Progresiones Aritméticas

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Progresiones Aritméticas 
Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.
· Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente.
· Si d <0 0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente.
Término general En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia. Observa: 
a2 = a1 + d 
a3 = a2 + d = a1 + 2·d
a4 = a3 + d = a1 + 2·d + d = a1 + 3·d 
a5 = a4 + d = a1 + 3·d + d = a1 + 4·d 
y siguiendo así sucesivamente, se llega a: 
an = a1 + (n-1)·d an = a1 + (n-1)·d
El término general de una progresión aritmética
Suma de n términos En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos:
 a1+an = a2+an-1= a3+an-2 =…
 A partir de esta propiedad se obtiene que la suma Sn= a1+a2+.......+an de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
S=a1+an. n
 2
a) 1, 4, 7, 10, 13....
d =a5-a4=a4-a3-a2=a2-a1
d = 13-10=10-7=7-4 = 4-1=3
b) Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética:
· 2, 4, 6, 8, 10,...
A10=a1 + (10-1)d =2+ 9. 2 =20
S= 2+20. 10 =11.10=110
 2
El primer término de una progresión aritmética de diferencia 5 es 4 y el último término es 499.Halla la suma de todos ellos. 
A1= 4 d= 5 4, 9, 14, 19,....
An=a1+(n-1)d499= 4+ (n-1).5=5n-1
5n=500 n=100
S =4+499 .100 = 503 100 =25150
 2 2
Progresiones Geométricas 
Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:
A2 =a3 = a4 =… an =r
a1 a2 a3 an-1
Suma de n términos La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:
S = an* r – 1
 R-1
	 n
S = a1 *(R – 1)
 R - 1 
Suma de todos los términos Producto de n términos
S = a1__
 1-r
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_progresiones/3eso_quincena5.pdf
Progresiones y series aritméticas
Leonardo de Pisa (1170-1245), más conocido como Fibonacci, introdujo en Europa nuevos métodos aritméticos de origen hindú, persa y árabe. También trajo la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, que hoy en día se conoce como la «sucesión de Fibonacci», que aparece en numerosas estructuras naturales, así como en elementos arquitectónicos.
Una sucesión es una colección de términos organizados con un orden específico, donde cada término se halla aplicando una regla. Estos son algunos ejemplos sencillos de sucesiones: 
2, 4, 6, 8, 10 1, 4, 9, 16, 25 1, 2, 4, 8, 16 
 1, 1, 2, 3, 5, 8 1, 8, 27, 64, 125 10, 5, 5/2, 5/4, 5/8
Una progresión aritmética es una sucesión en la que la resta de dos términos consecutivos es constante, llamamos a esta constante diferencia (d). Por ejemplo: 
 3 6 9 12 15 
 +3 +3 +3 +3 d = 3
 
 Progresiones y series geométricas 
 Hasta ahora hemos visto sucesiones en las que la diferencia entre dos términos era constante, pero hay otros tipos de sucesiones; por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32. Esta sucesión sigue claramente un patrón para generar los términos: cada término es el doble del anterior; sin embargo, no se mantiene constante la diferencia entre sus términos consecutivos. 
Progresiones y series geométricas 55 Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, al que llamamos razón (r). Por ejemplo:
3 6 12 24 48
 *2 *2 *2 *2 d = 2
https://www.vicensvives.com/vvweb/view/webwidgets/ibextras/libros/Matematicas_IB_diploma.pdf
Progresiones aritméticas
 Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, salvo el primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.
Ejemplo ► La sucesión 7, 10, 13, 16, 19, … 
es una progresión aritmética porque cada término se obtiene sumando 3 al anterior.
 Es decir, d = 3. 
El término general de una progresión aritmética es:
 an = a1 + (n – 1) · d 
Donde a1 es el primer término, y d, la diferencia.
Si se conoce el primer término de una sucesión a1 = 7 y la diferencia d = 3, entonces podemos conocer el término general de esa sucesión:
 An = 3 + (n – 1) · 
Ejemplo ► En la progresión aritmética 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 se cumple: 
a1 + a8 = 3 + 17 = 20
 a2 + a7 = 5 + 15 = 20 
a3 + a6 = 7 + 13 = 20 
a4 + a5 = 9 + 11 = 20
La suma Sn = a1 + a2 + a3 + … + an de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
 Sn = (a1 + an/2 ) · n
 Ejemplo ► En la progresión aritmética 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 se cumple:
 S8 = (a1 + a8/2 ) · 8 = 10 · 8 = 80
Progresiones geométricas 
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, salvo el primero, se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. 
Ejemplo ► 5, 15, 45, 135, 405,… 
Es una progresión geométrica de razón 3. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3. 
a1 = 5, a2 = 5 · 3 = 15, a3 = 15 · 3 = 45, … 
El término general de una progresión geométrica es: 
an = a1 · r n-1 
Donde a1 es el primer término, y r, la razón.
Si se conoce el primer término a1 = 5 y la razón es r = 3, entonces podemos conocer el término general de esa sucesión: 
an = 5 · 3 n – 1 
Y cualquier valor concreto de la sucesión, por ejemplo, el término a5 es:
 a5 = 5 · 3 5 – 1 = 5 · 3 4 = 5 · 81 = 405
En una progresión geométrica, la suma de la n primeros términos es: 
Sn = a1 · a2 + a3 +… + an-1 + an = ↓· −↓1 /−1
 Ejemplo ► En la progresión geométrica 5, 15, 45, 135 la suma de términos es:
 S4 = 135·3−5/ (3−1) =405−5/2 =200 
En una progresión geométrica, el producto de la n primeros términos es: 
Pn =√ (↓1 ·↓) ↑  
En la progresión geométrica 5, 15, 45, 135, el producto de sus términos es:
 P4 =√ (5·135)↑4   = 455 625
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