Probabilidad condicional ,ejemplo de la vida diaria-Mónica Ivonne Díaz López

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Probabilidad y estadística 
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Teoría y ejemplos 
 
 
Probabilidad condicional 
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo 
que también sucede otro evento B. La probabilidad 
condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad 
de A dado B».No tiene por qué haber una relación 
causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el 
tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir 
simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden 
no tener relación causal 
. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la 
probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que 
se le dé a los eventos.En la vida cotidiana hacemos uso de algunas expresiones de 
inseguridad o seguridad tales como: "quizá", "muy posible", "seguramente"....., las 
cuales pretenden medir la confianza que tenemos en que algo suceda. Así pues en 
Estadística expresamos ese grado de inseguridad o seguridad, no con palabras sino con 
números. Lo verdaderamente importante de la estadística es la posibilidad de anticipar 
lo que ocurrirá, a partir de los datos conseguidos. Pues así tenemos, que aquello que 
permite hacer estas adivinaciones es la PROBABILIDAD. 
El azar es inherente a nuestras vidas y aparece en múltiples situaciones cotidianas o de 
la vida profesional. Pero las intuiciones en probabilidad con frecuencia nos engañan y 
una enseñanza formal es insuficiente para superar los sesgos de razonamiento que 
pueden llevar a decisiones incorrectas. En este trabajo defendemos la necesidad 
reforzar la formación del razonamiento probabilístico en la educación primaria y 
secundaria y proporcionar con ello a los alumnos un instrumento que oriente la acción 
ante la incertidumbre 
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADstico
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Ejemplos: 
1 ( Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 
10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que: 
a. La primera semilla sea roja? 
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja? 
Solución: 
a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es 
10
15
, puesto que hay 10 
semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad 
tenemos: P(R1) =
10
15
 
b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que 
salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la 
primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad 
condicional y se denota por P(B2|R1|) 
, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1. 
Esta probabilidad , P(B2|R1| ) =
5
14
 , 
puesto que todavía hay 5 semillas blancas 
en un total de 14 restantes. 
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Veamos la situación en un diagrama de árbol: 
 
 
2) Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 
águilas dado que salió por lo menos un águila? 
Solución: El espacio muestra del experimento de 
lanzar una moneda 3 veces es 
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} 
El evento A de que por lo menos hay un águila en 
los tres lanzamientos es: 
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa} 
El evento B de que obtenga 3 águilas 
es B = {aaa} 
Por lo tanto, AÇ B = {aaa} y P(A ∩
B) =
1
8
yP(A) =
7
8
 
 
De donde P(B|A|) =
P(A∩B)
P(A)
=
1
8
7
8
=
1
7
 
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Nótese que P(B|A|) =
1
7
 es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son 
posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como 
calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo 
espacio muestra S ∗ = A. 
3) Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 
contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera 
al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca. 
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 
2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma 
probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, 
entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y 
P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12. 
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos: 
P(B)0P(A)P(B|A|) + P(AC)P(B|AC|) =
13
27
+
18
212
=
23
42
 
 
4) En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 
35 son administrativos. Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no. 
Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada: 
 
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Calcular: 
 
La probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un 
encargado, sabiendo que no tiene ordenador. 
Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la 
condición. 
Suceso A: la persona sea un encargado (suceso pedido) 
Suceso B: no tiene ordenador (suceso que condiciona) 
 
P(A ∩ B) =
8
75
P(B) =
28
75
} P(A|B|) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
8
75
28
75
= 0.286 
 Ejercicios resueltos: 
1) Supongamos que estamos estudiando el rendimiento de los alumnos de la materia 
Probabilidad y Estadística en un determinado examen. 
De un relevamiento surge que: 
• el 80% de los alumnos estudió para el exámen 
• el 75% de los alumnos aprobó el examen 
• el 15% de los alumnos no estudió para el examen y 
no lo aprobó. 
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Si definimos el experimento de tomar un alumno al 
azar, y llamamos A al suceso "el alumno tomado 
aprobó el examen" y B al suceso "el alumno tomado 
estudió para el examen", entonces tenemos que: 
𝑃(𝐴) = 0.75 
𝑃(𝐵) = 0.8 
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 0.15 
Con estos datos y considerando que P(E) = 1, ya podemos hacer el diagrama de Venn 
correspondiente y conocer las probabilidades de todas las regiones. 
Por ejemplo, si quisiéramos evaluar el nivel de los profesores y las clases, nos puede 
interesar responder la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que haya 
estudiado haya aprobado el examen? 
Intuitivamente podemos darnos cuenta de que, al menos bajo ciertas circunstancias, el 
procedimiento para encontrar la respuesta podría ser fijarnos, de entre los alumnos que 
estudiaron, cuántos aprobaron. 
Los alumnos que estudiaron fueron el 80%. 
Ese 80% está formado un 70% que aprobaron y un 10% que no aprobaron. 
Entonces podemos 
decir que de cada 80 
alumnos que 
estudiaron, 70 
aprobaron. 
Visto de otra forma, 
si estamos parados en 
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B, la probabilidad de estar al mismo tiempo 
 
 
 
también parados en A es 70/80 = 0.875. 
La cuenta que hicimos intuitivamente fue calcular la proporción entre la cantidad de 
alumnos que [estudió y aprobó], sobre el total de alumnos que estudiaron. 
 
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En este ejemplo quedan definidas las siguientes probabilidades: 
𝑃(𝐴) probabilidad de que un alumno cualquiera apruebe 
𝑃(𝐵) probabilidad de que un alumno cualquiera estudie 
𝑃(𝐴/𝐵) probabilidad de que un alumno que estudió apruebe 
𝑃(𝐵/𝐴) probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado 
Y también: 
𝑃(𝐴/ 𝐵 ) probabilidad de que un alumno que no estudió apruebe 
𝑃(𝐵/ 𝐴 ) probabilidad de que un alumno que no aprobó haya estudiado 
𝑃( 𝐴 /𝐵) probabilidad de que un alumno que estudió no apruebe 
𝑃( 𝐵 /𝐴) probabilidad de que un alumno que aprobó no haya estudiado 
La probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado es la probabilidad de 
que ocurra B(estudió) sabiendoque ocurrió A(aprobó), es decir: 
𝑃 (
𝐵
𝐴
) =
𝑃(𝐵∩𝐴)
𝑃(𝐴)
=
0.7
0.75
 = 0 .933 
 
 
 
 
 
 
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Notemos que no es lo mismo la probabilidad de que un alumno que estudió apruebe (P 
(A/B)) que la probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado (P(B/A)). 
La probabilidad de que un alumno apruebe sin estudiar es la probabilidad de que 
apruebe 
dado que no estudió, es decir, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que no ocurrió 
B, 
o sea: 
𝑃 (
𝐵
𝐴
) =
𝑃(𝐵∩𝐴)
𝑃(𝐴)
=
0.05
0.2
= 0.25 
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2) Consideremos una población de 20 estudiantes entre los cuales hay 14 que estudian 
Medicina y 6 que 
estudian Ingeniería. De esta población se escogen sin reposición dos estudiantes al 
azar y se consideran 
los eventos: 
𝐸1: \El primer estudiante seleccionado estudia Medicina". 
𝐸2: \El segundo estudiante seleccionado estudia Medicina". 
El espacio muestral que consideramos consiste de la colección de todos los pares 
ordenados 
(ai; aj ); (ai; bk); (bk; ai); (bk; bh) 
donde los ai son estudiantes de Medicina y los bj son de IngenierIa, i =6 j; k =6 h; i; j · 
14; h; k · 6. El numero de eventos elementales es 20 £ 19. 
La siguiente tabla de doble entrada indica el numero de puntos muestrales 
correspondientes a la partición de según los eventos E1; E2 y sus complementos. En la 
ultima la aparecen los totales correspondientes a cada columna y en la ultima columna 
los correspondientes a cada fila. 
podemos calcular fácilmente las probabilidades de eventos tales como 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) =
14∗12
20∗19
 
 
 
𝑃(𝐸1 ∩) =
14 ∗ 12
20 ∗ 19
 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) =
6 ∗ 12
20 ∗ 19
 
 
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Si suponemos que el primer estudiante estudia Medicina, >cual es la probabilidad de 
que el segundo también? 
En este caso vemos, a partir de la tabla, que hay 14 £ 19 resultados posibles, de los 
cuales 14 £ 13 son 
favorables al evento E2 y por lo tanto la probabilidad que deseamos calcular es 
 
 
14 ∗ 13
14 ∗ 19
=
14 ∗ 13(20 ∗ 19)
14 ∗ 19(20 ∗ 19)
=
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)
𝑃(𝐸1)
 
 
. Al saber que ocurrió 𝐸1 disponemos de 
cierta información adicional que modifica 
nuestro espacio muestral : la nueva 
población, 
para la segunda extracción, no coincide con 
la original, ya que sólo quedan 13 
estudiantes de Medicina 
de un total de 19 estudiantes posibles. 
Notemos además que si las extracciones se 
realizan con reposición esto no ocurre, ya 
que el resultado 
de la primera extracción no nos da ninguna 
información sobre la segunda. En este caso 
se tiene: 
𝑃(|𝐸2𝐸1|) = 𝑃(𝐸2) =
7
10
 
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3)1)Elegir al azar un artículo de un lote con sustitución. 
2) Elegir al zara un artículo de un lote sin sustitución. 
 
Pensemos en un lote de artículos con 80 artículos buenos y 20 defectuosos. 
 
Supongamos que elegimos 2 artículos, uno tras otro con y sin sustitución: 
 
Definamos los siguientes eventos: 
 
A = { el primer artículo es defectuoso} 
B = { el segundo artículo es defectuoso} 
 
Si escogemos con sustitución: P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5 
 
Pero si escogemos sin sustitución, P(A) sigue siendo igual a 1/5, pero P(B) se debe 
calcular sabiendo lo que ha pasado la primera vez que se escogió .... 
 
Probabilidad Condicional del evento B, dado que A ha ocurrido. 
 
P(B/A), en nuestro ejemplo es = 19/99, porque si A ha ocurrido, entonces al sacar o 
por segunda vez quedan sólo 99 artículos, de los cuales sólo 19 son defectusos, puesto 
que hemos sacado uno de ellos ... 
 
Cada vez que calculamos P(B/A) esencialmente estamos calculando P(B) respecto al 
espacio muestral reducido A, en vez del espacio muestral original. 
 
Deducción Intuitiva de la fórmula de P(B/A): 
 
Pensemos en el experimento de lanzar dos dados NO truncados y que anotamos los 
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resultados (x1,x2) ,,,, en las abcisas los resultados del primer dado y en las ordenadas 
los resultados del segundo dado. 
 
El espacio muestral, de 36 resultados igualmente probables es: 
 
S={ (1,1), (1,2), ....., (1,6), (2,1), (2,2) ..... (2,6), (3,1), (3,2) .... (6,6)} 
 
Consideremos los siguientes eventos: 
 
𝑨 = {(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) / 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎} 
..... Todas las parejas que suma 10. 
𝑩 = {(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) / 𝒙𝟏 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒙𝟐} 
..... Todas las parejas en donde la abcisa es mayor que la ordenada. 
 
A={ (5,5), (4,6), (6,4) } 
: 3 casos 
B= { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), 
(6,4), (6,5)} 
: 15 casos 
 
P(A) = 3/36 
P(B) = 15/36 
 
P(B/A) = 1/3 ya que el espacio muestral es ahora A (con tres resultados) y sólo uno de 
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ellos es tal que la abscisa es mayor que la ordenada: par (6,4). 
 
De forma similar: 
P(A/B) = 1/15 (referido al par: (6,4)) 
 
Finalmente calculemos P(A intersectado con B): Este evento ocurre si y sólo si la 
suma de los dos dados es 10 y el pri,mer dado arroja un número mayor que en el 
segundo. P(A intersectado con B) = 1/36 
 
4) Imaginemos que en la experiencia de tirar un dado regular supiéramos de antemano 
que se ha obtenido un número par. Es decir, que se ha verificado el suceso: B = 
número par. 
Pregunta: ¿Cuál es ahora la probabilidad de que se verifique el suceso mayor o igual a 
cuatro? 
Lógicamente, el resultado sería: 2/3 . 
Por lo tanto, la 
probabilidad del 
suceso A = mayor o 
igual a cuatro se ha 
modificado. 
Evidentemente, ha 
pasado de ser 1/2 
(cuando no tenemos 
ninguna información 
previa) a 
 
 
 
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ser 2/3 (cuando sabemos que se ha verificado el suceso B). 
¿Cómo podemos anotar esta última probabilidad (2/3)? 
Muy sencillo. Anotaremos P(A/B), que se lee como probabilidad de A condicionada a 
B. 
Así, en este ejemplo: 
P(A/B) = 2/3 
P(A) = 1/2 
En términos generales, estamos en condiciones de poder definir la probabilidad 
condicionada, y lo hacemos como: 
𝑃 (
𝐴
𝐵
) = 𝑃(𝐴𝐵)/𝑃(𝐵) 
 
5) Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad de que sean todas caras si: 
A) la primera de las monedas es cara 
B) una de las monedas es cara 
 
A) 1/4 
B) 1/7 
 
b)se escogen al azar dos dígitos, desde 1 hasta 9. si la suma es par, hallar la 
probabilidad de que ambos números sean impares. 
 
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𝑃 =
10
16
= 5/8 
 
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