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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 194
5.9 Teorema(Propiedad arquimediana). Dado cualquier número real se verifica que hay nú-
meros naturales mayores que él.
Demostración. ComoN no tiene máximo, el teorema (5.7) implica queN no puede estar
mayorado enR, por tanto, dadox2R, tiene que haber algúnn2N tal quen > x . 2
La propiedad arquimediana del orden deR prohíbe la existencia de cantidades infinitesi-
males, es decir, de números positivos pero “tan pequeños” que al multiplicarlos por cualquier
número natural el producto seguía siendo “muy pequeño”. Convenzámonos de que tales “infi-
nitésimos”, si es que los hay, no pueden ser números reales. En efecto, six;y son números
reales positivos, la propiedad arquimediana del orden deR nos dice que tiene haber algúnn2N
tal quen > y=x y, por tanto,nx > y. En consecuencia, por “pequeño” que sea el número real
x> 0 y por “muy grande” que sea el número realy> 0, siempre hay múltiplos naturales dex
mayores quey.
5.10 Definición. Se dice que un conjuntoE � R es denso enR, si en todo intervalo abierto
no vacío hay puntos deE. Equivalentemente, si dadosx;y2R conx < y hay algúnz2E tal
quex < z < y.
5.11 Proposición.a) El conjunto de los números racionales es denso enR.
b) El conjunto de los números irracionales es denso enR.
Demostración. a) Supongamos quex;y2R conx < y. La idea es tomar una unidad racional
de medida,u, en la recta que sea menor quey � x, pues entonces es claro que un múltiplo
apropiado,mu, deu estará comprendido entrex e y. Hay muchas posibilidades, se trata de
elegir u y m con algún criterio que nos permita probar quex < mu < y. Los números más
sencillos que podemos tomar parau son los de la forma1=n, donden 2N, con la condición
1=n < y � x, esto es,n > 1=.y � x/. Parece razonable tomar el menorn que cumpla dicha
desigualdad. Sea, pues:
q DmKınfn2N W n > 1=.y � x/g
Ahora se trata de tomar un múltiplo deuD 1=q que exceda ax, pero no demasiado. Se impone
la elección:
p DmKınfm2Z Wm > qxg
Tenemos que:
x <
p
q
D p � 1
q
C 1
q
< x C .y � x/D y
Lo que concluye la demostración. Observa que en las definiciones deq y de p se usan los
resultados que acabamos de ver.
b) Supongamos quex;y2R conx < y. Por lo ya probado, exister 2Q tal que
x �
p
2 < r < y �
p
2;
lo que implica quex < r C
p
2 < y. Puesto que,
p
2 es irracional yr 2Q, se sigue que
r C
p
2 es irracional y concluimos queRnQ es denso enR. 2
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
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Este resultado nos dice que los números racionales y los irracionales están repartidos de
manera que entre dos racionales o entre dos irracionales siempre hay infinitos racionales e
infinitos irracionales. Son dos conjuntos muy grandes, perouno de ellos es muchísimo más
grande que el otro.
Hemos definido antes un conjunto numerable como aquél que es equipotente aN; es conve-
niente incluir también entre los conjuntos numerables a losconjuntos finitos pues los elementos
de un conjunto finito se pueden contar. Estas dos posibilidades pueden resumirse en el hecho de
que exista una aplicacióninyectivadel conjunto enN. Por convenio, se admite que el conjunto
vacío es numerable.
5.12 Definición.Un conjunto se llama numerable si es vacío o si existe una aplicación inyectiva
de él en el conjunto de los enteros positivos.
Realmente esta definición lo que nos da es cierta libertad para probar que un conjunto es
numerable; de hecho, se verifica el siguiente resultado.
5.13 Proposición.Un conjunto no vacío es numerable si, y sólo si, es finito o es equipotente a
N.
El siguiente resultado es muy útil y fácil de entender.
5.14 Proposición. Un conjunto no vacíoA es numerable si, y sólo si, hay una aplicación
sobreyectiva deN sobre A.
Demostración. Seaf W N ! A una aplicación sobreyectiva. Para cada elementoa 2 A el
conjunto fn2N Wf .n/Dag no es vacío por lo que podemos definir, haciendo uso del principio
de buena ordenación, una aplicacióng WA! N por:
g.a/DmKınfn2N W f .n/D ag para todoa2A
Con ello se tiene quef .g.a// D a para todoa 2A lo que implica queg es inyectiva y por
tanto queA es numerable.
La afirmación recíproca es consecuencia de la proposición anterior. 2
Aunque el conjuntoN �N parece mucho más grande queN; de hecho no es así. Podemos
contar con facilidad los elementos deN � N siguiendo el camino que se sugiere (habría que
prolongarlo hacia arriba y hacia la derecha) en la figura (5.17).
5.15 Proposición.N �N es equipotente aN.
Demostración. 4 La aplicación' WN�N!N dada por'.p; q/D 2p3q para todo.p; q/ 2
N �N, es inyectiva. En consecuenciaN �N es numerable y como es infinito concluimos que
es equipotente aN. 2
El siguiente resultado nos dice que si hacemos la unión de una“cantidad numerable” de
conjuntos numerables obtenemos un conjunto que sigue siendo numerable. El enunciado del
teorema precisa estas ideas.
4En el ejercicio (173) se define una biyección deN �N sobreN
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5.16 Teorema.SeaB un conjunto numerable no vacío. Supongamos que para cadax2B te-
nemos un conjunto numerable no vacíoAx. Se verifica entonces que el conjuntoAD
[
x2B
Ax
es numerable.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
.1; 1/
.2; 1/
.3; 1/
.4; 1/
.5; 1/
.6; 1/
.7; 1/
.8; 1/
.9; 1/
.1; 2/
.2; 2/
.3; 2/
.4; 2/
.5; 2/
.6; 2/
.7; 2/
.8; 2/
.9; 2/
.1; 3/
.2; 3/
.3; 3/
.4; 3/
.5; 3/
.6; 3/
.7; 3/
.8; 3/
.9; 3/
.1; 4/
.2; 4/
.3; 4/
.4; 4/
.5; 4/
.6; 4/
.7; 4/
.8; 4/
.9; 4/
.1; 5/
.2; 5/
.3; 5/
.4; 5/
.5; 5/
.6; 5/
.7; 5/
.8; 5/
.9; 5/
.1; 6/
.2; 6/
.3; 6/
.4; 6/
.5; 6/
.6; 6/
.7; 6/
.8; 6/
.9; 6/
.1; 7/
.2; 7/
.3; 7/
.4; 7/
.5; 7/
.6; 7/
.7; 7/
.8; 7/
.9; 7/
.1; 8/
.2; 8/
.3; 8/
.4; 8/
.5; 8/
.6; 8/
.7; 8/
.8; 8/
.9; 8/
.1; 9/
.2; 9/
.3; 9/
.4; 9/
.5; 9/
.6; 9/
.7; 9/
.8; 9/
.9; 9/
Figura 5.17. ContandoN �N
Demostración. Es suficiente probar que hay una aplicación sobreyectiva deN � N sobreA.
Por serB numerable hay una aplicación sobreyectiva� W N ! B. Para cadax 2B, por ser
Ax numerable, hay una aplicación sobreyectivaFx WN ! Ax. Es muy fácil comprobar ahora
que la aplicaciónG WN�N ! A definida porG.m;n/DF�.m/.n/ para todo.m;n/2N �N,
es sobreyectiva. 2
Puede que el siguiente diagrama sea más claro y directo que lademostración anterior.
Podemos suponer queB D N, con lo queAD
[
n2N
An. ComoAn es numerable, podemos
escribir sus elementos como una sucesión:
An D famn Wm2Ng D fa1n; a2n; a3n; : : : ; amn; : : :g
El conjuntoA podemos representarlo como una matriz (ver figura (5.18)), y contar sus elemen-
tos de forma parecida a como lo hemos hecho antes conN �N.
5.17 Teorema.El conjunto de los números racionales es numerable.
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