Determinantes_e_Inversas - Diego Chavez (1)

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Determinantes e Inversas
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Junio 13, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 21
Outline
1 Adjunta de una Matriz
2 Regla de Cramer
3 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 2 / 21
Outline
1 Adjunta de una Matriz
2 Regla de Cramer
3 Ejercicios
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La adjunta
Definición
Sea A una matriz de n× n y sea B la matriz de sus cofactores. Entonces, la adjunta de A, escrito adjA,
es la transpuesta de la matriz B de n × n; es decir,
Sea B =

A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
...
...
...
An1 An2 · · · Ann
 ⇒ adjA = B⊤ =

A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
...
...
...
A1n A2n · · · Ann

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Cálculo de la adjunta de una matriz de 3× 3
Sea A =
 2 4 30 1 −1
3 5 7
 . Calcule adj A
Sea A =
(
a11 a12
a21 a22
)
. Calcule adj A
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La adjunta
Definición
Sea A una matriz de n × n. Entonces
(A)(adjA) =

detA 0 0 . . . 0
0 detA 0 . . . 0
0 0 detA . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . detA
 = (detA)I
Es decir, dada una matriz A cuadrada su matriz de adjuntos es la única matriz B tal que:
ABT = BTA = (detA)I
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La adjunta
Teorema
Si A es invertible, entonces det A ̸= 0 y
detA−1 =
1
detA
Teorema
Sea A una matriz de n × n. Entonces A es invertible si y sólo si det A ̸= 0. Si det A ̸= 0,entonces
A−1 =
1
detA
adjA
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Ejemplo
Sea A =
 2 4 30 1 −1
3 5 7
. Determine si A es invertible y, de ser aśı, calcule A−1.
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Teorema Resumen
Teorema
Sea A una matriz de n × n. Las siguientes siete afirmaciones son equivalentes. Es decir, cada una
implica a las otras seis (de manera que si una es cierta, todas lo son).
1 A es invertible.
2 La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial (x = 0).
3 El sistema Ax = b tiene una solución única para cada vector de dimensión nb.
4 A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n × n, In.
5 A es el producto de matrices elementales.
6 La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
7 detA ̸= 0.
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Autoevaluación
1 El determinante de

1 2 −1 4
2 3 2 4
5 1 0 −3
−4 3 1 6
 es −149. La componente 2,3 de A−1 está dado por
1 − 1
149
∣∣∣∣∣∣
1 2 4
5 1 −3
−4 3 6
∣∣∣∣∣∣
2
1
149
∣∣∣∣∣∣
1 2 4
5 1 −3
−4 3 6
∣∣∣∣∣∣
3 − 1
149
∣∣∣∣∣∣
1 −1 4
2 2 4
−4 1 6
∣∣∣∣∣∣
4
1
149
∣∣∣∣∣∣
1 −1 4
2 2 4
−4 1 6
∣∣∣∣∣∣
2 El determinante de
 3 7 2−1 5 8
6 −4 4
 es 468 . La componente 3,1 de A−1 es
1 − 26
468
2
26
468
3
−46
468
4
46
468
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1 Adjunta de una Matriz
2 Regla de Cramer
3 Ejercicios
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Regla de Cramer
Es un viejo método para resolver sistemas con el mismo número de incógnitas y ecuaciones. Considerando
el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
...
...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
que puede escribirse en la forma
Ax = b
Si det A ̸= 0, el sistema tiene una solución única dada por x = A−1b.
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Regla de Cramer
Se puede desarrollar un método para encontrar dicha solución sin reducción por renglones y sin calcular
A−1.
Sea D = detA. Se definen n nuevas matrices:
A1 =

b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
...
...
...
bn an2 · · · ann
 , A2 =

a11 b1 · · · a1n
a21 b2 · · · a2n
...
...
...
an1 bn · · · ann
 , . . . , An =

a11 a12 · · · b1
a21 a22 · · · b2
...
...
...
an1 an2 · · · bn

Es decir, Ai es la matriz obtenida al reemplazar la columna i de A por b. Por último, sea D1 = det
A1,D2 = detA2, . . . ,Dn = detAn
Teorema
Sea A una matriz de n× n y suponga que det A ̸= 0. Entonces la solución única al sistema Ax = b está
dada por
x1 =
D1
D
, x2 =
D2
D
, . . . , xi =
Di
D
, . . . , xn =
Dn
D
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Ejemplo - Regla de Cramer
Resuelva el sistema usando la regla de Cramer:
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + x2 − 2x3 = 4
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Ejemplo - Regla de Cramer
Demuestre que el sistema tiene una solución única y encuéntrela utilizando la regla de Cramer
x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 2
−x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + x2 + 9x3 + 6x4 = −3
3x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = −1
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1 Adjunta de una Matriz
2 Regla de Cramer
3 Ejercicios
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Ejercicios
Considere el siguiente sistema de ecuaciones
c cosA+ a cosC = b
b cosA+ a cosB = c
c cosB + b cosC = a
Demuestre que el determinante del sistema es diferente de cero.
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Ejercicios
Considere el siguiente sistema de ecuaciones
c cosA+ a cosC = b
b cosA+ a cosB = c
c cosB + b cosC = a
Utilice la Regla de Cramer para despejar cos C .
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Ejercicios
1 ¿Para cuáles valores de α la matriz
(
α+ 1 −3
5 1− α
)
es no invertible?
2 ¿Para cuáles valores de α la matriz
(
α −3
4 1− α
)
es no invertible?
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Ejercicios
¿Para qué valores de α la matriz
 −α α− 1 α+ 11 2 3
2− α α+ 3 α+ 7
 no tiene inversa?
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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