Analisis Matematico 1 Ricardo Figueroa

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ANÁLISIS 
MATEMÁTICO 1
R. FICUEROA C.
E d ic io n e sCBB LIMA - PERÚ
A N Á LISIS M A TEM Á TIC O 1
SEGUNDA EDICIÓN 
E n e r o 2 0 0 6
© Im preso en E d ic io n e s 
J irón L o re to 1696 B reñ a - T e le fax 4 2 3 -8 4 6 9 
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L im a - P erú
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RAZÓN SO C IA L: RICA RD O FIG U ERO A GARCÍA 
DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña
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por n ingún m edio e lectrón ico , m ecánico o fotocopia u 
o tros m edios sin el p rev io y expreso perm iso del autor.
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Prólogo
Esie es un libro para un curso corto de Análisis M atemático dirigido para estudiantes 
cuyo interés primordial radica en la ingeniería, las ciencias físicas y m atem áticas, economía 
y ciencias administrativas. Su propósito es el de proporcionar una exposición asequible y 
flexible que cubra los temas más importantes del Cálculo Diferencial de una variab le , tan 
sencilla y claramente como sea posib le, de modo que sea adecuada a la experiencia y madurez 
del estudiante
Entre los temas que contiene el libro y que tienen importantes aplicaciones en las áreas 
antes mencionadas están ios siguientes. El primer capítulo contiene algunos temas de revisión 
y preliminares para el estudio del Análisis M atem ático: FU N C IO N E S. Aquí se presenta en 
fonna completa las técnicas para hallar el dom inioy el rango. así como la construcción de sus 
gráficas, tanto algebraicas como trascendentes. Las funciones como modelos matemáticos de 
situaciones prácticas que aparecen a lo largo del texto se introducen primero en la Sección 1.7 
donde se dan sugerencias de como obtener dichas funciones paso a p a so .
El segundo cap ítu lo , que trata sobre L IM IT E S , es qu izá , el más importante de los 
capítulos que contienen el libro , pues sirve de punto de partida para iniciar el estudio del 
Análisis M atem ático. Primero se introducen una serie de conceptos relacionados con puntos 
de acumulación y vecindades , para luego conducir al estudiante a una definición rigurosa del 
límite en términos de intervalos abiertos como vecindades . Las demostraciones de los teore­
mas básicos sobre límites son relativamente sencillas cuando se formulan empleando vecinda­
des y la abundancia de ejemplos permiten al estudiante comprender realmente cada demostra­
ción .
Los otros dos capítulos siguientes : CONTINUIDAD y DERIVADA son práctica­
mente una extensión del segundo capítulo, pues cada uno de estos temas se definen a base de 
límites.
En el capítulo 5 se hace un estudio amplio sobre las A PLICA CIO N ES DE LAS D E­
RIVADAS que implican máximos y mínimos así como el trazado de gráficas de funciones,
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IV Prólogo
problemas de optimización y aproximaciones del cálculo de raíces de una ecuación por el 
método de N ew ton .
En el capítulo 6 se tratan las E C U A C IO N ES PA R A M ÉTR ÍC A S , su derivada y 
aplicaciones . En el capítulo 7 se establecen métodos para calcular límites que toman diversas 
FO RM A S IN D ETERM IN A D A S por laregladeL 'H ospital y la aplicación de la Fórmula de 
Taylor para aproximaciones polinom iales.
En todos estos capítulos , una atención especial se presta en los ejemplos concretos , 
aplicaciones y problemas que sirvan tanto para clasificar el desarrollo de la teoría como para 
demostrar la notable versatilidad del Cálculo en la investigación de importantes cuestiones 
científicas.
Para guiar al estudiante se dan una variedad de aplicaciones, esencialmente por medio 
de ejercicios, los cuales recomiendo se resuelvan progresivamente , tuda vez que en la selec­
ción de los mismos , he tenido cuidado en considerar el grado de dificultad . M uchos ejerci­
cios contienen sugerencias de carácter instructivo y las respuestas de la mayoría se encuentran 
al final del libro
Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a la Editorial AM ÉRICA 
cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publi­
cación del tex to . A sim ism o, una mensión especial de gratitud va dirigida a la Señorita Abilia 
Sánchez Paulino, por su dedicación y abnegada labor de diagramar gran parte del manuscrito. 
Creo que su excelente colaboración ha sido inestimable .
El autor
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Contenido
F U N C I O N E S ______________________________________________
1.1 In troducción------------------------- — , — .- ........................ j
1.2 Definición de función ------------------ .---------------------------------- 2
1-3 Evaluación de una función ------------ 4
1.4 Gráfica de una función ............. ........... '— - — ........... - .............. .— • 6
1.5 Determinación del dominio de una función — ------------------ 13
1.6 Determinación del rango de una fu n c ió n . - - .................- — - - - 17
1.7 Funciones como modelos matemáticos — .....................— - ............... 18
1.8 Funciones especiales
Definición 1.5: F u u c ió ru d en tid ad .................................................... 23
Definición 1 .6 : Función c o n s ta n te ........................................... 23
Definición 1.7 Función lineal — - ..................... ........... - • 24
Definición 1.8: Función c u a d rá tic a .................................... 26
Definición 1.9 Función raíz cuadrada ................ 31
Definición 1.10: Función p o lín ó m ic a ----------------------- -35
Definición 1.11: Función ra c io n a l ....................... 36
Definición 1.12: Función seccionada ............... 37
Definición 1.13 : Función escalón unitario -• - 40
Definición 1.14 : Función signo - - 41
Definición 1.15 : Función valor a b s o lu to ............................................. 42
Definición 1.16: Función máximo entero ................................. 49
Definición 1.17: Función par - - - 58
Definición 1.18 : Función impar — .......................... 61
Definición 1.19: Función periódica - — ................ 63
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VI Contenido
1.9 Algebra de las fu n c io n e s ------------------------------------------------------------- 73
1.10 Composición de fu n c io n e s ----------------------------------------------------- 83
1.11 Funciones crecientes y decrecientes --------------------------------------------- 94
Definición 1.23 : Función in y e c tiv a - 96
Definición 1.24 : Función sobreyecó va — .................................. 100
Definición 1.23 : Función b iy e c tiv a ------------------------------------ 101
1.12 Función inversa ------------------------------------------- 102
1.12.1 Propiedades de las funciones inversas -------------------------------------------104
1.13 Función longitud de arco ------------------------------------------------------------ 115
1.14 Las funciones trigonométricas — ---------------------------- 116
1.14.1 Propiedades de las funciones trigonométricas ------------------------------ 119
1.14.2 Gráficas de las funciones trigonométricas ........................................... 123
L IM IT E S _____________________________________________£?
2.1 Introducción ---------------------------------------------------------- 139
Definición 2.1 : Vecindad de un número r e a l ................- .........................139
Definición 2.2 : Punto de acu m u lac ió n .....................................................140
Definición 2.3 : Conjunto a c o ta d o ................ - ......................................... 142
Definición 2.4 : Función a c o ta d a ------------------------------------------------143
2.2 Noción de límite de una función ---------------------------------------------------145
Definición 2.5 : Función acotada de una vecindad N ----------------------147
2.3 El límite de una fu n c ió n .............................. - 149
Definición 2 .6 : Una definición rigurosa del l ím i te ---------------- 151
2.4 Teoremas sobre l ím i te s ................................................. - .................. 167
2.5 Límite de una función in te rm e d ia -------------------------------------------------- 177
2.6 Técnicas para evaluar el límite de una función — ................................ 182
2.7 Límites la te r a le s ................................- --------------------------------- 202
2.8 Límite de las funciones trigonom étricas ....................................- ...............216
2.9 Límites al in f in i to - ........... - ........................................... 236
2.10 Límites in f in i to s .....................— ------------------------- 252
2.11 Límites infinitos en in f in i to ----------------------------------------------------------261
2.12 Asíntotas y su uso en las representaciones g r á f ic a s ------------------------- 269
2.13 Las funciones exponenciales y lo g arítm icas ...................................285
Definición 2.21 : L a función p o te n c ia ........................................ 285
Definición 2.22 : Función exponencial de base a ....................................286
Definición 2.23 : Función logarítmica de base a ---------------------------- 287
2.14 El número e ---------------- 1 ------------------------------------------------------------292
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Contenido VII
2.14.1 Propiedades de los límites exponenciales y lo g arítm ico s--------------------297
2.14.2 L ím iíesdelafo rm a: l im [ /( jc ) = L - .................. 298
x-*a
Q j C O N TIN U ID A D ______________________________________
3.1 Introducción ................... - .............................. 307
Definición 3.1 : Continuidad en un p u n t o ------------------------------------- 308
Definición 3.2 : Definición ( e - 8)d e la c o n lin u id a d ----------------------- 309
Definición 3.3 : Definición en términos de vecindades - ............ 309
Definición 3 .4 : Condiciones de c o n tin u id ad ------------- 309
3.2 Puntos de D iscon tinu idad ................................ 315
Definición 3.5 : Discontinuidad e v i ta b le ---------------------------------------315
Definición 3.6 : Discontinuidad inevitable --------------------------------316
3 3 Continuidad lateral --------------------------------------------------------------------- 324
3.4 Composición de funciones c o n tin u a s --------------- 326
3.5 Continuidad en intervalos ------------- 329
3.6 Funciones acotadas -------------------------------------------------------------------- 341
3.7 Propiedades fundamentales de las funciones c o n tin u a s ---------------------- 349
LA DERIVADA______________________________________ £
4.1 Introducción ------------------------------------------------------------------------------ 363
4.2 In c rem en to s .................. - ------------ 363
Definición 4.1 : Incremento de una función -------- 364
4.3 Tangentes a una c u r v a ------------------------------------- 364
Definición 4 .2 : Pendiente de la ta n g e n te --------------------------------------- 365
4.4 Derivada de una función en un p u n to --------------- 367
Definición 4.4 : Forma alternativa de definir / ’(■*).................... 367
Definición 4.5 : La función d e r iv a d a ----------------------- 369
4.5 Derivabilidad y continuidad --------------------- - ............ .. 371
4.6 Reglas básicas de derivación ............................... - ............... — 382
Teorema 4 .2 : Regla de la c o n s ta n te ------------- 382
Teorema 4 .3 : Regla de la p o te n c ia --------------- 382
Teorema 4 .4 : Regla del múltiplo constante ...................... 383
Teorema 4 .5 : Regla de la combinación l i n e a l - .................... 384
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VIII Contenido
Teorema 4 .6 : Regla del p ro d u c to ..............- ------------ 385
Teorema 4 .7 : Regla del r e c íp ro c o .................................................. 386
Teorema 4 .8 : Regla del cociente ---------------------- 387
4.7 Regla de la potencia generalizada - --------------------- 390
4.8 Derivada de una función c o m p u e s ta ---------------------------------- 399
T eorem a4.10: Regla de la c a d e n a ------------------------ 399
4.9 La derivada de una función in v e r s a ---------------------------------------- - - - 401
4.10 Derivadas de orden s u p e r io r .............. 409
4 .11 Derivación im p líc i ta ----------------------------------------- 422
4.12 Derivación de las funciones tra scen d en tes-------------- 428
Teorema 4 .14: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 4 4 1
Teorema 4.17 : Derivada de una función logaritmo de base b -------------- 452
T eorem a4.18 : D erivadade lafunción ex p o n en c ia l-------------------------- 459
4 .19 : Derivada de la función exponencial n a tu r a l-------------- 459
Teorema 4 .20 : D erivadade la función exponencial p o te n c ia l------------- 460
4.13 Algunos problemas sobre la ta n g e n te -------------------------------------------- 465
Definición 4.6 : La recta tangente y a recta n o rm a l ------------------------- 465
Definición 4.7 : Tangente h o riz o n ta l................ 466
Definición 4.8 : Tangente vertical ----------------------------------------------- 466
Definición 4.9 : Longitud de la tangente y n o rm a l ....................... 467
D efinición4.10: Angulo entre dos c u r v a s ----------------- 468
4.14 La derivadacom o razón de variación ----------------------------------- 478
Definición 4.11 : Razón promedio de cambio - ...........— --------------- 478
Definición 4.12 : Razón de variación instantánea -------------------------- 479
D efinición4.l3 : Intensidad relativa y razón porcentual ----------------- 481
4.15 Movimiento r e c ti l ín e o -------------------------------------------------------- . . . . 482
Definición 4.14 : Velocidad promedio e in s ta n tá n e a ----------------------- 483
Definición 4.15 : La aceleración in s ta n tá n e a --------------------------------- 485
4.16 Razones de variación re lac io n ad as -------- 488
4.17 D ife ren c ia les------------------------ 506
Teorem a4.2l : El tamaño relativo de d y y Ay --------------- 508
4.17.1 Propagación de errores - ..............- ---------- 508
4.17.2 Aproximación lineal ------------------------------- 511
4.17.3 Propiedades de las d ife re n c ia le s ........... 515
4.17.4 Diferenciales de orden s u p e r io r ..................... 516
Definición 4.16 : Segunda d ife re n c ia l .......................... 517
4.17.5 Propiedades de las diferenciales de orden s u p e r io r ................. 518
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Contenido IX
1 0 ) A P L IC A C IO N E S D E LA DERIVADA________________ £
5.1 Introducción -------------------------------------------------------------------------------523
5.2 Máximos y m ín im o s -------------------------------------------------------------------- 523
Definición 5.1 : Noción de extremos -------------------------------------------- 523
Teorema 5 .1 : El teorema del valor e x tre m o -----------------------------------524
Definición 5 .2 : Extremos relativos o lo c a le s --------------------------------- 524
Definición 5.3 : Número c r í t i c o ................. 525
Teorema 5 .2 : Teorema del extremo in te r io r -----------------------------------526
5.3 El teorema del valor medio y sus ap licac io n es-----------------------------------530
Teorema 5 .3 : El teorema del R o l l e --------------- 530
Consecuencias del Teorema de R o l l e --------------------------------------------- 531Teorema 5 .4 : Teorema del valor medio (L ag ran g e)-------------------------537
Consecuencia del Teorema de Lagrange ------------- 538
Teorema 5 .5 : Teorema de C a u c h y .............................- ........................- - 5 4 5
5.4 Criterio para las funciones crecientes y decrecientes — ............................551
Teorema 5 .6 : Funciones crecientes y d ec rec ien tes-------------------------- 551
5.5 El criterio de la primera d e r iv a d a ----------------------------------------------------555
5.6 El criterio de la segunda d e r iv a d a ........................... — 556
Teorema 5 .8 : Criterio de c o n c a v id a d ------------------------------------------- 568
Teorema 5 .9 : Punto de inflexión ---------------------- 571
Teorema 5 .10: El criterio de la segunda d e r iv a d a --------------------------- 574
5.7 Resumen de técnicas para graficar una fu n c ió n --------------------- 580
Gráfica de una función polinómica — ------------------- 580
Gráfica de una función racional ...................... 583
Gráfica de una función conteniendo un radical de índice p a r 589
Gráfica de una función conteniendo un radical de índice im p a r 59!
Gráficas de funciones secc io n ad as---------------------------- 594
Gráficas de funciones trascendentes --------------- 601
5.8 Problemas de op tim izac ió n ---------------- 611
5.9 El método de N e w to n ------------ 637
E C U A C IO N E S P A R A M ÉTR IC A S ____________________£
6.1 Curva p a ra m é trica ----------------- 647
6.2 Derivación paramétrica ----------------------------------------------------------------655
6.3 Rectas tangentes a curvas p a ram étricas----------------- 656
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X Contenido
6.4 Derivación paramétrica de orden s u p e r io r ---------------------------------------- 662
6.5 Asíntotas en curvas p a ram é trica s----------------------------------------------------666
6.6 Trazado de curvas p a ra in é tricas ------------ 668
FO R M A S IN D E TE R M IN A D A S ______________________
7.1 In tro d u cc ió n .................................. 677
7.2 Primera regla de L’ H ospital: Forma 0 / 0 ----------------------------------------677
7.3 Segunda regla de L’ H ospital: Forma « A » .................. 684
7.4 Formas indeterminadas a d ic io n a le s --------------------------------------- 691
7.5 Las formas indeterminadas 0Ü, <»c , 1“ ................................................... - 694
7.6 Funciones h ip e rb ó lica s--------------------------------------- 698
Definición 7 .1 : Función seno h ip e rb ó lic o ------------ - ...............698
Definición 7.2 : Función coseno h ip e rb ó lic o .................... 698
7.6.1 Identidades h ip e rb ó lica s----------------------------------------------------------------701
7.6.2 Límites h ip e rb ó lico s--------------------------------------------- 703
7 .6 3 Derivadas de las funciones hiperbólicas .................. - .............. 706
7.7 Funciones hiperbólicas in v e rs a s -----------------------------------------------------714
7.8 Derivadas de las funciones hiperbólicas in v e rs a s -------------------------------716
7.9 Fórmula de Taylor y aproximaciones p o lin o m ia les---------------------------- 723
Teorema 7 .7 : Polinomio de Taylor de grado n -é s im o ..............................725
Teorema 7 .8 : Fórmula de Taylor con resto de Lagrange ----------------- 727
R espuestas a ejercicios p ro p u e s to s ----------------- 738
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Preludio al 
Análisis Matemático
FUNCIONES
f i T f ) I N T R O D U C C I Ó N
En el estudio de unos u otros procesos del mundo real (físicos, químicos, biológi­
cos, económicos, etc.) constantemente nos encontramos con unas u otras magnitudes que los 
caracterizan y que cambian en el transcurso de los procesos analizados. A menudo ocurre que 
la variación de una magnitud va acompañada por la variación de otra o incluso, aun m á s , la 
variación de una magnitud depende de la variación de otra. Las variaciones relacionadas entre 
sí de las características numéricas de las magnitudes analizadas nos llevan a su dependencia 
funcional en los modelos matemáticos correspondientes. Por esta razón , el concepto de fun­
ción es uno de los más importantes en la matemática y sus aplicaciones.
Por e jem plo , la relación entre el área de un círculo y radio puede ser expresado 
por la ecuación S - nr2 , de modo que si escogem os a voluntad algunos valores de r (varia­
ble independiente) obtenemos un único valor de S (variable dependiente) para cada r esco­
gido , esto es , si
r = 2 e=> S = 4 r t ; r = 3 =» S = 97c ; r = 4 <=> S ~ 16rc ; r = 5 <=> S = 2 5 it; . . . (1)
Si designam os por A = { 2 , 3 . 4 , 5 , . . . } el co n ju n to de todos los rad ios escog idos y 
B = (4 ;c , 9 r t , I6tc , 2 5 í t , . .} el conjunto de todas las áreas correspondientes , y si
expresamos las magnitudes ( 1 ) como un conjunto de pares ordenados ( r , s) obtendremos una 
relación funcional de S a través de r :
/ = {(2 , 47t ) , (3 , 9 i t ) , ( 4 , 16ít), (5 , 2 5 ít), . . . } c A x B 
Es decir, esta correspondencia define una función de A en B.
CAPITULO
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2 Capítulo I: Funciones
Í Í T l D E F IN IC IÓ N D E F U N C IÓ N
Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea / una relación binaria de A en B .esto es , / 
c A n B . Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a un elemento x del 
conjunto A exactamente un único elemento y del conjunto B. Diremos que y es la imagen de* 
m ed ian te /. El D o m ( f ) ^ A , y su rango consta de todas las imágenes de los elementos x d e A. 
Es d ec ir :
/ es una función de A en B o para un x € A . 3 ! y € BI ( x . y) e /
(E JE M P L O "P) Sean los conjuntos A = { I , 2 ,3 ,4} y B = {a ,& ,c} . Establecer cuál 
de los siguientes esquemas constituye una función de A en B.
F IG U R A
11
So lución En el diagrama (1): / = { (I , a ) , (2 , a ) , (3 tb ) , (4 , b)} , donde Dom( /) = {1 ,2 ,3 ,4 } 
y Ran( / ) = { a , b} * B . Luego / es una función de A en B , pues cada x e A está 
relacionado con un único y e B . Obsérvese que no es necesario que R an(/) = B.
En el diagrama (2 ) : g = {(1 , a ) , (2 , c ) , (4 , b)} , donde Dom(g) = {1 , 2 , 4 } c A y Ran(g) = 
{a , b , c} = B . Luego , g es una función de A en B aunquex = 3 € A no esté relacionado con 
ningún y e B.
En el diagram a ( 3 ) : h = {(1 , a ) , ( l , b) , (2 , b ) , ( 3 , c ) . ( 4 , c)} , no es una función de A 
en B , pues si bien el Dom(/> = A . existe un x = I e A al cuál le corresponden dos imágenes: 
y = a € B , y = ¿ € B . ■
[Frotación] Para denotar que / es una función de A en B se escribe
/ : A - » B 
j c - > y = / W
y se dice que:
“ y es la imagen de x m e d ia n te /”
“ y es el valor numérico de / en x "
“ y es el transformado d e x por la función / "
^O B SERV A CIÓ N 1.11 U na función / es una aplicación de A en B si y só lo si / es un
subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de
existencia y unicidad: Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 1.2 : Definición de Junción 3
i) V x e A , 3 ! y e B | ( x , > ) e /
ii) Si (x ,y ) 6 / a ( x , z) e / =* y = z
A sí, en el esquema (1) el Ejemplo 1 , la función / es una aplicación de A en B porque todo el 
conjunto A (conjunto de partida) es el dominio de / , mientras que el Ran(_f) c: B (conjunto de 
llegada).
( e j e m p l o 2 ) Sean A = { -2 ,-1 , 1 , 3 , 4 , 8} y B = {-l , 0 , I , 2 , 3 ,4 ,5 } . H a lla r le 
y de modo tal que el conjunto 
/ = { ( -2 ,4 ) , (3 . - I ) , (2x , -2y) , (3x- 2y ,2 ) , (3 ,x + 3 y ) , ( - 2 , x - 2 y ) , (-1 1)}
sea una aplicación de A en B.
Solución De la condición deunicidad de la Observación I . I se tiene
( - 2 ,4 ) e / a (-2 , J t - 2y ) e / 4 = jc -2 y (1)
(3 ,-1 ) e / a (3 , x + 3y) e / «=* - l= jc + 3 y (2)
La solución común del sistema de ecuaciones (1) y (2) es : jc = 2 , y = -l
L uego, / = {(-2 ,4 ) , (-1 , 3 ) , (3 , - 1) , (4 ,2 ) , (8 ,2 )} , de donde
D om (/) = { -2 ,-1 , 3 , 4 , 8 } = A y R an(/) = { - 1 ,2 ,3 ,4 } c B ■
Obsérvese que / transforma cada x e A en un elemento y del rango, entonces podemos decir que 
/ transforma al conjunto A en el conjunto Ran( /) £ B , denominado conjunto de imágenes y 
denotado por / ( A ) . Por lo q u e , definimos :
i) Dom( / ) = { j c e A | 3 ! y E B , y = / (* )} = A
ii) R an(/) = /(A ) = {/(*) e BI x e A} c B es el conjunto imagen de A mediante /
OBSERVACIÓN 1.2 En este libro trataremos con funciones del tipo / : A —> B . donde
A c IR y B c [R, a las que llamaremos Junciones reales de variable
real y denotaremos
/ : (R -> IR
x —* y — f (x)
Esto es : / = { (x , y) e IR x IR I y = f ( x ) }
o bien : / = {(* , /(*)) € IR * R Ix e D om (/)}
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4 Capítulo l : Funciones
Según esta notación , si /(* ) es una función de * y *Q e D o m (/) , la expresión /(* n) , ya lo hemos 
dicho .significa la imagen de *(| o el valor numérico obtenido por /(* ) al sustituir * por x(). Por 
esta razón siempre se deftne una función mediante una ley o fórm ula, llamada regla de corres­
pondencia , que permite calcular para cualquier * e D om (/) su imagen y = /(* ) . En consecuen­
cia , una función queda completamente definida si se conocen
1. Su regla de correspondencia/(* )
2. Su dominio
Por ejemplo , sean los conjuntos A = {1 , 2 , 4} y B = {2 , 4, 8} y la función / : A —» JB I 
/ = { (I , 2 ) , (2 , 4 ) , (4 , 6)} . Si en / denotamos por* cualquier elemento de su dominio A ; 
entonces la regla de correspondencia que nos permite hallar su correspondiente imagen es 
/(* ) = 2* , de modo q u e , sim bólicam ente, podemos escribir
/ = { ( * , 2*>€ (Rx [R| * e A}
(T 7 3 J E V A L U A C IÓ N D E U N A F U N C IÓ N
Con frecuencia se describe una función por medio de una fórmula que especifique 
como se calcula el número /(* ) en términos del número*. Por e jem plo, la fórmula :
f (x ) = x 2 + 2x - 5 , x e IR (1)
describe la regla de correspondencia de una función / que tiene como dominio el eje real.
La notación funcional tiene la ventaja de identificar claramente la variable dependiente como 
/(x ) a la vez otorga un nombre a la función. El valor de la función cuando* = *M se denota 
por /(* 0) y se lee “/ dex()" , se dice entonces que la función está valuada en *(l.
El símbolo / ( ) puede ser considerado como una operación que se va a ejecutar cuando se i nsene 
un valor del dominio entre el paréntesis. Por ejemplo , la función definida por la fórmula ( l ) 
puede ser descrita como
/ ( ) = ( )2 + 2 ( ) - 5
con paréntesis en lugar de las x. Por tan to , si queremos ev a lu a r/(-4 ), colocamos sencillamente 
-4 en cada paréntesis:
/(-4 ) = (-4)3 + 2(-4) - 5 = 1 6 - 8 - 5 = 3 
No todas las funciones se definen por medio de una fórmula única. Por e jem plo, si escribimos
{*-’ - * + 1 , s i* > 1 ._____
v i - * . si * < 1 
tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valores son
/(3 ) = (3)2 - (3) + I = 9 - 3 + 1 = 7 
/ ( - 3) = V i- ( - 3) = V i = 2
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Sección 1.3 : Evaluación de una Junción 5
E JE M P L O 3 ] Sea la función / = {(x , j t - 2 r + 3 ) e R x r | >■ = /(*)} . H a lla r:
a) / ( - O , b) m . c) /(2 ) , d) E = /(4 + h )h^(4 —
Solución Si x e ER <=> C*2 - 2* + 3) e IR , luego, Dom (/) = IR y Ran (/ ) = [R .
La regla de correspondencia d e / e s f (x)=x*~ 2x + 3 , por tanto , la función esta
bien definida.
Describimos la función como / ( ) = ( )2 - 2 ( ) + 3 , entonces :
a) / ( - I ) - ( - 0 1 - 2 (-l) + 3 = I + 2 + 3 = 6 <=t> la imagen d e -1 es 6
b) /(O) = (O)3 - 2(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 e=> la imagen de 0 es 3
c) /(2 ) = (2)2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 •=> la imagen de 2 es también 3 
ó) / ( 4 + h) = (4 + h)3 - 2(4 + h) + 3 y / ( 4 - h )= (4 - h)2 - 2(4 - h) + 3
^ C = -K4 + h> - ^ 4 - h> _ 4 (4 )(h )-4h ^ h(16 - 4) _ l2 u
E JE M P L O 4 ] Sea la función / : (R —» IR [ f ( 2 x + 3) = 4xa - I x + 3, hallar la imagen d e x
Solución Hallaremos j ( x ) por dos m étodos:
a) Método del cambio de variables. Sea u = 2* + 3 ■=> x = u ^
S i / ( 2 r + 3) = 4 ^ - 2 r + 3 t=^ / ( u) = 4 ( - ^ ) ‘ - 2 ( - ^ ) + 3 = u2 - 7u + 15
<=$■ f ( x ) = x 1 - 7x + 15
b) Método directo. Consiste en describir la función en una forma adecuada escribiendo
paréntesis en lugar de las x , esto es
/ [2 ( .. . ) + 3] = 4 ( . . ,)2 - 2 ( . . . ) + 3 
En los paréntesis se coloca xl2 para eliminar el factor 2 de 2x + 3
/ [ 2 ( f ) + 3 ] = 4 (-§ )’ - 2 ( f ) + 3 « / ( * + 3) = ^ - x + 3
Ahora describimos la función como : / [ ( . . . ) + 3] = ( . . .)2 - ( . . . ) + 3 
En los paréntesis se coloca x - 3 para eliminar el sumando 3 de ¿ + 3
f [ ( x -3 ) + 3] = ( x - 3)2 - (x -3 ) + 3 =* /(* ) = ¿ - 7 x + 15 ■
[E JE M P L O 5 ) S e a / : I R —»(R| /(V jc -2 ) = 2x * -x + 5 , hallar la regla de corresponden­
cia de / (V2 r + 1 ).
Solución Usaremos el método directo describiendo la función como
/ ( V T T 7 2 ) = 2 ( . . . ) M . . . ) + 5
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6 Capítulo I : Funciones
Si queremos conseguir 2x + 1 en el radical colocamos 2 x + 3 en el espacio punteado de cada 
paréntesis, esto es
/ (V2* + 3) - 2 ) = 2(2x + 3J2 - (2x + 3) + 5 .=> /(V 2x+ 1 ) = 8x ! + 22v + 20 ■
(E JEM PLO 6 ] Determinar si el conjunto f = {(*2 + 2 , x) I x e CR} es o no una función
Solución La regla de correspondencia de / es /C*2 + 2) = x
S e a n * = 2 y x = -2 dos elementos d e ld o m in io d e /
Para x = 2 , f (4 + 2 ) = 2 « / ( 6 ) = 2 => ( 6 , 2 ) e / 
x = -2 , / ( 4 + 2) = - 2 « / ( 6) = -2 => ( 6, -2) e f 
De la condición de unicidad : ( at , y) e / a (x , z ) e / t=> y = z , se sigue que
( 6 , 2 ) é / a (6 , - 2 ) e / >=> 2 = - 2 
lo cual es falso , por tanto , / no es una función. ■
( 1 , 4 ) G R Á F IC A D E U N A F U N C IÓ N
Cuando el dominio y el rango de una función consisten en números reales ambos , es 
posible plasmar el comportamiento de la función en forma gráfica.
Definición 1.1 : GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Sea una función / : A —> B , donde Á c IR y B c IR, se define la gráfica de / , y se denota 
G r ( / ) , al conjunto de todos los pares ordenados en los q u e x e A está como primer elemen­
to y su imagen y = f ( x ) e B com osegundo elemento. Es d ec ir:
G r ( / ) = { ( * , . ) ’) £ E J ] r e A , y ?= /(!* ) ¿ c A x B
o bien .
G r ( / ) = { ( X j / W 6 lR ? U ‘ e A j c A x B
PRO PIED A D ES
G . l : V ate A , existe un par ordenado (a; , y ) e G r ( / ) , es d ec ir, el D om (G r(/)) = A 
G .2 : (jr, y) e Grf/ ) a (a: , z) e G r(/) <=> y = z (U nicidad)
G .3 : Si PC*. y) e Gr( / ) <=> P(* ,y ) e /
(E JE M P L O 7 ) Sea la función / : IR —» CR definida por la fórmula f ( x ) = -2x2 - 3jc + 5.
Decir si los siguientes pares ordenados pertenecen o no a la G r(/)
a) ( -1 ,6 ) b) (3 /2 .-4 ) c) (4 ,3 9 )
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Sección 1.4 : Gráfica de una función 7
Solución Por ia propiedad G.3 se tiene :
a) / ( - l ) = - 2 M ) 2 - 3 ( - l ) + 5 = 6 = > ( - ! , 6) e / => ( - 1 .6) e GríJ)
b) /(3 /2 ) * -2 (3/2)2 - 3(3/2) + 5 = -4 => (3/2 , -4) e / =» (3 /2 , -4) e Grlf )
c) /(4 ) = -2(4)2 - 3(4) + 5 = - 39 (4 , -39) e / , luego (4 ,3 9 ) e Gr( / )
(EJEM PLO 8 )Sea la función / : A —> B | f ( x ) = 4 - x2, A = ( -2 ,3 ] y B = [-5 , 5 ) ; trazar 
la gráfica de / mostrando el conjunto A x B.
Solución En prim er lugar construim os el rectángulo A x B
(F igura 1.3) , luego d ibu jam os la gráfica de / ,
e lig iendo los pun tos ex trem os y un punto in term edio de A. »
A s í , para ¡
* = -2 i A =* / ( -2 )= 4 - ( - 2 )2 = 0 ^ (-2 ,0 ) e Gr(f) J
r = 0 e A /(O ) = 4 - (O)3- 4 o (0 , 4) e Gr( / ) t
j = 3 e A o f (3 ) = 4 - Í3)2 = -5 => (3 , -5) e G r(f)
Obsérvese que aunque (-2 ,0 ) e G r(/) ,e s tepun tonossirvecom o !
referencia para el trazado de la curva. Por lo tan to : I
GlX f)~ {U ,Jí3 - 4 ) | j c e ( -2 , 3]} c A x B ■ ^
“ I^IGufíÁ V.3 ~
OBSERVACIÓN 1.3 Sabemos que una función no debe tener dos pares ordenados con la 
misma primera componente. Según esta definición si se presenta la 
gráfica de una función en IR- se debe cumplir la siguiente propiedad geométrica fundamental: 
"Una relación / : A - » B , A c [ R y B c = [ R , e s una función real si y sólo si cada línea recta 
vertical 31 corta a la gráfica de / a lo más en un punto” . Es decir : Gr( / ) f | 31 - {P} , P 6 [R2 
Esta observación proporciona un criterio visual para funciones.
^E JE M P L O 9 j En las gráficas de la Figura 1.4 , establecer la diferencia entre gráficas de 
una función y los de una relación.
Solución La gráfica en (a) es la de una función porque una línea vertical A corta a la curva de 
un solo punto P , esto es , a cada elemento del dominio le corresponde una de la 
im agen: jc, y,
La gráfica en fb) es la de una relación que no es función pues una línea vertical 31 corta a la curva 
en dos puntos P, y P , , es d e c ir . a cada elemento del dominio x l le corresponden varias imáge­
nes, las comprendidas entre y, e y2. m
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8 Capítulo / ; Funciones
OBSERVACIÓN 1.4 La notación funcional sirve para describir cómodamente transforma­
ciones de gráficas en el plano. Algunas familias de gráficas tienen una 
forma básica común y apoyándose en éstas se pueden hacer tres tipos de transformaciones :
1. Traslaciones horizontales
2. Traslaciones verticales
3. Reflexiones.
TIPOS BASICOS DE TRANSFORMACIONES
Gráfica original:
Traslación horizontal de h unidades a la derecha: 
Traslación horizontal de h unidades a la izquierda : 
Traslación vertical de k unidades hacia ab a jo : 
Traslación vertical de k unidades hacia a rriba : 
Reflexión (en el eje X) :
Reflexión (en el eje Y ; :
k > 0 )
V = /tT ) 
v = / u - h ) 
y = /( .v + h) 
y = /( .* )- k 
>’ = /(* ) + k 
y = - / ( * )
W < - r t
EJEM PLO 10 J Mediante la gráfica de la función f(x ) =
(Figura l .5 ) , dibujar el de las funciones
a) y s + 2 d) y = V f - x + 2
b) y = - Vic - 1 c) y = Vjc- I - 2
c) y - yJx + 2 f) y = - Vx- 2 + l
Solución a) Si y=*Jx + 2 «=>>• = f ( x ) + 2
Tenemos un desplazamiento vertical de la Gr( / )
b) Si y = - Vx - l ■=>>' = - f ( x ) - l 
Reflexión (en el eje X) y desplazamiento vertical de la G r ( / ) , l unidad hacia abajo.
c) Si y = Vjc + 2 o y = f ( x + 2)
F IG U R A 1.5
, 2 unidades hacia arriba.
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Sección 1.4 : Gráfica de una Junción 9
Desplazamiento horizontal de la G r ( / ) , 2 unidades hacia la izquierda.
d) Si >■ = VT^Jt + 2 « y = / K x - I)] + 2
Reflexión (en el eje Y) y desplazam ientos: horizontal 1 unidad a la derecha, y vertical, 2 
unidades hacia arriba.
e) Si y = - 2 <=> y = f ( x - 1) - 2
Desplazamientos: horizontal, I unidad a la derecha, y vertical, 2 unidades hacia abajo.
f) Si y = - \'jc- 2 + 1 •=> y = - f ( x - 2 ) + I
Reflexión (en el eje X) y desplazamientos: horizontal, 2 unidades a la derecha, y vertical, 
1 unidad hacia arriba.
OBSERVACIÓN J.5 Con relación a la gráfica original y = f (x ) existen otros dos tipos de 
transformaciones en el plano que son los siguientes
1. Gráfica de la función g(x) = a f (x )
a) Si 0 < a < 1 , la Gr(g) se obtienen recortando verticalmente la G r(/) en un factor de a.
b) Si a > 1 . la Gr(g) se obtiene estirando verticalmente la Gr(_f) en un factor de a . En 
ambos casos se toma como base el eje X.
2. Gráfica de la función %{x) = f (ax)
a) Si 0 < a < 1 , la Gr(g) se obtiene estirando horizontalmente la Gr( / ) en un factor Ma
b) Si a > 0 , la Gr(g) se obtiene recortando horizontalmente la G r(f) en un factor de a . En 
ambos casos se toma como base el eje Y.
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10 Capítulo I : Funciones
(EJEM PLO 1 1 j D ada la g ráfica de f (F igura l .7 ) , d ibu ja r la g ráfica de ia función 
g(x) = 2 - / ( x + l ) , luego , indicar su dominio y rango.
Solución Obtenemos la Gr(gj haciendo las siguientes transformaciones
a) >’ = /(■* + 0 »traslación horizontal l unidad a la izquierda
b) >' = - f ( x + l ) , reflexión en el eje X
c) y = - f ( x + l) + 2 , traslación vertical 2 unidades hacia arriba.
Leyenda
a) ------------------
b) ------------------
c) ------------------
D o m (g ) = [ - 6 , 5 > - { - 1 } 
R an(g) = [-3 , 4 ]
EJEM PLO 12 ) Mediante la gráfica de la función /(jc) = (Figura l .5), dibujar el de las
funciones (Ejemplo de la OBSERVA CION 1.5)
a) g(*)= ( 1 / 2 ) ^ , x e [ 0 .4 ] c) e(x)=^Ix /2 , y e [0 ,2 ]
b) g(*) = 2-Jx , x e [0 ,4 ] d) g(*) = <2x , y e [0 , 2 ]
Solución a) g(*) = .=> g (x )= - i- /(x ) , a = ^ e < 0 , l )
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EJE R C IO O S : C r u p a l 11
Dibujamos la G rtg ) , recortando verticalmente la G r(/) en un factor d e a = 1/2 , tomando 
como referencia el eje X.
b) g(x) = 2 V* •=> gC*) = 2 / ( * ) , a = 2 e <1 , + ~ )
L uego, trazamos la Gr(g) estirando verticalmente ia G r(/) en un factor de a = 2 , tomando 
como base el ejeX .
c) Si g(*) = ^ 2 ^ g(x) = / (jc/2) , a = \ e <0, 1>
Dibujamos la Gr(g) estirando horizontalmente la G r(/) en un factor de 2 a partir del eje Y.
d) SÍg(*) = ^2X «=* g(x) = / ( 2x)
Dibujamos la Gr(g) recortando horizontalmente la G r( /) en un factor de 1/2 a partir del 
eje Y. ■
E J E R C IC IO S . Grupo 1
*•* En los ejercicios I al 4 , determinar si el conjunto de pares ordenados dado , es o no una 
función
1. {(jc + 4 , * ) U e (R> 3. { ( x - I . j^ + Z r jU e IR}
2, (x3 - 4 , x ) ! x e (R} 4. { [(x + 1 3 ) . (* ,.y)] l(* ,>’) e IR2}
5. Si / es una función real de variable re a l, tal que f ( x + 3) = x2 + 3 , hallar el valor de
E = f{a + 2 ) - f i a - 2 ) 
a - 1
6. S i / es una función real tal q u e / ( * - 2) = 3jc-11 >’ ^ — — = 6 , a # 2 ,
hallar el valor de a.
7. Sea la función /(x ) = a x 2 + fcx + c ta lq u e / ( - l ) = 0 . /(1 ) = 8 y / ( - l ) + / ( l /2 ) 15/4, 
hallar f(2).
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12 Capítulo I : Funciones
8. Sea f ( x ) = a x2 + bx +c , verificar que f ( x + 3) - 3 f ( x + 2) + 3 f ( x + I) - f ( x ) — O
9. Si / es una función real tal que f ( ^ 3 x + 4 ) = 9a:2 + 36x + 3 2 , hallar / (\íx + 2 )
10. Hallar / ( * ) , s i :
a ) / ( * + O = jc2 - 3 x + 2
b) / ( 3 a: - 2 ) = 9jt2 + ¿a: - 8
c) / ( * + “ ) = * 2+ - T ■
ó) / ( ^ ) = at+ V T T * 2 , a:> 0
f ) f ( x - j ) = , x * 0X I x ‘ \ X
11. Hallar la regla de correspondencia de la función f ( x ) = a x 2 + b x + c que tiene a CR como 
su dominio y tal que / ( - I ) = 3 , f ( 2 ) = 0 y /(4 ) = 28
12. Sea / ( n ) la sum a de n térm inos de una progresión aritm ética. D em ostrar que :
Sn = / ( n + 3) - 3 /(n + 2) + 3 /(n + l ) - / ( n ) = 0
[ Sugerencia : Sea la P.A.ra , a + r , a + 2 r a + ( n - ] ) r ^ Sn = /(n) = an + ^ (n - l)r]
13. Mediante la gráfica de f ( x ) = U l , (Figura 1.10), dibujar el de las funcionesa) > = | a: | - 2 c ) y = - U - 2 | e) y = 2 - 1 1 - jrt
b ) y = U + 3 l d) y = U + l l - 2 f ) y = ^ U - 2 |
14. Usando la gráfica de f ( x ) = , (Figura 1. I I ) , dibujare! de las funciones
a) y = ^íx - 1 c) y = ylx~ I e) y = ~ tfx.
F IG U R A 1.10
15. Dado la gráfica de la fun­
ción / (Figura 1.12), dibu­
ja r la gráfica de la función 
g(*) = 5 - / ( - * + 3 ).
F IG U R A 1.11
F IG U R A 1.12
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Sección 1.5 : Determinación del dominio de una junción 13
[ 1 ,5 ) D ETER M IN A C IÓ N DEL DOM INIO DE U N A FU N C IÓ N
Cuando una función viene dada por una fórmula o regla de correspondencia, se suele 
sobreentender que el dominio consiste de todos los números para los que la regla de correspon­
dencia está bien definida. Ahora bien . el dominio de una función puede describirse explícita­
mente junto con la función o estar implícito en la fórmula que define a la función. Por ejemplo 
, para las funciones
a) / : A - » B , A c t R , B c l R
b) g(jt) = V 7 7 2 , 2 < x < 7 
el dominio está descrito explícitam ente, pues en
a) D om (/) = A = { j r e A l B ! > e B , y ~ /(*)}
b) Dom(g) = {jc| 2 < x < 7 } = [2 ,7 ]
Por su p a rte :
a) Las funciones polinómicas
/<*) = a D*n + a „ - i* " ',+ ■ • ■ ■ + a Jx 2 + a ¡x + a 0 , a o* 0 
tienen por dominio implícito al conjunto IR.
b) Las funciones racionales de la forma : f(x) =
qtó
tienen como dominio implícito a t R - { x € (Rlq(.r) = 0}
c) Las funciones con raíces de índice p a r : / ( x) = >/g(jc) , n e Z +
tienen como dominio implícito al conjunto {x e IR I g(x) > 0}
d) Las funciones con raíces de índice im par: f (x ) - , n e Z +
tienen como dominio implícito al dominio de g(x ), e s to e s , D om (/) = Dom(g)
x
V*2- * - 6
¡EJEM PLO I ' ) Determinar el dominio de las siguientes funciones
a) f {x ) - x* - + 3x - 1 d) h(x) =
b) / ( x) = <39- x 1
c) g(x) = V 4 -V 2 4 -2 a -x 2 e) /(* ) = V . 5^" 22jt + 5
Solución" a) E ID om (/) = (R, pues se trata de una función polinómica de tercer grado.
b) Para que la función / tenga sen tido , 9 - jí1 ha de ser p o sitivo , es d e c ir , / es 
real «■ 9 - ^ > 0 •=> x * - 9 < 0 <=> - 3 < x < 3 ■=> Dom( / ) = t - 3 , 3 ]
c) Del mismo m odo , la función g tienen sentido, si y sólo s i :
( 2 4 - 2 x - x i ¿ 0 ) a (4 - V24 - 2jc - Xa ¿ 0) <=> (xa + 2 r< 2 4 ) a (V 2 4 -2 * -* 3 < 4 )
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14 Capítulo / : Funciones
<=> [ ( * + l f < 2 5 ] a [ ( * + 1 ) 2 > 9 ] <=> ( - 5 < j + 1 < 5 ) a ( h ! < - 3 v í + I > 3 ) 
<=> ( - 6 < x < 4 ) a ( x < - 4 v x > 2 ) <=> ( - 6 5 x < - 4 ) v ( 2 < * < 4 )
.*. Dom(g) = [-6 , -4] U [ 2 , 4 ]
d) Si h(x) = . x- <=> Dom(h) = {jce IR l(x + 2) (x - 3) > 0 }
\ ( x + 2) (x - 3)
= {x e IR I x < -2 v x > 3}
= x e - 2 ) U (3 , + « )
e) Tenemos una funcióncon raíz de índice im par, luego ,Dom(.f) = D om (g), donde 
x - 2
g to = (x + I)(x - l) (2 x -5 )
, x * - l , 1 , 5 / 2 ■=> D om (/) = IR - {-1 , I , 5/2}
Definición 1.2 : IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO
Sea una función/ : A B , donde A ^ K y B e : [R. Si M e A = D o m (/) , se denomina la; 
imagen directa de M mediante f , al conjunto / ( M ) , donde
/ ( M ) = { f ( x ) \ x e M } e B 
y se le e “ conjúnte de las imágenes de x , tal q u e x € M ” 
o bien :
/(M } ,= { y * B | 3 x . e M , y = m }
Según esta definición: y e /(M ) <=> 3 x e M | y = /(x )
En particular si M = A , entonces /(A ) se llama imagen del dominio de / . A dem ás, para toda 
función / se tienen que /(ó ) = <¡). En la Figura l . 13 , obsérvese que /(M ) es la proyección de la 
G r ( / ) , con dominio M , sobre el eje Y.
PROPIEDADES
ID . 1 : S i / : A - » B , M c A y M c N *=> /(M ) c /(N)
ID . 2 : Si / : A —»B , M c A y N c A => / ( M U N ) = / ( M) U / ( N)
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Sección ¡.5 : Determinación del dominio de una función 15
I D . 3 : Si / : A —» B , M c A y N c A => /(M f lN ) c / ( M ) n / ( N) 
I D . 4 : Si / : A —► B , M c A y N c A «=> / ( M ) - / ( N ) c / ( M - N )
EJEM PLO 2 ] Dado el conjunto M = [ -1, 4 ) y la función / : A B definida por
3 + 2x , si -2 < x < I 
6 - 2 x , si l < x < 4 
H allaría) /({ O , 1 , 3 } , b) / ( M ) , c) Construir su gráfica
m =
Solución La función está definida por dos fórm ulas:
f t( x ) ~ 3 + 2x , r e [ - 2 , 1) y f 2(x) = 6 - 2 x , x e [1 ,4)
Luego ; A = Dom( /) = [ -2 ,1 ) U [ 1 , 4 ) = [ -2 ,4 )
a) Por la D efinición 1 . 2 : / ( M ) = { /(* ) I* e M} ^ / ( { 0 , 1 , 3}) = { /(O ), / ( l ) , / (3 )} 
d o n d e :/(O ) = /,(()) = 3 , / ( ! ) = /,<1) = 6 - 2 = 4 y /<3) = f 2( 3) = 6 -2 (3 ) = 0 
Por lo tanto , / ( { 0 , 1 , 3}) = { 3 , 4 , 0 }
b) C om oM c=A .=* M = M ,U M2= [ - l , 1) U [1 ,4)
Luego , V x e M ( = [ - 1 , 1 ) , e stoes :
S i -1 < jc< 1 e* - 2 < 2 * < 2 ^ 3 - 2 < 3 + 2 x < 3 + 2
■=> - 1 < / ,( * )< 5 
V jre M2= [1 ,4 ) => 1 < x < 4 .=> - 8 < 2 * < - 2 
«=> -8 + 6 < 6 - 2 * < - 2 + 6 ■=> -2 < f 2(x) < 4 
Entonces, /(M ) = {/ (* ) = /,(*) U /2U ) U e (M ^ M j)}
= [ -1 ,5 ) U < -2 ,4} = < -2 ,5 )
c) La G r(/) junto con la de /(M ) se muestran en la Figura 1.14
F IG U R A 1.14
(EJEM PLO 3 ) Sea la función / : A —> BI f ( x ) =x2 - 2x - 4 . Si B = /(A ) = (-5 , 4 ] , hallar 
el conjunto A.
Solución Hallaremos el conjunto A = D om (/) partiendo de /(A ) = {/(*) e B I x e A} = B , 
esto es , si /(* ) e (-5 , 4 ] , entonces 
- 5 < ^ - 2 x - 4 < 4 =? - 5 < ( j c - l )3 - 5 < 4 » 0 < ( j t - 1)3< 9
<=> 0 < * - 1 < 3
A = D om (/) = {jc e (R11 < x £ 4} = (1 ,4 ] ■
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16 Capítulo I : Funciones
Definición 1.3 : FUNCIONES IGUALES
Sean dos funciones / : A -4 B y g .i A -r>B , Sé dice q u é / y g son iguales , y s é denota 
/ ss g , si y sólo si G r ( f ) - G r(g) com o subconjuritos de A x B ,.esto es
/ = g w V « A , /(* ) = fe(jc)
equivalentemente
/ * g o 3 x e A]/Cx)*g£jc)
(E JE M P L O 4 : ) Sean las funciones / ; [ - 1 ,3 ] - * [ -5 ,4 ) l / ( x ) = 2 x ~ 3 y g : [-1 ,3 ] - i
[ -5 ,4 ) tal que g(x) = ^ - Determinar si / = g
Solución Un dibujo de la Gr( / ) se muestra en la Figura 1.15 , en donde
G r(/) = { ( x , 2 x - 3 ) \ x e [-1 . 3]} c [-1 , 3] x [-5 ,4 )
En g , factorizando el numerador obtenem os: g(x) = ^ ^ ^ = 2 x - 3 , x ^ 4
Un dibujo de la Gr(g) se muestra en la Figura 1.16 , en donde se observa que 
Gr(g) = { ( a , 2 x - 3 ) U € [ -1 ,3]> c=t-l . 3 ] x [ - 5 , 4 >
En consecuencia, si G r( /) = G r(g) e^>/ = g ■
Definición 1.4 : FUNCIÓN RESTRINGIDA
Sean los conjuntos A ,B yD subconjuntpsde iRy , sea la función / : A~> B. Si.definimos 
la fundón g : D - 4 B , tal que
./(*) - £(*)■ x e D . D c A 
entonces se dice que la función g es la restricción d e / a l conjunto D.
Equivalentem ente, si / : A -4 B tienen unu restricción g ; D -4 B y.D c A f entonces se dice 
q u e /e s una extensiórrde g al conjunto A.
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Sección 1.6 : Determinación úel rango de una función 17
Por ejem plo , sean los conjum os A = (-1 , 3 ] , B = (-1 ,4 ] y D = [0 , 3] , y sea la función 
/ : A —f r B l / t x j s S + Z c-x^cuyagraficasem uestraen la Figura 1.17. Si definimos la función 
g : D -* B de modo tal que f (x ) = g(x) , V x e D , decimos entonces que la función g es la 
restricción de / al conjunto D (Véase la Figura 1. 18). En las gráficas de / y g se observa respec­
tivamente que
i) Ran( / ) = /(A ) = [ 0 , 4 ] c B
ii) Ran(g) = /(D ) = [ 0 , 4 ] c B
( 1 . 6 ) D E TE R M IN A C IÓ N D EL R A N G O DE U N A F U N C IÓ N
En ladeterminación del rango de una función se presentan dos casos.
C aso 1 Cuando el dominio está implícito en la regla de correspondencia que define a la 
función.
En este caso se despeja x en función de y , luego se analiza para que valores reales de y ,* es real.
E J E M p f o 5 ) Hallar el rango de la función f ( x ) ~ ■ ,V ■ 1 J e ' x 2 + 4
Solución Sea y = f ( x ) <=> y(jt3 + 4)=.T2 <=> * = ± 2 s j |
«=> jc 6 (R <=> — > 0 => — < 0 <=> 0 < v < 11 - y y - 1
L uego, R an(/) = { y e I R l O < y < I } = [ 0 , l >
Caso 2 Cuando el dominio está descrito explícitamente junto con la fórmula que define a la 
función. Es decir, si / : A -» B , entonces R an(/) = / ( A ) c B ■
( e j e m p l o 6 ) Sea la función / = {(* , y) e tR3 |/ ( . t) = 4 + 2x - jr2 , x e [ - 2 , 4 ] } . 
Determinar su rango.
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18 Capitulo I : Funciones
Solución Como A = [ - 2 , 4 ] «=> R an(/) = / ( [ - 2 ,4 ] )
L u eg o , si f (x ) = 5 - { x ? - 2 x + 1) .=> /(* ) = 5 - (x - l )2 
Llegaremos al segundo miembro de esta fórmula partiendo dei dominio de la función, esto e s :
1. Si j r e [ -2 ,4 ] =» - 2 < * < 4 <=> - 3 <J t - 1 < 3 « ( -3 < j t - I < 0 ) v ( 0 < jc- 1 <3 )
2. Elevando al cuadrado : =^> 0 < (x - 1 )2 < 9
3. Multiplicando p o r-1 : <=> -9 < - ( jc - I )3 < 0
4. Finalm ente, sumando 5 : <=> -4 < 5 - (* - I )2 < 5
<=> -4 < f ( x ) < 5 
R a n ( / ) = { y e ( Rl - 4< y < 5 } = [ - 4 , 5 ] ■
(EJEM PLO 7 ) Hallar el rango de la función /= { ( ~~l¡") I x > 6 j-
Solución Regla de correspondencia de la función : f ( x ) = ^ = 3 -
Si A = (6 , +°°) <=> Ran( f ) = /(A ) = /((6 , +°°))
Obtendremos el segundo miembro de esta fórmula partiendo de x e A
1. S i ; t> 6 « = * j c - 5 > 6 - 5 i = > j » : - 5 > 1 < = > —1— < i ( S i * > a ■=> -7 <n )
x - 5 ■*
2. C o m o x - 5 > I .tam bién x - 5 > 0 ^ ^ > 0 (Si a e [Ry a > 0 ■=> ^-> 0)
3. Luego , de los pasos ( I ) y (2) se sigue que : 0 < —^5 < *
4. Multiplicando p o r -1 : - 1 < - — — < 0 «=* - l + 3 < 3 - —— < 0 + 3
jc - 5 x - 5
5. De donde : 2 < f (x ) < 3 => R an(/) = { y e 1R12 < y < 3} = ( 2 , 3 ) ■
Í Í7 T > F U N C IO N E S C O M O M O D E L O S M A T E M Á T IC O S
Del uso y aprovechamiento del lenguaje de las funciones se puede expresar diversos 
tipos de situaciones prácticas, que tienen que ver con la geom etría, física, econom ía, biología, 
etc, en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemá­
tico de tales situaciones. Los ejemplos que siguen muestran el procedimiento implícito en la 
obtención de algunos modelos matemáticos.
(EJEM PLO 8 ) Determinar una función que exprese el área del rectángulo de base x y 
perímetro 2a ( f l> 0) .Hallar el dominio y el rango de la función obtenida.
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Sección I.7.: Funciones como modelos matemáticos 19
F IG U R A 1.19
Solución Designemos por* e>' las dimensiones del rectángu­
lo (Figura 1.19)
1. Por geometría sabemos que su área esta dada por
A = x y
2. Como la fórm ula de A está expresada en térm inos de dos 
variables x e y , usaremos el hecho de que el perímetro del 
rectángulo e s : 2x + 2y = 2a =* y = a - x
3. Luego, en el paso (2 ): A(x) = x(o - x ) , a > 0
4. A h o ra , de esta últim a fórmula debemos especificar el dominio de la función A. O bvia­
mente, sólo los valo resx > 0 producirán rectángulos e fec tiv o s, esto e s , si A (x)> 0 ^ 
x(a - x) > 0 <=> 0 < x < a (=> Dom(A) = { 0 ,a)
A sí, la definición completa del área es : A(x) = ex - x2 , x e (0 , a)
5. Rango de la función : A(x) = a x - x 2 = y - - [ x - y ) 1
6. Si 0 < x < a i=> - y < x - y < y =5 0 < (x - y )2 <
7. Multiplicando por - 1 : - y - < - ( x - y ) < 0 > = > 0 < y - - ( x - y ) “ "4~
.=> 0 < A(x) <aV4 
.% Ran(A) = { y e Í Rl O< y < a 2!4} = (0 , a 2/4] ■
[EJEM PLO 9 J Un hombre está en un bote a 2 millas del punto más próximo de la costa.
Tiene que ir al punto Q (Figura 1.20), situado 3 millas más abajo por la 
costa y a una milla tierra a dentro. Puede remar a 2 millas por hora y andar a 6 millas por hora. 
Expresar el tiempo T de su recorrido en función de x.
Solución El espacio remado por el ho m b rees: PA = _s/jt2 + 4 
y el espacio caminado es : AQ = VI + (3 - x)2 
espacio
Sabiendo que el tiempo = »entonces el tiempo T de su recorrído de P a Q es :
T = - ^ + ^ ■=> T(x) = 1 ^ + 4 + - M x 2 - 6x + 10 , x e ( 0 ,3 ) ■
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20 Capítulo ¡ : Funciones
10 ] En una circunferencia de radio r = 5 , se inscribe un triángulo isósceles. 
Expresar el área del triángulo en función de su altura.
Súfacióti 1. Sea BH = x la altura del triángulo isósceles ABC y sea A C = 6 la longitud 
del lado desigual.
2. El área del triángulo ABC es S = -^ (AC) (BH) =
3. En el triángulo rectángulo B C D : HC2 = BH x HD
(La altura es media proporcional entre los segmentos en que divide a la hipotenusa)
4. Entonces : (6/2)2 = x(2r - x ) , de d onde , 6 = 2 Vx (2r - x)
5. L uego, para r = 5 , en el paso (2 ): S(x) = x V x(1 0 -x )
6. Como S (x )> 0 c=> x ( I O - x ) > 0 0 < x < 10
S(x) = x Vx (10 - x) , x € ( 0 , 1 0 ) ■
(EJEMPLO 1 1 ] El gerente de una tienda de muebles compra refrigeradoras al precio de
mayoreo de $ 250 cada uno . Sobre la base de experiencias pasadas, el 
gerente sabe que puede vender 20 refrigeradoras al mes a $ 400 cada uno y un refrigerador 
adicional al mes por cada reducción de $ 3 en el precio de ven ta Expresar la utilidad mensual U 
como función del número x de refrigeradoras mensualmente vendidas.
SpU if& n ' Interpretem os el enunciado del problem a con el significado de que el precio de 
venta p de cada refrigerador es impuesto al comienzo de cada mes y que todas las 
refrigeradoras se venden al mismo precio . E ntonces:
1. La utilidad unitaria de la venta de cada refrigerador e s : u = p - 250
2. La utilidad mensual total U de la venta de x refrigeradoras es
U = x u = x ( p - 250)
3. Designemos por n el número de reducciones de $ 3 hechas al precio de venta o rig inal, de 
modo q u e : p = 400 - 3n
4. Como se pueden vender n refrigeradoras más que los 20 originales, entonces
x = n + 2 0 , de d onde , n = x - 20
5. En el paso (3) se deduce q u e : p = 400 - 3(x - 20) = 460 - 3x
6 . Sustituyendo este valor de p en el paso (2) obtenemos la fórmula
U(x) = x (2 l0 -3 x ) = 3x(70 - x) 
para la utilidad mensual U como función del número x de refrigeradoras vendidas al mes.
7. Dado que seria inaceptable la utilidad negativa, entonces si
U (x) > 0 « 3x (70 - x) > 0 <=> 0 < x < 70 
Por lo q u e , la descripción completa de la función utilidad es
U(x) = 3x(70 - x) , 0 < x < 70
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EJERCICIOS G rupo 2 21
8. Para el cálculo del rango , escribimos
UU) = 3 (7 ttc-x2)= -3 (x 2-70x + I225J + 3675 *=* U(x) = -3(x- 35)3 + 3675 
Llegamos al segundo miembro de esta fórmula partiendo del dom inio, esto e s , si 
0 < x < 70 -35 < x - 35 < 35 ^ 0 < (x - 35)3 < 1225
Multiplicando por -3 : - 3675 < -3 (x - 35)2 < 0
Sumando 3675 : 0 < 3675 - 3(x - 35)2 < 3675 <=* U(x) e <0, 3675]
9. O bsérveseque la utilidad m áxima es de $ 3675 y ocurre cuando x - 35 = 0 , e s de c i r , s i 
x = 35 el precio de venta óptimo p , dado en la ecuación del paso (5 ), e s :
p = 4 6 0 -3 (3 5 ) = $335 ■
E JE R C IC IO S . Grupo 2
•í* En los ejercicios 1 al 12, hallar el dominio y rango de la función dada. Dibujar su gráfica
1 . /(x ) = < 4 ^ 7 
3. f (x ) = V2 + X - X 2 
4X2- I
2. / ( x ) = V2 + X - X 2
5. g(x) = 
7- /€*) =
9. m =
i i . m =
2x + 1 
6 x + 7 , si x < - 2 
4 - x , s i x > - 2
( x+l ^ x 2 + 3x- 10) 
x2 + 6x + 5
x4 - 3x3 - 1 Ix2 + 23x + 6
x2 + x - 6
13. Dado el conjunto M = [ -2 ,4 ) y la función f definida por
x + 1 , s i - 2 < x < 0
4. /(x ) = Vx2 - 3x - 4
6. /(x ) = Vóx2 - 5x - 4
x2- 4 , s i x < 3
8. g(x) =
10 . g(x) =
12 . h(x) =
2x~ 1 , s i x > 3
xA + 2x3 -7x3 - 8 x + 12 
x2 + 2 x - 3
x3 - x2 - 1 3x - 3 
x + 3
/(* ) =
x3 - x + 1 , si 0 5 x < 4
H allar: a) / ( M ) , b) / ( { - l , l , 2 } ) , c) Construir su gráfica
14. Sea el conjunto M = [-3 , 5) y la función / definida por
3 - 2x - x2 , si - 3 < x < 2 
2x - 6 , s i 2 < x < 5
H allar: a) /(M ) , b) / ( { - ! . 1 , 4}) , c) Construir su gráfica
m =
- {
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22 Capitulo J : Funciones
15. Sea la función / : [R —»(R definida por/(jr) = x* - 6 x + 4 . a) Dado el conjunto M = ( l , 4 ] , 
representar gráficamente el conjunto {(x , / (* ) ) I x e M} . b) Hallar el con junto /(M ).
*•* En cada uno de los ejercicios 16 al 21 , determinar analíticamente el rango de la función.
16. / : [-1 , 2 ) —>ÍR| / ( x ) = x2 + 2 17. f : ( - 2 , 3] -> CR | f (x ) =jc3 + 4jc- 1
18. / : [-2 , 2) —» [RI f ( x ) = 3 + 2 r - j t 19. / : [0 , 5] —» [R | f (x ) = - x 1 + 4 x - l
20. / : (-1 ,2 ] —> [R |/( j t)= I + V3 + 2jc- jt1 21. / = {( x , - ^ ) | ^ (x2- 4 ) > 0 }
22. Sí el área total de un cono circular recto mide 4 n u2 , hallar su altura como función del 
radio. Dar el dominio y dibujar la gráfica de la función.
23. Hallar la función que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del lado desigual 
x , sabiendo que la longitud del perímetro es 2a. A dem ás, hallar el dominio y rango de la 
función.
24. La altura de un cilindro es igual a su radio . Exprese el área total A de la superficie (inclu­
yendo ambas bases) en función de su volumen.
25. Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 piesJ . Su base debe ser 
doble de largo que de ancho. El material de la tapa vale $ 10 por p ie2 y el de los lados y 
b a s e , $ 5 por pie2. Expresar el costo de construcción de la caja como una función de uno 
de los lados de la base.
26. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su 
cuerpo. y una persona que pesa 150 Ib. tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4 Ib.
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del cerebro como una 
función del peso de la persona, b) Determine el peso aproximado del cerebro de una 
persona que pesa 176 Ib.
27. Una página impresa contienen una región de impresión de 24 pulg2 , un margen de 1.5 pulg. 
en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulg, en los lados, a) Encuentre un 
modelo matemático que exprese el área total de la página como una función del ancho de la 
región de impresión, b) Cuál es el dominio de la función.
28. A un campo de forma rectangular se le colocaron 240m de cerco, a) Expresar un modelo 
matemático que exprese el área del terreno como una función de uno de sus lados, b) Qué 
dimensiones debe tener este campo rectangular para que su área sea máxima ? Determinar 
dicha área.
29. Una ventana tipo normanda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo. 
Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perímetro de 200 pu lg ., y que la cantidad 
de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana .a ) Si r pulg. es el 
radio de semicírculo, exprese la cantidad de luz transmitida por la ventana como función de 
r. b) Cuál es el dominio de la función resultante?
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Sección 1.8 : Funciones especiales 23
30. Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de 
petróleo. Por cada pozo nuevo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada 
uno disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del campo petrolero en función del 
número x de pozos nuevos que se perforan.
( 1 . 8 ) F U N C IO N E S E S P E C IA L E S
Definición 1.5 : FUNCIÓN IDENTIDAD
Es aquel la función denotada por I : (R—» CR .donde el dominio y el rango es el conjunto de 
los números reales y que tiene como regla de correspondencia
I(x) = x . V * e IR
Es decir, en esta función cada número real se corresponde a si mismo. Su gráfica (Figura l .22) 
es la recta de pendiente m = Tg 45c * l , denotada por
G r(l) = { ( x , x ) \ x e IR} 
pasa por el origen de coordenadas como bisectriz del primer y tercer cuadrante. Cuando e! 
dominio de esta función está restringido a un conjunto A <z IR , se denota tA , esto es :
IA(x) = x , Vx e A.
En la Figura l .23 se muestra la gráfica de una función identidad sobre el conjunto A = ( - 2 ,3 ] , 
esto e s , Gr(IA) = { x , x ) \ V x e A = (-2 ,3 ]} .
Definición 1.6 : FUNCIÓN CONSTANTE
E s aquella función denotada por C , con dom inio IR y el rango consiste en un número 
real k , cuya regla de correspondencia es
C = {(* , >•)!>• = k}
o b ie n :
C ( x ) = k
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24 Capítulo ¡ : Funciones
La gráfica de esta función es una recta horizontal (Figura 1.24) 
denotada por
Gr(C) = { x , k) | V* e IR}
Considerando que la gráfica de una función constante pasa 
por el punto ( O , k) y es paralela al eje X , la posición de la 
recta depende del valor de k.
1. Si k > 0 , la Gr(C) es una recta horizontal situada por encima del eje X
2. Si k = 0 , la G r(C ) es el eje X , se d ice entonces que la función es nula , esto es , y = 0, 
V x e IR.
3. Si k < 0 , la Gr(C) es una recta horizontal situada debajo del eje X.
Definición 1.7 : FUNCIÓN LINEAL
Es aquella función / : IR —► IR cuya regla de correspondencia es
/(x ) = m x + b 
donde m y 6 son números reales fijos y til * 0
Su gráfica es una línea recta ÍB (Figura 1.25) cuya pendiente o coeficiente angular es m y su 
ordenada en el origen es b.
TEOREMA 1.1
Sean x ,.,..^ » y , , y2 números reales tales q u e x ^ jq .,y entonces existe una única
función lineal / tal que
= /(* ,) e y9 =
Demostración En e fec to , sean P^x, , y ,) y P2(x2 , y2) dos puntos diferentes cuyas coordena­
das satisfacen la ecuación : / (x ) = mx + b . Com o y = f ( x ) , escribim os 
entonces y = mx + b , luego , deben ex istir los núm eros reales m y f c . m í O , tales que :
y {- m x t + b ( I )
y2 = m x , + b (2 )
y2 -y ,
Restando ambas ecuaciones obtenem os: r _ y = m (3 )2 1
y sustituyendo (3) en (1) se tiene: y, = + b «=> b - (4)
Si los números reales m yfc existen por las ecuaciones (3) y (4) , entonces la función lineal
también existe y está definida por
F IG U R A 1.24
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Sección ¡.8 : Funciones especiales 25
Por le que : ,(* ,) = ) * , +
x2 y r x iyi
/(*,) = >,
O BSERVACIÓN 1.6 En el triángulo P, Q P 2 de la Figura 1.26 , se tiene
Tgct = T g a = - ^ 1 * In
P,Q x2-x ,
La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación.
O BSERV A CIÓ N 1.7 Para determinar la ecuación de una recta basta conocer dos puntos 
de ella con los cuales se calcula su pendiente. luego eligiendo cual­
quiera de los dos puntos como punto de paso . por ejemplo P ((jr,, y , ) . y P(x , y) com o punto 
genérico, se sigue que
y ~ y
m = 7 7 T ** y - y ^ m O c - x J
EJEM PLO 1 J Hallar la función lineal para la cual se cumple que 
2 /(2 ) + /(4 ) = 2 l y / ( - 3 ) - 3 / ( l ) = - l 6 
Solución Sea la función lin ea l: f (x ) = m * +b ( I )
Si 2 /(2 ) + /(4 ) = 2 1 <=> 2(2m + 6) + (4m + ¿) = 2 1 >=> 8m + 36 = 2l (2)
/(-3> - 3 /(1 ) = 16 (-3m + ¿) - 3(m + 6) = - 16 ^ 3m + ¿ = 8 (3)
La solución común de las ecuaciones (2) y (3) e s : m = 3 y b = - I
Entonces en ( I ) , la función lineal está definida por la fórmula
f (x) = 3 x - lm
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26 Capítulo I ■ Funciones
( e j e m p l o 2 ) Hallar la función lineal tal que / [ / ( * - 1)] = 16* - I
Solución Sea la función lin ea l: f ( x ) = m * + b (I)
E ntonces, / ( * - 1) = m(* - 1) + b = in* - in + b (2)
En (1) , sustitu im os*por/ ( * - I) y obtenemos : / [ / ( * - I)] = m / ( * - l ) + ¿
D e la condición dada y de (2) se sigue q u e :
16*- 1 = m (m* - m + 6) + 6 «=^ 16* - 1 = mí* + &(m+ l ) - m 2
í m2 = 16 <=> in = ± 4 
Identificando coeficientes: <
( b(m + I) - m2 = -1 e s b = in - I
En (3 ), para m = 4 , b - 3 y pasa m = -4 , b — -5 ; 'p o r tan to , en (1) , hay dos soluciones
/(* ) = 4 * + 3 o /(* ) = -4 * -5 ■
E JE M P L O 3 j Una tienda de artículos domésticos tiene 900 licuadoras en alm acén al 
principio de cada mes ; las ventas de licuadoras promedian 25 unidades
por día de venta.
a) Hallar un modelo matemático que represente el número de licuadoras en almacén en cual­
quier día de ventas de cada mes.
b) En que tiempo se agotará las licuadoras en almacén ?
c) Cuál es la cantidad de licuadoras cuando han transcurrido 12 días ?
ISolución] a) Sea y el número de licuadoras en almacén y sea* el número de días de venta.
Al inicio de cada m e s , es d ec ir , cuando * = 0 , tenemos en almacén y = 900 
licuadoras. Com o el núm ero de licuadoras dism inuye en alm acén a razón de 25 unidades 
por d ía de venta , entonces y cam bia en -25 unidades cuando * cam bia en I unidad , es 
decir que la razón d e cam bio o pendiente es m = -25. Luego , la función está dada po r la 
fó rm ula : y = m * + b = -25* + 900 (1)
b) Cuando las licuadoras se agotan en almacén se tiene que y = 0 
Entonces , en ( I) : 0 = -25* + 900 <=> * = 36 días
c) C uando*= 12 , en (1) se tiene : y = -25( 12) + 900 = 600 ■
Definición 1.8 : FUNCION CUADRATICA
Es aquella función con dominio IR y definida por la ecuación
/ ( * ) = ox2 + bx + c 
dondea .6 y e son constantesque representan números re a le sy a * 0
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Sección 1.8 : Funciones especiales 27
Esta función puede escrib ¡rseco m o /{ (x ,y )e R 2I y = a x 2+ b x + c } cuya gráfica es la misma 
que de la ecuación y = a x 2 + b x + c ,y que mediante el artificio de completar cuadrados puede 
ser transformado en otra equivalente de la fo rm a: y = a (x - h)2 + k
El siguiente teorema nos muestra el procedimiento a seguir.
TEOREMA 1.2 : Valores extremos de la función cuadrática
La función cuadrática definida por
/ ( x) = a x 2 + b x + c = a (x -h )z + k , a * 0
donde: h = - y k = ■ , tienen un valor extremo en el punto x - - -~-
2 a Aa 2a
i) Si a > 0 , el valor extremo es un valor mínimo k = / ( h ) , es d ec ir, R an(/) = [ k , + « )
¡i) Si a < 0 , el valor extremo es un valor máximo k = / ( h ) , es d ec ir, Ran(/> - , kj
Demostración En e fec to , sea y = f ( x ) , entonces
y ® ax 2 + bx + c = a (x2 + — x + — ) = a (x2 + — x + -7^7 - -7 -^7 ) + c' a a / ' a 4a 2 Aa21
l -> b b1 \ b2 t b \ 2 A a c - b 2
Ü \ X + a X + Aa1 ) +C " Aa “ a \ X+ 2a i + 4a
Si hacemos h = - y k = , obtenemos : y ~ a (x + h )2 - k
que es otra forma de representar la función y = a x 2 + b x + c
y “ k
Por otro lad o , si (x - h)2 = —— , y como (x - h)2 > 0 , V x e IR , entonces
i) S i a > 0 = » y - k > 0 < = > y > k , luego y e [ k , -k*>) = R an (/) , es decir , la función 
tiene un valor mínimo k , cuando x = - bl2a
ii) S i a c O e * y - k < 0 < = * y < k , luego y e ( - ~ , k] = Ran ( / ) , es d ec ir, la función tiene un 
valor máximo k , cuando x = - b/2a
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola que es simétrica respecto a 
la recta vertical x = h (eje de sim etría). Según los resultados anteriores puede ser una de las dos 
formas siguientes:
1. Si a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba y de este modo el vértice V ( h , k) es el punto más 
bajo de la gráfica (Véase la Figura 1.27)
2. Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo y así el vértice V (h , k) es el punto más alto de la 
gráfica (Véase la Figura 1.28).
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28 Capítulo J : Funciones
E J E M P L O _ 4 J Esbozar las gráficas de las funciones
a) /(* ) = 3 - 2 X - X 2 b) f (x ) = ± x? - 3 x + 6
-f
Solución U sarem os el m étodo de com pletar el cuadrado para hallar e! vértice de cada 
parábola.
a) La ecuación que define a la función / e s : > » = 3 - 2 r - j r 2 = - ( x + I )2 + 4
d ed o n d e , a = - 1 , h = -1 , k = 4 <=> V(-l , 4 ) , e j e : j c = h <=> x = -1 
Como a < 0 , la parábola es abierta hacia aba jo , por lo que R an(/) = (-«>, 4]
Para dibujar la G r(/) hallamos dos puntos de la parábola mediante sus intersecciones con el 
e jeX , e s to e s .s i > = 0 i=> 3 - 2 r - ^ = 0 « jt = -3 ó jc = 1 .
Luego, uniendo los puntos A (-3 ,0 ) y B ( 1 ,0) con el vértice obtenemos la G r( /) . V éasela 
Figura 1.29.
b) La ecuación que define a la función g es : y = ^ j p - l x + fs = -^•(x-3) +
de d onde , a = 1/2, h = 3 , k = 3/2 <=> V(3 , 3 /2 ), eje x = h = 3.
Como a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba , por lo que Ran( /) = [3 /2 , +«■)
Un segundo punto de la parábola lo obtenemos mediante su intersección con el eje Y , es 
decir, si x = 0 c=> y = 6 , luego , A (0 , 6) e Gr(g) , y el tercer punto , por simetría de A
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Sección 1.8 : Funciones especiales 29
respecto ai eje x = 3 , esto es , A’(6 , 6). Uniendo estos tres puntos obtenemos la Gr(g) 
mostrada en la Figura 1.30. ■
[EJEM PLO 5 j Sea la función f = {(* , >■) I x1 - 4x - 8y - 4 = 0} . Determinar un valor 
m áxim o, o bien uno mínimo de dicha función.
Solución La ecuación que define a / es : 8y = x 2 - 4x - 4
De este m odo, los valores de la función / están dados por
^X) = 8 2 X ' 2 
Para esta función cuadrática: a - 1/8, b = -1/2. Como a > 0, f tiene un valor mínimo en el punto
donde x = h = b/2a , esto es , si h = - ^ = 2 entonces el valor mínimo e s ,2( 1/8)
k = f (2 ) = ± ( 2 f - 1 ( 2 ) - 1 * -1 ■
{EJEMPLO 6 ] Si / es una función cuadrática tal que
f { x + 2) - f {x - 2) = 4 (3 - x ) , V * € IR 
Detenninarun valor m áxim o, o bien uno mínimo d e / s i /(O) = I t i
Solución Sea la función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c (1)
Si /(O) = 1/2 <=> a(0)2 + b(0) + c= 1/2 » c = 1/2 
Además : f ( x + 2) = a(x + 2 f + b(x + 2) + c y f ( x - 2 ) = a(x - 2)2 + b(x - 2) + c 
«=> f ( x + 2 ) - f ( x - 2 ) = a{(x + 2 )1 - ( x - 2 )2] + 6[(x + 2 ) - ( j r - 2 )]
= a[4(*)(2)]+6[(2) + (2)] = % ax+4 b 
Luego si 8a x +4í> = 12 - 4 x , V x e IR <=> (8a = -4) a (4b = 12) <=> a = -1/2 a& = 3 
Por lo q u e , en ( I ) , los valores de la función f ( x ) están dados por
/(* ) - " ^ X2 + 3X +
Como a < 0 , / tiene un valor máximo en * = h = -bi2a <=> h = 3
El valor máximo e s : k = / ( h) = - y (3)2 + 3(3) + ~ <=> k = 5 ■
^EJEMPLO 7 J Se va a cercar un terreno rectangular situado en la ribera de un río y no se 
necesita cercar a lo largo de éste. El material para construirla valla cuesta 
$ 6 el metro lineal para los extremos y $ 8 por metro lineal, para el lado paralelo al río ; se 
utilizarán $ 1200 de material para vallas. Hallar las dimensiones del terreno de mayor área posi­
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30 Capítulo ! : Funciones
ble que pueda demarcarse con los $ 1200 de material. Cuál es la mayor área ?
Solución Sean * e y las dimensiones del terreno y A su área (Figura 1.31)
■=> A = x y (1)
El costo del material para cada uno de los extremos del 
terreno es : 6y + 6y = 12y. El costo del material correspon­
diente al tercer lad o , paralelo al rio es : 8* .
De modo queel costo total de la cerca es
12y + 8* = 1200 <=> y = | ( 1 5 0 - * ) (2)
Para expresar A en términos de una sola variable sustitui­
mos (2) en ( I ) y obtenemos
A(*) = y (150 -* )* = x 1 + 100*
La función A es cuadrática con a = -2 /3 y b = 100. C om oa < 0 , la función A tiene un valor
máximo en * = - b!2a • = > * = - = 75 m . En (2): y = y (150 - 75) - 50m
Por lo tan to , la mayor área posible que pueda demarcarse con $ 1200 es
A = 75 x 50 = 3,750 m1 ■
[e j e m p l o s j Un fabricante de camisas puede producir una camisa en particular con un 
costo de $ 10 por unidad. Se estima que si el precio de venta de la camisa 
e s * , entonces el número de camisas que se vende por semana es 120 - x. Determinar cuál debe 
ser el precio de venta con el objeto de que las utilidades semanales del fabricante alcancen un 
nivel máximo.
Solución Sea I dólares el ingreso sem anal. Como el ingreso es el producto del precio de 
venta de cada camisa por el número de camisas vendidas, entonces:
I = * ( 12 0 -*)
Sea C dólares el costo total de camisas que se venden por semana. Como el costo total es el 
producto decadacam isay el número de camisas vendidas .entonces
C = 10(120-*)
Las utilidades se obtienen restando del ingreso total el costo to ta l, esto es , si P dólares es la 
utilidad semanal del fabricante, entonces
P(*) = I - C = * (1 2 0 -* )- 10(120-*) = -* 2 + 130*- 1200 
La función P es cuadrática con a = - i ,b = 130 y como a < 0 , P tiene un valor máximo en el 
punto donde * = -b /2 a . Así pues ,* = - 1 30/-2 = 65 dólares, es el precio de venta con el cual las 
utilidades del fabricante alcanzan su nivel máximo. B
¡EJEMPLO T T | En un triángulo A B C , cuya base AC = 10 cm y su altura BH = 6c m , está
_ _ _ _ _ t j
P lG Ú f t A 1 .3 Í
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Sección 1.8 : Funciones especiales 31
inscrito un rectángulo (Figura 1.32). Si S es el área de dicho rectángulo , hallar un modelo 
matemático expresando S como función de su base x . Construir la gráfica de esta función y 
hallar su valor máximo.
Solución Si S es el área del rectángulo e=> S = x y ( I )
Para expresar S en términos de una sola variable haremos uso de la geometría 
elem ental, esto e s :
AABC = A D B F « f g = | | « f = « y = 6 . | x (2)
Al sustituir (2) en (1) se obtiene el modelo matemático : S(x) = - y x? + 6x , x e (0 , 10)
La función S es cuadrática con a = -3 l5yb = 6 ,y c o m o a < 0 , S tiene un valor máximo en el 
punto x = -b¡2a , es d e c ir , en x = 5 . Por lo que
S(5) = - | (5)3 + 6(5) = 15
es el valor máximo de la función , cuya gráfica se muestra en la Figura 1.33 ■
Definición 1.9 : FUNCIÓN RAIZ CUADRADA
Es aquella función denotada por %T, con dominio el conjunto de los números reales positi­
vos y cuya regla de correspondencia es
para la cual f (x ) t=¡ \!* es el número cuyo cuadrado es <, es decir, los elementos del conjunto / 
son parejas de la forma " f = {(},2 . y ) l ^ > 0} < de modo que el D o m (/)= R an(f) = fO,
r ”
Nótese que al elevar al cuadrado ambos extremos de la ecuación 
y = 'íx toma la forma conocida y2 = x. Esta ecuación representa ' 
una parábola de eje horizontal ( y = 0) , con vértice en el origen y ‘ 
que se abre a la derecha. Por tan to , la gráfica de y = tJx , mostra- | 
da en la Figuro l .3 4 , es parte de la gráfica de la parábola y 2 = x 
c o n y > 0 F IG U R A 1.34
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32 Cafúiulo 1 : Funciones
OBSERVACIÓN 1.8 Para el caso general de una parábola de eje horizontal
x = a y 2 + by + c = a{ y - k)2 + h
al despejar >• = / ( * ) , obtenemos : ( y - k)2 = ^ (x - h) «=* >■ = k ± \ (x - h) 
Como a puede ser positivo o negativo, entonces haciendo = (± p ) - , se tiene
y = k + pV± (jc - h) ó y = k - pV± (x - h) , p > 0 
Se tienedos funciones cuyas gráficas son sem iparábolasconejey = k , y vértice en V ( h . k ) . La 
forma como están ubicados las gráficas de las semiparábolas respecto de su eje y = k , dependen
dependen de los signos ± dentro del radical. En consecuencia , se presentan dos casos :
En este caso la g rá fica de la sem ip aráb o ta e s tá ub icada en el semi pl ano super i or del 
eje y = k ( y > k)
En (a) la curva se abre hacia la derecha . El D om (/) = [h , + » ) y R an(/) = [k + -H»)
En (b) la curva se abre hacia la izquierda. El D om (/) = (-<*>, h] y R an(/) = [k,-H ») 
(Véase la Figura 1.35)
En este caso , la g rá fica de la sem ip aráb o la e s tá ub icada en el sem ip lano in fe rio r del 
e je y = k ( y < k ) .
En (a) la curva se abre hacia la derecha. El D om (/) = [h , +«>) y R an(/) = (-<» , k]
En (b) la curva se abre hacia la izquierda. El D om (/) = (-“ •, h] y R an(/) = (-<», k]
(Véase la Figura 1.36)
de los signos antes del rad ica l, y la forma como se abren éstas (hacia la derecha o izquierda)
0 h » X o h
l
F IG U R A 1.35
Caso 2 y = k - p V± (x - h) <=>
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Sección ¡.8 : Funciones especiales 33
EJEM PLO 10 j H allar el d o m i n i o , el rango y d ibujar la g ráfica de las funciones : 
f { ( x , y ) \ >■ = -! +V 4x+ 12} y g = { ( x , y ) l y = 3 - V 4 - x } .
Solución En / : y = - 1 + 2 V+ (x + 3) «=* h = -3 , k = - l , luego V(-3 ,-1 )
Tenemos el caso I (a ) , la gráfica de la función /es una semiparábola ubicada en el 
semiplano superior del eje k = - 1 , y la curva es abierta hacia la derecha. Por lo q u e , D om (/) = 
[-3 , +~> y Ran( / ) = [-1 , +°o). (Figura 1.37)
En g : y = 3 - V- ( x - 4 ) , de donde , h = 4 , k = 3 ^ V (4 ,3 )
Tenem os el caso 2(b) , la gráfica de la función g es una sem iparábola ubicada en el 
sem iplano inferior del e je k = 3 y la curva es abierta hacia la izquierda (F igura 1.38). 
Luego , Dom (g) = (-< » ,4 ] y Ran(g) = (-°° .3 ]
O B SE R V A C IÓ N 1.9 Si una función / tiene por regla de correspondencia una de las
formas:
a) f ( x ) = ± V ¡Ü ) b) /(* ) = k ± V g ü ) c) f ( x ) = k± pV g(* j
donde g es una función cuadrática, esto es
g(x) = a x 2 + b x + c = a(x - h)2 + 1 , a * 0 
entonces, según el signo y el valor que tengo el número real a , su gráfica puede ser una de las 
formas cuadráticas: semicircunferencia, semielipse o una semihipérbola. A hora, la forma como 
está ubicada la gráfica de / respecto del eje X ( y = 0) o respecto de la recta y = k depende del 
signo antes del radical. Si el signo es positivo, la G r(/) está ubicada en el semiplano superior
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34 Capítulo 1 : Funciones
del eje X para el caso (a ) , y de la recta y = k para los casos (b) y (c ) . Lo contrario sucede cuando 
el signo es negativo.
E J E M P L O ^ Ii 'J Hallar el dominio, el rango y dibujar la gráfica de la función siguientes: 
1 . f ( x ) - 3 - Vi5 -2 * " -x2' 2 . / ( x) = Vx“ - 4 j r - 5
3. /(x ) = 1 - | VI2 + 4X-JC2 4. / (x ) = - I + \ V27 + ÓX-X3
Solución I . f (x ) = 3 - Vl6 - (x + I)2
a) Dominio de la función : / e s real o 16 - (x + 1)2S 0 *=> (x - l )2 < 16
<=> - 5 í x < 3 >=> D om (/) = [ -5 , 3]
b) Si y = / ( x ) o y¡ 16 - (x + 1 )2 = 3 - y , de donde : (x + 1 )2 + ( y - 3) = 16
La forma cuadrática es una circunferencia con centro en C ( - l , 3) y radio r = 4
c) El signo negativo antes del radial nos indica que la G r( /) es una semicircunferencia 
ubicada en el semiplano inferior de la rec tay= 3. Véase la Figura 1.39).
d) De la G r(/) se deduce que : R an (/)= [ k - r , k ] r=> Ran ( / ) = [ -1,3]
2 . /(x ) = V( x- 2) 2- 9
a) Dominio de la función : / tiene sentido «=> (x - 2)2 - 9 ¿ 0 c ^ ( x - 2 ) 2> 9
« (x - 2 < - 3) v (x - 2 Sí 3) « (x > - l ) v (x > 5) «=> D om (/) = -1 ] U [5 , +“ }
b) Si y = V(x - 2)2 - 9 <=> (x - 2)2 - y2 = 9 . La form