Método de Interpolación simple y Polinomio de Lagrange

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Método de Interpolación simple y Polinomio de Lagrange 
1. Obtener el polinomio de interpolación de primer y segundo orden con el uso de Interpolación 
Simple, a partir de las siguientes funciones, aproxime 𝒇(𝟎. 𝟒𝟓) y calcule el error porcentual con 
base en el valor real. 
 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
b. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) 
c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 
 
 Tome como valores: 𝒙𝟎 = 𝟎, 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔, 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟗 
Escriba las tablas con los valores que utilizó para la construcción del sistema de ecuaciones. 
Plantee el sistema de ecuaciones, puede resolverlo en una calculadora. 
 
𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟗𝟎𝟎𝟒𝟓 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
0 1 
0.6 0.82534 
0.9 0.62161 
 
Grado 1 
𝑓(𝑥0) = 𝑎 + 𝑏𝑥0 → 1 = 𝑎 + 𝑏(0) 
𝑓(𝑥1) = 𝑎 + 𝑏𝑥1 → 0.82534 = 𝑎 + 𝑏(0.6) 
 
𝑷(𝒙) = 𝟏 − 𝟎. 𝟐𝟗𝟏𝟏𝟎𝒙 
 
Grado 2 
𝑓(𝑥0) = 𝑎 + 𝑏𝑥0 + 𝑐𝑥0
2 → 1 = 𝑎 + 𝑏(0) + 𝑐(0)2 
𝑓(𝑥1) = 𝑎 + 𝑏𝑥1 + 𝑐𝑥1
2 → 0.82534 = 𝑎 + 𝑏(0.6) + 𝑐(0.6)2 
𝑓(𝑥2) = 𝑎 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥2
2 → 0.62161 = 𝑎 + 𝑏(0.9) + 𝑐(0.9)2 
 
𝑷(𝒙) = 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟑𝟐𝟒𝟑𝒙 − 𝟎. 𝟒𝟑𝟏𝟏𝟏𝒙𝟐 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟏𝟓𝟔 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
0 0 
0.6 0.47 
0.9 0.64185 
 
Grado 1 
𝑓(𝑥0) = 𝑎 + 𝑏𝑥0 → 0 = 𝑎 + 𝑏(0) 
𝑓(𝑥1) = 𝑎 + 𝑏𝑥1 → 0.47 = 𝑎 + 𝑏(0.6) 
 
𝑷(𝒙) = −𝟎. 𝟖𝟖𝟑𝟑𝟑𝒙 
 
Grado 2 
𝑓(𝑥0) = 𝑎 + 𝑏𝑥0 + 𝑐𝑥0
2 → 0 = 𝑎 + 𝑏(0) + 𝑐(0)2 
𝑓(𝑥1) = 𝑎 + 𝑏𝑥1 + 𝑐𝑥1
2 → 0.47 = 𝑎 + 𝑏(0.6) + 𝑐(0.6)2 
𝑓(𝑥2) = 𝑎 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥2
2 → 0.64185 = 𝑎 + 𝑏(0.9) + 𝑐(0.9)2 
 
𝑷(𝒙) = 𝟎. 𝟗𝟐𝟑𝟔𝟕𝒙 − 𝟎. 𝟐𝟑𝟑𝟖𝟗𝒙𝟐 
 
 
𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟏 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟒𝟏𝟔 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
0 1 
0.6 1.26491 
0.9 1.37840 
 
Grado 1 
𝑓(𝑥0) = 𝑎 + 𝑏𝑥0 → 0 = 𝑎 + 𝑏(0) 
𝑓(𝑥1) = 𝑎 + 𝑏𝑥1 → 1.26491 = 𝑎 + 𝑏(0.6) 
 
𝑷(𝒙) = 𝟏 + 𝟎. 𝟒𝟒𝟏𝟓𝟐𝒙 
 
Grado 2 
𝑓(𝑥0) = 𝑎 + 𝑏𝑥0 + 𝑐𝑥0
2 → 0 = 𝑎 + 𝑏(0) + 𝑐(0)2 
𝑓(𝑥1) = 𝑎 + 𝑏𝑥1 + 𝑐𝑥1
2 → 1.26491 = 𝑎 + 𝑏(0.6) + 𝑐(0.6)2 
𝑓(𝑥2) = 𝑎 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥2
2 → 1.37840 = 𝑎 + 𝑏(0.9) + 𝑐(0.9)2 
 
𝑷(𝒙) = 𝟏 + 𝟎. 𝟒𝟖𝟑𝟔𝟔𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟕𝟎𝟐𝟒𝒙𝟐 
 
 
 
 
 
 Organice la información obtenida en la siguiente tabla. 
Polinomio grado 1 Aproximación Error% 
a. 𝑃(𝑥) = 1 − 0.29110𝑥 0.86901 3.492% 
b. 𝑃(𝑥) = −0.88333𝑥 0.35250 5.130% 
c. 𝑃(𝑥) = 1 + 0.44152𝑥 1.19868 0.455% 
 
Polinomio grado 2 Aproximación Error% 
a. 𝑃(𝑥) = 1 − 0.03243𝑥 −
0.43111𝑥2 
0.89811 0.260% 
b. 𝑃(𝑥) = 0.92367𝑥 −
0.23389𝑥2 
0.36829 0.88% 
c. 𝑃(𝑥) = 1 + 0.48366𝑥 −
0.07024𝑥2 
1.20342 0.061% 
 
2. Obtener el polinomio de interpolación de primer y segundo orden con el uso de Interpolación 
de Lagrange, a partir de las siguientes funciones, aproxime 𝒇(𝟎. 𝟒𝟓) y calcule el error 
porcentual con base en el valor real. 
 
d. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
e. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) 
f. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 
 
 Tome como valores: 𝑥0 = 0, 𝑥1 = 0.6, 𝑥2 = 0.9 
Escriba las tablas con los valores que utilizó para la construcción de cada polinomio, además del proceso 
detallado de la obtención de los coeficientes con el polinomio de Lagrange. 
 
𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟗𝟎𝟎𝟒𝟓 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
0 1 
0.6 0.82534 
0.9 0.62161 
 
Grado 1 
𝑎0 =
𝑓
0
𝑥0−𝑥1
 → 
1
0 − 0.6
 
𝑎1 =
𝑓
1
𝑥1−𝑥0
 → 
0.82534
0.6 − 0
 
 
𝑷(𝒙) =
−𝟓
𝟑
(𝒙 − 𝟎. 𝟔) +
𝟎.𝟖𝟐𝟓𝟑𝟒
𝟎.𝟔
𝒙 
 
Grado 2 
𝑎0 =
𝑓
0
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)
 → 
1
(0−0.6)(0−0.9)
 
𝑎1 =
𝑓
1
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)
 → 
0.82534
(0.6−0)(0.6−0.9)
 
𝑎1 =
𝑓
2
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)
 → 
0.62161
(0.9−0)(0.9−0.6)
 
 
𝑷(𝒙) =
𝟓𝟎
𝟐𝟕
(𝒙 − 𝟎. 𝟔)(𝒙 − 𝟎. 𝟗) −
𝟎.𝟖𝟐𝟓𝟑𝟒
𝟎.𝟏𝟖
(𝒙)(𝒙 − 𝟎. 𝟗) +
𝟎.𝟔𝟐𝟏𝟔𝟏
𝟎.𝟐𝟕
(𝒙)(𝒙 − 𝟎. 𝟔) 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟏𝟓𝟔 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
0 0 
0.6 0.47 
0.9 0.64185 
 
Grado 1 
𝑎0 =
𝑓
0
𝑥0−𝑥1
 → 
0
0 − 0.6
 
𝑎1 =
𝑓
1
𝑥1−𝑥0
 → 
0.47
0.6 − 0
 
 
𝑷(𝒙) =
𝟒𝟕
𝟔𝟎
𝒙 
 
Grado 2 
𝑎0 =
𝑓
0
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)
 → 
0
(0−0.6)(0−0.9)
 
𝑎1 =
𝑓
1
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)
 → 
0.47
(0.6−0)(0.6−0.9)
 
𝑎1 =
𝑓
2
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)
 → 
0.64185
(0.9−0)(0.9−0.6)
 
 
𝑷(𝒙) = −
𝟒𝟕
𝟏𝟖
(𝒙)(𝒙 − 𝟎. 𝟗) +
𝟎.𝟔𝟒𝟏𝟖𝟓
𝟎.𝟐𝟕
(𝒙)(𝒙 − 𝟎. 𝟔) 
 
 
𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟏 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟒𝟏𝟔 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
0 1 
0.6 1.26491 
0.9 1.37840 
 
Grado 1 
𝑎0 =
𝑓
0
𝑥0−𝑥1
 → 
1
0 − 0.6
 
𝑎1 =
𝑓
1
𝑥1−𝑥0
 → 
1.26491
0.6 − 0
 
 
𝑷(𝒙) =
−𝟓
𝟑
(𝒙 − 𝟎. 𝟔) +
𝟏.𝟐𝟔𝟒𝟗𝟏
𝟎.𝟔
𝒙 
 
Grado 2 
𝑎0 =
𝑓
0
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)
 → 
1
(0−0.6)(0−0.9)
 
𝑎1 =
𝑓
1
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)
 → 
1.26491
(0.6−0)(0.6−0.9)
 
𝑎1 =
𝑓
2
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)
 → 
1.37840
(0.9−0)(0.9−0.6)
 
 
𝑷(𝒙) =
𝟓𝟎
𝟐𝟕
(𝒙 − 𝟎. 𝟔)(𝒙 − 𝟎. 𝟗) −
𝟏.𝟐𝟔𝟒𝟗𝟏
𝟎.𝟏𝟖
(𝒙)(𝒙 − 𝟎. 𝟗) +
𝟏.𝟑𝟕𝟖𝟒𝟎
𝟎.𝟐𝟕
(𝒙)(𝒙 − 𝟎. 𝟔) 
 
 
 Organice la información obtenida en la siguiente tabla. 
Polinomio grado 1 Aproximación Error 
a. 𝑃(𝑥) =
−5
3
 (𝑥 − 0.6) +
0.82534
0.6
𝑥 
0.86901 3.492% 
b. 𝑃(𝑥) =
47
60
𝑥 0.35250 5.130% 
c. 𝑃(𝑥) =
−5
3
(𝑥 − 0.6) +
1.26491
0.6
𝑥 
1.19868 0.455% 
 
Polinomio grado 2 Aproximación Error 
a. 𝑃(𝑥) =
50
27
 (𝑥 − 0.6)(𝑥 − 0.9) −
0.82534
0.18
 (𝑥)(𝑥 −
0.9) +
0.62161
0.27
(𝑥)(𝑥 − 0.6) 
0.89811 0.260% 
b. 𝑃(𝑥) = −
47
18
(𝑥)(𝑥 − 0.9) +
0.64185
0.27
(𝑥)(𝑥 − 0.6) 
 
0.36829 0.881% 
c. 𝑃(𝑥) =
50
27
(𝑥 − 0.6)(𝑥 − 0.9) −
1.26491
0.18
(𝑥)(𝑥 −
0.9) +
1.37840
0.27
(𝑥)(𝑥 − 0.6) 
1.20342 0.061%