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1 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Resuelve cada uno de los problemas planteados utilizando el material de apoyo y tablas, recuerda realizar la gráfica con apoyo de GeoGebra. Se realizó un estudio en la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA), de llegada de los alumnos. Se toma una muestra de 20 alumnos de la carrera de Ing. en Informática de la secuencia 1NM21; si se sabe que cuentan con una tolerancia de 10 min. y se toma en cuenta que la probabilidad de éxito por alumno es de 20%, encontrar la probabilidad de: “X”: la variable está referida al # de alumnos que llegan temprano. n= 20 p= 0.20 q= 0.80 a) 6 lleguen 10 min. Temprano: 𝑛 B (x, n, p) = (𝑥) (p)x (q ) n-x Solució n: 20 6 20-6 P(x=6) = B (6, 20, 0.20) = ( 6) (0.20) P (x=6) = 0.109099701 ≈ 0.1091 (0.8 0) = (38760) (0.000064) (0.04398046511) Tablas: p(x=6) = F (6) – F (5) = 0.9133 – 0.8042 = 0.1091 𝑥=2 𝑥=2 2 Gráfica: b) Entre 2 y 5 inclusive lleguen tarde:𝑛 B(x, n, p) � � = ∑ ( � � ) (𝑝)𝑥 (𝑞) 𝑛−𝑥 𝑥=0 n=20 p= 0.80 q= 0.20 Por lo tanto “X”: la variable está referida al # de alumnos llegan tarde. p (2 ≤ x ≤ 5) ∑5 𝐵(𝑥, 20, 0.80) = ∑5 20 𝑥 20−𝑥 -11 3 ( ) (0.80) (0.20) 1.4260x10 ≈ 0𝑥 Tablas p (2 ≤ x ≤ 5) = F (5) – F (1) = 0 – 0 = 0 4 Gráfica: c) Más de 6 lleguen 10 min. tarde:𝑝(𝑥 > 6) = 𝑝(𝑥 ≥ 7) = 1 − 𝑝 (𝑥 ≤ 6) 6 6 = 1 − ∑ 𝐵(𝑥, 20,0.80) = 1 − [∑ (20) (0.80)𝑥 (0.20)20−𝑥] = 1 − 0.000001845𝑥𝑥=0 𝑥=0 = 0.999998155 ≈ 𝟏 Tablas: 𝑝(𝑥 > 6) = 𝑝(𝑥 ≥ 7) = 1 − 𝑝 (𝑥 ≤ 6) = 1 − 𝐹(6) = 1 − 0 = 𝟏 5 Gráfica: d) La media y varianza, para los que llegan temprano: 𝜇 = 𝑛𝑝 = (20)(0.20) = 𝟒 1 6𝑉(𝑥) = 𝑛𝑝𝑞 = (20)(0.20) (0.80) = 5 = 𝟑. 𝟐 Se piensa que uno de cada 10 automóviles en circulación tiene el velocímetro calibrado erróneamente, de tal suerte que indica una velocidad de 5 km/hr menor a la real. En un día 15 conductores son detenidos e infraccionados por exceder los límites de velocidad al menos en 5 km/ hr. 6 “X”: la variable está referida al # de automóviles en circulación que tienen el velocímetro mal calibrado. 7 ¿Cuál es la probabilidad de que? a) ¿Al menos 5 de los automóviles detenidos tienen el velocímetro mal calibrado? n= 15; p= 1 10 = 0.10; q= 9 10 = 0.90 p(x≥5) = 1 – p (x ≤ 4) = 1 - ∑4 𝐵(𝑥, 15,0.1) = 1 − [∑4 15) (0.10)𝑥(0.90)15−𝑥] = 1 − 0.9873 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟕 𝑥=0 𝑥=0 ( 𝑥 Tablas: p(x≥5) = 1 – p (x ≤ 4) = 1 – F (4) = 1 – 0.9873 = 0.0127 Gráfica: b) Ningún automóvil detenido tenga el velocímetro ajustado: 8 n= 15 p= 0.10 q= 0.90 9 x= 0 𝑛 x n-x B (x, n, p) = (𝑥) (p) (q) Solució n: 15 0 15-0 p(x=0) = B (15, 15, 0.10) = ( 0) (0.10) (0.9 0) = (1) (1) (0.2059) = 0.2059 Tablas: p(x=0) = F (0) = 0.2059 Gráfica: En una planta armadora de automóviles el 85% de los autos que llegan, están listos para ser armados. Calcular la probabilidad de que de 20 automóviles que llegaron: “X”: la variable está referida al # de automóviles que llegan para ser armados. 10 a) A lo más 16 están listos para ser armados:𝑛 n=20; p=0.85; q=0.15 � � ( 𝑥, 𝑛,𝑝) 𝑛 = ∑(𝑥) (𝑝𝑥=0 )𝑥 (𝑞) 𝑛−𝑥 11 16 16𝑝(𝑥 ≤ 16) = ∑ 𝐵(𝑥, 20,0.85) = ∑( 20)(0.85)𝑥(0.15)20−𝑥 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟐𝟑 𝑥𝑥=0 𝑥=0 Tablas : Gráfic a: 𝑝(𝑥 ≤ 16) = 𝐹(16) = 𝟎. 𝟑𝟓𝟐𝟑 b) Al menos 18 están listos para ser armados: 17𝑝(𝑥 ≥ 18) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 17) = 1 ∑ 𝐵(𝑥, 20,0.85) 𝑥=0 17 = 1 [∑(20)(0.85)𝑥(0.15)20−𝑥] = 1 − 0.5951 = 𝟎.𝟒𝟎𝟒𝟗𝑥 Tabla s: 𝑥=0 𝑝(𝑥 ≥ 18) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 17) = 1 − 𝐹(17) = 1 − 0.5951 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟒𝟗 12 Gráfica: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: “X”: la variable está referida al # de aficionados que han leído la novela. ¿Cuál es la probabilidad de que? Solución: 𝑛 ( ) 𝑛𝑥 𝑛−𝑥 B x, n, p = ∑ ( � �𝑥=0 ) (𝑝) (𝑞) Datos: n = 4; q = 0.20; p = 0.80 13 a) A lo más dos, han leído la novela: 𝑥 = 0,1,2 2 2𝑝(𝑥 ≤ 2) = ∑ 𝐵(𝑥, 4,0.80) = ∑ (4) (0.80)𝑥(0.20)4−𝑥 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟎𝟖𝑥 Tabla s: � �= 0 𝑥=0 𝑝(𝑥 ≤ 2) = 𝐹(2) = 𝟎. 𝟏𝟖𝟎𝟖 Gráfica: b) Exactamente dos, han leído la novela: 𝑝(𝑥 = 2) = 𝐵(2,4,0.8) = (4) (0.80)2(0.20)2 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟔 2 Tablas: 𝑝(𝑥 = 2) = 𝐹(2) – 𝐹(1) = 0.9728 – 0.8192 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟔 14 Grafica: Se sabe que, en una población, el 40% de las personas mayores de edad son fumadores. Si se seleccionan 20 personas al azar de esa población, calcular la probabilidad de que en ellos existan: “X”: la variable está referida al # de fumadores mayores de edad. FORMUL A: 𝑛( )𝑛 𝑥 𝑛−𝑥 DATOS: n =20; p=0.40; q=0.60 𝐵 𝑥, 𝑛, 𝑝 = ∑ (𝑥) (𝑝) 𝑥=0 (𝑞) a) Más de 7 fumadores: 𝑝(𝑥 > 7) = 𝑝(𝑥 ≥ 8) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 7) = 7 7 1 − ∑ 𝐵(𝑥, 20, 0.40) = 1 − [∑ (20) (0.40)𝑥 (0.60)20−𝑥] = 1 − 0.4159 = 𝟎. 𝟓𝟖𝟒𝟏 𝑥𝑥=0 𝑥=0 15 Tablas 𝑝(𝑥 > 7) = 𝑝(𝑥 ≥ 8) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 7) = 1 − 𝐹(7) = 1 − 0.4159 = 𝟎.𝟓𝟖𝟒𝟏 Gráfica b) Al menos 2 fumadores: 1 1 20𝑝(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 1) = 1 − ∑ 𝐵(𝑥, 20, 0.40) = 1 − [∑( )(0.40)𝑥(0.6 0) 20−𝑥] 𝑥=0 = 1 − 0.00005 = 𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟓 𝑥𝑥=0 Tabla s 𝑝(𝑥 ≥ 2) = 1 − (𝑝 ≤ 1) = 1 − 𝐹(1) = 1 − 0.0005 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟓 ) 16 Graficas Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es de 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: “X”: la variable está referida al # de personas que viven 30 años o más.a) Cinco personas:b) Al menos tres personas:c) Exactamente dos personas: Solució n: 𝑛 ( ) 𝑛𝑥 𝑛−𝑥 Datos: n = 5 p= 2 3 q= (1 − 2 = 1 3 3 B x, n, p = ∑ ( 𝑥 � � = 0 ) (𝑝) 17 (𝑞) 5 3 318 a) Cinco personas 𝑛 ( ) 𝑛𝑥 𝑛−𝑥 n = 5, p= 2 3 , q = 1 3 B x, n, p = ∑ ( � �𝑥=0 ) (𝑝) (𝑞) 5 2 5 1 5−5p (x = 5) = ( ) ( ) ( ) 3 3 Tablas : P (x = 5) = 0.1317 𝑝(𝑥 = 5) = 𝐹(5) = 𝟎.𝟏𝟑𝟏𝟕 Gráfica: b) Al menos 3 personas x=0,1,2,3 𝑛 ( ) 𝑛𝑥 𝑛−𝑥 n = 5, p= 2 , q = 1 B x, n, p = ∑ ( � �𝑥=0 ) (𝑝) (𝑞) 3 3 p(x ≤ 3) = ∑3 2 ∑3 5 2 𝑥 3 19 1 5−𝑥 = 0.539 𝑥=0 𝐵 (𝑥, 5, ) = 𝑥=0(𝑥)( ) ( ) Tablas: 𝑝(𝑥 ≤ 3) = 𝐹(3) = 𝟎. 𝟓𝟑𝟗 20 Gráfica: c) Exactamente dos personas ( 𝑛 ) 𝑛𝑥 𝑛−𝑥 B x, n, p = ∑ ( � �𝑥=0 ) (𝑝) (𝑞) 2( ) ( 5 2 2 1 5−2𝑃 𝑥 = 2 = B 2,5, ) = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3𝑃 (𝑥 = 2 ) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟒𝟔 Gráfica PROBABILIDAD Y ESTADISTICA EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Solución: Datos: Tablas: Gráfica: Tablas: Grafica: Gráfica:
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