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Ejercicios propuestos 257
de los límites laterales def en c es infinito.
Asíntota horizontal. La recta y D L es una asíntota horizontal de la gráfica def si f
tiene límite enC1 o en�1 igual a L.
Asíntota oblicua. Sif es una función racional con el grado del numerador una unidad
mayor que el grado del denominador, entonces puede escribirse de la forma
f .x/Dmx C b C g.x/
donde lKım
x!C1
g.x/D 0. En tal caso la rectay Dmx C b es una asíntota oblicua de la
gráfica def .
6. Dibujar máximos, mínimos, puntos de inflexión, cortes con los ejes y cortes con las
asíntotas.
281. Dibuja las gráficas de las funciones siguientes:
a)f .x/D 3x5 � 5x3 C 2 b) f .x/D x
2 C 1
x2 � 1
c) f .x/D x
2 � 2x C 2
x � 1 d) f .x/D jxj
2x
e)f .x/D 3
p
x2.x � 2/2 f) f .x/D x4 � 4x3 C 10
g) f .x/D x
2=3
.x � 6/2=3
h) f .x/D 2x2 log jxj � 5x2; f .0/D 0
i) f .x/D x
2 � x � 2
x � 3 j) f .x/D
2x2 � 3x C 5
.x C 1/.x � 2/
k) f .x/D log.2C senx/
282.
La figura de la derecha muestra la gráfica de una
función f dos veces derivable. Estudia el signo de
la primera y la segunda derivada def en cada uno
de los puntos indicados.
Si suponemos que un móvil se mueve a lo largo de
una línea recta y que la gráfica muestra su distan-
cia al origen en el tiempot . Indica, a la vista de la
gráfica y de forma aproximada:
A
B
C
D
E
F G
a) Cuándo se está alejando o acercando al origen.
b) Cuándo está acelerando y cuándo está frenando.
283.
La figura de la derecha muestra
la gráfica de una función y de su
derivada. Debes identificar cada
una de ellas y explicar las rela-
ciones entre ambas gráficas.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 258
284.
La figura de la derecha muestra
la gráfica de una función y de
sus dos primeras derivadas. De-
bes identificar cada una de ellas
y explicar las relaciones entre di-
chas gráficas.
285. Traza la gráfica de una funciónf dos veces derivable enR, sabiendo que:
a) La gráfica def pasa por los puntos.�2; 2/; .�1; 1/; .0; 0/; .1; 1/; .2; 2/.
b) f 0 es positiva en los intervalos��1;�2Œ y �0; 2Œ, y es negativa en�� 2; 0Œ y �2;C1Œ.
c) f 00 es negativa en los intervalos� � 1;�1Œ y �1;C1Œ, y es positiva en el intervalo
� � 1; 1Œ.
286. a) ¿Es cierto que los puntos donde se anula la derivada segunda son puntos de inflexión?
b) ¿Qué puedes decir de los puntos de inflexión de una función polinómica de grado 2 o
3?
Justifica tus respuestas.
287. ¿Es cierto que la gráfica de toda función polinómica de grado par tiene tangente horizon-
tal en algún punto? ¿Y si el grado es impar? Justifica tus respuestas.
Consideraremos ahora el problema de hallar el máximo o mínimo absolutos de una
función continuaf en un intervalo cerradoŒa; b�. Para ello puede seguirse el siguiente
procedimiento:
Paso 1. Hallar todos los puntosx de Œa; b� que o bien son puntos singulares def o son
puntos en los quef no es derivable.
Paso 2. Calcular el valor def en cada uno de los puntos obtenidos en el Paso 1 y
también ena y enb.
Paso 3. Comparar los valores obtenidos en el Paso 2. El mayor de todos ello será el
máximo absoluto def en Œa; b� y el menor será el mínimo absoluto def en Œa; b�.
288. Calcula los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos que
se indican:
1. f .x/D x3 � x2 � 8x C 1 en el intervaloŒ�2; 2�.
2. f .x/D x C 1
x2 C 1 en el intervaloŒ�1; 2�.
3. f .x/D 1
2
.sen2 x C cosx/C 2 senx � x en el intervaloŒ0; �=2�.
4. f .x/D 3
p
x2.5� 2x/ en el intervaloŒ�1; 2�.
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Ejercicios propuestos 259
5. f .x/D�x3 C 12x C 5 en el intervaloŒ�3; 3�.
289. Para cada número realt seaf .x/D�1
3
x3C t2x. Calcula, para cada valor det 2 Œ�1; 1�,
el mínimo valor def .x/ en el intervaloŒ0; 1�.
Cuando una función no está definida en un intervalo cerrado hay que estudiar el signo
de la derivada si queremos calcular máximos o mínimos absolutos cuya existencia habrá
que justificar.
290. Definamosf .x/ D 5x2 C ˛x�5, donde˛ > 0 es una constante. Calcula el valor más
pequeño dę tal quef .x/> 21 para todox > 0.
291. Calcula el mínimo valor de
nX
kD1
.x�ak/2 dondea1; a2; � � � an son números reales dados.
292. Calcula la imagen def WRC ! R dada porf .x/D x 1x .
293. Seaf WR! R la función definida porf .x/D e�1=x2 parax¤ 0, y f .0/D 0. Estudia
la continuidad y derivabilidad def y calcula su imagen.
294. Dadoa¤ 0, definamos, parax ¤ 1=a, la función:
f .x/D arctanaC arctanx � arctan aC x
1 � ax :
Calcula la imagen def .
Acabamos esta larga relación con algunos ejercicios que me ha parecido que no enca-
jaban propiamente en ninguno de los apartados anteriores.
295. Supongamos quef es una función derivable ena conf .a/¤ 0. Calcula el límite:
lKım
x!0
�
f .aC x/
f .a/
�1
x
:
296. Seaf dos veces derivable ena. Calcula el límite:
lKım
h!0
f .aC h/C f .a � h/ � 2f .a/
h2
:
297. Seaf W Œa; b�! R derivable yf 0 creciente. Prueba que la funcióngW�a; b� ! R dada
para todox 2�a; b� por
g.x/D f .x/ � f .a/
x � a
es creciente.
298. Seaf W Œ0; 1�! R una función derivable verificando quef .0/D0 y quejf 0.x/j6jf .x/j
para todox 2 Œ0; 1�. Prueba quef .x/D 0 para todox 2 Œ0; 1�.
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