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ALGEBRA ACTIVIDADES
Joseline Abarca
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:.•ingenio 9 editorial
CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 5
El CUADERNO DE TRAB�JO ÁLGEBRA 5, para el quinto año de educación secundaria, es
complemento del libro de ALGEBRA 5 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la
Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubrcado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de lima, Lima
Título de la obra:
Título de la colección:
Equipo Pedagógico:
Diseño y Diagramación:
Corrección de Estilo:
Fotografía:
Primera edición:
Ti raje:
Cuaderno de Trabajo Álgebra 5
logi Matic Educación Secundaria
Elvis Valerio Solari
Víctor Hugo Ávalos Jamanca
Anibal Trucios Espmoza
Katherine Karen Rivera Escuel
Rosa Nieves Bardales Luque
Paul Escobar Tantaleán
Luis Martín Angulo Chiok
Víctor Francisco Bautista
Yuri Hernández Oblea
Páginas web
Noviembre 2016
6000 e¡emplares
© Derechos de autor reservados
Juana Mery Oblea Acosta
© Derechos de edición reservados
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Editado por:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna Nº 407 Of 301 - lima
Telefax: (511) 426---4853
www.edttcriafingenio.pe
E-mail: editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en Enero 2017
Copyright© 2016
Impreso en:
LETIERA GRÁFICA
Av. La Arboleda 431 - Ate - Lima - Perú Teléfono 340 - 2200
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del autor y
de la editorial.
Número de Proyecto Editorial: 31501011601276
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 201615238
ISBN: 978-612-4302-19-0
i .. d 89% 1 8:1 O p. m .
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' PRESENTACION
El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica En Matemática, no puede ser
diferente. El CUADERNO DE TRABNO LOGI MATIC de Quinto Año de Secundaria de Editorial
Ingenio S A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables
concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas,
entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades
como la de anáhsis, síntesis, interpretación, comunicación de ideas, inicrativa, creatividad, au-
tovaloración, etc.
El Cuaderno de Trabajo Logi Mat1c es un complemento de los textos de Matemática Logi Matic,
de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. la teoría, en
sí. los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los proble-
mas del cuaderno. así como los ejemplos y modelos desarrollados. están en los cuatro textos
mencionados
Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de
no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder El maestro puede diseñar
su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio.
Sin contraponer a to anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados
los materiales, vamos a descnbir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.
El Cuaderno de Trabajo logi Matic consta de dos partes: Ejercicios con espacios en blanco y
Reforzando.
EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO
Consta de 12 ejercicios. cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadnllado para que
el estudiante desarrolle en esta parte el ejercico correspondiente. Con ello el escolar no tendrá
necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de !a
resolución con los detalles que crea necesano, de modo que cuando sea revisado posteriormen-
te por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al
resultado.
En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es
inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar,
ampliar y profundizar los contenidos del capítulo.
los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos mo-
dos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando (os estudiantes encuentran al-
guna dificultad.
REFORZANDO
Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascen-
dentemente por su grado de dtficultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones
del tema tratado Se caracterizan por su suruhtud a las preguntas de tipo exámenes de admisión
a las universidades.
los ejercicios de este grupo son para ampliar, reforzar, complementar, profundizar y detallar los
contenidos del capitulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en
seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el
desarrollo total o parcial. obligatorio o voluntario, de los ejercicios
En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios
para desarrollar sus habilidades y destrezas los e¡ercicios de reforzando se adecuan para fmes
semejantes.
Lagimatic S
•
RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS
•• ••
� <? .• d 88% • 8:11 p. m .
La concepción del escolar respecto a la Matemática determma en buena parte su modo de
aprendizaje, por repetición o por deducción. 5¡ piensa que en Matemática hay formas de hacer
ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará
la pregunta "ly esto cómo se hace?" En cambio, sr comprende que la Matemática es una he·
rramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda
ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces
procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que de las reglas aprendidas, y
su pregunta será "lporqué esto? o lporqué aquello?".
Por Jo anterior. será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, pregun-
tarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha "atascado" y plantearle alternativas de salida, su-
gerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase
ejercicios resueltos similares.
En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos
los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, y particularmente en los
primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias.
La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy
útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos
ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para
determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni
reunir determmadas condicones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión
en la forma de cómo se está comprendiendo un tema puntual.
Finalmente, expresamos nuestro reconocnmento a los maestros de aula por la sacrificada y
esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con hu-
mildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta
propuesta pedagógica.
EDITORIAL INGENIO YHO S.A.C.
logimatic 5
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- ALGEBRA 5
CAPITULOS TEMAS Nº PÁGINA
Capítulo 01 NÚMEROS REALES 7
Capítulo 02 MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA DIVISIÓN 10
Capítulo 03 ALGEBRAICA 14
Capítulo 04 FACTORIZACIÓN 17
Capítulo 05 NÚMERO COMBINATORIO 20
Capítulo 06 BINOMIO DE NEWTON 24
Capítulo 07 CANTIDADES IMAGINARIAS 27
Capítulo 08 NÚMEROS COMPLEJOS 30
Capítulo 09 ECUACIONES I 33
Capítulo 1 O ECUACIONES 11 36
Capítulo 11 INECUACIONES I 40
Capítulo 12 INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR 43
Capítulo 13 ECUACIONES E INECUACIONES 46
Capítulo 14 MATRICES Y DETERMINANTES 50
Capítulo 15 SISTEMA DE ECUACIONES I 53
Capítulo 16 SISTEMA DE ECUACIONES 11 56
Capítulo 17 SISTEMA DE INECUACIONES60
Capítulo 18 PROGRAMACIÓN LINEAL 64
Capítulo 19 FUNCIONES 69
Capítulo 20 TRAZADO DE GRÁFICOS 72
Capítulo 21 FUNCIONES ESPECIALES 75
Capítulo 22 ÁLGEBRA DE FUNCIONES 79
Capítulo 23 LOGARITMOS 82
Capítulo 24 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 85
Lagimatic S
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• •• ••
� r .. d 88% • 8:11 p. m .
D ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Todo número real elevado a cualquier expo-
nente aumenta.
B) Todo número negativo elevado a cualquier
exponente disminuye
0 Todo número negativo elevado a un expo-
nente par aumenta.
D) La suma de los cuadrados de tres números
reales es siempre mayor que 1.
E) La suma de los cuadrados de dos números
reales diferentes puede ser cero.
(CEPRE-CALLAO)
D
CAPÍTULO
01
II Dadas las siguientes proposiciones, indica verda-
dero (V) o falso (F) según corresponda:
l. ne1R;O<a<l�1C1>1
ll. V {11; ble R se tiene: si O< o e b entonces
(I < ..¡;;¡; < b
111. Si a « b entonces a2 < Ir; [a; b! e IR
(CEPRE-CALLAO)
¡>j VVF 8) VFV C) VFF 0) VVV E) VFF
IJ De las siguientes desigualdades indica la correcta:
l. Y3 > ;¡¡
11. Y5-2<Y3-Y2
111. V3 + 2,fi >,ti+ 1
II Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
l. Si n<b�i>t
11. Sin<O�a2>n3
III.SineJR-�n>n- l
(CEPRE-CALLAO)
A) VVV B) VFV C) VFF pj FVV E) VFF
II Para los números reales a, by e, afirmamos
l. Sin<b�a+c<b+c
n.Sin<O�-n>O
lll.a>Or,b>O�n+b>O
n
A) Solo I
O)lylll
B) Solo II
j?)'Todas
(CEPRE-CALLAO)
C)lyll
A) Sólo I
D) Todas
8) Sólo 11
,Ejlyll
(CEPRE- CALLAO)
C)Sólo m
Son verdaderos:
• •• ••
� 9 .• d 88% • 8:11 p. m .
Si M es el menor número real tal que \1 xe R;
-19 -12x- 2r2 :S M y mes el mayor número real
tal que VxeR; m :5 x2- 4x + 4, halla el valor de
m - 2M. (CEPRE UNMSM 11-11)
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
axiomas de los números reales?
l. (a+ b) +(e+ d) =a+ (b +(e+ d)), \:J a, b, e, d E R.
11. Sí s c ü y c c üentonccs cc c uc
111. '<JaER: :l -nER./n + (-(1) = 0
IV. Si O< n < b entonces n-1 > b-1
E) 4 0)3
(CEPRE UNMSM 2011-11)
B) 1 A) O
E) 1 D)3 B) -1 A)-2
Sobre Q definimos las operaciones binarias.
l. at!.b=n-b+ab
11. n0b=ª+�+nb
III. n EB b = 11; b
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ver-
daderas?
l. La operación ó. es conmutativa.
11. La operación EB es asociativa.
111. La operación 11 no es asociativa.
IV. La operación 0 no es conmutativa.
ICEPRE UNMSM 11-11)
D
A) 1 y lil
D) Ninguna
6)1Vylll
E) 11 y lll
!2) 111
m Si a, b, e son números reales tales que: n < O, b > O A e e O, entonces indica el orden de
verdad de las siguientes afirmaciones:
l. nb+c<O
11. 'h >be
111. -c2< n2b
ICEPRE UNl)
A) VFF B) VVF C) VFV D) FVV fi'I VVV
II En - l-1 J se define la operación
a® b = a(l + b) + b. Halla el inverso del número
no negativo x que verifica la siguiente igualdad
3[(2 ® x2)+(3 ® x)] = 20
(CEPRE UNMSM 11 -11)
A)4
pj-1/4
6) 5/9
E) -5/9
C)-5/14
m Determina la veracidad (V) o la falsedad (F) de
las siguientes afirmaciones:
l. Sia>O A-l<b<O,entoncesnb+ l +a>l.
ll. Si e> O; d > O y 2d "#"- 3c, entonces
d 3c
3c<1-4d
111. Si a> b >O> e, entonces 4nbc +e< O
(CEPRE UNI)
¡)() VFV 6) FVV C) VVV O) FVF E) VFF
imatic 5
• •• ••
� <? .• d 88% • 8:12 p. m .
NI\/EL
,ll)'Katty
D) Liz y Katty
REFORZANDO
l. La operación » es asociativa en A
11. A tiene un único elemento e tal que: 11 •e= 11.
UJ. A tiene más de un elemento e tal que: n "' e= 11
(UNAC 05-1)
A) VVF Jl1 FFF C) FFV D) FVF E) VFV
A) Liz
C) Liz y Laura
E) Katty y Laura
G) En A= ([,IX)) se define la operación n•b = (n + b)1.
Determina el valor de verdad en las proposiciones:
O Si (n - 1) es impar entonces, ¿cuáles de las si- �
guicntes expresiones son pares? �
I ,(,-1) 11. 2"(,-1) III ,'(n-lluN��:;:�:) �
p\'jl,llylll B)lyll C)llylll
�
D)ly!V E)l,11,IV �
C, Determina la verdad o la falsedad de los ���
siguientes enuncmdos· (UNJ-05-1) �
l. Sine Q,entoncesn2eQ ��
11. S1neR/n2eQ,entoncesneQ �
111.Si ln+bl=lnl+lbl,entoncesn,b�O �
A) VVV B) VVF C) VFV pj VFF E) FFF
a, Si en !R.2 = l{n,b)/11 e IW." b e IRI definimos la
suma (11, b) + (e, d) = (n + e, b + d); el producto:
(11, b)(c, d) = (11c - bd, 11d + be).
Responde acerca de la verdad y la falsedad de
las siguientes proposiciones.
l. (,, b) (1, O)º(,, b)
II. (,, b) 0 (,,O)+ (b,0)(0,1)
111. (n, b) + (e, d). (0,1) =(a+ d, b + e)
(UNMSM-04-1)
A) FVF B) VVV C) FVV pj VVF E) FFF
O Katty, Laura y Liz hacen tas siguientes afirma·
clones respecto a un número irrncional x:
Liz: Si le sumo a otro írracíonal el resultado si-
gue siendo un número irracional.
Katty: Si a, b, e, d son números racionales tales
que, n + bx"" e+ dx ::::> n = e y b = d.
Laura: La solución del sistema y1111 - x = O, don-
de n e N, es irracional. Son correctas:
(UNI-06-11)
NI\/EL
NI\/EL
8)4:s;,·2<9
D) 4 < x2< 9
A) 0 s .t.2< 4
.S:Z, O s x2 < 9
E)O<x<9
REFORZANDO
REFORZANDO
A) VVV B) FFF 9l VFF D) VFV E) VVF
A) VVF B) VFV C) FFF pj VVV E) FVV
!)<l FVV B) VVV C) VFV D) FFV E) FFF
A) FFF P)' FVF C) VVV D) FVV E) FFV
e Si u> O" b < O, indica el valor de verdad de cada
una de las proposiciones.
l. a-b>O
11. a-b<O
111.ab>O
e Si a < b < O, indica el valor de verdad de cada
una de las proposiciones.
l. a2 < Ir
11. a(a+l)<n(b+l)
111. ab < b1
O Si x es un número tal que - 2 < x < 3, entonces x
satisface la relación:
O Si en los números naturales definimos la opera-
cíón «, mediante a* b =...¡;;-;:-¡;, entonces indica
el valor de verdad de:
l. La opernción * está totalmente definida en N.
11. La operación * es conmutativa.
111. El resultado de 7 * 7 pertenece a N.
O Indica el valor de verdad de:
l. -2<X<4=0$.t.2<16
11. 'r:/n,bER+=a2+b2 ;?:2nb
1 1
111.a<b<O = {l>¡j
�
<:>
� G Se define la operación e en IR, como
� X* y= y+ ,y-3{y * x). Halla 4(3* 1).
� (CEPRE UNMSM 11-11)
� A)-7 8)14 C)3 D)-14 Ji!l7
�
• •• ••
� r .. d 88% • 8:12 p. m .
e Determina cuántos de los siguientes números
157 786 253 2519
racionales 125; 625; 200; 2000 pertenece al m-
sar en el sistema binario, en la forma
11 = O, n, 112, ... a;, donde el número de cífras n;
iguales a 1 es infinito.
lll. Si re( O, 1] -Q cntoncesl E( O, 11-Q.
' Indica la secuencia correcta después de determi-
mu si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
(UNl-11-0
A) VVV B) VFV C) FVV D) VVF )?Í FFF
4I Dadas las siguientes proposiciones:
l. Si existe 11eR tal que 112 < O, entonces existe
11e R tal que 11-3 = O.
11. Si para todox s Rsonener-zü.exístcx e(-1: 1)
tal que e"< O.
IH. Si existe 11 e IR tal que n2 < O entonces existe
xeR tal que e' < O.
Indica la secuencia correcta después de deterrni-
nar si es verdadero {V) o falso (F).
(UNI 11-11)
A) VVV JlÍ VFV C) FVV D) VVF E) FFF
(UNI 12-1)
(UNAC-08-1)
E) 9/2 D)3 B) 1
02
A) 2
(503 ,e] tervalo --· v 2 490'
CAPÍTULO
e SeaQ el conjunto de números racionales, ye) in-
tervalo (O; 1 J. Se dan las siguientes proposiciones:
l. Todo número nen (O; 1 J n Q se puede expre-
sar como un decimal periódico.
11. Tocio número 11 en (O; 11 se puede expre-
. Y3+1 (' 7< Sin=� ,hallan - ,.
v3 -1 (UNTECS-08-I)
M-(a+W-(a-W
- 2a2 + 2b2 a
B) 50 C) 36 D) 46 E) 30
II Simplifica
A) 6nb
p)4nb
B)a2+b2
E) 2
(UNFV-09-1)
C)ab
imatic 5
• •• ••
� 1" .• d 88% • 8:12 p. m .
(UNFV-12-11)
11 51 x - y= y- z =!:{¡;,el valor de
(x - z)6 + 0J - z)6 + (x - y)6
A 66
<,
�
(UNAC-2013-1)
�
0)5 E)7
�
�
�
8)4 A) 3
es igual a:
A)31 B) 27 J2j 30 0)36 E) 40
Si el polinomio
y(x) = x3 + a,1.2 + a'l:\. + "a
es un cubo perfecto, halla el valor de
a 2 a J
A=- '+-'-.
112 "a
El
a Sean a y b números reales tales que a + b = 5
y a· b = 1, halla 113 + a-3.
A) 120 8)124 C) 100 pj 110 E) 125
a (11-3+ 111-JJ"' Halla el valor numérico de P = -J -J , 111 · 11
si111+11=� y11m=2� .
(UNI-08-1)
A)-24 B)-12 J2!-d4 O)i4 E)is
El Si Jal2+lbl2=1 y(a+b)2=2,
halla el valor de {ab.
SiM=(·yS -f)( ,xy ,)+x2y2, !f X X -y
halla {M.
A)2+Y2
2
(UNMSM-2015-11)
C) ..fi. - 2
2
D
A)x2-y2
D)<-y
mx2+y1
E) X!f
(UNFV-2015)
• •• ••
� <? .• d 88% • 8:12 p. m .
·(ª 1)' [ 4a )' 2a,. Si 4 + a + a2 + 4 = 2, y a> O, halla vil/.
(UNFV 13)
II Determina el valor de:
(a - b)3 + (b- c)3 + (e- a)3 T= ,a;,eb;éc
(a - b)(a - c)(b- e)
(UNl-08-[)
.Á)-3 B)l C)2 D)9 E)4
m
A) 1 B) 2
ffl. .. ('ª-1)[(2.+1)) wS•mpllficaE= {x+1)2 x=;- .
(PUCP-2014-1)
D)4 E)3
x-1
C)2Y+1 B) 2x- l x+T
..s2'+1
/'IJ x+l
m Sia+b=6;112+b2=20,halla11l+1Jl.
(UNFV 2014)
A) 70 B) 71 )é') 72 D) 73 E)74
O Efe<tú,Za(� +Ja-y )(Ja+x -Ja-y).
(PUCP-2016-1) E) 11
D)JO ,,E\30
D)-11 C) 113
C) 25
,S) 112
A)20 B) 40
A) -112
x2+xy+y2
'-+Y
E = Vm [m - .J 1113 - 116 Vm ..fm + -J m3- 116
(UNAC-2014-II)
e Calcula
e La suma dc2 números es !Oy la suma de sus cubos
es 100. El producto de estos nllmeros es igual a:
(UNAC 2012-1)
e Si .1 * Y* O en el sistema: C)2x+y ..a)x+y E)2p
imatic 5
A)x-y
D)3p
REFORZANDO
O Efectúa abreviadamente
E= (m + 1)(111 - 1)(1112 + 1) + 1
(UNFV-06-1)
A) m2 ;5j 1114 C) 1116 D) 1118 E) 1
... � r .. d 88% • 8:12 p. m .
• •• ••
Y+y
Expresa 1 _ y en términos de a:
D) 1
(UNTECS-2013-11)
A)O
REFORZANDO
a+ b halla L=-,-
e 51 a3+ b3+c3=30,a + h +c=3,nbc= 4, determma �
B) 1/7 j2j1/4
4I s: x"' + ; • 2, "' ez•, calcula ,:.·�:�.
�
(UNMSM 2013-1)
�
A)4 8)6 j2j2 D)B E)12 �
e Si a, b, e el!!! son tales que verifican
a2 +Ir+ c2 = 2(a + b - 2c) - 6,
(UNAC 06-1)
C) a -1
(UNTECS-2010-1)
D)2 E)6 C)5
B) a+ 1
E) a-1
n3-1
8)4
, ' ._ , _-_x�y_+�y-� = n3 + 1
x-y
J<) 3
REFORZANDO
C, Si .r4-3x2+ 1 = O, halla valor de
E =.f .,.a+x6-x4 +.r2+ 1 V ,,
O Si x-y = 1, donde x'F-0¡ y :t- O, halla el valor de:
.r'-y'-1 1
x2+y2-1 2
O Si X es un número tal que cumple la condición:
10x4 + 10x2+ 4 = 3x2-6,
Determina el valor de (x + } Y .
(CEPRE UNI 09-11)
E) 1
)1)'-1
(UNMSM-12-11)
D) 2 C)4
C)-1 D)l
2 4
8)3
8)2
halla "r".
J<) 5
x+y-{xy=7
x2+ y2+xy= 133,
hal\aelvalorde lx-yl
•sin2+b2=8 y (n+b)2
+(/J-n)2=2
W X X '
Q> Si x e y son números reales que satisfacen las
ecuaciones
E) 2
C) 1
{UNMSM-2015-1)
B) 1 /2
E)2
Jlj 1
A) 1/5
J)j 13/10
O Si a+ b +e= 7, halla el valor de:
N = (a - 2)3 + (b + 4)3 + (e - 9)3
6(n - 2)(b + 4)(, - 9) C9 Si x2+ Sx + 1 = O, calcula .r+ + �
(USMP-2014-1)
A) 524 B) 223 C) 526 pj 527 E) 530 A) 3 C) 1
(CEPRE-SM 08-1)
D)2 )1jl 2
A) 1 8) 2 C)4 pj 8 E) 10
... � r .. d 88% • 8:12 p. m .
• •• ••
Halla el valor de "p", sabiendo que el residuo de
2x3+ 7i! + 10x +p la división 1 es 2. H
03
E)O D) 1 B)-1
El polinomio x3 + 3x2 + A, + B es divisible por
(x + 4) y (x- 2), entonces el valor de A-Bes:
(UNFV-07)
A)-2
11
(UNE-07)
fiÍ7 D)6 C)S 8)4
CAPÍTULO
A) 2
Se divide el polinomio x3+ 2nx2- 7ax2+ 2a3 entre
x - n, ¿cuál debe ser el valor de a2 de modo que
el residuo sea 1? (UNMSM-05-1)
Al dividir P(x) por (2x- 1) y (x + 1), se obtiene
los residuos 6 y 3 respectivamente. Halla el resi-
duo de dividir P(x) por (2x- l)(x + 1).
(UNMSM-12-11)
B
A) !.j¡
2
B) !.j¡ 3
Vi. 0- 2 D) Vi_ 4 E) 1.fj 2
11
A)3.t+1
D) 2x-5
,[3) 2x + 5
E)Sx+2
C)3:r-5
Sea P(x) = x3+ bx2+ ex+ 3. Si a= 1 es una de sus
raíces y el cociente Q(x) que se obtiene al dividir
P(x) entre (x -1) tiene como suma de coeficien-
tes el valor de -3/2, entonces Q(\) es:
(UNAM-11-1)
\�! + y/11 Si el cociente notable�, donde 11, 111 EN, .e+ y-
tiene solo tres términos en su desarrollo, halla
el término central
(UNMSM-14-11)
C) -3.\ 2y B) 2xy3
E) x2y2
A) x'y'
)))-.x'y'
11
B) l2-3x+ -t
D)r2-1,-+1 . r
imatic 5
/(jY2+ l.x-3 2
C) . .Z-fx-1
E)x2-f:r+l
El
• •• ••
� i .. d 88% • 8:12 p. m .
Calcula el valor de k si la división
tiene como resto 1 O.
(UNMSM-15-1)
A) <+2
D)2x+2
E) 6 O) 3 C)8 8)2
¿Qué condición deben cumplir los números rea-
les b y e para que el polinomio x2 + bx + e sea
divisible por x -1?
Si el quinto término del cociente notable
cr· -Ir' esa176lf>'I
5•-9 '-�'-9 1 o <o-
¿cuál es el número de términos del cociente?
(CEPRE UNI 07-1)
f<l16 8)15 C)14 0)13 E)12
m
A)b-c=l
D)c-h=2
(UNMSM-10-11)
Mb+c=-1 C)b+c=l
E)/J-c=-1
IJ Si x3+ a.t2+ b.t + 1 es divisible por x- 1, entonces
a+ bes igual a: (UNAC-14-1)
16n�-bl2
Reduce la expresión 2a + b3 .
(UNAC-14-11)
A)-4 8)-10 C)2 O) O fi)'-2 A) 8a
3 + 4a2b3 + 2ab6- b9
Jff Ba3 _ 4n2b3 + 2nlJ6 _ b9
C) 8a3 + 4a2i,J + 2nb6 + b9
D) &72 - 4a2b3 + 2a/i6 - b9
E) 8a2 + 4n2b3 + 2ab6 - b9
• •• ••
� -:;:- .di 87% • 8:15 p. m .
E) 12
E) 7
NI\/EL
0)-5
(USMP-14-1)
O) -3 Jií-4
pj 128 E) 125
pj 6
C)64
C)8
x2+Sx+2
8)4
8)-2 C)-1
B)-16 ,(2j8
A)S
A) 32
A) 1
A)144 8)72
REFORZANDO
e Halla el resto de dividir
4(3<-7)8+(3x-S)5+8por x-3,enR(t).
(UNMSM-11-1)
e Sea P(x) un polinomio divisible por x + 1. 5¡
dividiéndolo por x2 + x, se obtiene el cociente
,2 - 3 y el resto R(x), donde R(4) = 10; halla el
coeficiente del término lineal de P(x).
(UNAC-06-11)
A)-3 B)-5 0-I O) l E)3
O En el cociente notable
x�'-y"
x2-zy3
el séptimo término es de la forma x"y'. Halla
m + 211. (PUCP-14-1)
O Calcula el resto al dividir:
(x2+5x+2)10+ (.,2+5., + 1)4-5
O Halla el valor numérico del quinto término del
(x+2)16-(r-2)16 desarrollo de · · , en x = l.
2(x2 + 4)
(UNTECS-10-1)
A)126 8)-81 0729 0)249 E)-729
G) Si los polinomios
P(x)=x2+n.,+6 y Q(x)=.,.i+bx+3
son divisibles por H(x) = 2x + e, entonces ne- be
es igual a: (UNAC-10-11)
E) 9
E) 9
E) 2
(URP-13-11)
E)-10
(UNMSM-06-1)
NI\/EL
0)1
0)16
C) 7
C)O
0-6 0)-8
e 2 P d G
/ K f 20
12 N L e -28
b
b
8)19 013
B) 6
8) -1
B) 6
'
A)S
A)lO
A) 2
REFORZANDO
e Si el siguiente esquema corresponde a una divi-
sión hecha aplicando el método de Ruffini, de-
termina el valor de ah+ J + N + ad - C.
O Se sabe que la división: 5x3- 3�.2_+12ax- b gene-
ra un residuo igual a R = 10. Halla el valor de
2a- b. (UPSM-10-1)
e ¿Cuál es el número que se debe restar al
polinomio P(x) = 2,-.s - .,.J - 2x2 + 1 para que sea
divisible por (x- 2)? Da corno respuesta la
suma de cifras de dicho número.
/
� �w � o';""';" el resto de dividir �w� .\ -3., +3x-2entrex2-x+1? � (LA CANTUTA-13)
�
A)x-2 8)x+2 00 w O)x+I E)2<+3 �w� e Halla el valor 111 + 11 sabiendo que al dividir � m.,.2 + nx - 1 entre., + 1 el residuo es O y al divi-
dirlo entre 2.\ + 1 el residuo es -1
(UNMSM 05-11)
C, Un polinomio P(x), de término independiente
11, al dividirlo ente x - 5, se obtiene como térmi-
no independiente del cociente 4. Halla el resto.
(UNALM-05-11)
imatic 5
G> Al dividir un polinomio P(x) entre x2-1 se ob-
tiene-2,· + 4 de residuo. Al dividirlo entrerc-r-Z
se tiene Bx + 14 de residuo Determina el resi-
duo que se obtendría al dividirlo entre V
x3-2x2-x+2 (UNMSM-08-I) �
p(}10x2-2x-6 B)lüx2;2x+6 �
�;;��,-���:6 0)-10., +6x-2 �
�
�
E)30
NI\/EL
0)50 C) 10 8)20 1<531
REFORZANDO
A) 6 B) 7
•
C) 11
•• ••
D) 22 ,Ej 26
� 'f .di 87% • 8:15 p. m .
CAPÍTULO
04
e En la división polinómica (x + yr- Y",uno de los
términos del cociente notable es (x + y)15y13. Halla
el lugar que ocupa dicho término contado a par-
tir del final. (CEPRE UNI-09-11)
a Al factorizar a1x1 + (a2- b2)x - Ir, un factor es:
(URP-12-11)
El Uno de los factores en R del polinomio
P(x) = x5 + .," + 1 es:
;,.1x+ 1
D)abx+ 1
B)ffx-b
E)x+ab
C)ax+b
p.1.,.i+x+ 1
C)x3+x+1
E)x2-x+ 1
(UNAC-12-11)
B)x2-.r-1
D):r3+x-1
II Facloriza
P(x;y) =x(x+y) + ij-(x+ y) +x + y
y señala un factor primo.
II Después de factorizar x4 - 6x3 + 5.,2, señala la
suma de los términos independientes de los
factores. (UNFV-2014)
A) x + y2
pjx+y2+1
B) .r + 1
E)y2+1
(URP-13-1)
C)x+y+1
A)S B) 6 C)-5 pj-6 E) 7
• •• ••
� r .di 87% • 8:15 p. m .
Factoriza en Y el polinomioP(x) = .r3 + 2,·2- 2x - 1, e indica el número de
factores primos es:
:. 3
x-3- flr- X+ 6 =X(x2- J) - 6(_r2- J)
: (x - l)(x+ i)(r - 6)
C)4t+2y B)3r+2y
�Sx-y
l'(x; y)= 2.r" - 3x3y- .¡r2y2 + 31y1 + 2_vl
., 2(.1"- 2x2y2 + y-1) - 3xy(.r1 - .if)
= 2(.,1- y2)1- 3.1y(.r2 - !r)
= (.1 + y)(.r - vJ(2., + .vJ(x - 2y)
Luego de factoriwr el polinomio
P(x; y)= 2;0 - 3x3y- 4x2y2 + 3xy3 + 2y" en Z (x;y);
halla la suma de los factores primos.
IUNMSM-09-11)
A)2<+2y
D) 2,· + Sy
El
E)S
(CEPRE UNI-06-1)
D) 4 8)2 A) 1
•x2-9x=a
{x - 3)(:r - 6)(x - -l)(x - 5) -120
rl-9.r T J8)(.r-9r + 20)-120
{a+l8){a+20)-l20 =- lr+3Ba+360-120
rr2 + 38a + 240 = (11 + 30)(11 + 8)
= {x2-9r + 30)(x2 -9r + 8)
=(.t2-9x+30)(x- l)(.r-8)
¡: de factores =.\.:!-9x + 30 + .\ -1 +x-8
= .\.:!-7.\+21
P(x) = (x - 3)(x - 4)(x - S)(x - 6) - 120
se obtiene tres factores irreductibles con coeficien-
tes enteros. Halla la suma de estos tres factores.
(UNMSM-15-11)
!})"2(.r+y) C)2x+y+1
E) 2{.r + y) + 1
A) 21{.r-y) + 1
D) 2(x-y)
Halla la suma de los factores primos mónicos
del polinomio P{x¡ y)""{.,·+ y+ 1)2- 2r - 2y- 10.
(CEPRE UNMSM 11-1)
P(.t;y) = (x +y+ 1¡?- 2.1·- 2y-10
=(r+.v+ l)i-2.(x+y+ 1)-8
=(.1+y-3)(.r+y+3)
Suma de factores prunos mónicos: 2(x + y)
a
C).r2-7x+12 B)x2-6x+21
,J21.r2-7x+21
Al fnctorizar el polinomio
A)x2-8x+24
D)x2-8x+ 12
a
a Factoriza en Z(x) el polinomio
P(.1) = _,.J + 2x2�x - 1, e indica
el número de factores obtenidos.
m Factoriza el polinomio P{x) = x5 + x4 - .,.2 - x en
z [xi, y halla la suma de todos sus factores primos
mónicos lineales. (CEPRE UNI-12-2)
A) 1 8)2
(CEPRE UNI 06-1)
0)4 E)S
A)x+2
Pí 3x
B) 2,·+1
E)2,
C) 3\ + 1
imatic 5
• •• ••
� r .di 87% • 8:15 p. m .
m Factoriza la expresión
P(x,y,:z}=(x+y+z)(x+y+z+ l}(x+y+z+ 2){x+y+z+3)-8
e indica un término independiente de un
factor primo cuadrático. (UNAC-13-11)
A)B 8)9 C)2
pj 4 E)]
Factoriza· "<,
13(a + 1)3(n-1}-(n-1)3(a + 1)-4a2 + 4 �
(UNFV-11) �
A)4(a+l)(n-1)(311-1)(a+2) �� � � �
8) 4(a + l)(a -1)13a - l)la - 2) �
¡2j 4(a + l)(a -1)(3a + l)(a + 2) �
D) 3(a + l)(a -1)(3a + l)(a + 2)
�
E)4(a-1)'(3a+l)(a-2) �
�
O Halla el número de factores primos del polinomio.
(x-3)�-.r4-81
NIVEL
B)Sx2-x- l
O) 6x2+ 2-1
B).r2+5x-6
D)x2-Sx+2
B)y2+y-18
D)y'-2y-12
¡aj y2-y + 18
C)y2-y-6
E)2y2+y-3
A)x2-Sx-2
0x2-Sx+6
E)x2+5.r+6
REFORZANDO
O Factoriza e indica un factor pnmo de:
(1¡ - 6)(y + S)(y + 2)(y - 3) + 144 (UNAL-12· 1)
O La expresión
(x - S)(x - 4)(x - l)x - 12
debe ser factorizada en dos factores cuadráti·
cos. ¿Cuál de ellos posee mayor valor numérico
para cualgmer valor de "x"? (UNCP 13-1)
O Halla el factor cuadrático primo de:
1Sn2.t 2- 30n2:<3 + 90n2x4 - 75a2xs
(UNALM-11-2)
A)x2+5x+ !
C)-Sx2-x+1
Ji1-5x2+x-l
O Factoriza el polinomio P(x) = nx3 - 3x + 2 en po-
linomios irreductibles y halla la suma de los
coeficientes de los términos Imeales.
(LA CANTUTA·lO)
A)l 8)2 ¡2j3 D)4 E)S
(URP-13·0
C)y-n
J2j 1
NIVEL
D)-6 E)7
(UNAL-14-11)
D)4 E)S C)3
J2j-5
B)x+n
E)x-y
B)x +2
E) 3
8) 6
)lj 2 A) 1
A)S
A) 2x-3
D) .,
f\1x-z
D)x+ y
REFORZANDO
O Facloriza Q = xy- zy + :rn - u, y
señala un factor primo.
e Simplifica
(6x2- 7x + 2)(8x2- 18:r + 9)
(6x1-13x + 6)(8x2 -10:r + 3)
e Después de factorizar: x4 - 5x3 + 6x2 , señala
la suma de los términos independientes de los
factores.
� e Factoriza 6a21l- + 6,·2y2 + 4a2y2 + 9r1b2
� y da como respuesta uno de sus factores.
� (PUCP-10-11)
� �;;::� :�;:��
� E)2b2-2,·2
�
• •• ••
� -:;:- .di 87% • 8:15 p. m .
E)6
(UNTECS-12-2)
0)2
B)x2-y2 + 2y+ 1
p¡x2+y2-2y-1
J3J3x2+4y-9
D)3x2-4y+9
C)O B) -1
A)x2+y2+2y+1
C)x2+y2-2y+l
E)x2-y2+2y-1
A)3x2-2y-9
C)3x2+2y-9
E)3x2-4y-9
divisor de P(,·; y) y Q(x; y).
G) Factoriza e indica uno de los factores de:
P(x, y) = (x2- - y2 - 1 )2 + 4x2y2 - 4(x2 + y2)
(CEPRE UNl-07)
e Dado el polinomio:
P(x; y)=4(x2 + y- 3)3- {x2- 3)(2x2+ 3y - 6)2
entonces un factor primo es: (UNCP 13-11)
e Dados los polinomios
P(x; y)= 2x1+3.,y+2x+y2+y
Q(.r;y) = x2-y2- 2y- 1
halla la suma de coeficientes del máximo común
E) 4
(UNAM-11-2)
O) 2 C)-1 B) 1
CAPÍTULO
05
E= 3 3 3, parax=2.
x-nb-ac-bc
REFORZANDO
e Si P(x) = x3 - 2x2 - x - 2 es divisible por (x- a),
(x - b) y (x -e), halla
P(x)
% e Factoriza el polinomio: P(x) = (x - 3)3- 2.\ + 7,
� ��··;:·;:,;;.J:;:: �
NIVEL �
• Señala un factor pnmo cuadrático de,
� M(.t)=(x-3)2(x2-6x+11)-24
� (UNCP 14-11)
� A)x1-6x-5 B) x2-6x+1
C)x1+6x-5 pjx1-6x+15
E)x2+6x-15
En la facultad de Ciencias Sociales de la UNMSM,
se realizará un campeonato de fulbito con seis
equipos. Si jugarán todos contra todos, ¿cutíntos
partidos deberán programarse como mínimo?
(UNMSM-15-1)
a
A)12 8)10 J2j15 0)14 E) 8
B Un CD de juegos tiene cinco carpetas. Si cada
carpeta contiene seis juegos electrónicos distin-
tos y cada juego tiene cuatro niveles: principian-
te, intermedio, avanzado y experto, ¿cuántas
alternativas de juego contiene el CD?
(UNMSM 14-11)
A) 720 B) 60 J2j !20 O) 480 E) 600
imatic 5
• •• ••
� r .di 87% • 8:15 p. m .
El Suponga un alfabeto de cinco letras diferentes.
Si una placa de automóvil consta de dos letras
diferentes seguidas de dos dígitos de los cuales
el primero es distinto de cero, ¿cuántas placas
diferentes pueden fabricarse?
(UNMSM 13-1)
A)2002 J>f1800 C) 1808 0)1802 E) 1806
a Dos brasileños, cuatro argentinos y tres
chilenos contrataron un palco de nue-
ve asientos para espectar la gran final de la
Copa América. ¿De cuántas maneras pueden
sentarse en fila, de modo que los de la misma
nacionalidad se sienten juntos?
(UNAC 15-I)
A) 684 8) 1278 C) 1200 JJj 1728 E) 864
11
A) 50 8) 60 C)24 JJj 30 E) 40
D
;<j 1 B) 2 C)3 D) 5 E)6
De cinco hombres y cuatro mujeres se debe elegir
un comité formado por seis personas. ¿De cuán-
tas maneras diferentes se podrá hacer la elección
si el comité solo debe tener dos mujeres?
(UNAC-06-1)
La diferencia positiva de los valores de x que sa-
tisfacen la ecuación (x2 - 5x + 12)! = 720 es:
(UNMSM 2016-11)
11
8)35 C)25 O) 32 E) 40
El número de maneras diferentes que pueden
sentarse "r" personas en tITTa fila de "111 - 2"
asientos {x < 111- 2), si los (a -1) asientos libres
deben estar siempre juntos, es: (UNT 2013-1)
A) {111 - a -1)! B) {111 + n + 1)! C) (2111 + a)!
D)(m-a+1)! ¡}'(111-a)!
A un baile asistió igual número de hombres
que de mujeres; cada hombre bailó con todas
las mujeres y cada mujer bailó con tocios los
hombres. Si en total se conformaron 225 parejas
distintas, ¿cuántas personas hubo en el baile?
(UNMSM-15-11)
• •• ••
-:;:- .di 87% • 8:15 p. m .
(11! + 3)(11! - 2) = 3
11! + 6
Halla la suma de valores de "11" que satisfagan la
igualdad.
(CEPRE UNAC) E) 7 O) 6 ,ej 5 8)4
Halla el valor de"¡¡" en
[720!119!JS! = (719!)<11'l'(6!)('1'l'.
(CEPRE UNAC)
A)3
m
E) 5 O) 4 8)2 A) 1
Reduce
K = 12! +13! + 14!
12! +13! + 12! X 7
Simplifica
P - e•+ e•+ e'+ c10 + c11 + c12 -345674
A) 28 8) 1; C) 14
(CEPRE UNAC)
pj28
3
E)42
E)3
(CEPREVI-UNFV)
0)4 )lj3
0)4
pj30
(CEPREVI-U NFV)
C)7
C)20
10!
---,---- bl = 42, , ..
8) 6
8)15 A) 12
calcula ab.
e Halla "r" en (2-r - I)! = 120.
A)S 8)6 C)7
O siendo
NIVEL
(CEPREVI-UNFV)
Jl)' 2160
E) 1440
imatic 5
= 99(211 - 2)!
(211 + 1)! -(211)!
A) 2340
O) 1640
REFORZANDO
e Halla el vaJor de "11".
(211 + 1)!(211)!
O Un estudiante de la UNCP tiene 6 libros de arit-
mética y 4 libros de geometría. ¿De cuántas ma-
neras los podrá ubicar en un estante en el cual
solo entran 5 libros, todos alternados?
(UNCP 15-11)
C)720
• •• ••
� -:;:- .di 87% • 8:16 p. m .
O Si CQ + q + C", + ... + C",, = 512, donde 11 es un
número par, halla el valor de 112 + 211.
(CEPRE UNMSM 12-11)
E) 15
E)2
C) 5030
O) 10
O) 120 E) 100
O) 5
C) 12
J2j 1
B) 3780
E) 7560
8) 4
B) 13B) 64 A)48
A)3
¡><)1260
O) 6300
REFORZANDO
..... . (11!+ 1)! - (11!)! 1 W S, ( ')' -( , - l)( , l)' - 6(11.), halla 11/3. 11. . 11. 11. + .
(UNAC-06-11)
e Javier desea formar un equipo de 6 jugadores
formado por l arquero, 2 defensas (uno derecho
y uno izquierdo), 2 laterales (derecho e izquier·
do) y 1 delantero. Si dispone de 6 jugadores y
todos son aptos para Jugar en cualquier posición,
¿de cuántas maneras se podrá formar el equipo?
(PUCP 15-11)
A) 120 B) 360 C) 540 pj 720 E) 700
a, Nueve personas abordan un tren que tiene 3
vagones, y cada pasajero escoge aleatoriamente
un vagón. ¿De cuántas maneras dos pasajeros van
en un vagón, 3 en el otro vagón y 4 en el vagón
prestado? (CEPRE UNl·06·1)
e En una feria, una ruleta tiene 6 espacios en los
cuales se ubican 5 frutas (piña, plátano, papaya,
sandía y mango) y un premio(un smarthphone).
¿De cuántas formas se pueden distribuir las 5
frutas y el premio, de tal forma que la piña y la
sandía no estén [untas? (PUCP 2016-1)
e En un campeonato de fútbol se ¡ugarán 110 partidos
de local y de visita. ¿Cuántos equipos participarán?
E) 6
E) 65
C) 1980
NI\/EL
0)10
pj21
(CEPRE-UNl-06-1)
J.lf13 · (12!)13!
D) 13 · (12!)12'
C)30
C)7
J2j120 0)168 E)20
8) 1020
,Ej 1344
8)80
8) 60
8)12
A)12
A) 1790
O) 1660
A)48
A) 13 · (13!)141
C) 13 · (13!)11'
E) 13 · (12!)U!
¡><)9
REFORZANDO
O ¿Cuántos números de seis cifras diferentes,
cuyo último dígito es impar, existen en el sis-
tema duodecimal? Da como respuesta la suma
de las cifras. (CEPRE UNMSM-12-11)
O Se tiene una moneda cuyas caras están marca-
das con los números 2 y 5. Si la moneda es lan-
zada 7 veces, ¿de cuántas maneras diferentes se
obtendrá como suma 29?
(CEPRE UNMSM-12-11)
e ¿De cuántas diferentes formas pueden sentarse
8 personas en una mesa circular de 5 asientos, si
3 de ellas están esperando?
(CEPRE UNMSM-12-11)
e Determina el valor de
E= 131J!+l. (12!)U!
1313! (12!)13(131)
• •• ••
� r .di 87% • 8:16 p. m .
(CEPRE UNMSM-08)
C) 145 O) 210 E) 120 )lj 252 A) 165
Halla el término independiente del desarrollo
de(x2+ .,1r
11
CAPITULO 06
A)224 8)234 C)212 0)200 )1j210
El quinto término del binomio (a2+b3)10 es ma"bl'
Determina m + 11 - p.
Si el cuarto término del desarrollo del binomio
[l )" x+ x2 es Ax-8 donde A es una constante y
ne R+. halla el coeficiente del décimo séptimo
término. (CEPRE UNMSM-07-1)
¿Cuántos términos racíonates tiene el desarrollo
del siguiente poltnorruo?
(J,c+vx)'°
(CEPRE UNMSM-08-2)
E) 7 O) 6 C)4 )JJ 5 A)3
11
0)28 )1j17 C) 16 8)18 A)35
B
El término independiente del desarrollo del bi-
nomio (xº + .,\ r con n e R y de (0,5) es:
(UNAC-06-2)
Si el octavo térmmo del desarrollo del binomio
(.t" + .-rl1)11 es.i 14, entonces el valor de (b + 11) es:
(UNCP-13-II)
El
A) 37 8) 38 ¡zj 35 O) 39 E)36
11
A) 15 B) 13 C)8 O) 11
imatic 5
• •• ••
� -:;:- .di 87% • 8:16 p. m .
Calcula el término independiente de "r" en:
["-t J'
D
A) 74 B) 68 C)94
(UNCP-15-1)
pj 84 E) 112
Halla 11 para que el t25 del desarrollo de �
(x' + .i...)'"" �
y -!x ��
contengaaxconexpo�ente44 �� �
� �
(CEPRE UNI 15-11) �
A)B 8)9 9f10 D) 12 E)14
�
�
�
Halla el valor del término centra! del desarrollo
de:
D) 48 J2Í 49 C)47 B) 46 A) 45
Calcula el número de términos en el desarrollo
de(ix + y r, si los coeficientes de los términos de
logares 7 y 8 son iguales.
m
[c': }!_)'° }/+X
(CEPRE UNAC)
8)128 $21252 D)512 E)l 024 A) 64
D
IJ Halla el grado absoluto del término 16 en la ex-
pansión de
P(x, y) = (x' - 2y')25.
(CEPRE UNAC)
A) 20 B) 25 C)35 D) 45 J2Í 60
IIJ Dado el polinomio
(5 . 1 )'" Vi+- , Vi
calcula el número de términos racionales que
tiene el desarrollo. (CEPRE UNI 15-11)
8)10 C) 11 D) 12 E) 13
• •• ••
� r .di 86% • 8:16 p. m .
)<18
a
D) ¡,
D) 7 C)6
2n' C)- 31113
¡2j x'y D) .i'y' E) .<'y'
B) 5
A) xy2 8) xy
A)4
A) 1
ro
desarrollo de(}+ M) es 252,-1sy-zs.
(CEPRE UNI 06-1)
41!> Halla In razón entre los términos 9 y 33 del desa-
rrollo de {a+ b)4°.
O Determina el lugar del término que lleva x25 en
el desarrollo de:
(3x5- .�r
E)32 D)3l B) 29 J2j 30 A) 28
REFORZANDO / � NIVEL ......,,,,,
�@ O Del desarrollo de (x + a)31, se puede afirmar que· � l. Tíene Sz térmínos. �w � ll. Todos sus términos son positivos � 111, El segundo término es 31..3Da.
� IV. El último térmmo es a31.
� A) l y 11 B) l, n y lll $25 Todas
� D) 11 y III E) Sólo III
� e En el desarrollo de (x + y)30 el 15 contiene a x"y"
Determina el valor de (a+ b).
e Halla la relación entre r y 11 para que los coefi-
cientes de los términos de lugares 3r y (r+2) de
(l+x)3'' sean iguales.
E)27
NIVEL
D) 19 C) 15 Jlj' 11 A) 7
REFORZANDO
4I> Halla el coeficiente de x3 en el desarrollo del bi-
nomio (2r + (2rt1)11 (UNMSM-09-2)
¡() 2640 B) 330 C) 660 D) 1310 E) 5280
a, Halla el número de términos en el desarrollo de
(a3 + LJ2)2k, si la suma de los exponentes de tos
términos de su desarrollo es 275.
G) Si xP se encuentra en el desarrollo de
( ., )'" x2 __ • X '
E) N.A.
E) N.A.
D) l
D)� 2 CJf
B) 18 C) _2. 7 7
e Calcula el término central del desarrollo de
(x + 2)6.
p,.1160.\3 8) 150x3 C) 130il O) 140x3 E) 170x3 e Halla el término independiente de ''x".
(!.\�-;xr
E) N.A.
E) N.A. D) 34
D) 10 C)9
C)C� D)"l
3
B) 240 C) 48
,Bj 8 A) 7
entonces su coeficiente es:
contenga a "r" con exponente 24?
e Halla el término independiente de''\" si existe
en la expansión de:
e ¿Qué valor debe asignarse a "11" para que el tér-
mino de lugar 25, en el dcsnrrollo de
( .z ,, )'"' L+....L... y F ,
E) 11
E) 78
D)12
D) 70
C) 13
imatic 5
8)14
B) 40 ¡2j 66 A) 30
;9<J 15
REFORZANDO
O Determina el valor de M si el sexto miembro del
O Si la suma de coeficientes del desarrollo del
binomio {x2 + x3)16 es cuatro veces la suma de
los coeficientes del desarrollo del binomio
(.,.s+x4r-1, entonces el valor de "11'" es:
(CEPRE UNl-07-1)
e Determina el valor dMe II si el término central del
lugar 25 de (x2 + }-3) contiene a x12.
(CEPRE UNl-06-1)
• •• ••
� r .di 86% • 8:17 p. m .
D Determina el valor de
E=i+fl-+P+ .. +1'2(21:+q
(CEPRE UNI-06-1)
A)i 8)-1 C)l+i 0)1-i ,lz1i-1
11
CAPÍTULO
07 ·�
El equivalente de (1 L+20" + (1 + 2;)" + 1 es,
�
(CEPRE UNAC) �
,»1 B)-3 ci-z �
D)-, E)f+ 1, �
�
II Sea el complejo Z = 1 + i. Calcula 212
(CEPRE UNAC)
A)32 8)-32 !2)'-64 D)64 E)128
El Calcula i555555 + ¡-3..13
A)i 8)-i C)21
(CEPRE UNAC)
j))'-2, E)O
u (1 + 1)n Calcula el valor de (l _ i)" 2; donde IIE z+
(CEPRE UNAC)
11 . r,:;:,¡ H ali a V ---¡-=-¡- (URP-13-11)
A)-2
D)-2i
B) 2i"
E) 2;n+t
0-2111+] t,jt+'H
D)2-'H
8)2 C)2'H
E)V2-2-'H
• •• ••
� r .di 86% • 8:18 p. m .
D) 411(211 + 1) E) 4112 + 11
Suma
s = (1+1)+(2+i2)+(3+i3)+(4+i4) + ... + (411+i411)
m Reduce
E)O
A =-1-+_1_ .
1 + 1 1 - /
)lll C)-2 0)2 A)-1 8) 11(411 + 1) 521211(411 + 1) A)411+l
a Calcula f.=-J3+4i +-J3-4i . 1 1 1 ReduceB=- 1-.+1- 2.+- 1 3. + 1 + 1 + 1
A)V41
p)'4
8) i
E) -i
(UNAC-12-1)
C)V3
m
A)8-1,2i
pj0,8-l,2i
B) 1 + i
E) 1
C) 0,8-12i
B)-1 9)i (CEPRE UNAC)
C) -z. D) 64 fo) 256 B) O
w=
El equivalente de
l+i 1-i
)'
1 _ 1+1 - 1 + l+i es:
,_l+i ¡_1+1
1-i 1-i
A)21
(CEPREVl)
D)-i E)O
Z= l-1
1 1+1 +--
1 + 1-i
l+i
A) 1
a Obtén Z20º7
imatic 5
• •• ••
� r .di 86% • 8:18 p. m .
(CEPREVJ)
A)B 8)16 C)32 pj--8 E)O
<UNI-07-1)
E)4
NIVEL
0)3
(PRE LA MOLINA)
pj-, E)O C)'
¡zj 2
,e)l+i D)l-i E)i
8) --81
B) 2
8) 1
E= "l+i_l-i
1 -1 1 + 1
A) 81
0)81/4
A) 1
A)-1 8) 1
A)O
REFORZANDO
e Calcula
R=(J,-J,;J'°
a, Calcula ----
e Determina el valor de xy si se verifica:
x-1 v-1 -+;¡_________..:_ =1
3+i 3-i
e Si 11 = Bk y k e Z+, calcula el valor de R.
( 1 1 ·J" ( 1 1 )" R= {i_+ .fi.' + - {i_+ .fi.'
E) O
(CEPREVI)
)!) o
(PRE UNJFSC)0)-i
(PRE UNJF5C)
O) -3; )!) 3
0)-i
C) i
C)-i
(CEPREVI)
¡zj256 0)16 E)O
8) 1
B)-i
8) -2i C) i
8)-1 521;
B) i
A) 1
A) 2i
A) 32
A) 3,
A) u
REFORZANDO
REFORZANDO
ºEfectúa E= ¡1 +P.+ ¡3 + 14 + ... + 12000.
(CEPREVJ)
A ¡1 + ¡13 1 - ¡21 )""" V Calcula Z = -.- 17 + ---:is . ] -1 1 + 1
e Halla Z = (1 + 1)2 + 1-6 - ;n,
e Calcula G = (1 + 1)16 + (1 -1)16.
O . . jJ.13 + ¡55331 + ¡�2 + j412.'JOO 51 m p h fica M = ���----'--'--------'--'----- ¡-55 + ¡-2�2 + ¡-321',
O ;·m + 3;s1s + 5,� Reduce M = ----- ,•
O Calcula 11 + b;
si a+ bi = (1 + i)4 + (1-,)3.
A) 2 Jlj-2 C)' 0)-i E) 21
(PRE LA MOLINA)
A)-28 B) -26 C)-18 0)-20 )il-24
O 1 + i + ¡1. + jl+ ... +/1999 Calcula .,., 1 + i + r- e Simplifica
(PRE UNJFSC)
#IJO 8) 1 C); 0)-i E) -1
Z = �1 - .,/2µ
(PRE LA MOLlNA)
A) 1 8)-1 ,e), D)-, E)2
• •• ••
� -:;:- .di 86% • 8:18 p. m .
(PRE- UNAC)
pj 15/2 E) 1 C) 15 8)-2 A) 2
¿Qué valor asume "k", si la expresión es un
comple¡o imaginario puro?
k + 3¡
2-Si
11
CAPITULO
08
Determina el módulo del número complejo
Z � (3 + M)(5- 12;¡[2-fi_ + ;)[ l+ v'3;)
(CEPRE UNl-06-1)
,Aj 390 B) 265 C) 280 D) 130 E) 195
Sabiendo que .¡;;-;-¡;¡ = x + y1,
calcula li
ay2 + y4
fJ Halla "m + 11"; a partir de
1 ('+;]' . 111+11!+ 1-i :l+I.
A)2/5 B)-1/5 9!1/5 0)1/7 E)2/7 8)-4 C)-2 D) 2 E) 1
Si Z es un complejo y satisface! { � �
1
= 1, dados
los siguientes enunciados.
l. 2=1+1
11. 2=2
111. Z es imaginario puro
¿Cuáles son correctas?
EJ Los cocientes a+ 2i y b + ai + Si son b+3i a+bi '
correspondientemente, un número complejo
real y un complejo imagmario puro. Determina
el producto de los cocientes.
(CEPRE UNl-07-1)
A)-.2¡ 8)-.'!i Q'J-.fi D)-li E)l¡
3 3 3 3 3 ,MSolo lll
D) Solo ll
B)l,llylll
E) 1 yill
(CEPRE UNl-06-1)
C) 1, 11
imatic 5
• •• ••
� -:;:- .di 85% • 8:18 p. m .
}'l l 8)2 C)3
(UNAC-07-11)
0)4 E)S
mJ Si P= -1, el número complejo
¡'200J - i ,�- . -1- es: ,-
A) un número real.
B) un número de módulo l.
S2f un número de módulo ../2.
D) de la forma n+bí, con n + b = 1
E) un imaginario puro
�
(UNAC-11-ll)
�
�
�
�
II Si Z = cos6º - isen6º,
determina 12151.
II Si Ze CAZ· Z =71m(z),
calcula IZ-3,Sil
¡)() 3,5 B) 2,2 C) 2, 1
(PRE UNAC)
O) 2,4 E) 1,2
m Si e! número complejo z = n + bi, con n y b núme-
ros reales, cumple z + 1 z 1 = 2 + 8i y
In+ bil = \la2 + b2, entonces I z] 2es igual a:
(UNAC 12-1)
A)68 8)208 C)169 O) 100 )<)'289
a Calcula
B) 8
(PRE UNAC)
C) --3; O) --8 E) 32
A)O ,Bj-4 C)2
(UNJFSC)
0)-2 E) l
calculan - b.
S·d"b,. ren o-b- . = +1, a+ ,
• •• ••
� r .di 85% • 8:19 p. m .
NIVEL REFORZANDO
e Halla la raíz cuadrada del complejo3+4i.
C)±(3+i)
(UNALM 2013-1)
0-17 /4
O) tg45" fo? 111 C)2
8)-11/23
E)-9
8)±{1+i)
E)± ¡2
8) Si A) 1
A)-12/7
D)-10
t,l'±(2+i)
0)±1
A 5. 1.1. 2 (1 + iTg45")" V 1mp 1 rea = 1 _ tTg45.,
O Si Z = 1 +i, halla E =z" + 2�
E) 5
(CEPREVI)
E) 4
/
� � O Halla el módulo de
� Z=2�::> �
A)l JJÍ2 C)VS D)O @e lndicaelmódulodeZ=(S, 12). w A)lO 6)9 C)7 pj13
� O Calcula lzl en:
A H 11 "b" 1 1 · Z 6 + 21 V a a para que e compe¡o =, +b!
sea imaginario puro.
z = (1 + ,122 + (1 + i)2f} + ,-is
(l-i)20 (l -1)16 NIVEL
{UNFV-11-1)
DJ-; E)V3
IUNFSC)
Jj') z = 2cis120"
D) z = 4cisl 20"
A) z = 2ds35º
C) z = 4cis150º
E) z = 4cis130º
A)Y41 B); ,Cj4
REFORZANDO
4I> La representación trigonométrica de
z=-1 +../3i es:
G) Determina la suma de las raíces de la ecuación:
16(z2-2iz-1)2=z4
e Calcula ·../3 + 4i + ·h- 4i.
(CEPREVI)
E) 5
(CEPREVJ)
E) 1
ICEPREVll
D)-2 jl-3
D) 6
4+(11+l)i
2 +5!
C)2
C)3
C)7
B)-1
B) 8
A)V2 8)2
A) 1
O Calcula "11" real, si z =
es un complejo real.
( Re(z,)l( lm(z,) l de S = 1 - Re3(Zi) 1 + Jm3(Zz) .
O Si z1 y z2 son 2 números complejos no nulos que
cumplen la condición de z1 = z/, halla el valor
REFORZANDO NIVEL
(CEPRE UNI)
(UNl-07-1)
3-41 2 + 4i 48i
A)i5 8)� 5- Cl5
0)-2+4i JiÍ64,
5 15
C, La ecuación cuadrática
zZ - (1 + 31)Z - (1 - 31):Z = 12 representa:
(UN! 12-1)
e Simplifica
E=�+I�
�-1...Ja-bi
_,K) -3 8) 5
�
G) Si zE<C de modo que I z l = -13, �
determina el valor de [z + 112+ lz-1¡2. �
(CEPRE UNI) �
A)V2 B)V3 C)4 pjS E)9
�
�
�
B) Una hipérbola
D) Dos puntos
fo1 Una circunferencia
C) Una recta
E) Un plinto
E) O
E) 12 0)9
0)2i
C)6
imatic 5
B)2 A) 1
• •• ••
� -:;:- .di 84% • 8:20 p. m .
Simplifica y halla el valor de x es:
CAPÍTULO
09 �
�
Si_n > O entonces, halla el valor de .r en la
ecua-�
cron
"-"'� :J º' �
(UNALM-08-1)
�
A)a(a;1) B)"'';l C)a(12-a) ���
J2>1(n-1)2 E)a+l �
2n n-1
11
(PUCP-09-1)
pj-2,2 E)-2
3
x+l+l
3
2
B) 2,2 C) 3 A) 1
D
II La solución de la ecuación
*-% -1 =*-i+ 1 enxes.
II Halla la suma de los cuadrados de las raíces de
la ecuación (2k + 2)x2 + (4 - 4k)x + k- 2 = O donde
(UNAC-08-1) una raíz es el inverso multiplicativo de la otra.
A) n2
D)n2-b2
J}'fn+b
E) n-b A) 80
9 B)
3J C) 6J
(UNMSM-08-1)
n< 82 E) ..2. Y,! 9 82
IJ Un vendedor tiene cierto número de naranjas, 11 Si las ecuaciones cuadráticas
vende la mitad a Juan y la tercera parte del resto (Sa- 2)x2 +(a+ l)x + 2 = O
a Pedro. Si le quedan aún 20,¿cmíntas naranjas (nb - l)x2 + Sx + 3"' o
tenía al inicio? (UNMSM-11-2) tienen las mismas raíces, hallan.
A) 80 B) 90 ,ic) 60 D) 40 E) 50 (UMALM-05-1)
A)2/7 B)-2/5 C)7/2 pj7/3 E)l/2
• •• ••
� -:;:- .di 84% • 8:20 p. m .
Dada la ecuación con raíces complejas
3x2 + (111 + 2)x + 111 ;;ce -2,
halla el máximo valor entero que puede tomar 111.
(UNMSM-07-2)
Si a "11" veces tu edad se le disminuye "2n" años
resulta la cantidad de anos que te falta para te-
ner "311" años. Además, cuando yo nací tu ya te-
nías 2 años. M1 edad actual es:
(UNT 2013-1)
#<)9 8) 10 C)8 D)5 E) 6
A) 11(211 + 7) B) 10 C) 711+2
11 + 1 /1 + 1 11 + 1
P'311-2 n2-211 +2
/! + 1 E) 11 + 1
A)l5 8)20 C)25
(CEPRE UNFV-08-2)
pj 30 E)35
m
A)9 8) -8 ,ej-5 D) 14 E)-10
Las raíces r1 y "a del polinomio Sx2 + bx + 20
son positivas y difieren en 3 unidades. Calcula
r1+r2-b.
Si lo. - 1¡ a) es el conjunto solución de la ecua-
ción 2x2- (P + 3)x - P + i = O , halla el produc-
to de todos los posibles valores de P.
(UNMSM 20106-11)
IJ Paquito emprende un nuevo negocio relacionado
con la venta de camisas. Desea implementar su
tienda comprando a la distribuidora Jhon Holden
42 camisas con 5/3 600; pero esta suma no cubre
el costo por lo que devuelve 4 camisas de manera
que la vendedora de la distribuidora le devolvió
tanto dinero como faltaba para cubrir el valor de
las 42 camisas. El precio de cada camisa es:
IEI
A)-10 8)-2 C)2
(UNMSM 16 - 11)
D) 8 ,B$10
Las raíces de la ecuación 2x2- bx +e= O suman 6
y el producto de las rarees de la ecuación
b.\ 2 - 3n + � = O es 4. Halla la suma de las raí-
ces de ambas ecuaciones si se sabe que b * O y
C'FÜ.
A) 80 8)82 C)85
(UNT 2013-1)
pj 90 E) 92
imatic 5
• •• ••
� 'f .di 84% • 8:20 p. m .
(UNFV-11-2)
NIVEL
B)y2-y-2=0
o)y2-K-2=0
2
C)B B)-8
¿Cuántas personas no pagaron?
A) 10
REFORZANDO
G, Sea la ecuación 4x2- 2\ + 3 = O cuyas raíces son
a y b. Halla otra ecuación cuadrática que tenga
por raíces (2n-1) y (2b- l). (UNl-08-1)
A)y2-y+1 =0
$2)'y2+y+3=0
E)y2-Y..+3=0
4 e Dos ca¡as contienen en total 825 naranjas y una
de las cajas tiene 125 naranjas más que la otra.
lCuál es el valor de la caja que tiene más naran-
jas si una docena de naranjas cuesta 5/3,60?
(UNMSM-11-2)
<,
A)6 8)4 C)3 )))2 E)l �
O Halla la suma de los cuadrados de las raíces de la ��
ecuación (k2 + 3)x2 + (0 + k + 1 )x + 2k + 2 = O, don-
�
de una rníz es el inverso mult,ph;�t��:�::::;;
�
A)82/9 B)-29/9C)-21/9 O) 16/9 ,Ej-23/16 �
O Una ecuación cuadréñca hene como rarees 6 + 4
��
y 6-2 Halla la suma de cifras del
producto��
de estas raíces, siendo 6 la dtscrlmmante de la
ecuación. (UNl-06-2)$<)'10 B) 11 C) 12 O) 13 E) 14
e Si las ecuaciones 4x2 + 8x +e= O, ax2 + 2x - 8 = O
con a> O tienen el mismo conjunto solución, y si S
y P son la suma y el producto de las soluciones,
respectivamente: halla el valor de S + P.
(UNAC-07-1)
O) 7 }1)-10
E) 0,2
jZj 7
$2141 años
O) 0,5
C)B
jZj 5
B)-7
E) 5
B) 30 anos
E) 69 años
8)3
)lj 12
';J . .3+3x1+13
A) 1
A)5+Vb
0)-5-Vb
A) 54 años
D) 21 años
A)9
REFORZANDO
REFORZANDO
e Si el 40% de (4x + 9) es igual a (x + 6), determina
el valor numérico de:
O La edad actual de Pedro es seis veces la de Ana.
Luis y Ana tienen juntos 20 años, y la edad de
Luis es el doble de la edad de Ana, más 2 años.
Halla la edad que Pedro tendrá dentro de5 años.
(UNMSM 16-1)
O Si tenemos la ecuación y= 3x + 5, halla en cuán-
to aumenta y stx aumenta en 4 umdades.
(PUCP-11-2)
0)17 E) 24
O Halla la suma de las raíces de polinomio de me-
nor grado con coeficientes racionales, sabiendo
que 3 y 2 + Yb son raíces de dicho polinomio,
donde bes un número racional, pero..¡¡; no.
(UNMSM 16-1)
e Las edades de Julio y su padre difieren en 24
años. Si Julio nació en el año 19nb y en 1980 tuvo
(n + b) años, ¿en qué año ambas edades sumaron
112 años? (UNMSM 16-1)
A) 2012 )lj 2011 C) 2013
O) 2014 E) 2010
pj 1,5 kg B) 2,5 kg
E) 3,5 kg
8)5/.171 ¡255/.142,5
E) S/.123,50
A) 2 kg
O) 3 kg
A) S/.105
O) S/.152,40
G> El peso de dos botellas es (2.\ - 3) kg y el peso de
media docena de botellas es (n + x) kg. Si todas
las botellas tienen el mismo peso y nueve botellas
pcs,111 (2n + 1) kg, halla el peso de una botella.
(UNMSM-11-2)
C, Un gavilán le dice a un conjunto de palomas:
¡Adiós 100 palomas! Ellas les responden: No
somos 100, sino que nosotras, más la mitad de
nosotras, más la cuarta parte de nosotras, más tú,
gavilán, somos 100. La cantidad de palomas es:
�
� A)32 8)36 )Zj44 0)38 E)34
� O EntreSpersonastienenquepagarunadeudade
� S/60 por partes iguales, pE>ro como algunas de
� ellas no pueden hacerlo, las restantes tienen que
�paga, 5/8 más cada una paca cancela, la deuda.
<,
• •• ••
� ":;:" .di 84% • 8:20 p. m .
CAPITULO
10
C) 413 000 B) 313 000
E) 613 000
A) 213 000
p¡ sn ooo
e Si las raíces de la ecuación .i:2- (n + d)x + nd -be= O
son x1 = 3;x2= 5 y las rnícesde
r- (n3 + d3 + 3nbc + 3bcd)y+ (nd - bc)3 = O son y l'
y2. Entonces el valor de yiy2 + y1fi es:
(UNl-10-1)
% e Sea P(x) = nx2 + bx + e tal que P(l) = -2, P(2) = 3
� y P(S) = 34. Determina el valor de "x", de modo
� que P(x') e O. (UNJ-0¡-1) �
A)3-[34 B)-3+8V17 C)�+3
�
p¡-3\W7 E)�+VJ
�
a Después de resolver la ecuación .\..i+ 400 = 41x2, se- El Las raíces de la ecuación .r3 + 3x2 + kx - 8 = O,
ñala la suma de los valores absolutos de sus raíces.
(UNSMP 08-1)
donde ke R, íonnan una progresión aritmética.
El valordekes: (UNAC2011-II)
E)-4 O) 6 C)4 B) 2 f<i-6 E) 28 0)16 JZ) 18 8)8 A) O
II La ecuación x•- 7.r-12 = O posee dos raíces cuya
suma es -L Calcula la suma de las inversas de
las otras 2. (UNAC 2013-11)
II Del polinomio P(x) = 2x3 - 6x2 + 11x - 3 se pue-
de decir que: (UNI 2016-1)
A) Tiene 2 raíces enteras y una racional.
B) Tiene 3 raíces enteras.
C) Tiene una raíz entera y 2 racionales.
D) liene 3 raíces racionales.
Jq Ninguna raíz es racional.
B)-}
2
2 C)-:¡ Ji)'-1 3
imatic 5
• •• ••
� 'f .di 84% • 8:20 p. m .
Determina la suma de raíces de la ecuación u
A) 3 - 4i 15
0)-2+41
5
B)2+4i
5
,El 64; 15
(UNJ 2007-1)
C) 48i
15
11
La suma de las raíces de 4-,A + x2 + 1 �
= O es: Si las cuatro raíces de lc1 ecuación
x4-30x2+{m+ 1)2=0
están en progresión aritmética, halla la suma de
los valores de m. (UNMSM-12· 1)
E)18 D) 2 C)8 B) 10 M-2
(UNAC 2014-11)
1 q-, 2V2
sro
A)....=1_¡
2V2
D) --=.!.__ i + - 1- 2 V2 2V2
11
(UNMSM 13-11)
a Sean a, b, y e, raíces de la ecuación xl + 3x2- 7 = O,
7 7 7
calcula el valor de
al
+ Ir + ¿i .
(UNMSM 2016-1)
Si n, b y II son números enteros positivos y la
solución positiva de la ecuecíón bx" -1-a = O es ,
(2+t)", halla�.
A) 3
.0l 6
8)4
E) 7
C)5 C)V2 D)l
4
E)2V2
• •• ••
� 'f .di 84% • 8:21 p. m .
J<)-15 B)-2 C)-3 0)-14 E)15 ) q
2+2pr q2-2p C)q2+2p
A ' B)-,,- r ,,
D) q2+2r ..E') q
2- 2pr
p ,,
Si-1 es una raíz del polinomio
P(x) = a.t5 + ax4 + x2(13x - 11) - 2(5x + a)
y P(l) = b, halla el valor de a+ b.
(U. DE LIMA 2014·11)
Sin, by e son raíces de la ecuación
x3- px2 + qx - r: O, donde r ,¡. O, halla el valor de
1 1 1
2 + - , +-, · (UNMSM 11-1) a b e-
r'-4t5+.0-x2+4x-1 =0
E) 5
E)S
(CEPRE UNI)
¡zf4y4
NIVEL
0)4
o¡19 E)17
4 4
0)4 C)3
B) 1 y 1
E) 4 y 1
B) 23 C) 21 4 4
B) 2
,JJj 2
E=-'-+-'-+-l- n/J+·1 ne+ l /Jc+1 ·
(PRE UNI 2014-11)
A) 1
A) 1
A) 2y2
D)-3y2
REFORZANDO
determina el valor de
O La ecuación bicuadrática x4 - (p + 4).r2 + 16 = O;
tiene las raíces de la ecuación x2 + px + q = O.
Halla los valores de p y q.
O Sin¡ by e son raíces de ln ecuación
x3+_,.2_3x-1 =O,
O Si P(x1) = P(x2) = Ph) = O,donde P(x) =x3+ x+ 1,
entonces el valor de (1 - x1)(1 - x2)(1 - .r3) es:
(PRE UNI 2014-11)
O Si <p x2, .\3, <4 son las raíces de
1A+x3+x2+x+1=0,
entonces el valor de
(CEPRE UNI)
(CEPRE UNI)
0)5 E)6
0)-3 E)-2
C)4
2.J.A-5x3+5x-2=0
imatic 5
B)-5 ¡zf-4
JJ'f 3
A)-6
negativas, es:
A) 2
l. El número de raíces enteras es 2.
11. El número de raíces racionales es 4.
111. El número de raíces irracionales es 2.
(CEPRE UNI)
A) WF B) FW ¡zf VFV O) VW E) VVF
REFORZANDO
O Indica la suma de los cuadrados de las solucio-
nes de la ecuación
O Determina el valor de la mayor raíz de la ecua-
ción
6x5 - 29.,..i + 27.,.J + 27x2 - 29x + 6 = O
(CEPRE UNI)
e De las proposiciones que a continuación se dan,
indica sus respectivos valores de verdad sobre
la ecuación.
8 Al resolver la ecuación x4 + 2r3 - 6x2 + 2x + 1 = o,
se puede afirmar que la suma de las raíces reales
• •• ••
-:;:- .di 84% • 8:21 p. m .
e Dada la ecuación x3 + px + q = o A q-:¡. O, indica la
relación que debe haber entre p y q para que una
de las raíces sea la suma de las inversas de las
1) Si una ecuación recíproca de cuarto grado tiene
como raíces x1 = ! y x2 =f. determina la suma
de los coeficientes de dicha ecuación, siendo el
coeficiente independiente 6. (PRE UNI 2014-11)
B)x2-3x+.!
2
D)x2-.!..,--1
2
J(J x2 + .!_,. - 3
2
C) x2 + lx-1 2
E)t2_Zx-l . 2
A)2rl-6x2+4x-1
,B5x3-6x2+3x-12
C) x3- 6x2 + 3x + 12
D).,.J-2x2 + Sx-2
E)2x3-4x2+x-3
e Se tiene P(x) = .r'- 7x - 6. Halla Q(x) si sus mices
son dos unidades menos que las raíces de P(x).
(UNALM-10-2)
E) 10
C) p2 + q = -1
(PRE UNI 2014-11)
(PRE UNI 2014-11)
D)S JZ) 4
B)p2+q: 1
E)p2+q2=1
B) 1 A) O
A)p+q"" 1
P) q2 + p = -1
otras dos.
CD La ecuación:
(a+ b-cX a-b):0 + (b + c-a)(b-cJ.i-2 + (e+ n-b)( e-a)= O,
admite por raíces .t1= 1; x2= i. Halla un valor de:
e Sea P(x)=.\3 + bx2 + ex + 3. Si a = 1 es una de sus
raíces y el cociente Q(x) que se obtiene al dividir
P(x) por (x - 1) tiene como suma de coeficientes
el valor de -3/2, entonces Q(x) es:
J2j 84 D) 70
o¡!Z
25
C) .z.
12
C)56 B) 41
B) 2.
12
A) 28
A) 2.
18
entonces el valor de x3 + x4 es:
(' .1) ( .1) 72 x + xi + 6., 1 + xi - 181 = O
CD Si x1 < x2 <O< x3 < x4 y A= !x1; x2; x:y x4f
es el conjunto solución de la ecuación
e Determina el polinomio mónico de menor gra-
do de coeficientes enteros, que tenga como raíces
a los números reales -fi. - 3 y V3- 2, y da como
respuesta la suma de sus coeficientes.
(UNl-07-2)
E) 6
E) 5
NIVEL
D)4
D)S 8)3 9)'4
8)2
(a+ 2b)(b + 2c)(c + 2n) E=���-��-�
(a+ b + c)(ab +be+ ca)
(CEPAC UNI)
A) 1
A) 2
REFORZANDO
• •• ••
� "i§:" .di 84% • 8:21 p. m .
Si la solución de x2+ x+ 1 sx+SO <x2-3x+50es
(m; 11}v (p; q], calcula m11 + pr¡.
(CEPRE UNMSM-09-02)
Halla todos los valores ke IR, tales que para
todo número real x se cumpla x2 + 4.t + k > O
(UNMSM 16-11)
A)k<4)1}'k>4
D) k E(- 4; 4) E) k > 0
11
E) 34 D)30 8)24 028
CAPÍTULO
11
A) 20
Se pagó una deuda de 5/ 210 con 45 monedas
de 5/2 y de S/5. Halla el número de monedas
de 5/2. (UNMSM 15-11)
C) 1
Halla el máximo número entero, menor o igual
que la expresión;
E=Y3+x+'./3-x;xe 1-3;31
(UNMSM 13-1)
D)O E)4 A) 3
E) 15 D)7 C)25 A) 10
fJ
IJ Determina el C.S. de la siguiente inecuación:
X-1112 X-112
-,- , - - -,,- , - > m - 11; 111 > 11 > O
II Halla el conjunto solución del sistema de inecua-
dones
A) (11; +oo) B) (11; 111)
.,0) ((m + 11)2; +oo)
(UNCP 15-11)
C) (-oo; (111 + 11)2)
E) ((m - 11)2; + oo}
A) [O;+-)
p)IO; 11
B) (O;+-)
E) 11; +-)
(UNI-11-2)
C) (O; 1)
imatic 5
• •• ••
� 'f .di 84% • 8:21 p. m .
Determina el conjunto solución de la inecuación
X-3 X -�<--
x2+9-.,.2+3
Si una de las raíces de la ecuación x2- 4x - K = O
pertenece al intervalo (2; 6), determina el inter-
valo de K. (VILLAREAL-10)
C) (8; 10) B) (S; 7)
JlÍ (-4; 12)
A) (4; 12)
D) (3; S)
(UNCP 14-1)
C) [-3; +-) B)(--;31
E)(--;3[
t<j'R
D) [3; +-)
f.l
Determina el conjunto solución de la inecuación Si María y Alicia tuvieran 2 muñecas menos
cada una, juntas no tendrían más de 8. Sabiendo
que María no tiene menos de 6 muñecas, enton·
ces halla el mayor nllmero de muñecas qve pue-
de tener Alicia. (UNTECS-10-1) M (-3; 2)
D) (-- ;-3)
[ 1)2 25 x+- --<O . 2 4
B) (2; +-)
E) (-3; +-)
(UNCP 12-11)
C) (2; 3)
m
A) 7 B) 5 C)B E) 4
a Halla la suma de los 2 menores enteros positi-
vos del conjunto solución de la inecuación al re-
solver en R.
x4+5x2-6>0
IEI Un carpintero fabricó cierto número de sillas y
vendió 20 sillas, quedándole más de 8. Luego fá-
bnca 20 sillas más y vende 25 sillas. quedándole
menos de 5. ¿Cmíntas sillas fabricó en total?
(UNTECS-11-1)
A) 2 B) 3 C)4 ¡;,j 5
(UIGV-16-1)
E) 6 A)48 8)47 C)29 ¡;,j 49 E)SO
• •• ••
� "i§:" .di 84% • 8:21 p. m .
O Resuelve la desigualdad: x2 + 2Y + 1 > O.
(URP-13-11)
E) 4
E) 4
E)-2
E)13
E)4
(UNFV-06)
NI\/EL
0)3
O)n
pj3
J)) 3
J))-1
C)2
C)2
C) 11
C)O
C)2 8) 1
8) 1
B) 1
Jl)lO A)9
A)O
A)O
A) 1 8) 2
x+3 para que x _ 5 < 111.
""o
REFORZANDO
se verifique para todo valor real de "r".
d\. x2-(n+5)x+1
W'Si'r:/xeRsecump!eque-3< 2 <3, X +X+ l
e Si XE 12; 41, halla el menor valor entero de III
O Sixe!R::x2+bx+4>0, elmayorvalornaturalde
''b" es:
G, Indica el menor valor natural que puede tomar
"u" para que la inecuación
x2-5x+(n-3)>0
O Resuelve .\.-i-x2-12 < O e indica la suma de las
soluciones enteras. (CEPREVI)
e Resuelve.0-8x2-9�0.
El menor valor positivo de "r" es:
E) 24
(UICV-12-Il)
J2j 23 años
P51s C) 13
B) 21 años
E) 16 años
8)17 A) 19
A) 17 años
O) 35 años
REFORZANDO
O Elisa es 6 años menor que su prima Clara. La
suma de las edades de ambas no es menor que 40.
¿Cuál es la núnima edad que puede tener Clara?
•
x+S
Resuelve-Js-3-< 3 e
indica la cantidad de valores enteros que
verifican la desigualdad mostrada.
(U. DE LIMA-11-11)
/
� NI\/EL ......,,,,,
�� O Al resolver x 5 3 + x 3 5 :5 2, ¿cuál es la suma de � los 2 números mayores enteros positivos que
� :�::len::,: des:)u:dad :�·::,o���:�lZ-1)
� O Resuelve la inecuación x + 1 <-3, + 7 w IUSMP-14-11)
� ,«5:r:51,5 B)x�l,5 C):r:S:2
D)xs-1 E)xS:6
e Halla el mayor valor entero que puede tomar
"m", si .\4 + mx + 9 � O; 'r:/ x e R.
O Halla el menor número M, tal que se cumple
6+6x-x2 �M,'r:/xelR
(UNAC-06-1)
J!j (-10;-4) C) (4; 10)
E) (-4; 4)
(CEPRE UNI 09-1)
A) (-4; O)
O) (-7; O)
(UNMSM 16-11)
A)13/6 Jl'fS/6 C)S/2 0)3/2 E)2/3
halla el intervalo de variación de "e"
C, Halla la suma de las soluciones enteras de la <, 0_...
inecuación. (UNMSM 2013-11) �
'ª;��6<0 �
A)S 8) 1 C)O 0)4 ft)3
�
�
�
e Si el conjunto solución de la inecuación
;; =; < O es un intervalo de la forma (n; b),
determina el valor de b - n.
E) 16
(PUCP-13-1)
E) 12 O) 11 C)9
C)-15 pjlS
imatic 5
B) 13
J!js A) 7
REFORZANDO
A)x>O
8)xE(--, l)v(I ,-)
0 XE(--, -1) V (-1,-)
D)xeR
E)x>-1
• •• ••
� 'f .di 84% • 8:21 p. m .
D Determina el conjunto solución de
(x2 - 4)(x + 3)(21 + 3) > O; si dicho conjunto es
(- =, a) u (b, e} u (d; oo), halla E= a+ b + 2c + d.
(PRE UNI)
A) -9 B) --8 C) -7 pj-6 E) -5
11
CAPÍTULO
12
A)(-;6)
C)(--;6)-(11
E)(!; 5) u (5; 61
B)(--;6)-(51
pj(--;6)-(1;51
B
A) (O; oo)
C)(-oo;-l)u(l2)
E) (-1; O) u (1; 2)
(PRE UNI)
)3{((-;0)u(l; 2)]-{-11
D)(1;2)u(2;oo)
II Si Mes el conjunto solución de la inecuación
(x-1)2(x-6)7 .
(x _ S)4 <O, entonces el conjunto Mes:
(PRE UNO
R 1 3x 1 2x2+1 esue ve-----<-- x2-1 x2-x x3-x
EJ (Y+ 1)2(.yl + 2)(.x + 3)7 Resuelve ·( _ 2)5 < O .l X
(UNALM-06-11)
A) (--;3] u(O; 2)u {-11
B);-(3;0)
C)(--;3)ul0;2]
D);-[3;0]
E)N.A.
11
A) 2 B) 3 C)4 D) 5
Resuelve {x- 7)(x-5)(1 - 3)(x - 9) < 9 y da cómo
respuesta el número de enteros que lo verifican.
(PRE UNI)
• •• ••
� "i§:" .di 84% • 8:21 p. m .
(2x-1)3(x+1)4(4-x2)6 :50.
(x2 + .l + 3)2(:i. - 2)5
Halla el número de elementos enteros del com-
plemento del conjunto solución de la mecuación.
(.r2 - 4x - l2)(x2 - x - 12) ��������>o
(x2- 9)(x2- 4) -
(CEPRE UNMSM 14-1)
Determina x en
A) ll 2)
C){0;2)u{-l;-2}
E)(-1;2)
(PRE UNI)
M[t,2)u¡-1;-2)
D)(1;2)u{ -1;-2}
A) 7 JJJ'S C)4 D) 8 E)6
II Halla el número de elementos enteros del con- m Halla la suma de los elementos enteros del com-
junto solución de la inecuación.
(x2+7)s(_\.i-16)3� so
(x- 1)7(r2 + 2r + 7)(3.r- 2)
(CEPRE UNMSM 14-1)
plcmento del conjunto solución de la inecuación.
(x2 + 4.,· -12)2ois(.r2+ x + 1)1º{x2 + x -12)3 �-,....,..��=-c--�--i--�-�, o
(x2 + 2.x + 5)9(.r2 + 9)(x2- 16)
(CEPRE UNMSM 14·1)
pj-10 E)-3 C)-7 B)-4 A)-5 D)S C)S B) 7 A) 10
IJ Si a es el mayor entero negativo y bes el menor
entero positivo del conjunto solución de
(x2-x+10)12
3 -_J!>O, (x - 2) (x + 2)".-r
haJla el vaJor de (a+ 2)b.
(CEPRE UNMSM 14-I)
IB Tes un conjunto solución de:
(x2 + x + S)(x2 + 2x + 6)(x - 2)31
(x _ 2)(x2 _9) 2:: O se afuma que:
(PRE UNI)
A) 1 6)2 C)-2 pj-1 E) 3
A) T rv 1-2; 2} = [O; 2)
C)(-3;2)cT
E) r' =í-3; O}
B)Tc(-10;20)
pjT:o[4,6]
imatic 5
• •• ••
� r .di 84% • 8:21 p. m .
O Halla la suma de los valores enteros positivos
de x que satisfacen la inecuación.
(CEPRE UNMSM 06·2)
e Si r e 1-1; 1 L halla el conjunto solución de
-6x4-Sx3+ 12r2+Sx-650
(CEPRE UNMSM 14-1)
E) 4 O) 5
0)-1 }')'3
C)7
B)-2 C)l
B) 6
A)O
p.1 (-6; 1) u 12; 31-101
8) (-oo;--6] u 1 3; +ro)
C)l-6;11u(2;31
O) (--;-6)u(l; 21
E)(-6;3Ju[6;+oo)
O Halla el conjunto solución de la inecuación
(x-3)7(x-2)19 <O
x4 + Sx3-6x2 - · (CEPRE UNMSM 11-1)
e Si (-00; n) u (b; cl-{111) es el conjunto solución de
la inecuación
O Si M = (n, b] es el conjunto solución de la inecua-
ción�-=� :S:x-l,halla4n+b.
(x2-16)(,·-3)3(,·2+4}2(r+l)C, +8) <, ,o �
(x'+9x+8)(x'-64)[�x-1) �
(PREUNI)�
A)f-4,1luf3,a::i) �� ��
B)l-4,-l)u(-1,1Jul3,oo) �
C) L-4, lJ u 13, 4) u (4, ro)
�
0)1-4;-l)u(-1,0)u(O;llul3,ro)
�
}'Í[-4,-l)u(-1; l)u L3,4)u(4;ro)
�
O Halla el número de elementos enteros del con- �
junto solución de la inecuación �
(x - 7)5(.r + 4)�(2, + 9)8
0
(x+3}9(x-1)3(x-3)11 :5 ·
(CEPRE UNMSM 14-1)
E) 4
E) 9
NI\/EL
0)7
D)[-1;�
B) [-1;1[
(CEPRE UNMSM 14-1)
B) (-4;3)-121
O) (-5; 1)
J2j 3
6)10 J2j12 0)11
8)5
.i2-2,-15<0
x-2
A) 2
A) 8
P-1[-1,1]u{l)
ci[-1,!J
EJ[-1,i]u{l}
A) (-5; 3)-121
C) (-4;-3)
}')' (- 3; 5) -121
REFORZANDO
e Si M = (-3; 2J y T es el conjunto solución de
(xi+ 6)3
x7(x _ J)S(x + 2)8 SO, halla la suma de los ele-
mentos enteros de M n T.
(CEPRE UNMSM 14-1)
O Determina el conjunto solución de
(2\"2 - Bx + B)(x + 3)3 < 0
(r-1Q)4(Y-5)s
e Halla el conjunto solución de la inecuación
x3-6x2+11x-6>0 (CEPREUNMSMll-D
halla el valor de L = h + e - (n + 111).
(x + 2)3(:r - 3}5(x2 - 2)2
..:i 2 s O, .\ +2\-t-2
A)(1;4)
J2j (1; 2) u (3; -too)
E) (5; +ro)
B) (3; + CQ)
0)(1;2) p.17 B)-3 C)4 O) --6 E) 5
NI\/EL REFORZANDO
G, Si el conjunto solución de
(.,2 _ ., _ 6)2015(x2 _ .\ + 1}3(x2 -16)2010 > O
(.\ - 1 )5(x2 + zr + 7)
REFORZANDO
�
<:>
� NI\/EL
� C, Halla el conjunto solución de la inecuación
�
• •• ••
� r .di 84% • 8:21 p. m .
ECUACIONES E INECUACIONES
CON \I ALOR ABSOLUTO
halla el valor de
E) 8
E) 7
(PRE UNI)
pj6
D) 7
C)S
B) 5
B) 4
Calcula 11(Sc n z+) donde n(A) representa el nú-
mero de elementos del conjunto A.
Halla el cardinal del conjunto S n Z.
(PRE UNI)
A)3
A)4
C, Sea Sel con¡unto solución de la inecuación
(x + 2}2(3.l -1)1º1{:r + 2)22 > 0
(.r-6)s(x+1)400 -
e Seas el conjunto solución de la inecuación
(x2-2, + 3)(x-1)5(x- 2)11(:r + 1)7(x + 3) < 0
(x- 2)7(x- 5)13(x2 + 1)
E)-3
)i;j-3 D)-6
pj 1 C)4
C)-4
(x-3 )4(x + 1)7 >O
lx2-4l(x+2)51-
(CEPRE UNMSM-11-1)
B) O
B)-2
CAPÍTULO
13
A)2
A)-5
es(-2, a) u (3; b + 1)v{c ;\+ca),
T=..Ja2+2c+b-2.
e Halla el número de valores Z del complemento
del conjunto solución de la siguiente inecua-
ción;
Si a, by e son las soluciones no negativas de la
ecuación 11 x - 3 I -5 I = 2, entonces el vaJor de
a+ b + e es: (UNMSM-08-11)
)JÍ-1
E)-11/4
Dada la ecuación �x + f 12 -7 lx +ti= -6,
halla la suma de sus soluciones
(UNMSM-10-J)
C)-3/4 A)-2
D) 3/4
B
E) 10 D)2 C)6 ,Bj 16 A)l2
a
imatic 5
• •• ••
� 'f .jd 84% • 8:29 p. m .
Sea el conjunto
M = {xEZ/x2- 6x + 9-lx-3 I- 6 < 01
Halla la cantidad de elementos del conjunto po-
tencia de M. (UNTECS-09-11)
Halla el conjunto solución de ..J(x2- 4)2 > .r2- 4. -......... El
A) 8 8)16 C)32 0)4
11
A) R-[-2; 21
0)(-1;4)
B) R- [O; 21
)iÍ (-2; 2)
y 111 < 11, halla el valor de 11111 - 1.
Si III y 11 son soluciones enteras de la inecuación
lx-6+ lx-51 + 14-xl 1 <V3-x
¿De cuántos elementos está constituido el con-
junto solución de la ecuación
lx2-4l=x-2? (UNAClS-11)
B) Tres C) Cuatro
E) Ninguno
A) Dos
]t1j Uno
D
Jij7
(UNTECS-11)
0)3 C)O 8)2 A) 8
11
A) (-4; -2) u (2; 4)
¡zj (-4; -3) u (3; 4)
E) (-5; -3) u ( 3; 5)
' a Six,y EZ y 2<lxl <7 A 1 < lyl<4,calcula
el menor valor de la suma r + y.
El Halla el conjunto solución de
_1_+_1_< lxl-12
lxl-3 lxl-4 .,•-7lxl+12 ·
(UNAM-09-1)
B) (-4;-3)
O) (3; 4)
¡>;j -10 B) 10 C) -5 0)5
(PUCP 15-1)
E) 1
• •• ••
� '9' .jd 84% • 8:29 p. m .
Determina la suma de los valores de "r" que sa-
tisfacen la ecuación
lx-41'=3lx-41+28
Indica el menor valor entero que sansface la
desigualdad-
l4x2-3x+11 < l . .2+2x-ll
E)-2 D) 2
(CEPRE-CALLAO)
C) 1 .MI I A)O
m
(UNCP 15-1)
E) 11 pj8 C)S B) 7 A)4
Determina la suma de raíces de la ecuación:
lxl + lx-sl =9
Halla la suma de los valores enteros que perte-
necen al complemento del conjunto solución de
la inecuación.
lx+21,1 1 1 X x+2
D)-3 E)4
(CEPRE CALLAO)
C)2 B) 1
(UNCP 12-1)
E) 2 D) 7 B) -2 ,e) 5 A)-5
REFORZANDO
e Halla el conjunto solución de l 4x - 31 = 2- 3.r
(PRE CALLAO)
O Indica V o F;
l. [ule n
II. IV21= l-'/'21
111. 171< 131 + l•I
IV. 12,·l;::,_4 =:i:r=2
V. lx-2l:">5=:,(:r-2)<5v(x-2)>-5
(UNALM-06-11)
(CEPRE • CALLAO)
B) CS. ={l;� J
D) CS.= l-1; 31
A)0 J!ill
A)C.S ={1,i}
¡zj cs.= mi
E)C.S. = 1 1
e Resuelve
l'lx371=2.,-3
C) FVFVF JlfVVVFF
E) VFVFV
imatic 5
A) VVFFF
D)VFVW
• •• ••
� 'f .jd 83% • 8:29 p. m .
O Si 12.x - 11 < 5, halla el valor de;
T= lx+21- lx-41 + l2x-61
(UNTECS 16-1)
e El conjunto solución de la inecuación IX I s 5
está dado por;
f. X_.,:; 5
11. x?:-5
lll.x:S-5
REFORZANDO
B) 25
lx-21 =15-lx+ll
(CEPRE UNMSM 12-11)
)() 27
C)4x+4
(CANTUTA 16)
C) soto 111 B) solo II
E)l,llylll
Jlj 4
E) 6
A) 2x + 4
O) 2x-8
A) solo I
P5 solo I y 11
)() 1 8) -1 C)-7 0)8 E)15
se reduce a una constante, para x e (2; S};
halla dicha constante.
E) 6
E)S
(UNMSM 06-1)
C)!yll
))) 10
(CEPRE UNMSM 11-11)
C)6
C)-2 )))o
,.0j 11
E) IV
8)3
8) 16
A)-5 8)3
A) 18
A) 2
A) 1
D) 11 y IV
halla el valor de r + t.
] 4.\2 -121 + 121 - 7.\21-1 s.,2 -1s1 + 11 �--��--��--�->1
l5x2-1Sl+l9-3x2l+3 -
(CEPRE UNMSM 11-11)
lx2-5.r+61+2lx-21 = lx-31+2
(CEPRE-UNMSM 12-11)
G> Indica cuál o cuales de las siguientes proposi-
dones son verdaderas (a, be R)
a b
!. ¡;;¡ = ¡¡;¡
11. 21,1 -3lbl >-5lbl
111. ln-bl S ]a+bl
IV. ln-bl <2ln+bl
G) Si r y 1 son la menor y la mayor solución
entera, respectivamente, de la ecuación
llx'-1,11+21=8,
e Halla la suma de los cuadrados de las solucio-
nes enteras de la inecuación
e Halla la suma de los elementos del conjunto so-
lución de la ecuación:
E)4
E)60
CUNMSM-06-11)
,eja+12
O) 4
)))8 C)3
C)3
C)-41 D)50
B)a+7
E)a+S
8)2
8)2
x2-8.,·-2!x-41 +1 =0
(CEPRE UNMSM 11-II)
la suma de las soluciones reales de la
ecuación
A) 1
A')-21 8) 31
A)a+S
D)a+6
a. asxsa+20
b. lx-al2-71n-xl-60?:0
REFORZANDO
.Jx2-4x+4+12-xl =10.
(UNAC 06-11)
O Si la expresión
l4x+71- lx-71 E=�-��-�
X
O Halla el menor valor de x que satisface las
siguientes inecuaciones:
e Halla el producto de las raíces de
....... O Halla
<:>
�
�
�
A)5
�
� '9' .jd 83% • 8:30 p. m .
•• ••
a III x =O;coníl,bdatos.
Considerando m 7:- O, halla la suma de las solu-
ciones de la ecuación.
a III b
(UNl-11-11)
pj"keR-141 B)kelR
E) k = O
1 4
k:·1
Considera la matriz A = 1 k
1 k
Determina el conjunto de valores de k para que
A sea invertible.
A)keR-10)
D) k = -4
a
(UNl-13-1)
,ei11+b B) b-a
E)a+2b
CAPÍTULO
14
A)a-b
D)2n+b
X III b
Halla el menor valor de x si el determinante de
la matriz Mes O.
M:[4�·3x �-l
(UNTECS-06-11)
Halla D = [B � �1, si o:, f3 y y son las raíces
Y a P
de la ecuación cúbica x3- 5x + 6 = O.
(UNMSM 16-11)
D) 3 C)-1 B) 2 A) 1
11
E) 1 D) 4 A)-1 ,Bj-4 C)2
fJ
IJ Sea A una matriz simétrica.
[.r' x+y ,3 ,+yzl
A= -53 y'
-3 y2
Determina el valor de xyz.
II Sea la matriz
A=[���],
halla la matriz A 100
A) O B) 1 ¡zj2
(CEPRE UNl-09-1)
D)3 E) 4 A)-A B)A' C)I
(CEPRE UNl-09-1)
D)O J,ÍA
imatic 5
• •• ••
� '9' .jd 83% • 8:30 p. m .
es una matriz de orden 4 x 4 entonces existe
un número natural k tal que Ak = O.
111. Si A es una matnz de orden II x m, entonces
A+ A-1 =O. (UNl-09-11)
A) VFV B) VFF fZl FVF D) FFV E) FFF
II Indica la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
l. Si A es una matriz de orden m x II y Bes una
matriz de orden 11 x t. Entonces A+ Bes de
orden III x f.
1 º]B)[l -b o o o -e o
["
e b l PAP"' g i li
d f e
determina la matriz P, tal que
1 O O
O 1 O
O O 1
o o o
11. Si o
A= o o
o
Calcula el determinante de la matriz A[a1¡b�3
si se sabe que a,1 = i + j - 3. (UNCP 13-11)
Si A y B son matrices conmutables, determina el
valor de 111 + 11.
E)-2 D) 2 B)-1 ,e)O A) 1
Sean las matrices m
E) 1 D)3 C)4 B) 6
a Sean A=[� 135] , B=[� -;]
y el sistema de ecuaciones:{:;: t; =A B
Determina la traza de "r". (UNCP 2014-11)
A) 12 .13)'15 C) 18 D) 21 E) 26
IEI Halla el valor real de x.
X o o 11 -;I 3 ' o = 2 4 5 X
A) 1 )lÍ2 C)-2 D)-1 E)O
• •• ••
� 'f .jd 82% • 8:31 p. m .
Ji)'243
NI\/EL
D) 3a" E) 1111"
C) 729 D) 81 8)27
)'12n" C) o A)n"
A)9
D) 1
REFORZANDO
l. Si A2 es asimétrica, entonces A es simétrica.
ll. Si A+B y B son simétricas, entonces A es si·
métrica.
111. Si A y B son matrices del mismo orden, am-
bas simétricas entonces AB es simétrica.
(UNl-11-1)
)<) FFF B) FFV C) FVF D) VFF E) VVF
O Dada la matriz
A=[�O 1 �i
O 3 Calcula traz (A4). (PRE UNI)
O Si A = ( � ! ) , halla la suma de los elementos
de la diagonal de A".
G, Sean las matrices
e Sea la matriz A= l-� � ], entonces al calcular la
expresión E= t A(A-A2)2, obtenemos:
A)O J'ÍA C)[�; _22]
�]
E) 7
E) 1
C) 11
C) [16 -31 -4 1
NI\/EL
D)54 E)-26 C)42
E t-2 -3] ) -4 4
,Bj-1
B)2B
B)-! ql2 2
O) -11 E) Absurdo
A) 1
[-4 -IJ D) 4 -2
REFORZANDO
OSealamatrizH=[;.2 �31, xeR2,talque
det(H) = 4¡ luego H2 es:
A) [) �3] JJ5[�2 j]
e Calcula fl + b- e si:
[2 7] [5 21] ¡c-21
11 4 + 15 14 = b
5 9 8 19 c-15
e Calcula el determinante de la matriz:
A=l11+l nl·11eN
11 11-1'
O Indica la secuencia correcta después de deter-
minar proposiciones relacionadas a matrices
verdaderas (V) o falsas (F).
D)li E)15
7
�
<:>
�
(UNl-08-11)
�
D) VFF )'ÍFFF
�
ll. det(A + B) = det(A) + det(B)
lll det(rA) = rdet(A)
A) VVV B) VVF C) FVV
tal que AB = J. Halla e! valor de 112 + b2 + c2 + d2.
e Si A y B son matrices 3 x 3 y r *- O un número real,
indica la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
l. det(AB) = det(A) · det(B) E) 10 D) 5 C)4
imatic 5
J'Í3 A)-1
REFORZANDO
O Si.l(; �)=[! �1 halla la suma de losele- -2 -1!
mentas de la matnz x. (CEPRE UNI 09-l)
• •• ••
� '9' .jd 82% • 8:31 p. m .
e Considera las matrices B = ( � �1) y
[fu /,,] ,- ,. "
121 ¡22 =B.n+s-�+s....,+ ... s+21
Calcula /11 + !12 + /21 + fu
A) 1 8)2 C)3 D) 4
(UNl-16-I)
CAPÍTULO
15
Una bicicleta y un par de patines cuestan 5/500.
Si 3 bicicletas cuestan tanto como 7 pares de pa-
tines. ¿Cuántos pares de patines se pueden com-
prar con 5/1200? (UNTECS-12-11)
Si se verifican simultáneamente las ecuaciones
3x!+ y+ 4 = O, 3.\ - z + 2 = O y 3z - y+ 2 = O, halla
el valor de;
(x+y)3 (i¡+z)3 (z+x)3 --+--+-- 2 X y
a
A) 7 8)9 C) 10 pjS E)S
El
AJ 24 B)-8 C)-27 D) 3 E) 18
II Si el par (.,·1; y1) es la única solución del sistema
lineal, para x1 = y1
nx+by=-11
cx-dy=1;d-:t:.c,hallaelvalor dea+b. d-c
(UNMSM-11-1)
A)12 B)-11 C)l D)-10 ,Ejll
(UNTEC 09-11)
pj 32 E) 64 C)8 8) 6
�+-1....=2 x-y x+y
.J!...1¡ -2..... - 2
x-y· x+y- '
halla. el valor de (2,· - 6y)5.
A)4
fJ Si
• •• ••
� '9' .jd 82% • 8:31 p. m .
A)S B) 3 C) 1 E) 2
11
A) 1
D) 11
B)lyll 01ylll
E) Ninguna
En una comunidad, se intercambian
productos alimenticios A, B, C y O con la
modalidad de trueque utilizando un mismo
recipiente llamado la "medida" para cada
producto. Si una medida de A más una de
C se cambia por 5 medidas de B, una medida
de A más una de B se cambia por una de C y
una medida de B más una de C se cambia
por una de D, ¿cuántas medidas de 8 se
cambian por una de O?
Dado el sistema
(2x!I y+ zo:= 2
x+4y+2z=-1
¿Cuál de las. siguientes ecuaciones:
l. x-5y-z=2 11, 3x+3y+3z=2
m. Sx+ 2y + 4z= 1
puede agreg11rse al sistema anterior de modo
que el conjunto solución no varíe? (UNI-10·0
11 Considera tres números enteros. Se sabe que
la suma de los dos primeros es 94; la del
primero y el tercero es 205 y la de los dos
últimos es 187. El mayor de los números es:
(UNFV·08·1)
A) 56 B) 49 C) 38 D) 156 Jij' 149
A) 1(0,8); (2,1)1
C) 1(0,8); (0, -8)1
E) 1(1,2); (4,-8)1
J3Í 1(0,8); (4,-8)1
D) 1(4,-8); (2,8)1
Determina el conjunto solución del sistema
¡x1-4x+y2=64
.\.3-6x2+12x+y=8 (UNI09-1)
II Si Xo, Yo y z0 son tres números reales que satisfa-
cen el sistema de ecuaciones
¡
2,·+y+3z=5
3x+y+z=O
x+3y+2z=6,
halla el valor de .l� +y�+ zi
(UNMSM-12-11)
A) 2 8)1 C)O D)4
Six"= l,x>O,x;t1 e y+x=4,
./!(+x2+y2
halla V 2, . (UNMSM 16-ll)
A)4 B) 2 C) 12 D)8 J,j 6
imatic 5
• •• ••
� 'f.' .jd 81 % • 8:32 p. m .
Dado el sistema de ecuaciones:
�
111
{+f=1�
�
(UNMSM 15-1)
�
0)25 )?120
�
�
�
C)30 B) 60 A) 15
determina el valor de X
M 1(1; O; O)+ 1(5; 3; 1)/IEIRI
B) 1(1; O; 0)1
C) 1(5; 3; 1)1
O) 1(1; O; O)+ 1(5; 1; 1)/leRI
E) [(1; O; O)+ 1(5; 1; 3)/IERI
(UNMSM 15-11)
m Halla el conjunto solución del sistema de ecua-
ciones lineales en las variables x, y, z.
¡
x-2y+z=1
2.\·-3y-z=2
-x+ y+2z=-1
E)S
E) 9
E) 1
(UNAC-11-1)
NI\/EL
0)4
0)-2
O) 8
C)32
C)5
J2jo
JZl-1
8) 2
8) 2
B) 7
JJ131
A) O
A) 6
A)30
REFORZANDO
e La solución única del sistema
¡
3.,+2y=-19
-x+3y=-12
2x-y=m,
se obtiene para III igual a:
e Una canasta contiene 80 frutas entre lúcumas y
duraznos. Cada lúcuma pesa en promedio 250
gramos y cada durazno, 150 gramos. Si la canas-
ta con las frutas pesa en total 18 kg y además
las frutas pesan 14 kg más que la canasta vacía,
determina la diferencia entre la cantidad de lú-
cumas y la de duraznos.
O Las edades de Roberto y Sebastian hace 7 años eran
como 3 a 5 y la suma de sus edades hace 13 años
era 68 años. Halla la edad de Roberto hace 6 años.
(U. LIMA 16-1)
O) 35 E) 37
O Ernesto tiene 30 años más que Ana, y dentro de
30 años la suma de sus edades será 11(11-3) años.
Calcula la suma de lns cifras del número que re-
presenta la edad en años de Ernesto.
(U. LIMA 2016-1)
E)-2
E) .l 3
{UNl-07-2)
E) 3
(UNAC-10-1)
NI\/EL
0)2
O) 2
0}-2
C)O
C) 1
C)-1 B) 1 /2
B)-1
8)0
¡(3-k)x+5y=4 (k-2)x+2y=6
p:j lé. B) 5 C) 7 7
¡>1-1
¡,,;j I
Determina el valor de 3t - y
REFORZANDO
O Dado el sistema de ecuaciones:
4 _ 4 __ 2
x+y-1 2Y-y+3- 2
3 + 1 = 7
x+y-1 2.,-y+3 -5
El valor de x +yes igual a:
O Determina el valor que debe tomar k para que el
sistema sea inconsistente. (UNAC-06-1)
O Del siguiente sistema:
[J_.é=l
X y 6
l_l=l
X y 2
e Determina la suma de todos los valores reales
de a, de modo que el sistema
¡6x-ay=y 2x + 3y = ax, tenga mfmitas soluciones.
(UNMSM-08-1)
• •• ••
� 'f .jd 81%• 8:32 p.m .
A) 37 /2 B) 37 /4 ¡2j O D) 18/5 E) 15/2
E) 4
E)2
(UNMSM-11-2)
0)4 fil!
D) 7
(UNAM 09-1)
pj 2 E)-5/3
op
C)3
C)O
C)9
B) 2
ll) 13
Jlj' -1
halla el valor de x0- !fo·
A)5
A)-2
p.15 e Halla f3 en:
f3y+ x +9z=O
f3.r-8y+9z=O
2, +(2-f3)y+9z=O
A) 1 B) 2/3 C) 3
e Si x0 e Yo son números reales tal que x0 > Yn satis-
facen el sistema de ecuaciones
¡xy(x +y)= 30 x3 + y3= 35,
G> Si x e y son números reales que satisfacen las
ecuacionesx+y-.,fxy =7, x2+ y2+ Y!f = 133;
halla el valor de lx - y I. (UNMSM-13-2)
e Al resolver el sistema
[ Vx+y+2--j2x-3y-7 =-3
2�x+ y +2 +3..j2t-3y-7 = 14,
se obtiene que el valor de (x + y) es: (UNI-06-2)
(PUCP-14-2)
NIVEL
CAPÍTULO
16
REFORZANDO
CS, Del sistema, halla x + 13y.
¡
?+�=-1
X y
9 5 ---=2 X y
% e Si el par (tp y1) con ,1 = y1 es la única solución
�� del sistema l111ec1I w� !ª-' +by=-11 � cx-dy=l,d#-c,
� halla el valor de n + b. m p.111 B)-11 d �i'1 D)-10 E) 12
�
• �:��,;'+y, dado el siguiente sistema de ecua- mr� xy(x+y)=420 � .\3+ y3=468 (UNFV11-2)
A) 11 B) 24 .ej 12 D) 10 E) 13
a Dado el sistema
¡3x + 2y= m +2 2'·-3y=2m-1,
El Calcula el valor de k en el sistema
¡2kx+ (k+2)y = 1 (3k-1)x+(4-k)y=I
para que tenga infinitas soluciones
(CEPRE UNI)
¿qué valor debe tomar III para que el valor de x
sea el doble del valor de y en el sistema?
(UNMSM 2016-11)
A)l B)l ¡2jl 0)2 E)i
2 5 3 3 3
A)-2 8) -] C)l/2 .0)1 E) 2
imatic 5
• •• ••
� 'f.' .jd 81 % • 8:32 p. m .
Considera a T- b; b #-0. Si el sistema
¡ 7 (a+ b)x + (a- b)y = ·i
3(11 - b)x + (3a- 7h)y = n+b
es compatible indeterminado (infinitas soluci-
11b + 3n nes), calcula el valor de H =
13b
·
(CEPRE UNl-11-1)
E)l4 D) "12 J2j 8 8)4 A) 2
El valor de x + (1 /13) + y, donde "r" e "y" satisfa-
cen el sistema
¡
3 + 2(x+ 4) =S(y + 1)-4
5(.\ + 1)- 2y = 4(y + 1), es:
a
E) 8 D)6 C)4 8)3
El
¿Qué valor debe tener III parn que el sistema ad-
mita solución única?
Si el sistema de ecuaciones
¡-(111 + 2)x+ y= 111 +S 4x-y=2,
gráficamente describe dos rectas distintas y
paralelas. Halla el valor de 111.
11
¡y+mx=2 x+y=10
x+my=3
A) l B) t
.. (!)
... (11)
... (III)
0-i D)-1 E) 2
D
A) l C)-1 D)-2 E)3
A) Se necesita el valor de "a" para conocer "r''.
B) Se necesita el valor de "a" para conocer "y".
JZ) Se necesita el valor de "b" para conocer "r''.
D) Se necesita el valor de "b" para conocer "y"
� E) Se necesita el valor de "b" para conocer "b"
�
�
�
�
¡ (n + b)x - (/,- n)y = 61, 3(n-b)x+(3n-7b)y=20! +n,
donde n ;te. b,
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