayor está al lado de la parte menor de las x1 y x2). 
La fuerza que las equilibra es igual y opuesta a la fuerza resultante (F equilibrante = - FR). 
Equilibrio de traslación: ��F = 0; R- F1+F2=0 
Equilibrio rotación: ��M = 0; F1·x1-F2·x2=0 
La FR entre dos Fuerzas de igual sentido y paralelas es la 
sumas entre F1yF2—FR=F1+F2 
• Fuerzas paralelas de sentido opuesto 
La fuerza resultante es una fuerza, Fr de: 
• Intensidad (módulo) diferencia de los módulos de F1 y 
F2. 
• Dirección paralela a F1 y F2 
• Sentido el de la fuerza mayor. 
• Punto de aplicación situado en la prolongación del 
segmento que une los puntos de aplicación de F1 y 
F2 y su distancia a éstas es inversamente proporcional a los módulos de F1 y F2. (Está fuera del 
segmento de unión y del lado de la fuerza mayor). 
La fuerza que las equilibra es igual y opuesta a la fuerza resultante (F equilibrante = - Fr). 
Para equilibrar el giro, el momento de F 1 y F2 respecto a O debe anularse. 
F1· x1 - F2· (d+x 1) = 0 
Truco: Para la resolución grafica con un par de fue rzas de igual sentido se coloca la 
mayor sobre la menor y la menor opuesta a la mayor- 
Para la resolución de fuerzas de sentido contrario se coloca la mayor opuesta a la menor 
y la menor sobre la mayor- 
 
 
Ejemplos : 
∑F=0--F1.D1-F2.D2=0 
F1.D1=F2.D2 
10.(8-D2)=5.D2 
80-10D2=5.D2 
80=15.D2 
D2=80/15=5.33CM 
D1=8.00-5.33=2.66M – Fr=15n 
F1.D1=F2.D2 
0.5.(5-D2)=1.5.D2 
2.5-0.5D2=1.5.D2 
2.5=1.5.D2+0.5.D 2.5=2.D2 2.5/2=D2 
D2=1.25 , D1=5-1.25=3.75 FR=2N; Feq.=-FR 
FR=F1-F2=40N 
D1=d+d2=50cm+d2 , d1=50+d2 
F1.D1=F2.D2----20.(50+D2)=60.D2------1000+20.D2=60.D2------40.D2=1000----D2=1000/40=25 
D2=25CM ; D1=D+D2=25+50=75CM1 
F1.D1= F2.D2------40.D1=15.(D+D1)------40.D1=15.(65+D1)------40D1=975+15D1-------40-15D1=975 
25D1=975-----D1=975/25=39CM---D1=39CM ; D2=39+65=104CM---FR=F1-F2=25N----Feq=-FR 
Resolución analítica de la FR relación de Stevin: 
Como se trata de un sistema de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido la resultante R es igual a la 
suma de la intensidades de F1 y F2 es decir que el módulo o intensidad de /R/ = 70 Kg.; y además 
sabemos que debe estar más cerca de la fuerza mayor, en este caso más cerca de F2 ; pero para saber 
exactamente adónde debemos aplicar la relación de Stevin- 
 
Esta relación permite: 
a) Conociendo las componentes y la distancia que las separa, calcular la resultante y c/u de los brazos. 
b) Conociendo los brazos y el valor de la resultante, calcular el valor de las componentes. 
a) Una vez hallada la FR, podemos determinar analíticamente d1 y d2 
��
�
=
��
��
=
��
��
		; 		
��
�
���	�2	; 
	
2�
5
=
0.5
�2
	; 	�2.2� = 0.5�. 5	; 	�2 =
0.5�. 5
2�
= �2 = 1.25� 
��
�
=
��
��
=
��
��
		; 		
��
�
���	�1	; 
��
�
=
��
��
	 ; 	�1.2� = 1.5�. 5	; 	�1 =
�.�.�.�
��
= �1 = 3.75� 
 
b) Una fuerza de 260Kgf cuelga de una barra de 5 mts de longitud a 
1.35m del punto A, calcular las fuerzas que actuaran en los puntos A y B 
para soportar la carga- 
��
�
=
��
��
=
��
��
		 ; 		
��
�
���	 2	;
260"#$
5�
=
 2
1.35�
= 2
= 1.35�. 260%#$
5�
	= &'. �()* 
��
�
=
��
��
; 	
��
�
���	 1;
260%#$
5�
=
 1
3.65�
= 1 =
260%#$. 3.65�
5�
= �+,. +()* 
Calculamos la distancia X por ∑M, luego por Stevin- 
∑F=0---∑M=0 
F1.X-F2.DI=0 
F1.X=F2.(D+X) ---- 3.5.X=1.5.(3+X) 
3.5X=4.5+1.5X ---- 3.5X-1.5X=4.5 
2X=4.5 ---X= 4.5/2 ----X=2.25M 
DI=X+D ----D1=3+2.25=5.25M 
FR=2N –Feq=-2N 
Calculamos x por Stevin: 
��
�
=
��
��
=
��
-
		 ; 		
��
�
���	.	;
 /
�
=
 2
.
	; 		
 /	. .
�
= 2; 		. = 2.
�
 /
=	; - = �. �01	 
 
Determina el valor y la posición de la fuerza resultante de dos fuerzas paralelas de 20 N y 30 N 
aplicadas respectivamente sobre los extremos de una barra de 5 metros de longitud y masa 
despreciable, sabiendo que ambas fuerzas son paralelas y con sentido hacia arriba. 
Datos: 
F1 = 20 N 
F2 = 30 N 
L = 5 m 
Suposiciones previas: 
Dado que F1 y F2 tienen el mismo sentido, la fuerza resultante FR se aplicará en la barra en un área 
comprendida entre ambas fuerzas, 
Si suponemos que FR se aplica en el origen de coordenadas, tenemos que: 
La distancia al origen de FR es 0 m. d = 0 m. 
La distancia al origen de F1 es d1. 
La distancia al origen de F2 es d2. 
Dado que FR está entre F1 y F2, se cumple que d1 + d2 = 5 
Resolución: 
La fuerza resultante FR se obtiene como la suma de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. Dado que 
ambas son paralelas y tienen el mismo sentido se cumple que: 
FR=F1+F2 ⇒FR=20 N + 30 N ⇒FR= 50 N 
Una vez que conocemos su valor, vamos a determinar cuál es el punto donde se aplica. Sabemos que 
la suma de los momentos de ambas fuerzas (M1 y M2) debe ser igual al momento de la fuerza 
resultante (MR). Además sabemos que cada momento debe ir acompañado de un signo que determina 
si la fuerza intentar cambiar la velocidad de rotación en el sentido de la agujas del reloj (-) o contrario al 
sentido de las agujas del reloj (+). De esta forma: 
−M1+M2 = MR ⇒−F1⋅d1 + F2⋅d2 = FR⋅d ⇒− 20⋅d1+30⋅d2 = 0 
Obteniendo esta expresión, podemos determinar el valor de d1 y d2 resolviendo el siguiente sistema de 
ecuaciones: 
− 20⋅d1+30⋅d2 = 0 
d1+d2 = 5 
Aplicando el método de sustitución obtenemos que: 
− 20⋅d1+30⋅d2 = 0 ; d1+d2 = 5 ⇒ {d1=5−d2} ⇒ 
−20⋅(5−d2)+30⋅d2 = 0 ⇒−100+20⋅d2+30⋅d2 =0 ⇒ 
d2=100/50 ⇒d2=2m d-d2=d1 = 3 m 
 
 
ESTÁTICA DEL CUERPO PUNTUAL 
O estática de la partícula , es lo mismo. Se llama así porque ignora o desprecia los 
movimientos de rotación que puede tener un cuerpo real, sólo le interesa que se mueva o 
no se mueva en cuanto a su desplazamiento (que es el mismo criterio que usamos en 
toda la cinemática). 
La estática es el estudio de los equilibrios , y entendemos que un cuerpo está en 
equilibrio si no posee aceleración. De modo que se puede resumir (o representar) el 
equilibrio de un cuerpo de esta manera: 
 
 
O sea, que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él, Res, o la sumatoria de 
todas las fuerzas que actúan sobre él, ΣF, es igual a cero. De modo que la estática es un 
caso particular de la dinámica (ΣF = m.a), aquel en el que la aceleración del cuerpo vale 
cero. 
Para plantear esta condición de equilibrio en ecuaciones, hay que recordar que se trata 
de una relación vectorial. De modo que si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo tienen 
todas la misma dirección, bastará una sola ecuación (ΣF = 0). 
Si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo apuntan en varias direcciones pero todas en un 
plano, necesitaremos 2 ecuaciones: 
ΣFx = 0 
ΣFy = 0 
Por supuesto, nunca nos olvidaremos de establecer claramente el sistema de referencia, 
SR, x-y . O sea, básicamente, lo mismo que hacemos en dinámica. 
Si las fuerzas actúan en diversas direcciones que no están contenidas en un único plano, 
necesitaremos 3 ecuaciones: una para cada una de las direcciones del SR 
tridimensional x-y-z . 
Al tratarse de cuerpos puntuales, resulta obvio que todas las fuerzas que actúan sobre 
un cuerpo son concurrentes . En el capítulo siguiente (cuerpos extensos) es justamente 
ésto lo que cambia. Vamos con un ejemplo. 
 
 
Supongamos que sobre un cuerpo actúan 
cinco fuerzas que son las que te acabo de 
representar en ese DCL. 
Cuatro de ellas apuntan en direcciones 
ortogonales y una sola, F5, en una 
dirección díscola. Acá no cabe duda que el 
sistema de referencia más económico (a 
los fines algebraicos) es aquel que 
coincide con las direcciones de las 
primeras cuatro. (de todos modos, debo 
recordarte, que cualquier otro SR es 
igualmente válido y te ha de conducir alas 
mismas conclusiones). 
 
 
Una vez elegido el SR, aquellas fuerzas (en este caso sólo F5) cuyas direcciones no 
coinciden con las direcciones de SR, hay que reemplazarlas por sus componentes en las 
direcciones del SR. 
 
 
Fijate que este segundo DCL va 
acompañado de la representación 
del SR, ¡nunca te lo olvides! 
Si nos dicen que el cuerpo está en 
equilibrio, entonces estamos habilitados a 
plantear... 
dir. x: F5x — F2 — F3 = 0 
dir. y: F5y + F4 — F1 = 0 
 
 
 
Fijate que en una representación clara las fuerzas no se dibujan encimadas (se 
sobreentiende que se trata de fuerzas concurrentes, o sea, aplicadas todas sobre un 
mismo punto). 
 
CHISMES IMPORTANTES: 
• Una de las bondades más provechosas de la estática consiste en que cuando un objeto (o un 
sistema de objetos) está en equilibrio se puede aplicar la relación estática (ΣF = 0) a cualquiera 
de sus partes, como puntos de encuentro de vigas y columnas, nudos en una malla de sogas, y 
cualquier otro lugar en el que concurran fuerzas. 
• Si las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo están dispuestas en un espacio tridimensional, el 
equilibrio se establecerá con 3 ecuaciones: 
ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣFz =0 
Descomposición de fuerzas por las componentes X-Y 
Halla las tensiones en las cuerdas A-B-C, el sistema está en 
equilibrio- 
Se comienza por abajo y se realiza el DCL, calculamos TC- 
∑Fy=0 ; ∑Fy= TC.Sen.53º+TC.Sen.53º-200Kgf 
∑Fy= 2.TC.Sen53º-200Kgf 2TC=200Kgf/Sen53º=250,43 
TC= 250.43/2=125.21N TC=125.21N 
∑Fx=0 ; Tc.Cos53º- Tc.Cos53º=0 
 
 
 
 
Vamos a la parte de arriba y dibujamos el DCL: 
Calculamos TA: 
∑Fy=0 ; TA.Sen37º-TC.Sen53º=0 ; TA.sen37º-125.21N.Sen53º=0 
TA=125.21N.Sen.53º/Sen37º ; TA=125.21N.0.8/0.60 ; TA= 166.946N 
Calculamos TB: 
∑Fx=0 ; TA. Cos37º-TB-TC.Cos.53º= ; 166.946N.0.80-TB-125.21N.0.60=0 
=133.557-TB-75.126=0 ; TB= 133.557-75.126= TB= 58.431N 
TEOREMA DE LAMY: Si tres fuerzas coplanares están en equilibrio, la u de cada una de ellas será 
directamente proporcional al Seno del Angulo opuesto.- 
∑F=0 F1+F2+F3=0 
F1
Senα
=
 2
9:;<
=
 3
9:;∅
 
Si un cuerpo se encuentra en equilibrio se encuentra sometido a la acción de 
tres (3) fuerzas, y los ángulos que forman entre si cada par de estas son iguales a 120º, los módulos de estas 
fuerzas deben ser iguales. ∑F=F1=F2=F3 
Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio estático en la forma que se indica, y el 
bloque P pesa 21 N, determinar el peso del bloque Q. 
Este problema se puede resolver haciendo DCL de cada nudo, 
construyendo posteriormente el triángulo de fuerzas y aplicando a 
cada uno de ellos la Ley de Senos. No obstante resolveremos este 
problema aplicando el Teorema de Lamy. 
Hagamos el DCL del nudo A, teniendo presente que la tensión de 
la cuerda que sostiene el bloque P es igual a su peso, y 
apliquemos el Teorema de Lamy: 
>�
?@A�BCº
=
E
FGH�IBº
=
J�
K.IK�L
=
���
K.�M�I
= N2 =
���∗K.IK�L
.�M�I
= 45.85� 
 
A continuación hagamos el DCL del nudo B, teniendo presente que la 
tensión de la cuerda que sostiene el bloque Q es igual a su peso, y 
apliquemos el Teorema de Lamiy: 
 
>�
?@A�BCº
=
R
FGHSKº
=
B�.L��
K.IK�L
=
R
�
= T =
B�.L��∗�
K.IK�L
= 76.18� 
 
 
 
 
 
Hallar la tensión en las cuerdas A y B, el sistema está en equilibrio- 
Aplicando el teorema de Lamy: ∑F=0 
C
Sen133º
=
NV
9:;122º
=
500%
0.731
=
NV
0.848
; NV =
500 ∗ 0.848
0.731
= 0+'. '�(W 
 
C
Sen133º
=
NX
9:;105º
=
500%
0.731
=
NX
0.966
; NX =
500 ∗ 0.966
0.731
= ZZ'. &[(W 
 
 
Halla la tensión de las cuerdas T1-T2., A=200Kg, aplicando Lamy- 
∑F=0 
\�
?@A��Mº
=
��
FGHSKº
=
�C
FGH�BCº
 
200%#
Sen127º
=
 2
9:;90º
= 2 =
200%] ∗ 1
0.7986
= �� − _� = �0'. [[(). 
200%#
Sen127º
=
 3
9:;143º
= 3 =
200%] ∗ 0.6018
0.7986
= 
�`, _� = �0'. &�(W 
 
También se puede calcular por el método analítico de ∑Fx=0, ∑Fy=0, veamos el primer ejemplo: 
∑Fx= TA.cos15º-TB.cos.32º=0 
NV =
Jb.cdeC�
fde��º
, tenemos dos incógnitas. 
∑Fy=0 ; TA.sen15º+TB.sen32º-500Kg. 
TA.sen.15º+TB,sen.32º=500Kg 
Remplazamos TA: 
NX. ���32
	��15º
. �:;15º + NX. �:;. 32º = 500%# 
TB.
K.LBL
K.SII
.0.258+TB*0.53=500Kg ; TB.0.877*0.258+TB*0.53=500Kg 
Factor común TB: TB. (0.877*0.258+0.53) =500Kg 
TB*0.756=500Kg; TB=
�KKhi
K.M�I
= TB=661.27Kg 
NV =
661.27. ���32
	��15º
= 661.27 ∗
0.848
0.966
= _j = 0+'. 0+(W 
 
Veamos el segundo ejemplo: 
Hallan equilibrio las tensiones para que el sistema esté en equilibrio. 
∑Fx=0, ∑Fy=0 
∑Fx= TA.Cos.53º-T2=; T2=T1.Cos.53º 
∑Fy=0; T1.Sen.53º-P=0; T1.Sen.53º=P; T1=P/Sen53º 
T1= 200Kg/0.7986=; T1=250.43Kg 
Reemplazamos T1: 
T2= T1.COS.53º= 250.43*0.601=; T2=150.51kG 
Un objeto cuelga de una cuerda y una fuerza P mueve una corredera 
Hallar la tensión en T y la distancia X para que el 
sistema esté en equilibrio- 
∑Fx=0; T.cos.α-P=0; T.Cosα=P 
Cos.α=P/T= ; Cos.α=170N/210N= 0.8095 
ArcCos= 35.95º; α=35.95º 
Tenemos que hallar el valor de X 
Hacemos el triángulo de longitudes 
Aplicamos la fórmula de Tgα= Co/Cad 
Tgα=35cm/X;-------Tgα.X=35cm---X=35cm/tg36º 
X=35cm/0.7265= X=48.17Cm