Análisis Matemático 1

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Teorema del Sandwich
Si 2 funciones tienen el mismo límite, entonces todas las
funciones comprendidas entre ellas tendrán el mismo límite.
Sí g(x) �� f(x) �� h(x) y
𝑥 𝑎
lim
→
 𝑔(𝑥) = 
𝑥 𝑎
lim
→
 ℎ(𝑥) = 𝑙
��
𝑥 𝑎
lim
→
 𝑓(𝑥) = 𝑙
Teorema de Bolzano
Sea f continua en un intervalo [a, b] tal que el signo de f(a) es
distinto al de f(b) entonces:
∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) | 𝑓(𝑐) = 0
Teorema del Valor Intermedio
Sea f continua en un intervalo [a, b] y f(a) �� f(b) y un ‘k’
está comprendido entre f(a) y f(b) entonces:
∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) | 𝑓(𝑐) = 𝑘
Teorema de Weierstrass
Si f(x) es continua está acotada en un intervalo [a, b] entonces
f(x) alcanza sus máximos y mínimos absolutos en dicho intervalo.
Derivada de la inversa:
(𝑓−1)'(𝑦) = 1
𝑓'(𝑓−1(𝑦))
Aplicación de derivadas:
Funciones Crecientes y Decrecientes:
Una función es creciente en un intervalo I si f(x1) < f(x2)
siempre que x1 < x2.
Análogamente, una función es decreciente en un intervalo I si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2.
En una función f, para un intervalo I donde la función mantenga
la crescencia se va a decir que f es monótona en I.
Teorema: Sea f continua en el intervalo [a, b]�
- f'(x) > 0, ∀x∈(a, b) �� f es creciente
- f'(x) < 0, ∀x∈(a, b) �� f es decreciente
Máximos, mínimos (Extremos abs|loc) y puntos críticos:
Extremos absolutos:
Una función tiene un punto máximo absoluto sí en un punto
c∈Dom(f), f(c) �� f(x), ∀x∈Dom(f).
Análogamente un punto mínimo absoluto es un punto c∈Dom(f) sí
f(c) �� f(x), ∀x∈Dom(f).
Extremos locales:
Una función tiene un punto máximo local en un punto c ∈Dom(f) si
hay algún intervalo I donde f(c) �� f(x) ∀x∈I.
Análogamente, un punto mínimo local es un punto ceDom(f) tal que
f(x) �� f(x) ∀x∈I.
Teorema de análisis (Fermat)�
Si una función f tiene un extremo local en x=c y f es derivable
en c, entonces f'(c) = 0
Observación:
Si f'(c) = 0 ���� c es un extremo local.
Puntos críticos (PC):
Un punto crítico de f es un c∈Dom(f) tal que f'(c) = 0 o ¬∃f'(c)
Máximos y Mínimos en Intervalos cerrados (cálculo de Extremos):
Recordemos el teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a, b]
entonces alcanza Extremos Absolutos en [a, b], estos valores
pueden ser
- Puntos críticos
- Extremos del intervalo
Por lo tanto para calcularlos hay que buscar los PC y comparar
los valores con los extremos del intervalo. El punto más grande
será el Máximo Absoluto y el más chico el Mínimo Absoluto.
Teorema de Rolle:
Sea f una función:
1) Continua en [a, b]
2) Derivable en (a, b)
3) f(a) = f(b)
Entonces ∃c∈(a, b) tal que f'(c) = 0
Teorema del Valor Medio TVM:
Sea f una función:
1) Continua en [a, b]
2) Derivable en (a, b)
Entonces ∃c∈(a, b) tal que f'(c) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎
Concavidad y puntos de inflexión:
Sea f derivable en un intervalo I�
- Si la gráf�ca queda por arriba de todas sus rectas tangentes
es cóncava hacia arriba ⋃
- Si la gráf�ca queda por debajo es cóncava hacia abajo ⋂
Prueba de concavidad:
Sea f 2 veces derivable:
1) f"(x) > 0 ∀x∈I �� f es cóncava hacia Arriba (⋃) en I
2) f"(x) < 0 ∀x∈I �� f es cóncava hacia Abajo (⋂) en I
Puntos de inflexión:
Sea f continua en un intervalo I salvo quizás en un punto x₀ de
I, el punto P = (x₀, f(x₀)) es un punto de inflexión de f si la
función cambia de concavidad.
Teorema de la derivada 2da:
Sea f" continua en un intervalo I y sea c∈I�
- f'(c) = 0 y f"(c) > 0 �� c es Punto Mínimo Local
- f'(c) = 0 y f"(c) < 0 �� c es Punto Máximo Local
Análisis completo para graf�car funciones (11 Pasos):
A) Determinar Dominio de la función
B) Determinar paridad
C) Determinar corte con x
D) Determinar corte con y
E) Hallar Asíntotas Verticales
F) Hallar Asíntotas Horizontales
G) Analizar Puntos Críticos PC
H) Determinar intervalos de crecimiento
I) Analizar extremos locales
J) Analizar intervalos de concavidad
K) Analizar Puntos de Inflexión PI
Linealización
Consiste en aproximar los valores de una función f cercanos a un
punto en Dom(f), empleando la recta tangente al gráf�co f en el𝑎
punto ( , f( ))𝑎 𝑎
Notar que , y esta aproximación vale para x𝑓(𝑥) ≃ 𝑓'(𝑎). (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
“cerca” de . A medida que nos alejamos, la aproximación no es𝑎
tan buena.
Observacion:
- Si f es cóncava hacia arriba (en un entorno de ), las𝑎
aproximaciones lineales son “por defecto”, es decir, son
menores al valor real de f(x)
- Si f es cóncava hacia abajo en un entorno de a, las
aproximaciones son “por exceso”, es decir, son mayores al
valor real de f(x)
Pasos para aproximación Lineal:
Sea dado un punto (a, f(a)) donde se quiere aproximar un valor b
1) Obtener función de la recta tangente al punto (a, f(a))
2) Evaluar la recta tangente en el punto b
Integrales:
Propiedades:
Sea f : [a,b] �� ℝ / a∫b f(x) dx y existe derivada o integral de
esta.
Entonces podemos af�rmar lo siguiente
a∫a f(x) dx = 0
a∫b f(x) dx = - b∫a f(x) dx
Teorema: Supongamos que f y g son continuas en [a,b]�
(1) Si f(x) �� 0, ∀x∈[a,b] �� a∫b f(x) dx �� 0
(2) Si c∈R �� a∫b c f(x) dx = c * a∫b f(x) dx
(3) a∫b (f�g)(x) dx = a∫b f(x) dx + a∫b g(x) dx
(4) a∫b f(x) dx = a∫d f(x) dx + d∫b f(x) dx
(5) Si f(x) �� g(x), ∀x∈[a,b] �� a∫b f(x) dx �� a∫b g(x) dx
Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
1° Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f : [a,b] �� ℝ, F dada por:
𝐹(𝑥) = 
𝑎
𝑥
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑥∈[𝑎, 𝑏]
Luego, F es una primitiva de f
EJ: 𝐹(𝑥) =
0
𝑥
∫ 𝑡2𝑑𝑡 => 𝐹'(𝑥) = 𝑥2
2° Teorema Fundamental del Cálculo o Regla de Barrow
Sea f : [a,b] �� ℝ y sea G alguna primitiva de f en [a,b]
Entonces:
�� Regla de Barrow
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎)
Notación:
𝐺(𝑥)𝐼
𝑎
𝑏 = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎)