Vectores_y_Matrices__Definiciones_Generales - Diego Chavez (1)

Vista previa del material en texto

Vectores y Matrices: Definiciones Generales
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Mayo 24, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 23
Outline
1 Vectores
2 Matrices
3 Operaciones de Matrices
4 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 2 / 23
Outline
1 Vectores
2 Matrices
3 Operaciones de Matrices
4 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 3 / 23
Definiciones
Vector Fila de n componentes
Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente
manera:
(x1, x2, . . . , xn)
Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente
manera: 
x1
x2
...
xn

Componentes de un vector: En las dos definiciones x1 se denomina la primera componente del vector,
x2 es la segunda componente, y aśı sucesivamente. En términos generales, xn se denomina la n -ésima
componente del vector.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 4 / 23
Definiciones
Śımbolo Rn
Se usa el śımbolo Rn para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n

a1
a2
...
an
, donde
cada ai es un número real.
Śımbolo Cn
Se usa el śımbolo Cn para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n

c1
c2
...
cn
, donde
cada ci es un número complejo.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 5 / 23
Ejemplos
Ejemplo de vectores:
1 (3, 6) es un vector renglón (o un vector de dimensión 2)
2
 2−1
5
 es un vector columna (o un vector de dimensión 3)
3 (2,−1, 0, 4) es un vector renglón (o un vector de dimensión 4)
4

0
0
0
0
0
 es un vector columna y un vector cero
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 6 / 23
Outline
1 Vectores
2 Matrices
3 Operaciones de Matrices
4 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 7 / 23
Definición
Matriz
Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m filas y n columnas
A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
...
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amj · · · amn

El vector renglón (ai1, ai2, . . . ain) se llama fila i y el vector columna

a1j
a2j
...
amj
 se llama columna j.
La componente o elemento ij de A, denotado por aij , es el número que aparece en el renglón i y
la columna j de A.
Si A es una matriz m × n con m = n,entonces A es matriz cuadada.
Una matriz de m × n tiene tamaño m × n
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 8 / 23
Ejemplos
Ejemplo de matrices:
1
 −1 34 0
1 −2
 es una matriz de 3× 2.
2
(
−1 4 1
3 0 2
)
es una matriz de 2× 3.
3
 1 6 −23 1 4
2 −6 5
 es una matriz de 3× 3 (cuadrada).
4
(
0 0 0 0
0 0 0 0
)
es la matriz cero de 2× 4.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 9 / 23
Definición
Igualdad de matrices
Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si
1 Son del mismo tamaño
2 Las componentes correspondientes son iguales.
¿Son iguales las siguientes matrices?
1
(
4 1 5
2 −3 0
)
y
(
1 + 3 1 2 + 3
1 + 1 1− 4 6− 6
)
2
(
−2 0
1 3
)
y
(
0 −2
1 3
)
3
(
1 0
0 1
)
y
(
1 0 0
0 1 0
)
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 10 / 23
Outline
1 Vectores
2 Matrices
3 Operaciones de Matrices
4 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 11 / 23
Definiciones
Suma de matrices
Sean A = (aij) y B = (bi ) dos matrices m × n. Entonces la suma de A y B es la matriz m × n,A+ B
dada por A+ B = (aij + bij) =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
...
...
...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

Es decir, A+B es la matriz m× n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.
NOTA: La suma de dos matrices se define únicamente cuando las matrices son del mismo tamaño.
Aśı, por ejemplo, no es posible sumar las matrices
(
1 2 3
4 5 6
)
y
 −1 02 −5
4 7
 Son
incompatibles bajo la suma.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 12 / 23
Ejemplo
Considere la matriz A =
 2 4 −6 71 3 2 1
−4 3 −5 5
 y B =
 0 1 6 −22 3 4 3
−2 1 4 4
.
Calcule A+ B.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 13 / 23
Definiciones
Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A = (aij) es una matriz de m × n y si α es un escalar, entonces la matriz m × n, αA está dada por
αA = (αaij) =

αa11 αa12 · · · αa1n
αa21 αa22 · · · αa2n
...
...
...
αam1 αam2 · · · αamn

Esto es αA = (αaij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α. Si
αA = B = (bij), entonces bij = αaij para i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , n.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 14 / 23
Ejemplo: Múltiplos escalares de matrices
Considere la matriz
A =
 1 −3 4 23 1 4 6
−2 3 5 7

Calcule :
2A
− 13A
0A
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 15 / 23
Ejemplo: Suma de múltiplos escalares de dos vectores
Sea a =

4
6
1
3
 y b =

−2
4
−3
0
.
Calcule 2a− 3b
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 16 / 23
Propiedades básicas sobre la suma de matrices y multiplicación
por escalares
Teorema
Sean A,B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces:
1 A+ 0 = A
2 0A = 0
3 A+ B = B + A (ley conmutativa para la suma de matrices)
4 (A+ B) + C = A+ (B + C ) (ley asociativa para la suma de matrices)
5 α(A+ B) = αA+ αB (ley distributiva para la multiplicación por un escalar)
6 1A = A
7 (α+ β)A = αA+ βA
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 17 / 23
Ejemplo: Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
Para ilustrar la ley asociativa tenemos que[(
1 4 −2
3 −1 0
)
+
(
2 −2 3
1 −1 5
)]
+
(
3 −1 2
0 1 4
)
=
(
3 2 1
4 −2 5
)
+
(
3 −1 2
0 1 4
)
=
(
6 1 3
4 −1 9
)
De igual manera(
1 4 −2
3 −1 0
)
+
[(
2 −2 3
1 −1 5
)
+
(
3 −1 2
0 1 4
)]
=
(
1 4 −2
3 −1 0
)
+
(
5 −3 5
1 0 9
)
=
(
6 1 3
4 −1 9
)
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 18 / 23
Outline
1 Vectores
2 Matrices
3 Operaciones de Matrices
4 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 19 / 23
Ejercicios
Sea a =
 −31
4
 ,b =
 5−4
7
 y c =
 20
−2
.
Calcule:
1 −3b + 2c 2 3a− 2b + 4c 3 3b − 7c + 2a
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 20 / 23
Ejercicios
Sea A =
 1 −1 23 4 5
0 1 −1
 ,B =
 0 2 13 0 5
7 −6 0
 y C =
 0 0 23 1 0
0 −2 4

Calcule:
1 2A− B + 2C 2 C − A− B 3 4C − 2B + 3A
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 21 / 23
Ejercicios
1 Si α y β son escalares y A y B son matrices de m× n, calcule α(A+ B) y αA+ αB y muestre que
son iguales. Calcule además (α+ β)A y αA+ βA y muestre que son iguales.
2 Considere la ”gráfica”que une los cuatro puntos de la figura. Construya una matriz de 4× 4 que
tenga la propiedad de que aij = 0 si el punto i no está conectado (unido por una ĺınea) con el
punto j y aij = 1 si el punto i está conectado con el punto j .
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 22 / 23
Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 23 / 23
	Vectores
	Matrices
	Operaciones de Matrices
	Ejercicios