ACTIVIDAD Probabilidad clásica Espacio finito equiprobable Teorema de Bayes

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Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Probabilidad Y Estadística
Nombre del docente: Daniela de León Zavala
ACTIVIDAD. Probabilidad clásica: Espacio finito equiprobable. Teorema de Bayes.
Sabinas, Coahuila							10/04/2021
ACTIVIDAD. Probabilidad clásica: Espacio finito equiprobable. Teorema de Bayes.
INSTRUCCIONES.
1.- Investiga el concepto y las características de Teorema de Bayes, además de su importancia en las Ingeniería Industrial y de Sistemas.
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.
Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.
El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.
Fórmula del teorema de Bayes
Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.
El teorema de Bayes tiene un abanico muy amplio de aplicaciones, tanto en situaciones simples o 
Actividades diarias, o en situaciones complejas y muy importantes que se pueden dar en el sector de la 
Ingeniería. En el caso de la Ingeniería Industrial el teorema de Bayes es de gran importancia ya que se 
Utiliza la probabilidad y la estadística para cualquier ámbito, ya sea un proyecto, experimento o incluso 
Con más impacto en sistemas de producción, seguridad industrial, administración de recursos o procesos 
De innovación y mejoramiento. En todos estos procesos se requiere el uso de probabilidades para la 
Estimación de errores, o para la comprobación del correcto funcionamiento de ciertos procesos
El teorema de Bayes tiene un abanico muy amplio de aplicaciones, tanto en situaciones simples o 
Actividades diarias, o en situaciones complejas y muy importantes que se pueden dar en el sector de la 
Ingeniería. En el caso de la Ingeniería Industrial el teorema de Bayes es de gran importancia ya que se 
Utiliza la probabilidad y la estadística para cualquier ámbito, ya sea un proyecto, experimento o incluso 
Con más impacto en sistemas de producción, seguridad industrial, administración de recursos o procesos 
De innovación y mejoramiento. En todos estos procesos se requiere el uso de probabilidades para la 
Estimación de errores, o para la comprobación del correcto funcionamiento de ciertos procesos
El teorema de Bayes tiene un abanico muy amplio de aplicaciones, tanto en situaciones simples o 
Actividades diarias, o en situaciones complejas y muy importantes que se pueden dar en el sector de la 
Ingeniería. En el caso de la Ingeniería Industrial el teorema de Bayes es de gran importancia ya que se 
Utiliza la probabilidad y la estadística para cualquier ámbito, ya sea un proyecto, experimento o incluso 
Con más impacto en sistemas de producción, seguridad industrial, administración de recursos o procesos 
De innovación y mejoramiento. En todos estos procesos se requiere el uso de probabilidades para la 
Estimación de errores, o para la comprobación del correcto funcionamiento de ciertos procesos
El teorema de Bayes tiene un abanico muy amplio de aplicaciones, tanto en situaciones simples o 
Actividades diarias, o en situaciones complejas y muy importantes que se pueden dar en el sector de la 
Ingeniería. En el caso de la Ingeniería Industrial el teorema de Bayes es de gran importancia ya que se 
Utiliza la probabilidad y la estadística para cualquier ámbito, ya sea un proyecto, experimento o incluso 
Con más impacto en sistemas de producción, seguridad industrial, administración de recursos o procesos 
De innovación y mejoramiento. En todos estos procesos se requiere el uso de probabilidades para la 
Estimación de errores, o para la comprobación del correcto funcionamiento de ciertos procesos
El teorema de Bayes tiene un abanico muy amplio de aplicaciones, tanto en situaciones simples o actividades Diarias, o en situaciones complejas y muy importantes que se pueden dar en el sector de la Ingeniería. En el caso de la Ingeniería Industrial el teorema de Bayes es de gran importancia ya que se utiliza la probabilidad y la estadística para cualquier ámbito, ya sea un proyecto, experimento o incluso con más impacto en sistemas de producción, seguridad industrial, administración de recursos o procesos de innovación y mejoramiento. En todos estos procesos se requiere el uso de probabilidades para la estimación de errores, o para la comprobación del correcto funcionamiento de ciertos procesos.
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
2.- Investiga el concepto y las características del espacio finito equiprobable además de tres ejemplos de aplicación.
Diremos que un espacio muestral es equiprobable si todos los elementos que lo conforman tienen igual oportunidad de ser elegidos y, en consecuencia, tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Sea d un espacio muestral que contiene n elementos, d = {a1, a2, a3,....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener n elementos d, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones:
1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi≥0 
2. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1.
pi = 1
En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.
Solo en el caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, entonces;
p(A) = r*1/n = r/n
p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Número de elementos del espacio muestral
r = maneras de que ocurra el evento A
1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral
n = número de elementos del espacio muestral
Ejemplos:
1. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que: a. Aparezcan puros sellos, b. Aparezcan dos águilas, c. Aparezcan por lo menos dos águilas.
Solución:
Para calcular las probabilidades de este problema, hay que definir el espacio muestral en cuestión; si representamos los tres lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de árbol, encontraremos que el espacio muestral oel conjunto de todos los resultados posibles es:
 d = {AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS}
a. A = evento de que aparezcan puros sellos = {SSS}
 p(A) = p(aparezcan puros sellos) = p(SSS) = 1/8 = 0.125
¿Por qué un octavo?, sí el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha observado, entonces la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral es de 1/8, por ser un espacio finito equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la misma probabilidad de ocurrencia.
b. B = evento de que aparezcan dos águilas = {AAS, SAA, ASA}
p(B) = p(aparezcan dos águilas) = p(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375
c. C = evento de que aparezcan por lo menos dos águilas = {AAS, SAA, ASA, AAA}
p(C) = p(AAS, SAA, ASA, AAA)=p(aparezcan dos águilas) + p(aparezcan tres águilas)
p(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5
2. En un lote de producción que consta de 20 computadoras personales de cierta marca, se ha detectado que 4 tienen defectos de tipo operacional. 1. Si se selecciona al azar una computadora, a. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional, b. ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos de tipo operacional? 2. Si se seleccionan al azar 4 computadoras de este lote, determine la probabilidad de que: a. Solo tres tengan defectos de tipo operacional, b. Por lo menos dos tengan defectos de tipo operacional, c. Como máximo una tenga defectos de tipo operacional.
Solución:
Para el punto 2.1, cuando se selecciona de un lote un solo elemento, entonces el espacio muestral está compuesto de entes unitarios, que son cada una de las computadoras,
                                       d = {20 computadoras}
a. A = evento de que una computadora tenga defectos de tipo operacional
                                      p(A) = 5/20 = 0.25
b. B = evento de que una computadora no tenga defectos de tipo operacional
                                      p(B) = 1 - p(A) = 1 – 0.25 = 0.75
3. Se seleccionan dos números al azar de entre los dígitos del 1 al 9, a. Determine la probabilidad de que ambos números seleccionados sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.
Solución:
Para obtener el espacio muestral de este problema podemos hacer uso de un diagrama de árbol en donde se represente la selección del primer número y luego la del segundo número, encontrándose que los pares de números a elegir serían 36, como se muestran a continuación.
        (1,2)  (2,3)  (3,4)  (4,5)  (5,6)  (6,7)  (7,8)  (8,9) 
        (1,3)  (2,4)  (3,5)  (4,6)  (5,7)  (6,8)  (7,9) 
d =   (1,4)  (2,5)  (3,6)  (4,7)  (5,8)  (6,9) 
        (1,5)  (2,6)  (3,7)  (4,8)  (5,9)
        (1,6)  (2,7)  (3,8)  (4,9)
        (1,7)  (2,8)  (3,9)
        (1,8)  (2,9) 
        (1,9)
a. Definiendo un evento A = evento de que los dos números seleccionados sean pares
Luego, A = {(2,4,  (2,6),  (2,8),  (4,6),  (4,8),  (6,8)}
p(A) = 6/36 = 1/6 = 0.1667
b. B = evento de que los dos números seleccionados sean impares
Luego, B = {(1,3), (1,5),  (1,7),  (1,9),  (3,5),  (3,7),  (3,9), (5,7), (5,9), (7,9)}
p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778