Unidad1.Funciones

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
APUNTES DE CLASE 
UNIDAD 1: FUNCIONES 
 
Temas de la unidad 
Introducción: funciones como modelos matemáticos. Funciones. Definición. Dominio e 
Imagen. Registros de representación: gráfico, analítico, verbal, tabla o numérico. 
Características (ceros, intervalos positividad, negatividad). Paridad. Funciones por trozos. 
Homográficas. Funciones exponencial y logarítmica. Funciones trigonométricas (seno, 
coseno y tangente). Función acotada. Álgebra de funciones. Transformaciones 
(traslaciones, reflexiones, contracciones y dilataciones). Inyectividad, sobreyectividad, 
biyectividad. Función inversa y composición de funciones. Propiedades. Funciones dadas 
en forma explícita, implícita y paramétrica. Cónicas. Aplicaciones. 
 
Objetivos: se pretende que el alumno 
 
• Reconozca el concepto de función entre conjuntos de números reales. 
• Identifique los distintos registros de representación de una función (analítico, 
gráfico, verbal y por tabla). 
• Estudie los ceros, los intervalos de positividad y negatividad de una función para 
poder esbozar un gráfico de esta. 
• Resuelva problemas sencillos y/o ejercicios de aplicación donde se utilicen las 
funciones como modelos matemáticos. 
• Reconozca analítica y gráficamente cuándo una función es par, impar o no tiene 
paridad definida. 
• Identifique cuándo una función es acotada. 
• Identifique funciones algebraicas (racionales enteras y fraccionarias, irracionales) y 
trascendentes (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, directas e inversas, 
módulo, por trozos) y conozca las características principales de cada una de ellas. 
• Determine si dos funciones son o no iguales. 
• Realice operaciones algebraicas entre funciones. 
• Halle la función inversa de una función biyectiva dada. 
• Reconozca traslaciones verticales y horizontales, reflexiones, contracciones y 
dilataciones verticales y horizontales efectuadas a una función. 
• Realice la composición entre dos funciones. 
• Identifique una curva dada en forma paramétrica, en forma implícita y explícita. 
• Identifique la ecuación de una cónica: circunferencia, elipse e hipérbola. 
 
Introducción 
 
La importancia de la Matemática en la evolución de la ciencia y de la tecnología está 
fundamentalmente relacionada con la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de los 
objetos estudiados en las mismas. Es decir, describir mediante un lenguaje preciso las 
relaciones, propiedades y comportamiento de objetos reales. Ese lenguaje es de aplicación 
universal, permite aplicarlo en diversas disciplinas: Física, Economía, Biología, etc. 
2 
 
Cuando aplicamos la Matemática a un problema de las ciencias mencionadas o de la vida 
real, en primera medida traducimos el problema a términos matemáticos, entonces decimos 
que tenemos un modelo matemático. Justamente un modelo matemático es una descripción 
matemática de un fenómeno del mundo real, como el tamaño de la población, la demanda 
de un producto, la velocidad de un objeto, etc. La finalidad de un modelo es comprender el 
fenómeno y quizás sacar conclusiones sobre el mismo o predecir comportamientos futuros. 
Para formular este modelo debemos identificar las variables independientes y dependientes 
que intervienen y establecer suposiciones que usualmente simplifican el tratamiento 
matemático del mismo. 
Una vez que tenemos el modelo, aplicamos la Matemática que conocemos para obtener la 
solución del problema. Por último, interpretamos esta respuesta matemática en términos del 
problema original. 
Uno de los conceptos que ayudan en la resolución de los problemas mencionados es el de 
función, el cual desarrollaremos en esta unidad. 
 
Definición. Registros de representación 
 
Ejemplo 1.1 
 
Deseamos llenar de agua un tanque cilíndrico cuya capacidad es de 580 litros y en el que 
inicialmente hay 100 litros de agua. Sabiendo que se comienza a llenar al mediodía del 
lunes (12hs) y que el agua entra al tanque a razón de 10 l/h, responder: 
a) ¿a las 12hs del mediodía del martes cuánta agua hay en el tanque? ¿cuánta agua 
entró hasta ese momento? 
b) Si denominamos con t al tiempo que transcurre luego de que comienza a llenarse el 
tanque y V a la cantidad de agua que hay en el tanque en ese tiempo ¿qué relación 
hay entre V y t desde que comienza a llenarse el tanque hasta el momento en que se 
llena? 
c) ¿Qué valores puede tomar t? ¿y V? 
d) ¿Qué día y a qué hora se llenó el tanque? 
Entonces: 
a) Entre el mediodía del lunes y el mediodía del martes pasaron 24 horas, si el agua 
entra a razón de 10 l/h, luego de 24 horas habrá en el tanque 240 litros más. 
Debemos sumar estos 240 litros a los ya existentes 100 litros, por lo tanto, al 
mediodía del martes hay 340 litros de agua. Entraron hasta ese momento 240 litros. 
b) Observemos que el problema plantea una relación entre dos variables: el tiempo 
transcurrido desde que se comienza a llenar (t en horas) y la cantidad de agua en el 
tanque en ese momento (al que llamaremos V, en litros). Como dicha cantidad de 
agua depende del tiempo que pasa, se llama variable dependiente, en tanto que al 
tiempo t lo llamamos variable independiente. 
Una posible fórmula que relacione estas variables es: 
 
ttV 10100)( += (1) 
 
donde t es el tiempo transcurrido desde el instante inicial que se comienza a llenar el 
tanque (t = 0, correspondiente al lunes a las 12 horas). Tengamos en cuenta que la 
3 
 
capacidad del tanque es de 580 litros, por lo que luego de 48 horas se llena (posee 
100 litros, después de 48 horas a 10 l/h entran 480 litros, con lo cual sumando estas 
cantidades tenemos 580 litros). Observemos también las unidades de la fórmula (1): 
horat
hora
litros
litrostV 10100)( += 
 
c) La variable t puede tomar los valores reales 480  t (en horas). A dicho conjunto 
lo llamamos dominio de la relación planteada (que luego definiremos como 
función). La variable V puede tomar los valores reales 580100 V (en litros). A 
dicho conjunto lo llamamos conjunto imagen. 
d) Como el tanque comenzó a llenarse un lunes al mediodía y se llenó luego de 48 
horas, concluimos que el miércoles (siguiente a ese lunes), a las 12 horas el tanque 
se llenó. 
 
La forma (1) nos permite expresar de una forma sencilla y útil la relación entre el tiempo 
transcurrido y la cantidad de agua en el tanque. Ésta junto a los valores indicados en el ítem 
c) nos dan los elementos del modelo matemático que definimos para la situación planteada. 
En esa relación expresada en (1) se basa el concepto de función que damos a continuación: 
 
Definición: dados dos conjuntos A y B llamamos función f de A en B a toda asignación 
que verifica que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. 
En símbolos: 
 
)(/: xfyBAf =→ (Se lee y es imagen de x a través de f ) 
 
Al conjunto A lo llamamos dominio de f y lo podemos denotar
ff
DomD = , a B 
conjunto de llegada e )(xfy = establece la regla de asignación, es decir cómo vamos a 
calcular o designar la imagen para cada elemento de A. Entonces cuando damos una 
función tenemos que indicar tres elementos: 
✓ dominio, 
✓ conjunto de llegada, 
✓ regla de asignación. 
 
En el ejemplo 1.1, el dominio es el intervalo [0, 48], el conjunto de llegada es el intervalo 
[100, 580] (ya definiremos conjunto imagen) y la regla de asignación la expresada en (1), 
para la cual a cada valor de t le corresponde uno y sólo un valor de volumen. 
 
Existe otro conjunto también importante para estudiar una función que es el conjunto 
imagen, que se define como )}(/{Im xfyAxByI ff === . Es decir, los 
elementos de B que “sirvieron” como imagen a algún elemento de A. 
 
Para dar la regla de asignación podemos emplear lo que llamamos registros de 
representación. Así podemos brindarla en: 
 
4 
 
Registro verbal: mediante palabras o lenguaje coloquial, como fue dado el ejemplo 1.1. 
Veamos otro ejemplo:Ejemplo 1.2 
 
Para construir una caja sin tapa se cortan cuadrados de x cm de lado en las cuatro esquinas 
de un cartón de 24cm x 32cm, y se doblan los lados. Expresar el volumen V(x) y establecer 
los tres elementos característicos de esta función. 
Hagamos un esquema de la situación planteada. Tenemos un cartón: 
 
 
 
 
 32 cm 
 
 
 
 
 
 24 cm 
 
Al cual le cortamos en las cuatro esquinas cuadrados de longitud x cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pensemos que esos rectángulos que nos quedaron los doblamos hacia arriba para formar 
una caja: 
 
 
 32 – 2x (largo) 
 
 
 x (altura) 
 24 – 2x (ancho) 
 
Por lo que la expresión del volumen es: 
 
xxxalturabasedeerficiexV )232)(224(.sup)( −−== 
 
x cm 
5 
 
Esta fórmula sería la regla de asignación expresada en forma simbólica o analítica. El 
dominio de la función son los valores reales menores que 12 (ya que no podemos cortar 
más de doce centímetros en el lado más chico del cartón dado), es decir: )12,0(=VD y 
podemos tomar como conjunto de llegada al conjunto de números reales R . 
Si damos la expresión xxxxVRV )232)(224()(/)12,0(: −−=→ es la misma función 
anterior pero dada en registro analítico. 
También podemos realizar un gráfico de dicha función, en el cual el conjunto de pares 
ordenados que graficamos es: 
 
)}12,0(/))(,{( xxVx 
 
 
 
Figura 1. Gráfico ejemplo 1.2 
 
 
En la figura 1 la función está dada en registro gráfico. 
Otro tipo de registro que podemos utilizar es el numérico, en el cual se dan algunos valores 
de las imágenes a través, por ejemplo, de una tabla: 
 
x (cm) 1 3 5 7 9 11 
 ( )V x (cm3) 660 1404 1540 1260 756 220 
 
Podemos leer la tabla de la siguiente manera: si cortamos 1 cm de cada lado y formamos la 
caja, obtendremos una caja de 660 cm3 de capacidad. Si cortamos 3 cm la caja tendrá una 
capacidad de 1404 cm3 y así sucesivamente. De este modelo podemos hacernos la siguiente 
pregunta: ¿cuántos cm tenemos que cortar para que la caja tenga capacidad máxima? 
Podríamos dar una respuesta aproximada mirando el gráfico o la tabla, pero lo podremos 
responder con exactitud en las próximas unidades. 
 
 
 
 
6 
 
Resumiendo: la regla de asignación puede darse en los siguientes registros de 
representación: 
✓ Verbal 
✓ Analítico 
✓ Gráfico 
✓ Numérico 
 
Ejemplo 1.3 
 
Determinar si cada uno de los siguientes gráficos corresponde a una función de R en R : 
a) 
 
 
Figura 2. Gráfico ejemplo 1.3. a) 
 
Para saber si el gráfico de la figura 2 representa o no función existe lo que se llama la 
“prueba de la recta vertical”. Ésta consiste en barrer el conjunto A (supuesto dominio de la 
función, en este caso R , sobre el eje x) con rectas verticales. Si cada recta corta el gráfico 
(condición de existencia) una sola vez (condición de unicidad), entonces corresponde a una 
función. 
Realicemos la prueba de la recta vertical en el gráfico dado: 
 
 
Figura 3. Gráfico figura 2 con rectas verticales 
 
Por lo explicado, el gráfico corresponde a una función RRf →: . El conjunto dominio es 
RD
f
= y el conjunto imagen I = [0, +∞). Este caso en particular es la función módulo 
xxfRRf =→ )(/:
 
 
b) 
7 
 
 
 
 
 
Figura 4. Gráfico Ejemplo 1.3. b) con rectas verticales 
 
Observemos que la recta trazada en el punto de abscisa x = -4 corta el gráfico dos veces. 
Esto nos indica que a ese valor le corresponden dos imágenes, por lo cual no se cumple la 
condición de unicidad. A su vez la otra recta marcada no corta el gráfico, con lo que no se 
cumple la condición de existencia. El gráfico de la figura 4 no corresponde a una función. 
 
c) 
 
Figura 5. Ejemplo 1.3. c) con rectas verticales 
 
La primera recta que trazamos no corta el gráfico dado y esta situación se extiende para 
todos los valores reales negativos. Pero las rectas trazadas desde 0x  cortan el gráfico una 
sola vez. Entonces si en vez de considerar dominio de la función a R consideramos el 
intervalo [0, +∞) sí se cumple la definición de función. 
Por lo tanto,  ) Rf →+,0: es función. En este caso el conjunto imagen es  )+= ,0
f
I . 
La función graficada es  )  ) xxff =+→+ )(/,0,0: 
 
Ejemplo 1.4 
 
En la tabla se muestra un registro de temperaturas T, realizado cada dos horas, desde la 
medianoche hasta el mediodía. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. 
¿Cuál es el dominio de la función? Trazar un gráfico aproximado y mediante el mismo 
encontrar la temperatura a las 11 hs. 
 
 t 0 2 4 6 8 10 12 
8 
 
 T 8 7 3 0 1 7 11 
 
Esta función está dada en registro numérico y su dominio es el intervalo [0,12]. Un posible 
gráfico que se obtiene marcando los puntos dados y uniéndolos con segmentos de recta es: 
 
Figura 6. Ejemplo 1.4. 
 
A partir del gráfico podemos deducir que la temperatura a las 11 hs es aproximadamente de 
9 º C (marcado en el gráfico de la figura 6). 
 
Ejemplo 1.5 
 
Es usual brindar sólo la regla de asignación de la función sin especificar dominio ni 
conjunto de llegada. 
Por ejemplo: sea 
2/1
32
)(
+
−
=
x
x
xf (registro analítico) 
En este caso por convención tomamos como dominio de dicha función al conjunto de 
todos los números reales para los cuales la operación indicada está bien definida, es decir la 
podemos hacer. En nuestro ejemplo será }2/1{−−= RD f 
 
Características de funciones 
 
A lo largo del curso vamos a ir sumando diferentes características de las funciones que nos 
permitirán realizar un gráfico cada vez más aproximado. Sea )(/: xfyBAf =→ , en esta 
unidad vemos: 
 
✓ Ceros = { }0)(/ = xfAx o intersecciones con el eje x, son aquellos valores para 
los cuales la imagen es 0. 
✓ Intersección con el eje y: es el punto (0, f (0)) si x = 0 pertenece al dominio de la 
función. 
✓ Intervalo de positividad: }0)(/{ =+ xfAxI (gráficamente es el conjunto de 
puntos para los cuales sus imágenes se encuentran por arriba del eje x) 
9 
 
✓ Intervalo de negatividad: }0)(/{ =− xfAxI (gráficamente es el conjunto de 
puntos para los cuales sus imágenes se encuentran por debajo del eje x) 
✓ Tener en cuenta que AIICeros = −+ 
 
Ejemplo 1.6 
 
Sea 32)(/: 2 −+=→ xxxfRRf . Ésta es una función cuadrática cuyo gráfico es una 
parábola. Para hallar los ceros aplicamos la fórmula de la resolvente obteniendo los puntos 
Ceros = {1,-3}. Para saber los intervalos de positividad y negatividad podemos hacer un 
cuadro de signos considerando la expresión factorizada 2( ) 2 3 ( 1)( 3)f x x x x x= + − = − + 
 
factor (-∞, -3) -3 (-3,1) 1 (1, +∞) 
x-1 - - - 0 + 
x+3 - 0 + + + 
Signo de f + 0 - 0 + 
 
Del cual deducimos: I+ = ),1()3,( +−− ; I- = (-3,1). A su vez la intersección con el eje y 
es (0,-3). Gráficamente: 
 
 
Figura 7. Gráfico ejemplo 1.6 
 
Clasificación de funciones: funciones pares e impares 
 
Esta clasificación tiene que ver con la simetría que tiene o no la función respecto del eje y o 
del origen de coordenadas. 
 
Definición: )(/: xfyBAf =→ es par Axxfxf =− )()( en este caso la 
función tiene una simetría respecto al eje y. 
Ejemplo de funciones conocidas pares 
2/: xyRRf =→ ; xyRRg =→ /: 
10 
 
 
 
Figura 8. Ejemplo de funciones pares conocidas 
 
Definición: )(/: xfyBAf =→ es impar Axxfxf −=− )()( En este caso la 
función tiene una simetría respecto al origen de coordenadas. 
 
Ejemplo de funciones impares conocidas 
3/: xyRRf =→ ; xyRRg =→ /: 
 
 
Figura 9. Ejemplo de funciones impares conocidas 
 
¿Cómo hacemos analíticamente para determinar que una función dada es par o impar o no 
tiene paridad definida? 
Debemos calcular la imagen de x− y compararla con la de x . 
 
Ejemplo 1.7 
 
Estudiar la paridad de 132)(/:
24 +−=→ xxxfRRfEntonces: 
 
Rxxfxxxxxf =+−=+−−−=− )(1321)(3)(2)( 2424 Por lo tanto, f es par. 
 
Sea ahora 
3
2 1
)(/}0{:
x
x
xgRRg
+
=→− 
 
0)(
11
)(
1)(
)(
3
2
3
2
3
2
−=
+
−=
−
+
=
−
+−
=− xxg
x
x
x
x
x
x
xg Por lo que g es impar. 
11 
 
Estudiemos ahora 632)(/: xxxmRRm +=→ . Podemos hacerlo de dos maneras: una 
realizando el cálculo de m (-x) y darnos cuenta de que no es igual a m(x) ni a –m(x). La 
otra es que “sospechemos” que no tiene paridad definida, en cuyo caso dando un ejemplo es 
suficiente para demostrarlo. Por ejemplo: 
(1) 3m = 
( 1) 1m − = − 
Esto es valores opuestos de x (1 y -1) tienen imágenes que no son iguales ni opuestas, por 
lo que m no puede ser ni par ni impar. 
 
Funciones homográficas 
 
Las funciones homográficas tienen como expresión analítica en su regla de asignación a: 
 
dcx
bax
xfy
+
+
== )( 
 
Donde a, b, c y d son números reales, 0,0 − bcadc 
 
Si c = 0 tenemos una función lineal, de allí la primera condición que sea diferente de cero. 
Si 0=−bcad los coeficientes son proporcionales y se trata de una función constante con 
dominio }/{ cdRD f −−= . 
Por ejemplo, si analizamos la siguiente expresión 
12
24
+
+
=
x
x
y tenemos que a = 4, b = 2, c 
=2 y d = 1, con lo que 0=−bcad . En este caso podemos hacer: 
 
2/12
12
)12(2
12
24
−=
+
+
=
+
+
= xsi
x
x
x
x
y 
Es decir, gráficamente se trata de una recta horizontal (función constante) y = 2 con 
dominio }2/1{−−= RD f 
 
Volvamos a las funciones homográficas. Bajo las condiciones que indicamos 
anteriormente: 
 
dcx
bax
xfcaRcdRf
+
+
=−→−− )(/}/{}/{: 
Las características principales son: 
✓ /x d c= − es asíntota vertical de f 
✓ /y a c= es asíntota horizontal de f 
✓ pueden o no cortar a los ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Ejemplo 1.8 
2
3
)(/}2{:
−
+−
=→−
x
x
xfRRf corresponde al tipo de función definida anteriormente. 
Tiene asíntota vertical 2x = y horizontal 1y = − , las intersecciones con los ejes son (3,0) y 
(0, -3/2). Su gráfico es: 
 
 
Figura 10. Gráfico ejemplo 1.7 
 
La función homográfica más sencilla es 
x
xfRRf
1
)(/}0{}0{: =−→− , con asíntota 
vertical x = 0, horizontal y = 0, no corta los ejes y cuyo gráfico es: 
 
13 
 
Figura 11. Función homográfica y = 1/x 
Estudiaremos diferentes funciones que llamamos prototipos, es decir funciones que son 
sumamente importantes ya que otras se derivan de éstas haciendo movimientos en el plano 
o diferentes operaciones. Podríamos decir que son funciones básicas que tenemos que saber 
para poder llevar adelante el curso. 
 
Funciones exponenciales 
 
Son aquellas funciones de la forma 
xaxfyRRf ==→ + )(/: donde 1 + aRa . 
Estas funciones tienen dominio RD
f
= e imagen ),0( +=fI 
A su vez poseen distintas características dependiendo del valor de la base “a”. 
Consideramos los casos a > 1 y 0 < a < 1. 
 
a > 1 
 
Graficamos las funciones xx yy 3,2 == , xy 4= 
 
 
Figura 12. Funciones exponenciales con base mayor que 1 
 
Observamos que: 
✓ Son funciones crecientes (es decir: 
f
Dxxxfxfxx 
212121
,)()( ) 
✓ Todas cortan al eje y en (0,1) 
✓ No tienen intersección con el eje x. 
✓ No tienen paridad definida. 
✓ y = 0 Asíntota horizontal (del lado izquierdo) 
 
 
0 < a < 1 
14 
 
Graficamos las funciones 
xx
yy 





=





=
3
1
,
2
1
, 
x
y 





=
4
1
 
 
 
Figura 13. Funciones exponenciales de base 0 < a < 1 
 
Observamos que: 
✓ Son funciones decrecientes (es decir: 
f
Dxxxfxfxx 
212121
,)()( ) 
✓ Todas cortan al eje y en (0,1) 
✓ No tienen intersección con el eje x 
✓ No tienen paridad definida. 
 
Funciones logarítmicas 
Las funciones del tipo xxfyRRf alog)(/: ==→
+ donde 1 + aRa , se llaman 
funciones logarítmicas. 
 
Recordemos que log yay x a x=  = 
 
Todas las funciones logarítmicas del tipo xxfy alog)( == tienen dominio ),0( +=fD e 
imagen RI
f
= . 
Al igual que las funciones exponenciales, tienen distintas características dependiendo del 
valor de a. Consideramos los casos a > 1 y 0 < a < 1. 
 
a > 1 
 
Graficamos las funciones xyxyxy 432 log,log,log === 
 
15 
 
 
Figura 14. Funciones logarítmicas con base a > 1 
 
Observamos que: 
✓ Son funciones crecientes. 
✓ Todas cortan al eje x en (1,0). 
✓ No tienen intersección con el eje y. 
 
0 < a < 1 
 
Graficamos las funciones xyxyxy 4/13/12/1 log,log,log === 
 
 
Figura 15. Funciones logarítmicas con base 0 < a < 1 
 
Observamos que: 
✓ Son funciones decrecientes. 
✓ Todas cortan al eje x en (1,0). 
✓ No tienen intersección con el eje y. 
Veamos un modelo matemático con función exponencial: 
 
Ejemplo 1.9 
 
16 
 
En condiciones ideales se sabe que cierta población de bacterias se duplica cada tres horas. 
Supongamos que primero hay 100 bacterias. 
a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas? 
b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? 
c) Grafica la función de población y estima el tiempo para que la población llegue a 
50000 bacterias. 
 
a) Si primero tenemos 100 bacterias, a las tres horas (se duplica cada tres horas) tendremos 
200 bacterias, así podemos trabajar en registro numérico y hacer la siguiente tabla: 
 
t (horas 0 3 6 9 12 15 
B(t) (cantidad de bacterias 100 200 400 800 1600 3200 
 
Con lo que respondemos que a las 15 horas hay 3200 bacterias. 
 
b) Si queremos dar una regla genérica para cualquier t, pensemos que la cantidad se va 
duplicando (esto nos indica que la base de la función exponencial será 2) y cada tres horas 
implica que el exponente será t/3, es decir: /3:[0, ) [100, ) / ( ) 100.2tB B t+ → + = 
c) 
 
 
Figura 16. Gráfico ejemplo 1.9. 
 
Para que la población llegue a 50000 bacterias hacemos: 
min5326)500(log3)500(log3/2500210050000 22
3/3/ hstttt ==== 
Entonces para que la población llegue a las 50000 bacterias se necesitarán 
aproximadamente 26 horas 53 minutos. 
 
 
17 
 
Funciones trigonométricas 
 
Función seno 
 
La función   senxyRf =−→ /1,1: tiene el siguiente gráfico: 
 
 
Figura 17. Función seno 
 
Características: 
✓ Im [ 1,1]f fD R= = − 
✓ Es impar: ( ) ( )sen x sen x x R− = −   
✓ { / }Ceros x x k k R= =  
✓ Periódica de período 2 . Es decir: =+ ksenxkxsen )2(  
La función seno es una función acotada. ¿Qué significa esto? Una función f está acotada sí 
y sólo sí existe un número real positivo k para el cual se verifica fDxkxf )( 
La función seno está acotada por k = 1, al igual que la función coseno que presentamos a 
continuación: 
 
Función coseno 
 
La función   xxfyRf cos)(/1,1: ==−→ tiene el siguiente gráfico: 
 
18 
 
 
Figura 18. Función coseno 
 
Características: 
✓ Im [ 1,1]f fD R= = − 
✓ Es par: cos( ) cos( )x x x R− =   
✓ / (2 1)
2
Ceros x x k k R
 
= = +  
 
 
✓ Periódica de período 2 . Es decir: =+ kxkx cos)2cos(  
 
Función tangente 
La función )()(/}
2
)12(/{: xtgxfRkkxRxRf =→+=−

tiene el gráfico: 
 
 
Figura 19. Función tangente. 
 
 
19 
 
Sus características principales son: 
✓ / (2 1) Im
2
f fD R x x k k R R
 
= − = +  = 
 
 
✓ Es impar: ( ) ( ) ftg x tg x x D− = −   
✓  /Ceros x x k k R= =  
✓ Periódica de período  . Es decir: ( )tg x k tgx k+ =  
 
Identidades importantes para recordar 
 
x
senx
tgx
cos
= 
senx
x
gx
cos
cot = 
x
x
cos
1
sec = 
senx
ecx
1
cos = 
 
 
1cos22 =+ xxsen xxtg
22 sec1 =+ xecxg
22 cos1cot =+ 
 
Un modelo con funciones trigonométricas: 
 
Ejemplo 1.10 
 
La presión P (en milímetros de mercurio) contra las paredes de los vasos sanguíneos de un 
paciente está modelada por 





−= ttP
3
8
cos20100)(

 donde t se mide en segundos. 
a) ¿Cuál es el período del modelo? ¿Qué nos dice el período acerca de esta situación? 
b) ¿Cuál es la amplitud del modelo?¿Qué nos dice acerca de esta situación? 
c) Si un período de este modelo es equivalente a una pulsación cardíaca, ¿cuál es el 
pulso del paciente? 
d) Si un médico desea que la frecuencia cardíaca de este paciente sea de 64 pulsaciones 
por minuto, ¿cuál debe ser el período? ¿Cuál debe ser el coeficiente de t? 
 
a) Una función trigonométrica de la forma y = sen(bx) o y =cos(bx) tiene período p = 2π/b; 
por lo que nuestra función tiene período p = ¾ (segundos). Esto nos dice que cada ¾ de 
segundos “la onda de la función coseno se repite”, es decir la presión va tomando los 
mismos valores cada ¾ de segundo. 
 
b) La amplitud es 20. Esto significa que los valores de la presión estarán comprendidos 
entre 80 y 120 milímetros de mercurio. 
 
c) Si el paciente realiza una pulsación cardíaca en 0,75 segundos y sabemos que el pulso es 
la cantidad de pulsaciones en 60 segundos (un minuto), entonces el pulso será de 80 
pulsaciones (60/0,75) 
 
d) Si queremos que tenga 64 pulsaciones por minuto, teniendo en cuenta lo anterior: 
60/p=64, de donde p = 15/16, por lo que el coeficiente de t será b = 32 π/15. 
 
20 
 
 
Álgebra de funciones 
 
Para definir operaciones entre funciones primero debemos definir la igualdad entre las 
mismas 
 
Definición: dos funciones )(/:)(/: xgyDCgxfyBAf =→=→ son iguales sí y sólo 
si: 
1. A = C 
2. B = D 
3. f(x) = g(x) para todo x del dominio de ambas 
 
Ejemplo 1.11 
 
Sean 4)(
4
16
)(
2
−==
+
−
== xxgy
x
x
xfy . Determinar si son o no funciones iguales. 
En este caso sólo tenemos la regla de asignación, con lo cual primero estableceremos el 
dominio de cada una. La función f tiene dominio }4{−−= RD f y la función g RDg = . 
Por la definición dada no son iguales ya que difieren en su dominio. ¿Por qué las 
comparamos? Si factorizamos f tenemos 
4
)4)(4(
4
16
)(
2
+
+−
=
+
−
==
x
xx
x
x
xfy que, para 
todo valor diferente a x =-4 se puede simplificar, obteniendo la expresión de g. Es decir, 
estas dos funciones sólo difieren en un punto: el punto (-4,-8) no pertenece a f y sí a g, los 
demás puntos son los mismos. 
Ahora si comparamos la función 





−=−
−
+
−
==
48
4
4
16
)(
2
x
x
x
x
xhy con g, sí son iguales. 
Tienen el mismo dominio (en este caso el conjunto de números reales) y: 
 
)4()4(
44)()(
−=−
−−==
gh
xxxgxh
 
 
Entre las funciones numéricas podemos hacer varias operaciones, entre ellas las 
algebraicas, es decir: sumarlas, multiplicarlas entre sí y por escalares y dividirlas. Entonces 
sean )(/:)(/: xgyDCgxfyBAf =→=→ (con CA ) 
dos funciones, definimos: 
✓ Función suma: CADxgxfxgf gf =+=+ +)()())(( 
✓ Función producto: CADxgxfxgf gf == .)().())(.( 
✓ Función cociente: }0)(/{)(/)())(/( / =−== xgCxCADxgxfxgf gf 
✓ Función producto por un escalar: ADxfkxkf kf == )())(( 
 
21 
 
Ejemplo 1.12 
 
Sean ( )  ) 2/,2:)3ln(/3,: +=→+−−=→− xyRgxyRf definir las funciones 
suma, producto y cociente y sus dominios. 
 
De acuerdo con las definiciones dadas: 
✓ Función suma:  ) 2)3ln()()())(/(3,2: ++−=+=+→−+ xxxgxfxgfRgf 
✓ Función producto:  ) 2).3ln()().())(./(3,2:. +−==→− xxxgxfxgfRgf 
✓ Función cociente: ( )
2
).3ln(
)(/)())(//(3,2:/
+
−
==→−
x
x
xgxfxgfRgf 
Transformaciones de funciones 
 
Podemos graficar muchas funciones conociendo algunas básicas (racionales, irracionales, 
trascendentes) y diferentes transformaciones que se pueden realizar sobre ellas. Tenemos 
distintos tipos de movimientos: 
 
✓ Desplazamientos o traslaciones verticales y horizontales 
✓ Reflexiones respecto al eje x y al eje y. 
✓ Contracciones y dilataciones verticales y horizontales 
 
Desplazamientos o traslaciones verticales y horizontales 
 
Si a una función le sumamos un número “c” obtenemos un desplazamiento vertical: si c es 
positivo, la curva se traslada hacia arriba, si c es negativo, hacia abajo. 
Veamos un ejemplo con la función xy = . Graficaremos en el mismo par de ejes 
2,3, −=+== xyxyxy . La primera es la función original, la segunda es una 
traslación de ésta 3 unidades hacia arriba y la tercera dos unidades hacia abajo: 
 
 
Figura 20. Traslación vertical 
22 
 
Si queremos realizar un desplazamiento horizontal hacemos: )( cxfy −= 
Si c es positivo se traslada c unidades hacia la derecha y si c es negativo, -c unidades a la 
izquierda. 
Con esta misma función graficamos 1,1 +=−= xyxy . 
La primera es la traslación de xy = una unidad hacia la derecha y la segunda una unidad 
hacia la izquierda: 
 
 
Figura 21. Traslación horizontal 
 
 
 
Entonces, para recordar: 
 
Desplazamientos horizontales y verticales sea y = f(x) 
 
cxfy += )( es el desplazamiento de )(xfy = c unidades hacia arriba si c >0 y –c 
unidades hacia abajo si c<0 
 
)( cxfy −= es el desplazamiento de )(xfy = c unidades hacia la derecha si c >0 y –c 
unidades hacia la izquierda si c<0 
 
Reflexiones 
Si queremos reflejar la curva )(xfy = respecto al eje x, hacemos: )(xfy −= 
Si queremos reflejar la curva )(xfy = respecto al eje y, hacemos: )( xfy −= 
 
Realicemos estos movimientos en la función y = ln x. Primero la reflexión respecto al eje x: 
 
23 
 
 
Figura 22. Reflexión respecto al eje x 
 
Ahora respecto al eje y: 
 
 
Figura 23. Reflexión respecto al eje y 
 
Contracciones y dilataciones verticales y horizontales 
 
Supongamos que queremos “alargar” o “comprimir” una función en forma vertical. 
Por ejemplo, grafiquemos la función y = sen x. 
Para “alargarla” o dilatarla en forma vertical debemos multiplicarla por un factor c, con c > 
1. 
Para comprimirla o contraerla verticalmente, debemos multiplicarla por un factor c, con 
0 < c < 1. 
Veámoslo gráficamente: 
 
24 
 
 
Figura 23. Contracciones y dilataciones respecto al eje x 
 
Por último, si queremos contraer o dilatar una función genérica y = f(x) en forma 
horizontal, debemos hacer y = f (cx), con c > 1 y 0 < c < 1, respectivamente. 
Continuemos con el ejemplo de la función y = senx: 
 
Figura 24. Contracciones y dilataciones respecto al eje y. 
 
Para recordar. Sea y = f(x) una función cualquiera, c > 0 un número real positivo: 
 
✓ ( )y c f x= es una dilatación vertical (o alargamiento vertical) de la función f en un 
factor c, si c>1 
✓ ( )y c f x= es una contracción vertical (o comprensión vertical) de la función f en un 
factor c, si c<1. 
✓ ( )y f c x= es una contracción horizontal (o compresión horizontal) de la función f 
en un factor c, si c>1. 
✓ ( )y f c x= es una dilatación horizontal (o alargamiento horizontal) de la función f 
en un factor c, si c<1. 
25 
 
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 
 
Definición: diremos que una función )(/: xfyBAf =→ es inyectiva sí y sólo si a 
valores distintos de la variable independiente le corresponden valores distintos de sus 
imágenes. En símbolos: 
 
)(/: xfyBAf =→ es inyectiva ),)()(( 212121 Axxxfxfxx  
 
Ejemplo 1.13 
 
a) Sea BAf →: dada por su diagrama de Venn: 
 
 
 a b 1 2 
 
 d 5 
 3 4 
A c B 
 
 
De acuerdo con esta asignación: f(a) = 5; f (b) = 1; f (c) = 3; f(d) = 4, es decir que para 
valores distintos de x en A las imágenes correspondientes son distintas, por lo tanto, es 
inyectiva. 
Ahora si la asignación es: 
 
b) Sea BAg →: dada por su diagrama de Venn: 
 
 
 a b 1 2 
 
 d 5 3 
 c 4 
AB 
 
Como los elementos de A x = c y x = d son distintos, pero tienen la misma imagen (el valor 
y = 4) entonces g no es inyectiva 
 
c) Si la función está dada en registro gráfico ¿cómo nos damos cuenta si es o no inyectiva? 
Trazando rectas horizontales, si cortan al gráfico de la función lo tienen que hacer una sola 
vez, ya que de lo contrario (si lo cortaría dos o más veces) querría decir que valores 
distintos de x tienen la misma imagen. 
Veamos ejemplos en el ejercicio 1.3: 
 
Sea  ) xxfRf =→+ )(/,0: 
 
26 
 
 
 
 
Como vemos hay dos rectas horizontales que no 
cortan al gráfico, esas no nos interesan para estudiar 
la inyectividad. Sólo nos fijamos en las que sí cortan 
el gráfico y lo hacen una sola vez, por lo tanto esta 
función es inyectiva. 
 
d) Sea xxfRRf =→ )(/: 
 
 
 
Si nos fijamos en el gráfico las rectas que lo 
cortan lo hacen dos veces, esta función no es 
inyectiva. Con encontrar una sola recta que 
cumpla lo explicado es suficiente para concluir 
que no es inyectiva. También cuando la función 
NO es inyectiva podemos dar un ejemplo 
numérico: 
2222 −− este condicional (que 
define la inyectividad) es falso (antecedente 
verdadero y consecuente falso) por lo que no se 
cumple la propiedad. 
 
e) Podemos estudiar la inyectividad de una función en forma analítica. Para esto es 
conveniente utilizar el contrarrecíproco de la definición, es decir: 
 
)(/: xfyBAf =→ es inyectiva ),)()(( 212121 Axxxxxfxf == 
 
Por ejemplo: supongamos que queremos demostrar analíticamente que una función lineal 
genérica bmxxfRRf +=→ )(/: es inyectiva con m ≠ 0, entonces planteamos el 
condicional de la segunda definición: 
 
21212121 )()( xxmxmxbmxbmxxfxf ==+=+= 
 
 m ≠ 0 
Luego f es inyectiva. 
 
Definición: diremos que una función )(/: xfyBAf =→ es sobreyectiva o suryectiva sí y 
sólo si el conjunto de llegada es igual a su conjunto imagen, en otras palabras, todo 
elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. En símbolos: 
 
)(/: xfyBAf =→ es sobreyectiva )(/Im xfyAxByBf == 
 
27 
 
Analicemos los ejemplos anteriores: 
a) El conjunto imagen de f es   Bf = 4,3,5,1Im , por lo que f no es sobreyectiva. 
También podemos justificarlo por el hecho que el elemento y = 2 de B no es imagen de 
ningún elemento de A. 
b) Tampoco es sobreyectiva ya que   Bf = 4,5,1Im 
c)  ) xxfRf =→+ )(/,0: no es sobreyectiva ya que   Bf += ,0Im 
Para justificarlo gráficamente podemos decir que barriendo por rectas horizontales el 
conjunto de llegada (en este caso R) no todas cortan el gráfico de f 
 
 
Figura 25. Función no sobreyectiva 
 
La recta graficada no corta el gráfico de f, quiere decir que ese valor de y (en este caso -2) 
no es imagen de ningún elemento de A. 
 
¿Ahora qué pasa si damos la función de esta manera  )  ) xxff =+→+ )(/,0,0: ? 
 
En este caso sí coinciden el conjunto de llegada y el conjunto imagen, por lo que es 
sobreyectiva. Entonces para estudiar la sobreyectividad de una función debemos saber cuál 
es el conjunto de llegada. Además, si la función no es sobreyectiva siempre podemos 
lograrlo redefiniéndola, es decir, cambiando el conjunto de llegada por el conjunto imagen. 
 
d)  ) xxfRf =+→ )(/,0: es sobreyectiva ya que   Bf =+= ,0Im . Si en este caso 
queremos hacer la prueba de la recta horizontal sólo tenemos que barrer el gráfico con 
rectas horizontales a partir del eje positivo de y (incluyendo y = 0). 
 
e) bmxxfRRf +=→ )(/: con m ≠ 0 es sobreyectiva ya que BRf ==Im . 
 
Definición: diremos que una función )(/: xfyBAf =→ es biyectiva sí y sólo si es 
inyectiva y sobreyectiva. 
Entonces: si queremos probar gráficamente si una función es biyectiva procedemos de la 
siguiente manera: barremos por rectas horizontales todo el conjunto de llegada de la 
función y cada una de estas rectas tiene que cortar el gráfico una sola vez. 
El estudio de la biyectividad de una función es importante a la hora de calcular su función 
inversa: 
28 
 
 
Función inversa de una función biyectiva 
 
Definición: dada )(/: xfyBAf =→ biyectiva, llamamos función inversa de f y lo 
denotamos f-1 a la siguiente función: 
 
)()(/: 11 xfyyfxABf ==→ −− o lo que es lo mismo 
 
fyxfxyABf → −− ),(),(/: 11 
 
¿Por qué una función debe ser biyectiva para tener función inversa? 
 
1) La sobreyectividad de f asegura la existencia de imagen para f-1. En efecto, al ser f 
sobreyectiva, por definición )(/ xfyAxBy = , con lo cual ese valor de x será 
imagen por f-1 de y, es decir )()(/
1 yfxxfyAxBy −== 
 
2) La inyectividad de f asegura la unicidad de imagen para f-1. En efecto, al ser f inyectiva 
si existen dos valores de x para los cuales, y es imagen, éstos deben ser iguales: 
 
212121 )()(/ xxxfxfAxAxexistenSi == 
 
Entonces de las dos condiciones cada y de B tiene una única imagen en A, que es la 
definición de función. 
 
Ejemplo 1.14 
 
Hallar la función inversa de una función dada en un conjunto finito: 
 
3)(,2)(,1)(,4)(/}4,3,2,1{},,,{: ====→ dfcfbfafdcbaf 
 
Como podemos observar f es biyectiva, entonces tiene función inversa que es: 
 
dfcfbfafdcbaf ====→ −−−−− )3(,)2(,)1(,)4(/},,,{}4,3,2,1{: 11111 
 
IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide calcular la función inversa a 
una dada, hay que seguir las siguientes acciones: 
 
1. Demostrar que la función dada es biyectiva. Si no lo es redefinirla para que lo sea. 
2. Indicar dominio e imagen de la función inversa. 
3. Despejar x en función de y en la ecuación original para buscar la expresión de f-1 
4. Cambiar el nombre de las variables en el paso anterior. 
5. Dejar la respuesta expresada en forma completa 
 
29 
 
 
Ejemplo 1.15 
Dada 
xxfRRf 2)(/: =→ , hallar la función inversa estudiando previamente las 
condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados. 
Sea 
xxfRRf 2)(/: =→ . Sabemos que es una función exponencial con base mayor que 1 
y que es inyectiva, ya que trazando rectas horizontales al gráfico lo cortan una sola vez. 
Para que sea sobreyectiva debemos redefinir el conjunto de llegada como R+ . 
Entonces : / ( ) 2xf R R f x+→ = es biyectiva y admite función inversa. 
Despejemos x para hallar la ecuación de la función inversa: 
 
yxy x 2log2 == 
 
Cambiando el nombre de las variables )(log
1
2 xfxy
−== . 
Luego la función inversa buscada es 1 1
2: / ( ) logf R R f x x
− + −→ = 
Graficamos las dos funciones en el mismo par de ejes cartesianos. El gráfico de una 
función y su inversa son simétricos respecto a la recta y = x. 
 
 
Figura 26. Función exponencial y su inversa 
 
Ejemplo 1.16 
 
Dada 
x
xxfRRf 1)(/}0{: +=→− , hallar la función inversa estudiando previamente las 
condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados 
 
La función dada es homográfica con asíntota vertical x = 0 y asíntota horizontal y = 1. 
30 
 
Para demostrar que es inyectiva lo podemos hacer gráficamente (trazando rectas 
horizontales) o analíticamente de la siguiente manera: 
 
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
( ) ( ) 1 1
1 1
x x
f x f x
x x x x
x x
x x
+ +
=  =  + = + 
 =  =
 
 
 
Figura 27. Gráfico función homográfica ejemplo 1.16 
 
 
Además, si la definimos restringiendo su conjunto de llegada como: 
}1{}0{: −→− RRf es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva. Luego admite inversa que 
será: }0{}1{:
1 −→−− RRf 
Hallemos su ecuación despejando x: 
 
1
11
1
1
1
1
−
==−+=
+
=
y
x
x
y
x
y
x
x
y 
 
Cambiando el nombre de las variables: 
1
1
)(1
−
=−
x
xf que también es una función 
homográfica, con asíntota vertical en x = 1 y horizontal en y = 0 (Observemos que la que 
antes era asíntota vertical, ahora pasa a ser horizontal y viceversa). 
 
Luego 
1
1
)(/}0{}1{: 11
−
=−→− −−
x
xff 
 
31Grafiquemos las dos en el mismo par de ejes para observar la simetría respecto a la recta 
y = x: 
 
 
Figura 28. Función homográfica y su inversa 
 
Ejemplo 1.17 
 
Obtener las funciones inversas de las funciones trigonométricas vistas. 
 
Para la función   senxxfRf =−→ )(/1,1: sabemos que no es inyectiva, entonces por 
convención (esto quiere decir que es una decisión de toda la comunidad matemática, libros, 
calculadoras, software, etc.), se toma el siguiente dominio e imagen: 
  senxxff =−→





− )(/1,1
2
,
2
:

 (así la función es biyectiva): 
 
 
Figura 29. Función seno redefinida biyectiva 
 
32 
 
Su inversa es   arcsenxxff =





−→− −− )(/
2
,
2
1,1: 11

 (se lee “arco seno de x”). Dado 
un número entre -1 y 1 esta función devuelve el ángulo cuyo seno vale ese número en el 
intervalo 





−
2
,
2

 Por ejemplo: 
 
4
)
2
2
(
2
)1(
6
)5.0(



−=−
=
=
arcsen
arcsen
arcsen
 
Gráficamente: 
 
 
Figura 30. Función arco seno 
 
Las dos funciones (f y f-1) son funciones acotadas. 
 
 
Figura 31. Función seno y arco seno 
33 
 
Para   xxfRf cos)(/1,1: =−→ la convención que se toma es: 
    xxff cos)(/1,1,0: =−→ (biyectiva), con gráfico: 
 
 
 
Figura 32. Función coseno redefinida biyectiva 
 
Su inversa es 1 1:[ 1,1] [0. ] / ( ) arccosf f x x− −− → = (se lee “arco coseno de x”). 
Dado un número entre -1 y 1 esta función devuelve el ángulo cuyo coseno vale ese número 
en el intervalo  ,0 Gráficamente ambas funciones en el mismo par de ejes y la recta y = 
x. 
 
 
 
Figura 33. Función arco coseno 
 
Para la función tangente se toma como dominio e imagen para que sea biyectiva: 
tgxxfRf =→





− )(/
2
,
2
:

 
 
34 
 
 
Figura 34. Función tangente redefinida biyectiva 
 
Su inversa es arctgxxfRf =





−→− )(/
2
,
2
:1

 y cuyo gráfico es: 
 
Figura 35. Función arco tangente 
 
 
Ejemplo 1.18 
 
Dada )2(3)(/: xsenxfRRf =→ , hallar la función inversa estudiando previamente las 
condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados 
 
35 
 
Sabemos que la función seno no es inyectiva. Además, como está definida en el ejercicio 
tampoco es sobreyectiva. Para que sea inyectiva, y de acuerdo con la convención estudiada 
para las funciones inversas de trigonométricas, el argumento debe variar en el intervalo 






−
2
,
2

es decir, nuestro argumento (2x) debe estar entre esos valores, por lo que: 
 
442
2
2

−− xx 
 
Este será el dominio restringido para que la función tenga inversa. Respecto a la imagen, 
como tenemos un factor 3 multiplicando a sen(2x), el conjunto imagen será  3,3− 
Así redefinimos   )2(3)(/3,3
4
,
4
: xsenxff =−→





−

 La graficamos: 
Entonces   





−→−−
4
,
4
3,3:1

f 
Ahora despejemos x: 
2
)3/(
)3/(2)2(3/)2(3
yarcsen
xyarcsenxxsenyxseny ==== 
 
Luego la respuesta completa es:   )3/(
2
1
)(/
4
,
4
3,3: 11 xarcsenxff =





−→− −−

 
 
 
Figura 36. Gráfico funciones ejemplos 1.18 
 
 
 
 
36 
 
Ejemplo 1.19 
 
El cuerpo elimina cierto fármaco a través de la orina. Supongamos que para una dosis 
inicial de 10 mg la cantidad de medicamento A (t) en el cuerpo, t horas después de ser 
suministrada está dada por: ( ) 10.(0.8)tA t = . 
a) Calcular la cantidad de medicamento en el cuerpo después de 8 horas de la dosis 
inicial. 
b) ¿En qué momento queda la mitad del medicamento en el cuerpo? 
c) ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función bajo el contexto del problema? 
d) ¿Qué significa A-1 en el contexto del problema? Hallarla. 
 
a) La cantidad de medicamento en el cuerpo luego de 8 horas es: 
mgA 67.1)8.0(10)8( 8 = 
b) Para saber en qué momento queda la mitad de medicamento en el cuerpo debemos 
calcular para que / ( ) 5t A t = 
Entonces horasttA tt 1.3
)8.0ln(
)5.0ln(
2/1)8.0(5)8.0(105)( ==== 
Respuesta: aproximadamente a las 3 horas 6 minutos hay en el cuerpo la mitad de 
medicamento. 
 
c) El dominio de la función es el conjunto de números reales no negativos (tiempo): 
DA = [0, +∞) y el conjunto imagen IA = (0,10] (observemos que la función no toma la 
imagen cero). 
d) La función :[0, ) (0,10] / ( ) 10.(0.8)tA A t+ → = es biyectiva (trazando rectas 
horizontales sobre el conjunto de llegada corta el gráfico siempre y una sola vez): 
 
 
Figura 37. Gráfico función ejemplo 1.19 
 
37 
 
 
Por lo tanto, tiene función inversa (   )+→− ,010,0:1A 
Su regla de definición será 
)8.0ln(
)10ln()ln(
)8.0ln(
10
ln)8.0(
10
)8.0(10
−
==





==
A
tt
AA
A tt 
Luego (   )
)8.0ln(
10lnln
/,010,0:1
−
=+→−
A
tA 
 
Observemos que no cambiamos nombre a las variables ya que estamos en un problema de 
aplicación, en el cual nos conviene, para interpretarlo, conservar la simbología para cada 
una de las variables (en este caso t el tiempo y A la cantidad de medicamento que queda en 
el cuerpo). Entonces de esta forma la función inversa nos da el tiempo para el cual en el 
cuerpo hay A cantidad de medicamento. 
 
Otra operación que se puede definir entre funciones es la composición 
 
Composición de funciones 
 
Definición: sean CBgBAf →→ :: dos funciones, llamamos composición de f con g 
a la siguiente función (cuidado con la notación) 
 
))(()(/: xfgxfgCAfg =→  
 
 
 
 A B C 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide componer dos funciones dadas, 
hay que seguir las siguientes acciones: 
1. Si no están dados, calcular el dominio y la imagen de cada una de las funciones que 
intervienen, de ser posible graficarlas. 
2. Si se cumple la condición: imagen de la primera función a componer incluida en el 
dominio de la segunda, directamente expresar la función composición, dando 
primero su dominio y conjunto de llegada y luego la regla de definición. 
3. Si la condición expuesta anteriormente no se cumple hay que restringir el dominio 
de la primera función. Para esto planteamos que la variable independiente 
pertenezca a este dominio y que su imagen pertenezca al dominio de la segunda 
x 
y z 
f g 
fg  
38 
 
función. Una vez resuelta esta intersección de conjuntos, resulta el dominio 
buscado. 
4. Indicar la composición hallada: primero su dominio y conjunto de llegada y luego 
la regla de definición. 
 
Ejemplo 1.20 
Sean 
1)( += xexf y xxg −= 4)( Hallar fg  y gf  
Primero calculamos dominio e imagen de cada una de las funciones que intervienen y luego 
las graficamos: 
La función f es exponencial de base mayor que uno, trasladada una unidad hacia la 
izquierda. 
 
Tenemos: 
+== RIRD
ff y su gráfico es: 
 
 
Figura 38. Gráfico función ejemplo 1.20 
 
La función g es una función irracional, trasladada 4 unidades hacia la izquierda y luego 
reflejada respecto al eje y. Entonces: (   )+=−= ,04, gg ID Su gráfico es: 
 
39 
 
 
Figura 39. Gráfico función ejemplo 1.20 
 
Hagamos primero :fg  
 
R R+ 
 
 (-, 4 0, +) 
 
 
Como vemos la imagen de f no está incluida en el dominio de g, tenemos que restringir 
dominio de f. Planteamos la condición: 
 
4)(  xfx 
41  +xex 
4ln1+ xx 
14ln − xx 
 
Luego el domino de f restringido es: ( 14ln,* −−=fD Escribimos la respuesta: 
 
Rta: (   )     11 4)()(/,014ln, ++ −===+→−−= xx eegxfgxfgfg  
 
Ahora hacemos :gf  
 
(-, 4 0, +) 
 
 R R+ 
 
 
Se puede componer ya que la imagen de g está incluida en el dominio de f. Luego 
escribimos la respuesta: 
 
f 
g 
40 
 
Rta: (      144)()(/4,: +−+ =−==→− xexfxgfxgfRgf  
 
Ejemplo 1.21 
 
Dadas las funciones: ( , 1) / ( ) ln( 1)h R h x x− − → = − − y 3: / ( )g R R g x x→ =− 
componerlas de las dos formas posibles. 
 
En este caso las funciones están dadas con su dominio e imagen, vamos a graficarlas en un 
mismo par de ejes cartesianos: 
 
 
Figura 40. Gráficos funciones ejemplo 1.21 
 
Comencemos planteando hg  
 
)1,( −−  
 
   
 
 
Como observamos se cumple la condición requerida gh DomIm , con lo que escribimos 
sólo la respuesta: 
 
( )     3 )1ln()1ln()()(/1,: −−−=−−==→−− xxgxhgxhgRhg  
 
Ahora planteamos gh  
 
R R 
 
 )1,( −− R 
 
h 
g 
g 
h 
41 
 
En este caso el conjunto imagen de g no está incluido en el dominio de h. Tenemos que 
restringir el dominio de g. Para esto planteamos: 
 
1
1
1
)(
3
3


−−

xx
xx
xx
DomxgDomx hg
 
 
Luego ( )+= ,1*gDom y ese es el dominio de la composición. Ya podemos armar la 
respuesta: 
 
( )     )1ln()()(/,1: 33 −=−==→+ xxhxghxghRgh 
 
Propiedades de la composición 
 
1) Asociativa: )()( hgfhgf  = 
2) No conmutativa 
3) iffff ==
−−  11 donde i es la función identidad i(x) = x 
 
Respecto a esta última propiedad primero observemos que siempre podemos componer una 
función con su inversa: 
 
BAf →: 
 Coincide conjunto imagen de f con dominio de f-1 
 ABf →
− :1 
 
De la misma manera si hacemos: 
 
ABf →− :1 
 
 BAf →: 
 
Por lo que cuando componemos una función con su inversa (o viceversa) sólo calculamos 
la regla de definición, ya que sabemos que la condición para hacer la operación siempre se 
cumple. Por ejemplo, lo vamos a verificar en el ejercicio 1.16: 
 
Probemos que xxffxff ==
−− )()( 11  
 
42 
 
  x
x
x
x
x
x
x
fxffxff =
−
−
−+
=
−
+
−=





−
== −−
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
)()( 11 
 
  x
x
xx
x
xx
x
fxffxff =
−+
=
−
+
=




 +
== −−−
1
1
1
1
11
)()( 111  
 
Curvas dadas en forma implícita 
 
Además de poder dar la regla de asignación de una función en diferentes registros (gráfico, 
numérico, verbal y analítico), cuando ésta viene dada en forma analítica también la 
podemos expresar de distintas maneras: 
✓ Forma explícita: cuando y está despejada en función de x, es decir, de la manera 
que estuvimos trabajando hasta el momento: )(/: xfyBAf =→ 
✓ Forma implícita: y no está despejada en función de x: 0),(/: =→ yxFBAf 
✓ Forma paramétrica: tanto x como y están dadas a través de una tercera variable que 
se llama parámetro. Se utiliza cuando uno quiere darle orientación a la curva, o 
cuando uno quiere trabajar con una sola parte de la curva, entre otros. 



=
=
→
)(
)(
/:
tyy
txx
BAf 
Las curvas dadas en forma implícita que más trabajaremos son: circunferencia, elipse e 
hipérbola, llamadas junto a la parábola, secciones cónicas o cónicas. Veamos la ecuación 
canónica de cada una y sus elementos más significativos para poder graficarlas: 
 
Circunferencia 
 
Una circunferencia de centro (h, k) y radio r tiene por ecuación canónica a: 
 
222 )()( rkyhx =−+− 
 
Notemos que es una expresión dada en forma implícita la cual la podemos convertir a 
forma explícita despejando y. En este caso nos encontramos con una curva que no 
representa una función. 
Para graficar la circunferencia sólo tenemos que identificar el centro (h, k) y el radio. Por 
ejemplo: 
 
Ejemplo 1.22 
Graficar: 9)2()1(
22 =−++ yx 
43 
 
Primero observemos que es una circunferencia de centro (-1,2) y radio r = 3: 
 
 
Figura 41. Circunferencia ejemplo 1.22 
 
Ejemplo 1.23 
Graficar: 5
22 =+ yx . Observemos que es una circunferencia de centro (0,0) y radio 5 
 
 
Figura 42. Gráfico ejemplo 1.23 
 
Elipse 
 
Una elipse con centro en (h, k), semieje mayor “a” y semieje menor “b” tiene por ecuación: 
 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
 (Si el eje mayor es paralelo al eje x) 
 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
 (Si el eje mayor es paralelo al eje y) 
 
Ejemplo 1.24 
44 
 
 
1
4
)3(
9
)2( 22
=
−
+
− yx
 cuyo centro es (2,3), a = 3 y b = 2: 
 
 
Figura 43. Gráfico ejemplo 1.24 
 
Ejemplo 1.25 
 
 1
25
)2(
16
)2/1( 22
=
−
+
+ yx
 cuyo centro es (-1/2, 2), a = 5 y b = 4 
 
Figura 44. Gráfico ejemplo 1.25 
Hipérbola 
 
Una hipérbola con centro en (h, k), semieje real “a” y semieje imaginario “b” tiene por 
ecuación: 
 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
 (Si el eje real es paralelo al eje x) 
45 
 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
 (Si el eje real es paralelo al eje y) 
 
Ejemplo 1.26 
 
1
4
)3(
9
)2( 22
=
−
−
− yx
 centro (2,3), semieje real a = 3, semieje imaginario b = 2 
 
Figura 45. Gráfico ejemplo 1.26 
 
Ejemplo 1.27 
Graficar la hipérbola 1
9
)1(
16
)2( 22
=
+
−
− xy
 
Observemos que el centro es (-1,2), longitud semieje real 4 y longitud semieje imaginario 
3. 
 
 
Figura 46. Gráfico ejemplo 1.27