Formulas simples newton cotes

Vista previa del material en texto

FORMULAS SIMPLES NEWTON COTES 
1. Evalúe la integral de manera analítica, además con las fórmulas simples de Newton-Cotes y 
calcule el error porcentual cometido con base en el valor verdadero. 
∫ (6 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋/2
0
 
a) Integral analítica 
∫ (6 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋/2
0
 → 𝟏𝟐. 𝟒𝟐𝟒𝟕𝟖 ← 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 
 
b) Evalúe con las fórmulas simples de Newton- Cotes. Agregue en esta parte el procedimiento 
(evaluaciones y sustitución en fórmulas) 
 
Con Método De Trapecio 
ℎ = 𝑏 − 𝑎 =
𝜋
2
− 0 =
𝜋
2
 
𝐴 ≈
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)] → 
𝜋
2
2
[9 + 6] ≈ 𝟏𝟏. 𝟕𝟖𝟎𝟗𝟕 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |
12.42478 − 11.78097
12.42478
| × 100 = 𝟓. 𝟏𝟖𝟐% 
 
Con Método Simpson 
1
3
 
ℎ =
𝑏−𝑎
2
=
𝜋
2
−0
2
=
𝜋
4
 
𝐴 ≈
ℎ
3
[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)] → 
𝜋
4
3
[9 + 32.48528 + 6] ≈ 𝟏𝟐. 𝟒𝟑𝟏𝟔𝟐 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |
12.42478 − 12.43162 
12.42478
| × 100 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟓% 
 
Con Método Simpson 
3
8
 
ℎ =
𝑏−𝑎
3
=
𝜋
2
−0
3
=
𝜋
6
 
𝐴 ≈
3ℎ
8
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] 
→ 
3
𝜋
6
8
[9 + 3(8.59808) + 3(7.5) + 6] ≈ 𝟏𝟐. 𝟒𝟐𝟕𝟕𝟗 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |
12.42478 − 12.42779 
12.42478
| × 100 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟒% 
 
c) Organice la información obtenida en la tabla. 
 
MÉTODO Aproximación Error porcentual 
Trapecio Simple 11.78097 5.182% 
Simpson 1/3 Simple 12.43162 0.055% 
Simpson 3/8 Simple 12.42779 0.024% 
 
 
2. Evalúe la integral de manera analítica, además con las fórmulas simples de Newton-Cotes y 
calcule el error porcentual cometido con base en el valor verdadero. 
∫ (1 − 𝑥 − 4𝑥3 + 2𝑥5)𝑑𝑥
4
−2
 
a) Integral analítica 
∫ (1 − 𝑥 − 4𝑥3 + 2𝑥5)𝑑𝑥
4
−2
 → 𝟏𝟏𝟎𝟒 ← 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 
 
b) Evalúe con las fórmulas simples de Newton- Cotes. Agregue en esta parte el procedimiento 
(evaluaciones y sustitución en fórmulas) 
 
Con Método De Trapecio 
ℎ = 𝑏 − 𝑎 = 4 − (−2) = 6 
𝐴 ≈
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)] → 
6
2
[−29 + 1789] ≈ 𝟓𝟐𝟖𝟎 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |
1104 − 𝟓𝟐𝟖𝟎
1104
| × 100 = 𝟑𝟕𝟖. 𝟐𝟔% 
 
Con Método Simpson 
1
3
 
ℎ =
𝑏−𝑎
2
=
4−(−2)
2
= 3 
𝐴 ≈
ℎ
3
[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)] → 
3
3
[−29 + 4(−2) + 1789] ≈ 𝟏𝟕𝟓𝟐 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 −2 −29 
𝒙𝟏 4 1789 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 −2 −29 
𝒙𝟏 1 −2 
𝒙𝟐 4 1789 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |
1104 − 1752 
1104
| × 100 = 𝟓𝟖. 𝟔𝟗𝟔% 
 
Con Método Simpson 
3
8
 
ℎ =
𝑏−𝑎
3
=
4−(−2)
3
= 2 
𝐴 ≈
3ℎ
8
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] 
→ 
3(2)
8
[−29 + 3(1) + 3(31) + 1789] ≈ 𝟏𝟑𝟗𝟐 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |
1104 − 1392 
1104
| × 100 = 𝟐𝟔. 𝟎𝟖𝟕% 
 
 
c) Organice la información obtenida en la tabla. 
 
MÉTODO Aproximación Error porcentual 
Trapecio Simple 5280 378.26% 
Simpson 1/3 Simple 1752 58.696% 
Simpson 3/8 Simple 1392 26.087% 
 
 
 
3. Con base en la función tabular determina el valor de la integral de acuerdo con el intervalo. 
𝒙 −𝟓 −𝟑 −𝟏 𝟏 𝟑 𝟓 𝟕 𝟗 𝟏𝟏 
𝒇(𝒙) 4 8 9 12 13 14 17 20 21 
 
a) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟏
−𝟓
 
Con Método Simpson 
3
8
 
ℎ = 2 
𝐴 ≈
3ℎ
8
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] 
→ 
3(2)
8
[4 + 3(8) + 3(9) + 12] ≈ 𝟓𝟎. 𝟐𝟓 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 −2 −29 
𝒙𝟏 0 1 
𝒙𝟐 2 31 
𝒙𝟑 4 1789 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 −5 4 
𝒙𝟏 −3 8 
𝒙𝟐 −1 9 
𝒙𝟑 1 12 
 
b) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟑
𝟏
 
Con Método De Trapecio 
ℎ = 2 
𝐴 ≈
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)] → 
2
2
[12 + 13] ≈ 𝟐𝟓 
 
c) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟏𝟏
𝟗
 
Con Método De Trapecio 
ℎ = 2 
𝐴 ≈
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)] → 
2
2
[20 + 21] ≈ 𝟒𝟏 
 
 
De acuerdo con el número de puntos elija el método que sea posible aplicar. Escriba sus respuestas en 
la siguiente tabla. 
Ejercicio Método usado Aproximación 
a) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟏
−𝟓
 Simpson 
3
8
 50.25 
b) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟑
𝟏
 Trapecio 25 
c) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟏𝟏
𝟗
 Trapecio 41 
 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 1 12 
𝒙𝟏 3 13 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 9 20 
𝒙𝟏 11 21