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Cuadratura de Gauss
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CUADRATURA DE GAUSS Las fórmulas de Newton-Cotes anteriormente utilizan polinomios de interpolación construidos en puntos fijos equidistantes. Estas fórmulas son exactas si la función es un polinomio de grado menor o igual al polinomio de interpolación respectivo. Si se elimina la restricción de puntos equidistantes, se agregarán incógnitas adicionales. La cuadratura de Gauss propone una fórmula general en la que los puntos incluidos no son fijos, así la integral se calcula como: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒃 𝒂 𝑾𝟏𝑭(𝒁𝟏) + 𝑾𝟐𝑭(𝒁𝟐) + 𝑾𝟑𝑭(𝒁𝟑) + ⋯ + 𝑾𝒏𝑭(𝒁𝒏) En la cual 𝑾𝒏 y 𝒁𝒏 son valores desconocidos. Ilustración Gráfica Del Método Para Dos Puntos Consideremos la figura en la cual se desea encontrar la integral de la función haciendo el cambio de límites de -1 a 1, es decir, se cambia el intervalo de solución de [a,b] a [-1,1] Es muy parecido a trapecio simple Trapecio Simple 𝑨 ≈ 𝒉/𝟐[𝒇𝟎 + 𝒇𝟏] Cuadratura de Gauss 𝑨 ≈ 𝑾𝟏𝑭(𝒁𝟏) + 𝑾𝟐𝑭(𝒁𝟐) 𝑨 ≈ ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 𝒂 ≈ 𝑾𝟏𝑭(𝒁𝟏) + 𝑾𝟐𝑭(𝒁𝟐) ∫ 𝟏 𝒅𝒛 𝟏 −𝟏 = 𝒛|−𝟏 𝟏 = 𝟏 − (−𝟏) = 𝟐 C D ∫ 𝒛 𝒅𝒛 𝟏 −𝟏 = 𝒛𝟐 𝟐 |−𝟏 𝟏 = 𝟏𝟐 𝟐 − (−𝟏𝟐) 𝟐 = 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 = 𝟎 ∫ 𝒛𝟐 𝒅𝒛 𝟏 −𝟏 = 𝒛𝟑 𝟑 |−𝟏 𝟏 = 𝟏 𝟑 − (−𝟏) 𝟑 = 𝟐 𝟑 ∫ 𝒛𝟑 𝒅𝒛 𝟏 −𝟏 = 𝒛𝟒 𝟒 |−𝟏 𝟏 = 𝟏 𝟒 − ( 𝟏 𝟒 ) = 𝟎 Ahora evaluamos para obtener los valores individuales: 𝑾𝟏(𝟏) + 𝑾𝟐(𝟏) = 𝟐 𝑾𝟏(𝒁𝟏) + 𝑾𝟐(𝒁𝟐) = 𝟎 𝑾𝟏(𝒁𝟏 𝟐) + 𝑾𝟐(𝒁𝟐 𝟐) = 𝟐/𝟑 𝑾𝟏(𝒁𝟏 𝟑) + 𝑾𝟐(𝒁𝟐 𝟑) = 𝟎 𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 = 𝟐 𝑾𝟏 = 𝟏 𝑾𝟐 = 𝟏 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 = 𝟎 𝒁𝟏 𝟐 + 𝒁𝟐 𝟐 = 𝟐/𝟑 𝒁𝟏 𝟑 + 𝒁𝟐 𝟑 = 𝟎 𝒁𝟏 = −𝒁𝟐 (−𝒁𝟐) 𝟐 + 𝒁𝟐 𝟐 = 𝟐/𝟑 𝒁𝟐 𝟐 + 𝒁𝟐 𝟐 = 𝟐/𝟑 𝟐𝒁𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟑 √𝒁𝟐 𝟐 = √ 𝟏 𝟑 𝒁𝟐 = √ 𝟏 𝟑 = 𝟏 √𝟑 𝒁𝟏 = −𝟏 √𝟑 Tabla para los coeficientes 𝑾𝒏 y 𝒁𝒏 con diferente número de puntos. Número de puntos Raíces𝒁𝒏 Coeficientes 𝑾𝒏 2 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓𝟎𝟐𝟔𝟗𝟐 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 −𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓𝟎𝟐𝟔𝟗𝟐 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 3 𝟎. 𝟕𝟕𝟒𝟓𝟗𝟔𝟔𝟔𝟗𝟐 𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗 −𝟎. 𝟕𝟕𝟒𝟓𝟗𝟔𝟔𝟔𝟗𝟐 𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔 4 𝟎. 𝟖𝟔𝟏𝟏𝟑𝟔𝟑𝟏𝟏𝟔 𝟎. 𝟒𝟑𝟕𝟖𝟓𝟒𝟖𝟒𝟓𝟏 𝟎. 𝟑𝟑𝟗𝟗𝟖𝟏𝟎𝟒𝟑𝟔 𝟎. 𝟔𝟓𝟐𝟏𝟒𝟓𝟏𝟓𝟒𝟗 −𝟎. 𝟑𝟑𝟗𝟗𝟖𝟏𝟎𝟒𝟑𝟔 𝟎. 𝟔𝟓𝟐𝟏𝟒𝟓𝟏𝟓𝟒𝟗 −𝟎. 𝟖𝟔𝟏𝟏𝟑𝟔𝟑𝟏𝟏𝟔 𝟎. 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟓𝟒𝟖𝟒𝟓𝟏 5 𝟎. 𝟗𝟎𝟔𝟏𝟕𝟗𝟖𝟒𝟓𝟗 𝟎. 𝟐𝟑𝟔𝟗𝟐𝟔𝟖𝟖𝟓𝟎 𝟎. 𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔𝟗𝟑𝟏𝟎𝟏 𝟎. 𝟒𝟕𝟖𝟔𝟐𝟖𝟔𝟕𝟎𝟓 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟓𝟔𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗 −𝟎. 𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔𝟗𝟑𝟏𝟎𝟏 𝟎. 𝟒𝟕𝟖𝟔𝟐𝟖𝟔𝟕𝟎𝟓 −𝟎. 𝟗𝟎𝟔𝟏𝟕𝟗𝟖𝟒𝟓𝟗 𝟎. 𝟐𝟑𝟔𝟗𝟐𝟔𝟖𝟖𝟓𝟎 EJEMPLO 1: 𝑨 ≈ ∫ (𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟏)𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 → ∫ (𝟐𝒁𝟑 + 𝒁𝟐 − 𝟏 −𝟏 𝟏)𝒅𝒛 𝑨 ≈ 𝒘𝟏𝑭(𝒁𝟏) + 𝒘𝟐𝑭(𝒁𝟐) ≈ (𝟏)(−𝟎. 𝟐𝟖𝟏𝟕𝟕) + (𝟏)(−𝟏. 𝟎𝟓𝟏𝟓𝟕) = −𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟒 𝒁𝒊 𝑭(𝒁𝒊) = 𝟐𝒁 𝟑 + 𝒁𝟐 − 𝟏 𝟏 √𝟑 −𝟎. 𝟐𝟖𝟏𝟕𝟕 −𝟏 √𝟑 −𝟏. 𝟎𝟓𝟏𝟓𝟕 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 → EJEMPLO 2: ∫ 𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝟏 Como los limites son distintos de −𝟏 y 𝟏 debemos de realizar una sustitución con los siguientes valores: 𝒙 = (𝒃−𝒂)𝒛 𝟐 + (𝒃+𝒂) 𝟐 𝒅𝒙 = (𝒃−𝒂) 𝟐 En lo que tomamos los valores actuales de los limites que se nos dan: 𝒂 = 𝟏 𝒃 = 𝟐 𝒙 = (𝟐−𝟏)𝒛 𝟐 + (𝟐−𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐−𝟏 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒛 + 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 Y sustituimos en nuestra integral original: ∫ [( 𝟏 𝟐 𝒛 + 𝟑 𝟐 ) 𝒆 ( 𝟏 𝟐 𝒛+ 𝟑 𝟐)] 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 𝟏 −𝟏 Y ahora sustituimos en nuestra formula: 𝑨 ≈ 𝒘𝟏𝑭(𝒁𝟏) + 𝒘𝟐𝑭(𝒁𝟐) 𝑨 ≈ (𝟏)(𝟓. 𝟑𝟒𝟗𝟓𝟎) + (𝟏)(𝟐. 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟕) = 𝟕. 𝟑𝟖𝟑𝟐𝟕 𝒁 𝑭(𝒛) 𝟏 √𝟑 𝟓. 𝟑𝟒𝟗𝟓𝟎 − 𝟏 √𝟑 𝟐. 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟕
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