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MINIMOS CUADRADOS Hasta ahora, el texto se ha enfocado en la manera de encontrar un polinomio de aproximación que pase por los puntos dados en forma tabular. Sin embargo, a veces la información (dada en la tabla) contiene errores significativos; por ejemplo, cuando proviene de medidas físicas. En estas circunstancias carece de sentido pasar un polinomio de aproximación por los puntos dados, por lo que es mejor pasarlo sólo cerca de ellos. No obstante, esto crea un problema, ya que se puede pasar un número infinito de curvas entre los puntos. Para determinar la mejor curva se establece un criterio que la fije y una metodología que la determine. El criterio más común consiste en pedir que la suma de las distancias calculadas entre el valor de la función que aproxima 𝑝(𝑥𝑖) y el valor de la función 𝑓(𝑥𝑖) dada en la tabla [∑𝒑(𝒙𝒊) 𝒎 𝒊=𝟏 − 𝒇(𝒙𝒊)] =∑𝒅𝒊 𝒎 𝒊=𝟏 = 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 En el cálculo de funciones de una variable, el lector ha aprendido que para encontrar el mínimo o el máximo de una función, se deriva y se iguala con cero esa derivada. Después se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores de la variable que pudieran minimizar o maximizar la función. En el caso en estudio, donde se tiene una función por minimizar de dos variables (𝑎0 y 𝑎1), el procedimiento es derivar parcialmente, con respecto a cada una de las variables, e igualar a cero cada derivada, con lo cual se obtiene un sistema de dos ecuaciones algebraicas en las incógnitas 𝑎0 y 𝑎1; O sea: 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑝1(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝜕 𝜕𝑎0 [∑(𝑎0 𝑚 𝑖=1 + 𝑎1𝑥1 − 𝑓(𝑥𝑖)) 2] = 𝜕 𝜕𝑎 [∑(𝑎 𝑛 𝑖=1 + 𝑏𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖)) 2] 𝜕 𝜕𝑎1 [∑(𝑎0 𝑚 𝑖=1 + 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖)) 2] = 𝜕 𝜕𝑏 [∑(𝑎 𝑛 𝑖=1 + 𝑏𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖)) 2] Comenzamos a resolverlo: 2∑(𝑎 𝑛 𝑖=1 + 𝑏𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖)) = 0 → 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 2 →∑(𝑎 𝑛 𝑖=1 + 𝑏𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖)) = 0 2∑(𝑎 𝑛 𝑖=1 + 𝑏𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖))(𝑥𝑖) = 0 → 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 2 →∑(𝑎𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑏𝑥𝑖 2 − 𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)) = 0 ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 + 𝑏∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 − ∑ 𝑓(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 = 0 → 𝑛𝑎 + 𝑏∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑏∑ 𝑥𝑖 2𝑛 𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 = 0 → 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑏∑ 𝑥𝑖 2𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 Forma final: 𝒏𝒂 + 𝒃∑𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 =∑𝒇(𝒙𝒊) 𝒏 𝒊=𝟏 𝒂∑𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 + 𝒃∑𝒙𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 =∑𝒙𝒊𝒇(𝒙𝒊) 𝒏 𝒊=𝟏 En forma matricial, lo veríamos de la siguiente forma: ( 𝒏 ∑𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ) ( 𝒂 𝒃 ) = ( ∑𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ) Así mismo podemos hacer lo mismo con el de Segundo grado: 𝑝2(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 ( 𝒏 ∑𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟑 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟑 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟒 𝒏 𝒊=𝟏 ) ( 𝒂 𝒃 𝒄 ) = ( ∑𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ∑𝒙𝒊 𝟐𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 ) EJEMPLO En la tabla siguiente se presentan los alargamientos de un resorte, correspondientes a fuerzas de diferente magnitud que lo deforman. Determine por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado (recta) que represente la función dada. 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒙𝒊 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝟐 𝒙𝒊𝒚𝒊 𝟏 0 0.120 0 0.000 𝟐 2 0.153 4 0.306 𝟑 3 0.170 9 0.510 𝟒 6 0.225 36 1.350 𝟓 7 0.260 49 1.820 ∑𝑥𝑖 = 18 ∑𝑦𝑖 = 0.928 ∑𝑥𝑖 2 = 98 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 3.986 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂(𝒌𝒈𝒇):𝒙 0 2 3 6 7 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒓𝒕𝒆(𝒎): 𝒚 0.120 0.153 0.170 0.225 0.260 ( 𝑛 ∑𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 ) ( 𝑎 𝑏 ) = ( ∑𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) Acomodamos nuestros valores obtenidos en nuestra matriz: ( 5 18 18 98 ) ( 𝑎 𝑏 ) = ( 0.928 3.986 ) Obtenemos los valores de 𝑎 y 𝑏: 𝑎 = 0.11564 𝑏 = 0.01943 Y finalmente sustituimos los valores en nuestro polinomio: 𝒑𝟏(𝒙) = 𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟒𝟑𝒙 𝑝1(2.5) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟒𝟐𝟐 Ahora resolvemos para obtener el polinomio de Grado 2: ( 𝑛 ∑𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 3 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 3 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 4 𝑛 𝑖=1 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 ) = ( ∑𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑥𝑖 2𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) ( 5 18 98 18 98 594 98 594 3794 )( 𝑎 𝑏 𝑐 ) = ( 0.928 3.986 22.982 ) 𝒚 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟏𝟑𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟎𝟖𝒙 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟖𝒙𝟐
