EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Resuelve cada uno de los problemas planteados utilizando el material de
apoyo y tablas, recuerda realizar la gráfica con apoyo de GeoGebra.
Se realizó un estudio en la Unidad Profesional Interdisciplinaria de
Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA), de llegada de
los alumnos. Se toma una muestra de 20 alumnos de la carrera de Ing.
en Informática de la secuencia 1NM21; si se sabe que cuentan con una
tolerancia de 10 min. y se toma en cuenta que la probabilidad de éxito
por alumno es de 20%, encontrar la probabilidad de:
“X”: la variable está referida al # de alumnos que llegan temprano.
n= 20
p= 
0.20
q= 
0.80
a) 6 lleguen 10 min. Temprano:
𝑛
B (x, n, p) = (𝑥)
(p)x
(q
)
n-x
Solució
n: 20
6
20-6
P(x=6) = B (6, 20, 0.20) = ( 
6) (0.20)
P (x=6) = 0.109099701 ≈ 
0.1091
(0.8
0)
= (38760) (0.000064) 
(0.04398046511)
Tablas:
p(x=6) = F (6) – F (5) = 0.9133 – 0.8042 = 0.1091
𝑥=2
𝑥=2
2
Gráfica:
b) Entre 2 y 5 inclusive lleguen tarde:𝑛
B(x, n, p) �
�
= ∑ 
(
�
�
) 
(𝑝)𝑥 (𝑞)
𝑛−𝑥
𝑥=0
n=20 
p= 
0.80
q= 
0.20
Por lo tanto “X”: la variable está referida al # de alumnos llegan tarde.
p (2 ≤ x ≤ 5) 
∑5
𝐵(𝑥, 20, 0.80) = ∑5
20 𝑥 20−𝑥 -11
3
( ) (0.80) (0.20) 1.4260x10 ≈ 0𝑥
Tablas
p (2 ≤ x ≤ 5) = F (5) – F (1) = 0 – 0 = 0
4
Gráfica:
c) Más de 6 lleguen 10 min. tarde:𝑝(𝑥 > 6) = 𝑝(𝑥 ≥ 7) = 1 − 𝑝 (𝑥 ≤ 6)
6 6
= 1 − ∑ 𝐵(𝑥, 20,0.80) = 1 − [∑ (20) (0.80)𝑥 (0.20)20−𝑥] = 1 −
0.000001845𝑥𝑥=0 𝑥=0
= 0.999998155 ≈ 𝟏
Tablas: 𝑝(𝑥 > 6) = 𝑝(𝑥 ≥ 7) = 1 − 𝑝 (𝑥 ≤ 6) = 1 − 𝐹(6) = 1 − 0 = 𝟏
5
Gráfica:
d) La media y varianza, para los que llegan 
temprano: 𝜇 = 𝑛𝑝 = (20)(0.20) = 𝟒
1
6𝑉(𝑥) = 𝑛𝑝𝑞 = (20)(0.20)
(0.80) =
5
= 𝟑. 𝟐
Se piensa que uno de cada 10 automóviles en circulación tiene el
velocímetro calibrado erróneamente, de tal suerte que indica una
velocidad de 5 km/hr menor a la real. En un día 15 conductores son
detenidos e infraccionados por exceder los límites de velocidad al menos
en 5 km/ hr.
6
“X”: la variable está referida al # de automóviles en circulación que tienen el
velocímetro mal calibrado.
7
¿Cuál es la probabilidad de que?
a) ¿Al menos 5 de los automóviles detenidos tienen el velocímetro mal 
calibrado?
n= 15; p=
1
10
= 0.10; 
q= 
9
10
= 0.90
p(x≥5) = 1 – p (x ≤ 4) = 1 - ∑4 𝐵(𝑥, 15,0.1) = 1 − [∑4
15) (0.10)𝑥(0.90)15−𝑥] = 1 
−
0.9873 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟕
𝑥=0 𝑥=0 ( 𝑥
Tablas:
p(x≥5) = 1 – p (x ≤ 4) = 1 – F (4) = 1 – 0.9873 = 0.0127
Gráfica:
b) Ningún automóvil detenido tenga el velocímetro ajustado:
8
n= 15
p= 0.10
q= 0.90
9
x= 
0 𝑛
x
n-x
B (x, n, p) = 
(𝑥) (p)
(q)
Solució
n: 15
0
15-0
p(x=0) = B (15, 15, 0.10) = ( 
0) (0.10)
(0.9
0)
= (1) (1) (0.2059) = 0.2059
Tablas:
p(x=0) = F (0) = 0.2059
Gráfica:
En una planta armadora de automóviles el 85% de los autos que llegan, 
están listos para ser armados. Calcular la probabilidad de que de 20 
automóviles que llegaron:
“X”: la variable está referida al # de automóviles que llegan para ser 
armados.
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a) A lo más 16 están listos para ser armados:𝑛
n=20; p=0.85; 
q=0.15
�
�
(
𝑥, 𝑛,𝑝)
𝑛
= ∑(𝑥)
(𝑝𝑥=0
)𝑥 (𝑞)
𝑛−𝑥
11
16 16𝑝(𝑥 ≤ 16) = ∑ 𝐵(𝑥, 20,0.85) = ∑( 20)(0.85)𝑥(0.15)20−𝑥 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟐𝟑 𝑥𝑥=0 𝑥=0
Tablas
: 
Gráfic
a:
𝑝(𝑥 ≤ 16) = 𝐹(16) = 𝟎. 𝟑𝟓𝟐𝟑
b) Al menos 18 están listos para ser armados:
17𝑝(𝑥 ≥ 18) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 17) = 1 ∑ 𝐵(𝑥,
20,0.85) 𝑥=0
17
= 1 [∑(20)(0.85)𝑥(0.15)20−𝑥] = 1 − 0.5951 = 𝟎.𝟒𝟎𝟒𝟗𝑥
Tabla
s:
𝑥=0
𝑝(𝑥 ≥ 18) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 17) = 1 − 𝐹(17) = 1 − 0.5951 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟒𝟗
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Gráfica:
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de 
que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son 
aficionados a la lectura:
“X”: la variable está referida al # de aficionados que han leído la novela.
¿Cuál es la probabilidad de que?
Solución: 𝑛
( )
𝑛𝑥 𝑛−𝑥
B x, n, p = ∑ 
(
�
�𝑥=0
) 
(𝑝)
(𝑞)
Datos:
n = 4; q = 0.20; p = 0.80
13
a) A lo más dos, han leído la novela:
𝑥 = 0,1,2
2 2𝑝(𝑥 ≤ 2) = ∑ 𝐵(𝑥, 4,0.80) = ∑ (4) (0.80)𝑥(0.20)4−𝑥 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟎𝟖𝑥
Tabla
s:
�
�=
0
𝑥=0
𝑝(𝑥 ≤ 2) = 𝐹(2) = 𝟎. 𝟏𝟖𝟎𝟖
Gráfica:
b) Exactamente dos, han leído la novela:
𝑝(𝑥 = 2) = 𝐵(2,4,0.8) = (4) (0.80)2(0.20)2 
= 𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟔 2
Tablas: 𝑝(𝑥 = 2) = 𝐹(2) – 𝐹(1) = 0.9728 – 0.8192 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟔
14
Grafica:
 Se sabe que, en una población, el 40% de las personas mayores de
edad son fumadores. Si se seleccionan 20 personas al azar de esa
población, calcular la probabilidad de que en ellos existan:
“X”: la variable está referida al # de fumadores mayores de edad.
FORMUL
A: 𝑛( )𝑛 𝑥 𝑛−𝑥
DATOS:
n =20; p=0.40; 
q=0.60
𝐵 𝑥, 𝑛, 𝑝 = ∑ 
(𝑥) (𝑝) 𝑥=0
(𝑞)
a) Más de 7 fumadores:
𝑝(𝑥 > 7) = 𝑝(𝑥 ≥ 8) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 7) =
7 7
1 − ∑ 𝐵(𝑥, 20, 0.40) = 1 − [∑ (20) (0.40)𝑥 (0.60)20−𝑥] = 1 − 0.4159 
= 𝟎. 𝟓𝟖𝟒𝟏 𝑥𝑥=0 𝑥=0
15
Tablas
𝑝(𝑥 > 7) = 𝑝(𝑥 ≥ 8) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 7) = 1 − 𝐹(7) = 1 − 0.4159 = 𝟎.𝟓𝟖𝟒𝟏
Gráfica
b) Al menos 2 fumadores:
1 1
20𝑝(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 1) = 1 − ∑ 𝐵(𝑥, 20, 0.40) = 1 − [∑( )(0.40)𝑥(0.6
0)
20−𝑥]
𝑥=0
= 1 − 0.00005 = 𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟓
𝑥𝑥=0
Tabla
s 𝑝(𝑥 ≥ 2) = 1 − (𝑝 ≤ 1) = 1 − 𝐹(1) = 1 − 0.0005 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟓
)
16
Graficas
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad
y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la
probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o
más es de 2/3.
Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
“X”: la variable está referida al # de personas que viven 30 años o más.a) Cinco personas:b) Al menos tres personas:c) Exactamente dos personas:
Solució
n: 𝑛
( )
𝑛𝑥 𝑛−𝑥
Datos:
n = 5
p= 
2
3
q= (1 
− 
2 
= 
1
3 3
B
x,
n,
p
= 
∑
( 𝑥
�
�
=
0
) (𝑝)
17
(𝑞)
5
3 318
a) Cinco 
personas 𝑛
( )
𝑛𝑥 𝑛−𝑥
n = 5, 
p= 
2
3
, q = 
1
3
B x, 
n, p
= ∑ 
(
�
�𝑥=0
) 
(𝑝)
(𝑞)
5 2 5 1 5−5p (x = 5) = ( ) ( ) ( )
3 3
Tablas
:
P (x = 5) = 0.1317
𝑝(𝑥 = 5) = 𝐹(5) = 𝟎.𝟏𝟑𝟏𝟕
Gráfica:
b) Al menos 3 
personas
x=0,1,2,3 𝑛
( )
𝑛𝑥 𝑛−𝑥
n = 5, p= 2 , q 
= 
1
B x, 
n, p
= ∑ 
(
�
�𝑥=0
) 
(𝑝)
(𝑞)
3 3
p(x ≤ 3) = ∑3 2
∑3
5 2 𝑥
3
19
1 5−𝑥 = 0.539
𝑥=0 𝐵 (𝑥, 5, ) = 𝑥=0(𝑥)( ) ( )
Tablas: 𝑝(𝑥 ≤ 3) = 𝐹(3) = 𝟎. 𝟓𝟑𝟗
20
Gráfica:
c) Exactamente dos 
personas
(
𝑛
)
𝑛𝑥 𝑛−𝑥
B x, n, p = ∑ 
(
�
�𝑥=0
) 
(𝑝)
(𝑞)
2( ) ( 5 2 
2
1 5−2𝑃 𝑥 = 2 = B 2,5, ) = ( ) ( ) ( )
3 2 3 3𝑃 (𝑥 = 2 ) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟒𝟔
Gráfica
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	Datos:
	Tablas:
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