Integrales dobles

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Métodos Numéricos 
Unidad IV. Integración y derivación numérica 
 
IV.1 Integración numérica. 
e) Integración Doble. 
 
Hasta el momento hemos visto 4 métodos de integración numérica: a) Regla del 
Trapecio, b) Simpson 1/3, c) Simpson 3/8 y d) Cuadratura de Gauss. 
Ahora, basados en estos métodos, vamos a desarrollar una ecuación para realizar 
integrales dobles numéricas. Empezamos. 
Sea 
∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
La integral doble de la función ( ) de las variables y , evaluadas en los 
límites de integración , - para , y , -, para . será el 
número de intervalos. 
Vamos a resolver un ejemplo de una integral por medio del método analítico y en 
base a este procedimiento, desarrollaremos una fórmula para la forma numérica. 
 
Ejemplo. 
Resolver analíticamente la siguiente integral doble: 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
Resolución. 
1) Primero tomamos la integral “interna” 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
2) En esta integral, la variable es , es constante, por lo tanto: 
2 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
3) Una vez que hemos resuelto la integral para , esta solución la 
sustituimos en la integral doble. 
∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
4) Y la resolvemos. 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
5) Por lo tanto: 
 
 
 
Esta integral doble la resolvimos para hacer conciencia del procedimiento, pues 
con los mismos pasos vamos a desarrollar la fórmula numérica y resolverla. 
1) Tomamos la integral interna (para la variable ) de la integral doble: 
 
∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
2) Desarrollamos la fórmula del Trapecio, para trapecios. Nota 
importante: elegí la regla del trapecio y cuatro intervalos de manera 
∫ ∫ 𝒙𝒆𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚 
𝟐
𝟏
𝟏
𝟎
𝟐 𝟓𝟕𝟕𝟒𝟐𝟑 
3 
 
“arbitraria”, podría haberlo hecho con otro método y con más (o menos) 
intervalos (trapecios) 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
Donde: 
 es el intervalo de cada trapecio 
 
 
 
 
Y es constante en esta integral. 
3) Ahora, esta fórmula de integración numérica (desarrollada con el método 
del trapecio y para 4 intervalos), la sustituimos en la integral doble: 
∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
 
 
 
 
4) Y desarrollamos esta integral (para la variable ; ahora es constante) con 
el método de Simpson 1/3 y con intervalos (igual que para la integral 
de ). La misma nota: opté por Simpson 1/3 y con intervalos de 
manera “arbitraria”. 
 
∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 * 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-+ ( ) 
 
 
Esta es la breve fórmula de integración numérica doble. 
Ejemplo. 
Resolver numéricamente la integral doble: ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realizamos una tabla para ( ) 
 
 
Ahora sustituimos los valores en nuestra breve fórmula solución de la integral 
doble ecuación (1) 
 
 
 
 1 1.2840 1.6487 2.117 2.7182 
 1.25 1.6050 2.0609 2.6462 3.3978 
 1.5 1.9260 2.4731 3.1755 4.0774 
 1.75 2.2470 2.8853 3.7047 4.7570 
 2 2.5680 3.2974 4.234 5.4366 
5 
 
∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-+ 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * 
 
 
, ( ) ( ) ( ) - 
 
 
 ( )
 
, ( ) ( ) ( ) - 
 
 ( )
 
, ( ) ( ) ( ) - 
 
 ( )
 
, ( ) ( ) ( ) - 
 
 
 
, ( ) ( ) ( ) -+ 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 * 
 
 
, - 
 ( )
 
, - 
 
 ( )
 
, - 
 ( )
 
, - 
 
 
, -+ 
 
 
 
 
Con un error relativo de 0.000775 % (Una precisión del 99.99922%) 
 
Fin 
3/abril/2020 
GAG 
 
∫ ∫ 𝒙𝒆𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚 𝟐 𝟓𝟕𝟕𝟒𝟓𝟔
𝟐
𝟏
𝟏
𝟎