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Ejercicios propuestos 251
232. Estás en el desierto con tu vehículo situado en un punto cuyascoordenadas sonA D
.0; 40/ y tienes que ir a otro puntoC D .28; 0/ (la unidad de medida es la milla terrestre).
Del puntoA al origenO D .0; 0/ y de éste al puntoC hay una carretera asfaltada.
Pero también, para ir deA a C , puedes hacer parte o todo el camino sobre la arena. En
carretera tu velocidad es de 75 millas por hora; y sobre la arena de 45 millas por hora.
¿Qué camino debes seguir para llegar lo antes posible aC ?
233. Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un trián-
gulo equilátero cuyo lado mide 2 centímetros. Se supone que el rectángulo se apoya
sobre un lado del triángulo.
234. El principio de Fermat afirma que la luz viaja de un puntoA a otro puntoB siguiendo
la trayectoria en la que se invierte el menor tiempo posible.Supongamos que el eje
de abscisas,y D 0, separa dos medios en los que la luz viaja a distinta velocidad (por
ejemplo, aire y agua). Seac la velocidad de la luz en el semiplano superiory > 0 y sea
3
4
c la velocidad correspondiente al semiplano inferiory < 0. Calcular el punto de dicho
eje por el que pasará el rayo que viaje desde el puntoAD .�4; 3/ al B D .3;�4/.
235.
Calcula la posición del puntoP D .x; 0/ en
la figura de la derecha, dondeA D .0; 1/ y
B D .2C
p
3; 2/, para que el ángulo� sea má-
ximo. ¿Cuál es dicho valor máximo de�? Jus-
tifica con detalle lo que haces.
A
B
P
�
Uno de los resultados más útiles del cálculo diferencial sonlas Reglas de L’Hôpital que
permiten resolver las indeterminaciones en el cálculo de límites.
236. Calcula el límite en el puntoa que en cada caso se indica de las funciones siguientes:
f .x/D .senx C cosx/1=x; aD 0I f .x/D .1C tgx/1=x2 ; aD 0
f .x/D .cotx/senx; aD 0I f .x/D
 
cos2 x C x
2
2
!1=x2
; aD 0
f .x/D .1C senx/cotgx; aD 0I f .x/D log.senx/
.� � 2x/2 ; aD �=2
f .x/D x � arc tgx
sen3 x
; aD 0I f .x/D .tgx/.arc tgx/ � x
2
x6
; aD 0
f .x/D e
x � cos
p
2 x � x
tg2 x
; aD 0I f .x/D
�senx
x
�1=.1�cosx/
; aD 0
237. Justifica que para todor 2R y para todos > 0 se verifica que:
lKım
x!C1
.logx/r
xs
D 0; lKım
x!C1
xr
esx
D 0; lKım
x!0
x > 0
xsj logxjr D 0:
238. Calcula el límite en el puntoa que en cada caso se indica de las funcionesf WRC ! R.
f .x/D x
2 sen1=x
logx
; aDC∞I f .x/D sen
p
1C x � sen
p
x; aDC∞
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 252
f .x/D senx sen1
x
; aD 0; aDC∞I f .x/D
�
cos
�
x C 2
�x2
; aDC∞
239. Sea g W R ! R derivable enR y dos veces derivable en 0 siendo, además,g.0/ D 0.
Definamosf WR! R por f .x/D g.x/
x
si x¤0, f .0/Dg 0.0/. Estudia la derivabilidad
de f . ¿Esf 0 continua en 0?.
240. Seanf;gW� � 1;1Œ! R las funciones definidas por
f .x/D log.1C x/
x
; f .0/D 1I g.x/D ef .x/
Calcula las derivadas primera y segunda def y g en0 y deduce el valor del límite
lKım
x!0
.1C x/1=x � eCe
2
x
x2
241. Seaf W�� 1=2;C1Œ! R dada porf .x/D .x C ex/ 1x parax¤ 0, y f .0/D e2. Estudia
la continuidad y derivabilidad def en cero.
242. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones.
1. f WRC ! R, dada porf .x/D x1=.x2�1/, y f .1/Dpe.
2. f W� � 1=2;C1Œ! R, dada porf .x/D .x C ex/1=x y f .0/D e2.
3. f W Œ0;C1Œ! R dada porf .x/D .1C x logx/1=x, y f .0/D 0.
4. f W� � �=2; �=2Œ! R dada porf .x/D
�senx
x
�1=x2
y f .0/D e�1=6 :
5. f WR! R, dada porf .x/D
�
1C x2
�sen.1=x/
; f .0/D 1:
6. f W� � �=2; �=2Œ! R dada porf .x/D
�
2� 2 cosx
x2
�1=x
parax¤ 0 y f .0/D 1:
243. Calcula los límites
lKım
x!0
�
1
sen2 x
� 1
x2
�
lKım
x!1
�
1
logx
� 1
x � 1
�
lKım
x!0
x e2xCx ex �2 e2xC2 ex
.ex �1/3 lKımx!C1
��
2
� arc tgx
� 1
logx
lKım
x!0
log
�senx
x
�
.log.1C x//2 lKımx!0
�
tgx
x
�1=x2
lKım
x!0
x log.1C sen2x/arc tg.sen3 x/
.ex �1/.1 � cos2.tg2 x// lKımx!0
arc tgx � senx
x.1 � cosx/
lKım
x!0
arc tg.arc senx2/
.e2x �1/ log.1C 2x/
lKım
x!0
�
3 senx � 3 x cosx
x3
�1=x
Sugerencia.Pueden usarse las reglas de L’Hôpital pero es conveniente realizar previa-
mente alguna transformación.
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Ejercicios propuestos 253
244. Explica si es correcto usar las reglas de L’Hôpital para calcular los límites:
lKım
x!C1
x � senx
x C senx I lKımx! 0
x2 sen.1=x/
senx
:
El teorema de los ceros de Bolzano, junto con el teorema de Rolle, permiten determinar
en muchas ocasiones el número de ceros reales de una función.
Se dice queuna función polinómicaP .x/ tiene un cero de ordenk > 1 en un puntoa,
si el valor deP y el de sus derivadas hasta la de ordenk�1 ena es cero, y la derivada de
ordenk deP no se anula ena. Los ceros de orden1 se llamanceros simples. El Teorema
Fundamental del Álgebra dice que una función polinómica de gradon (en general, con
coeficientes complejos) tienen raíces reales o complejascontando cada raíz tantas veces
como indica su orden. Recuerda también que las raíces complejas de un polinomio con
coeficientes reales vienen por pares de raíces complejas conjugadas.
245. Prueba que una función polinómica de gradon coincide con su polinomio de Taylor de
ordenn centrado en un punto cualquieraa.
246. Prueba que una función polinómicaP tiene un cero de ordenk ena si, y sólo si, puede
escribirse de la formaP .x/ D .x � a/kQ.x/, dondeQ.x/ es una función polinómica
que no se anula ena.
247. Calcula el número de ceros y la imagen de la funciónf WR! R , f .x/Dx6�3x2C2.
248. Calcula el número de soluciones de la ecuación3 logx � x D 0.
249. Estudia el número de soluciones reales de la ecuación3x5 C 5x3 � 30x D ˛ según los
valores dę .
250. Determina el número de soluciones reales de la ecuación2x3 � 3x2 � 12x Dm según
el valor dem.
251. Justifica que la ecuaciónx2D x senxC cosx tiene exactamente dos soluciones reales.
252. Seaf una función polinómica que tiene un máximo relativo en.�3; 5/, un mínimo
relativo en.1; 1/ y un máximo relativo en.4; 7/ y no tiene más puntos críticos. ¿Cuántos
ceros reales tienef ?
253. Prueba por medio del teorema de Rolle que la ecuación5x4 � 4x C 1D 0 tiene alguna
solución enŒ0; 1�.
254. Estudia el número de ceros reales de la funciónf .x/D 2x � 1 � x2.
255. Prueba que entre cada dos soluciones reales de la ecuación ex senx D 1 hay al menos
una solución real de la ecuación ex cosx D�1.
256. Seana0; a1; : : : ; an números reales. Prueba que para algúnx 2 Œ0; 1� se verifica que
nX
kD0
akx
k D
nX
kD0
ak
k C 1 .
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