Formulas Metodo Euler y Runge -Kutta

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MÉTODO DE EULER 
Considera aproximar la solución de la ecuación: 
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), con 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛. 
Para ello, la curva solución que pasa por el punto (𝑥0, 𝑦0), se sustituye por 
segmentos de recta que son tangentes a la curva en uno de sus puntos frontera. 
La solución aproximada en 𝑥 = 𝑏, se encuentra dividiendo el segmento (𝑥0, 𝑥𝑛) en 
n partes iguales de longitud h, de tal forma que ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 para 𝑖 = 0,1,… , 𝑛. 
El valor aproximado de la solución buscada en los puntos 𝑥𝑖 se designará por 𝑦𝑖 . 
Se puede encontrar un punto 
(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥0 + ℎ, 𝑦1) 
Y así sucesivamente para (𝑥2, 𝑦2), ( 𝑥3, 𝑦3), etcétera. 
 
EJEMPLO 
Dado el problema con valor inicial: 
𝑦′ = 𝑥 − 𝑦 + 1, para: 𝑦(0) = 1 y 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 
Mediante el método de Euler obtener una aproximación de la solución con: 
ℎ = 0.1 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 + 1 
𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 
0 1 0 − 1 + 1 = 0 
0.1 1 + 0.1(0) = 1 0.1 − 1 + 1 = 0.1 
0.2 1 + 0.1(0.1) = 1.01 0.2 − 1.01 + 1 = 0.19 
0.3 1.01 + 0.1(0.19) = 1.029 0.271 
0.4 10.29 + 0.1(0.271) = 1.05610 0.3439 
0.5 1.09049 0.40951 
0.6 1.13144 0.46856 
0.7 1.17830 0.52170 
0.8 1.23047 0.56953 
0.9 1.28742 0.61258 
1 1.34868 0.65132 
 
Nuestro valor final seria 1.34868, continuaramos con las iteraciones hasta el final, 
que seria la evaluación final de nuestra ecuación evaluada en 𝑥 = 1. 
 
 
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 
Es uno de los procedimientos más exactos, sobre todo de cuarto orden. El método 
procura coincidir con un desarrollo de Taylor hasta el término ℎ4. De hecho, el 
método de Euler es una aproximación de Runge-Kutta de primer orden. 
Para encontrar la solución aproximada del problema con valor inicial: 
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) con 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 
Se usa la siguiente formula: 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +
1
6
(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4) 
 
 
EJEMPLO: 
Mediante el método de Runge-Kutta obtener la solución aproximada de: 
𝑦′ = 𝑥 − 𝑦 + 1, 𝑦(0) = 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
Con ℎ = 0.1 
Calculamos nuestro primer valor de 𝑘 
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 0.1𝑓(0,1) = 0 
 
 
De este partiremos para calcular el resto de nuestros valores de 𝑘 
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥𝑛 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑛 +
1
2
𝑘1) = 0.1𝑓 (0 +
1
2
(0.1), 1 +
1
2
(0)) = 0.1𝑓 (
1
20
, 1) = 0.005 
𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑥𝑛 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑛 +
1
2
𝑘2) = 0.1𝑓 (0 +
1
2
(0.1), 1 +
1
2
(0.005)) 
𝑘3 = 0.1𝑓 (
1
20
, 1.00250) = 0.00475 
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘3) = 0.1𝑓(0 + (0.1),1 + (0.00475)) 
𝑘4 = 0.1𝑓(0.1,1.00475) = 0.00952 
 
Una vez calculados nuestros valores de 𝑘, podemos calcular nuestro valor de 𝑦𝑛+1: 
𝑦𝑛+1 = 1 +
1
6
(0 + 2(0.005) + 2(0.00475) + 0.00952) = 1.00483 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑛 𝑦𝑛 
0 1 
0.1 1.00483 
0.2 1.01873 
0.3 1.04082 
0.4 1.07032 
0.5 1.10653 
0.6 1.14881 
0.7 1.19659 
0.8 1.24933 
0.9 1.30657 
1 1.36788