Vectores_en_el_plano - Diego Chavez

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Vectores en el plano
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Junio 16, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 16
Definiciones
Segmento de recta dirigido
Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotado por−→
PQ, es el segmento de recta que va de P a Q. Observe que los segmentos de recta dirigidos
−→
PQ y
−→
QP
son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas.
Figura: Los segmentos de recta dirigidos
−→
PQ y
−→
QP apuntan hacia direcciones opuestas.
Punto Inicial y Terminal
El punto P en el segmento de recta dirigido
−→
PQ se denomina punto inicial del segmento y el punto Q
se denomina punto terminal.
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Definiciones
Las dos propiedades más importantes de un segmento de recta dirigido son su magnitud (longitud) y
su dirección
Segmentos equivalentes
Si dos segmentos de recta dirigidos
−→
PQ y
−→
RS tienen la misma magnitud y dirección, se dice que son
equivalentes sin importar en dónde se localizan respecto al origen.
Figura: Un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes.
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Definición geométrica y algebraica de un vector
Definición geométrica
El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado
se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina representación del vector.
Figura: Se puede mover
−→
PQ para obtener un segmento de recta dirigido equivalente con su punto inicial en el
origen. Observe que
−→
0R y
−→
PQ son paralelos y tienen la misma longitud.
Definición algebraica
Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se
denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector (0, 0).
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Magnitud de un vector
La magnitud o longitud de un vector como la longitud de cualquiera de sus representaciones y su
dirección como la dirección de cualquiera de sus representaciones. Considerando la representación
−→
0R y
escribiendo el vector v = (a, b) se define a
|v| = magnitud de v =
√
a2 + b2
Esto se deduce del teorema de Pitágoras. Se ha usado la notación |v| para denotar a la magnitud de v.
Observe que |v| es un escalar.
Figura: La magnitud de un vector con coordenada x igual a a y coordenada y igual a b es
√
a2 + b2
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Cálculo de la magnitud de vectores
Calcule las magnitudes de los vectores
1 v = (2, 2)
2 v = (2, 2
√
3)
3 v = (−2
√
3, 2)
4 v = (−3,−3)
5 v = (6,−6)
6 v = (0, 3)
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Cálculo de la magnitud de vectores
Calcule las magnitudes de los vectores
1 v = (2, 2)
2 v = (2, 2
√
3)
3 v = (−2
√
3, 2)
4 v = (−3,−3)
5 v = (6,−6)
6 v = (0, 3)
SOLUCIÓN:
1 |v| =
√
22 + 22 =
√
8 = 2
√
2
2 |v| =
√
22 + (2
√
3)2 = 4
3 |v| =
√
(−2
√
3)2 + 22 = 4
4 |v| =
√
(−3)2 + (−3)2 =
√
18 = 3
√
2
5 |v| =
√
62 + (−6)2 =
√
72 = 6
√
2
6 |v| =
√
02 + 32 =
√
9 = 3
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Dirección del vector
Dirección del vector v
Se define la dirección del vector v = (a, b) como el ángulo θ, medido en radianes, que forma el vector
con el lado positivo del eje x . Por convención, se escoge θ tal que 0 ≤ θ < 2π. De la figura anterior se
deduce que si a ̸= 0, entonces
tan θ =
b
a
Calcule las direcciones de los siguientes vectores:
a) v = (2, 2)
b) v = (2, 2
√
3)
c) v = (−2
√
3, 2)
d) v = (−3,−3)
e) v = (6,−6)
f) v = (0, 3)
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Dirección del vector
a) v = (2, 2)
b) v = (2, 2
√
3)
c) v = (−2
√
3, 2)
d) v = (−3,−3)
e) v = (6,−6)
f) v = (0, 3)
a) v se encuentra en el primer cuadrante y como tan θ = 22 = 1, θ =
π
4 .
b) θ = tan−1 2
√
3
2 = tan
−1 √3 = π3 (ya que v está en el primer cuadrante).
c) v está en el segundo cuadrante y como tan−1 2
2
√
3
= tan−1 1√
3
= π6 , y de la figura que
θ = π −
(
π
6
)
= 5π6 .
d) v está en el tercer cuadrante, y como tan−1 1 = π4 , se encuentra que θ = π +
(
π
4
)
= 5π4
e) Como v está en el cuarto cuadrante y tan−1(−1) = −π4 , se obtiene θ = 2π −
(
π
4
)
= 7π4 .
f) No se puede usar la ecuación (4,1,2) porque ba no está definido. No obstante, en la figura se ve que
θ = π2 .
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Dirección del vector
Nota
En general, si b > 0
Dirección de (0, b) =
π
2
y dirección de (0,−b) = 3π
2
b > 0
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Magnitud y dirección de αv
Magnitud de αv
Multiplicar un vector por un escalar diferente de cero tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector
por el valor absoluto de ese escalar.
Dirección de αv
Dirección de αv = dirección de v, si α > 0
Dirección de αv = ( dirección de v) + π si α < 0
Multiplicación por un escalar. Sea v = (1, 1). Entonces,|v| =
√
1 + 1 =
√
2
y |2v| = |(2, 2)| =
√
22 + 22 =
√
8 = 2
√
2 = 2|v|. Si, | − 2v| =
√
(−2)2 + (−2)2 = 2
√
2 = 2|v|.
Aśı, la dirección de 2v es π4 , mientras que la dirección de −2v es
5π
4 .
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Desigualdad del triángulo
Ahora suponga que se suman dos vectores: u = (a1, b1) y v = (a2, b2). De la figura se puede apreciar
que el vector u + v = (a1 + a2, b1 + b2) se puede obtener trasladando la representación del vector v de
manera que su punto inicial coincida con el punto terminal (a1, b1) del vector u. Por lo tanto, se puede
obtener el vector u + v dibujando un paralelogramo con un vértice en el origen y lados u y v . Entonces
u + v es el vector que va del origen a lo largo de la diagonal del paralelogramo.
Desigualdad Triangular
|u + v | ≤ |u|+ |v |
Figura: La regla del paralelogramo para sumar vectores
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Śımbolos i, j
Existen dos vectores especiales en R2 que nos permiten representar a cualquier otro vector en el plano de
una forma conveniente. Se denota el vector (1, 0) por el śımbolo i y el vector (0, 1) por el śımbolo j . Si
v = (a, b) es cualquier vector en el plano, entonces como (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), se puede escribir
v = (a, b) = ai+ bj
Con esta representación se dice que v está expresado en sus componentes horizontal y vertical. Los
vectores i y j tienen dos propiedades:
i) Ninguno de ellos es múltiplo del otro. (En la terminoloǵıa del caṕıtulo 5, son linealmente
independientes.)
ii) Cualquier vector v se puede escribir en términos de i y j
Bajo estas dos condiciones se dice que i y j forman una base en R2
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Vector Unitario
Vector Unitario
Un vector unitario es un vector con longitud 1.
El vector u =
(
1
2
)
i+
(√
3
2
)
j es un vector unitario ya que |u| = 1
Representación de un vector unitario: u = (cos θ)i+ (sen θ)j
Sea v un vector diferente de cero. Entonces u = v|v| es un vector unitario que tiene la misma
dirección que v.
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Ejemplos
1 Considere el vector unitario u =
(
1
2
)
i+
(√
3
2
)
j de la forma (cos θ)i+ (sen θ)j
2 Encuentre un vector unitario que tenga a misma dirección que v = 2i − 3j
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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	Vector en el plano