minimos cuadrados

Vista previa del material en texto

MINIMOS CUADRADOS 
1. Una pequeña empresa ha estado en el negocio durante cuatro años y ha registrado ventas 
anuales (en decenas de miles de dólares) de la siguiente manera: 
 
a) Construye un polinomio de grado 1 
[
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=0 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
|
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
] → [
4 10
10 30
|
114
303
] 
 
𝑎 = 19.5 
𝑏 = 3.6 
𝑷𝟏(𝒙) = 𝟏𝟗. 𝟓 + 𝟑. 𝟔𝒙 
 
b) Construye un polinomio de grado 2 
[
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
3𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
3𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
4𝑛
𝑖=1
|
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
] → [
4 10 30
10 30 100
30 100 354
|
114
303
945
] 
 
𝑎 = 19.5 
𝑏 = 3.6 
𝑐 = 0 
𝑷𝟐(𝒙) = 𝟏𝟗. 𝟓 + 𝟑. 𝟔𝒙 
 
c) Grafica los puntos junto con el polinomio de primer grado. 
d) Grafica los puntos junto con el polinomio de grado dos. 
e) Con base en las gráficas anteriores concluye con cual de los dos polinomios sería mejor 
predecir las ventas para el año 5. Justifica tu respuesta. 
Ambos, ya que llegan al mismo resultado aproximado. 
 
 
 
 
 
Organiza la información obtenida en las siguientes tablas 
 
Polinomio Aproximación 
1er grado: 
𝑃1(𝑥) = 19.5 + 3.6𝑥 
 
37.5 
2do grado: 
𝑃2(𝑥) = 19.5 + 3.6𝑥 
 
37.5 
 
 
Gráfica De Polinomio De Primer Grado Gráfica De Polinomio De Segundo Grado 
2. Un misil es lanzado desde el territorio enemigo y su posición en vuelo es observada por 
dispositivos de rastreo de radar en las siguientes posiciones: 
 
Posición 𝟎 𝟐𝟓𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟕𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 
Altura 0 8 15 19 20 
 
a) Calcula un polinomio de primer grado. 
[
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=0 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
|
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
] → [
5 2500
2500 1875000
|
62
43750
] 
 
𝑎 = 2.2 
𝑏 = 0.02040 
 
𝑷𝟏(𝒙) = 𝟐. 𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟎𝟒𝟎𝒙 
 
b) Calcula un polinomio de segundo grado. 
[
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
3𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
3𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
4𝑛
𝑖=1
|
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
] → [
5 2500 1875000
2500 1875000 1562500000
1875000 1562500000 1382812500𝑥103
|
62
43750
34937500
] 
 
𝑎 = −0.22857 
𝑏 = 0.03983 
𝑐 = −0.00002 
𝑷𝟐(𝒙) = −𝟎. 𝟐𝟐𝟖𝟓𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟑𝟗𝟖𝟑𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝒙
𝟐 
 
c) Grafica los puntos y el polinomio de grado 1. 
d) Grafica los puntos y el polinomio de grado 2. 
 
 
 
 
 
e) Cual consideras que es mejor para predecir la altura a una posición de 600. Escribe la 
aproximación obtenida. 
 
Con el polinomio de grado 2 se obtiene una grafica que pasa mas aproximados por los puntos ya 
establecidos en la tabla, por lo que se considera que por su parábola que se forma, ya que pasa mucho 
más cerca del valor que se busca. 
 
f) Ahora predice la posición a una altura de 16 con un polinomio de primer y segundo grado. 
Polinomio Aproximación 
1er grado: 
𝑃1(𝑥) = 2.2 + 0.02040𝑥 
 
14.44 
2do grado: 
𝑃2(𝑥) = −0.22857 + 0.03983𝑥 − 0.00002𝑥
2 
 
16.67429 
 
[
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=0 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
|
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
] → [
5 62
62 1050
|
2500
43750
] 
 
𝑎 = −62.2339 
𝑏 = 45.34139 
𝑷𝟏(𝒙) = −𝟔𝟐. 𝟐𝟑𝟑𝟐𝟗 + 𝟒𝟓. 𝟑𝟒𝟏𝟑𝟗𝒙 
 
[
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
3𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
3𝑛
𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖
4𝑛
𝑖=1
|
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
] → [
5 62 1050
62 1050 18746
1050 18746 345042
|
2500
43750
799250
] 
 
 
𝑎 = 15.99689 
𝑏 = 7.85763 
𝑐 = 1.84080 
𝑷𝟐(𝒙) = 𝟏𝟓. 𝟗𝟗𝟔𝟖𝟗 + 𝟕. 𝟖𝟓𝟕𝟔𝟑𝒙 + 𝟏. 𝟖𝟒𝟎𝟖𝟎𝒙
𝟐 
 
Polinomio Aproximación De Posición 
1er grado: 
𝑃1(𝑥) = −62.23329 + 45.34139𝑥 
 
663.22902 
2do grado: 
𝑃2(𝑥) = 15.99689 + 7.85763𝑥 + 1.84080𝑥
2 
 
612.96438