Cuadratura de Gauss

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IV. Integración y Derivación Numérica 
IV.1 Integración Numérica. 
 
d. Método de la cuadratura de Gauss. 
En los temas de integración numérica anteriores, estudiamos fórmulas de 
integración conocidas como ecuaciones de Newton-Cotes (esto lo decimos hasta 
ahora). Una característica de estas fórmulas fue que la estimación de la integral se 
basó en valores igualmente espaciados de la función. En consecuencia, la 
localización de los puntos que se usaron en estas ecuaciones (del Trapecio, 
Simpson 1/3 y Simpson 3/8) eran predeterminados o fijos. 
Por ejemplo, como se describe en las figura 1, la regla del trapecio se basa en 
obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función, en los extremos 
del intervalo de integración, y la fórmula que se utiliza para calcular esta área es la 
de un trapecio (si solo se traza uno): 
 
 ……….(1) 
 
 
Donde a y b son los límites de integración y ∆𝒙 es igual al ancho del intervalo de 
integración. Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen 
casos como el de la figura 1, donde la fórmula puede dar un gran error. 
Ahora, supongamos que se elimina la restricción de los puntos fijos y se tuviera la 
libertad de evaluar el área bajo una línea recta que uniera dos puntos cualesquiera 
de la curva. Al ubicar esos puntos en forma inteligente, definiríamos una línea recta 
que equilibrara (o compensara) los errores negativo y positivo). Así que, como en la 
figura 2, llegaríamos a una mejor estimación de la integral. 
Cuadratura de Gauss es el nombre de una clase de técnicas para realizar tal 
estrategia. Las fórmulas particulares de la cuadratura de Gauss descritas más 
adelante se denominan fórmulas de Gauss- Legendre. 
 
𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
= (
𝑩 + 𝒃
𝟐
) ∆𝒙 
 
2 
 
 
Desarrollo de la fórmula de Gauss-Legendre. 
Así como en el caso de la obtención de la regla del trapecio, el objetivo de la 
cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuación de la forma 
 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
= 𝒄𝟎𝒇(𝒙𝟎) + 𝒄𝟏𝒇(𝒙𝟏) … … . . (𝟐) 
Donde las 𝑐 son los coeficientes desconocidos. Sin embargo, a diferencia de la regla 
del trapecio que utiliza puntos extremos fijos a y b, los argumentos de la función 
x0 y x1 no están fijos en los extremos sino que son incógnitas. Ver figura 3. 
 
 Figura 3 
 
De esta manera, ahora se tienen cuatro incógnitas que deben evaluarse y, en 
consecuencia, se requieren cuatro condiciones para determinarlas con exactitud. 
Igual que con la regla del trapecio, es posible obtener dos de esas condiciones al 
suponer que la ecuación (2) ajusta con exactitud la integral de una constante y de 
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una función lineal. Después, para obtener las últimas dos condiciones, solo se 
ampliará este razonamiento al suponer que también ajusta la integral de una funció 
cuadrática (𝑦 = 𝑥2) y de una cúbica (𝑦 = 𝑥3). Al hacerlo, se determinan las cuatro 
incógnitas y además se obtiene una fórmula de integración lineal de dos puntos que 
es exacta para cúbicas. Las cuatro ecuaciones que habrá que resolver son: 
𝑐0𝑓(𝑥0) + 𝑐1𝑓(𝑥1) = ∫ 1 𝑑𝑥
1
−1
= 2 … … … . . (3) 
𝑐0𝑓(𝑥0) + 𝑐1𝑓(𝑥1) = ∫ 𝑥 𝑑𝑥
1
−1
= 0 … … … . . (4) 
𝑐0𝑓(𝑥0) + 𝑐1𝑓(𝑥1) = ∫ 𝑥
2 𝑑𝑥
1
−1
=
2
3
… … … . . (5) 
𝑐0𝑓(𝑥0) + 𝑐1𝑓(𝑥1) = ∫ 𝑥
3 𝑑𝑥
1
−1
= 0 … … … . . (6) 
Las ecuaciones (3) a la (6) se pueden resolver simultáneamente para encontrar: 
𝒄𝟎 = 𝒄𝟏 = 𝟏 
𝒙𝟎 = −
𝟏
√𝟑
= −𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓𝟎𝟑 
𝒙𝟏 =
𝟏
√𝟑
= 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓𝟎𝟑 
Ahora se sustituyen estos resultados en la ecuación (2) para obtener la fórmula de 
Gauss- Legendre de dos puntos: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟏
−𝟏
= 𝒇 (−
𝟏
√𝟑
) + 𝒇 (
𝟏
√𝟑
) … … … . . (𝟕) 
Este resultado genera una estimación de la integral que tiene una exactitud de tercer 
grado. 
Obsérvese que los límites de integración de las ecuaciones (3), (4), (5) y (6) son de 
-1 a 1. Esto se hizo para simplificar la matemática y para hacer la formulación tan 
general como sea posible. Es posible utilizar un simple cambio de variable para 
transformar otros límites de integración a esta forma. Esto se realiza suponiendo 
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que una nueva variable 𝑡 está relacionada con la variable original 𝑥 en una forma 
lineal, como sigue: 
𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1 𝑡 … … … … … (8) 
Si el límite inferior, 𝑥 = 𝑎, corresponde a 𝑡 = −1, estos valores se sustituyen en la 
ecuación (8): 
𝑎 = 𝑎𝑜 + 𝑎1 (−1)…………(9) 
De manera similar, el límite superior, 𝑥 = 𝑏 corresponde a 𝑡 = 1, para tener: 
𝑏 = 𝑎𝑜 + 𝑎1 (1) … … … … . (10) 
Las ecuaciones (9) y (10), se resuelven simultáneamente para obtener: 
𝑎0 =
𝑏 + 𝑎
2
… … … … … … . (11) 
Y 
𝑎1 =
𝑏 − 𝑎
2
… … … … … … . (12) 
Que se sustituyen en la ecuación (8) con el siguiente resultado: 
𝒙 =
(𝒃 − 𝒂)𝒕 + 𝒂 + 𝒃
𝟐
… … … … … . (13) 
Esta ecuación se diferencia para dar: 
𝑑𝑥 =
𝑏 − 𝑎
2
𝑑𝑡 … … … . . … . (14) 
Las ecuaciones (13) y (14) pueden sustituirse por x y dx, respectivamente, en la 
ecuación que habrá de integrarse. Tales sustituciones transforman el intervalo de 
integración sin cambiar el valor de la integral, quedando finalmente la fórmula de 
dos puntos, de la integración numérica de Gauss-Legendre: 
 
 
 
 
𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
= (
𝒃 − 𝒂
𝟐
) [𝒇 (𝒕 = −
𝟏
√𝟑
) + 𝒇 (𝒕 =
𝟏
√𝟑
)] … … … (15) 
 
5 
 
Ejemplo 1. 
Resolver la siguiente integral por, el método e la cuadratura de Gauss 
∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑏=1
𝑎=0
 
Resolución. 
1) La función a integrar es 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 
2) Los límites de integración son: 𝑎 = 0, 𝑏 = 1 
3) Hacemos el cambio de variable, ecuación (13): 
 𝒙 =
(𝒃 − 𝒂)𝒕 + 𝒂 + 𝒃
𝟐
… … … . (𝟏𝟑) 
𝑥 =
(1 − 0)𝑡 + 0 + 1
2
 
𝑥 =
1
2
𝑡 +
1
2
 
4) Sustituimos en la función la nueva variable, t: 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 
𝑓(𝑡) = (
𝟏
𝟐
𝒕 +
𝟏
𝟐
) 𝑒(
𝟏
𝟐
𝒕+
𝟏
𝟐
)
 
5) Evaluamos la función cuando 𝒕 = −
𝟏
√𝟑
, y cuando 𝒕 =
𝟏
√𝟑
. 
𝑓 (𝑡 = −
1
√3
) = [
1
2
(−
1
√3
) +
1
2
] 𝑒
[
1
2
 (−
1
√3
)+
1
2
]
= 0.26109 
𝑓 (𝑡 =
1
√3
) = [
1
2
(
1
√3
) +
1
2
] 𝑒
[
1
2
 (
1
√3
)+
1
2
]
= 1.73536 
6) Tomamos la ecuación de la cuadratura de Gauss-Legendre (ecuación (15)), 
sustituimos y terminamos… 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (
𝑏 − 𝑎
2
) [𝑓 (𝑡 = −
1
√3
) + 𝑓 (𝑡 =
1
√3
)] … … … (15) 
𝑨 = ∫ 𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙
𝒃=𝟏
𝒂=𝟎
= (
𝟏 − 𝟎
𝟐
) [𝟎. 𝟐𝟔𝟏𝟎𝟗 + 𝟏. 𝟕𝟑𝟓𝟑𝟔] = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟐𝟐𝟓 (0.1775% 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟) 
Tan, tán 
6 
 
Ejemplo 2. 
Resolver la siguiente integral por, el método e la cuadratura de Gauss 
∫ 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑏=10
𝑎=1
 
Resolución. 
1) La función a integrar es 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 
2) Los límites de integración son: 𝑎 = 1, 𝑏 = 10 
3) Hacemos el cambio de variable, ecuación (13): 
 𝑥 =
(𝑏 − 𝑎)𝑡 + 𝑎 + 𝑏
2
… … … . (13) 
𝑥 =
(10 − 1)𝑡 + 1 + 10
2
 
𝑥 =
9
2
𝑡 +
11
2
 
4) Sustituimos en la función la nueva variable, t: 
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 
𝑓(𝑡) = ln (
9
2
𝑡 +
11
2
) 
5) Evaluamos la función cuando 𝒕 = −
𝟏
√𝟑
, y cuando 𝒕 =
𝟏
√𝟑
. 
𝑓 (𝑡 = −
1
√3
) = 𝑙𝑛 [
9
2
(−
1
√3
) +
11
2
] = 1.06537 
𝑓 (𝑡 =
1
√3
) = ln [
9
2
(
1
√3
) +
11
2
] = 2.09162 
6) Tomamos la ecuación de la cuadratura de Gauss (ecuación (15)) y… 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (
𝑏 − 𝑎
2
) [𝑓 (𝑡 = −
1
√3
) + 𝑓 (𝑡 =
1
√3
)] … … … (15) 
𝑨 = ∫ 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙
𝒃=𝟏𝟎
𝒂=𝟏
= (
𝟏𝟎 − 𝟏
𝟐
) [𝟏. 𝟎𝟔𝟓𝟑𝟕 + 𝟐. 𝟎𝟗𝟏𝟔𝟐] = 𝟏𝟒. 𝟐𝟎𝟔𝟓 
La solución exacta es: 14.0258; el error relativo es de 1.28% 
Fin GAG/Abr/2020