Conjuntos numericos

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CONCEPTOS 
 
Números Naturales 
 
Son todos aquellos números que nos sirven para contar y se ubican dentro de los 
números reales los números naturales son infinitos se encuentran a la derecha de 
la recta numérica; establecen una correspondencia biunívoca, se dividen en pares, 
nones y dígitos. 
 
Números Enteros 
 
Se encuentran ubicados dentro de los números reales y pertenecen a los 
racionales, se dividen en naturales y negativos. 
 
Números Racionales 
 
Un numero racional es aquel número de la forma A÷B donde B es diferente de A. 
Dichos números se encuentran ubicados dentro de los números reales y se 
dividen en enteros y fraccionarios. 
 
Números Irracionales 
 
Son números cuya escritura decimal no puede tener un numero finito de cifras 
decimales ni un numero infinito de cifras decimales periódicas. Tienen una 
expresión decimal con infinitas cifras decimales no periódicas. 
 
Números Reales 
 
Es el conjunto de números que incluye a todas los números anteriores. 
 
 Naturales 
 Enteros 
 Negativos 
 Racionales 
 Decimal 
Reales Fraccionarios 
 Común 
 Irracionales 
 
 
Números Racionales 
 
Q = a/b, donde “a” y “b” son números enteros, b ≠ 0 
 
Ejemplos: ¾, -5/2, 24/724, 0/3... 
 
Representación de los Q en una recta numérica. 
 
Ejemplo : 
 
Representar en una recta numérica los siguientes números racionales. 
 
-7, 5, ¾. 
 
 
 
 
 
 
-8 = -2 2 Mixtos 5 no es racional 
 3 3 0 
 
 0 si es racional 
 3 
 
 
 
Conjunto de Números 
 
Conjunto colección bien definida de elementos 
Notación: Gráfica a través de los diagramas de Venn { } A, B 
 
Métodos para definir un conjunto 
 
a) Extensión enumerar los elementos A= {1,2,3,4,5} 
 
b) Comprensión dar una propiedad a los elementos A= {x|1< X<3, X E N} 
 
Conjuntos y Subconjuntos 
 
Conjunto vacío: (sin elementos) 
Conjunto universal: todos los elementos del conjunto o problema dado ∪. 
Símbolo de elemento: relaciona con un conjunto ∈ su contrario ∉ significa que no 
pertenece. 
Subconjunto a es un subconjunto de b si todos los elementos a se encuentran en b. 
Subconjunto propio: a es un subconjunto propio de b si no tiene los mismos elementos c 
 
“TODO CONJUNTO ES UN SUBCONJUNTO DE SÍ MISMO” 
 
A ⊂ A A = A 
A ⊂ B = B ⊃ A 
1 2 
 
1 A es subconjunto de B 
B es súper conjunto de A 
 
Conjuntos iguales: A=B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A 
 
A={1,2,3} 
B={1,2,1,3} 
 
Correspondencia biunívoca: cuando entre dos conjuntos correspondan cada 
elemento de A con B y viceversa. 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
a 
b 
c 
a ⇔1 
b ⇔2 
c ⇔3 
 
 
 
Conjuntos equivalentes: A es equivalente a B si se puede establecer una 
correspondencia biunívoca entre sus elementos. A~B 
 
Conjuntos numerables: son numerables cuando a cada uno de sus elementos se le 
puede establecer un número N 
 
 N{1,2,3,4,5…} 
(1,a) 
(2,b) 
(3,c) 
 a 
b 
c 
 
 
 
 
 
Numerable es infinito 
Finito es contable 
Contable es N 
 
 
Concepto de número: cardinalidad del símbolo que se anota como número. 
 
 
Familia de conjuntos: 
 
Ω={A,{0,1}, B} 
 
Conjunto potencia: Familia de todos los subconjuntos de un conjunto dado. 
A={1,2,3} 
 
23=2A={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅} 
 
Operaciones con conjuntos 
 
Unión A ⊂ B={x | x ∈ A ó x ∈ B} 
Intersección A ∩ B={x | x ∈ A y x ∈ B} 
Resta A - B={x | x ∈ A y x ∉ B} 
Complemento A’=Ac=U-A={x | x ∉ A}= { x | x ∈ U y x ∉ A} 
 
A – B={x | x ∈ A y x ∉ B}= A ∩ B’ 
A ∩ B={x | x ∈ A y x ∈ B}= A - B’ 
 
 
 
 
 
 
Propiedades 
 
Reflexiva A=A 
Simétrica Si A=B ⇒ B=A 
Transitiva Si A=B y B=C ⇒ A=C 
Conmutativa A ∪ B = B ∪ A 
A ∩B = B ∩ A 
 
Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 
A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C 
 
Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
 
Leyes de Morgan 
 
(A ∪ B)’= A’ ∩ B’ El complemento de la unión es la intersección de los complementos. 
 
(A ∩ B)’= A’ ∪ B’ El complemento de la intersección es la unión de los complementos. 
 
 
(A’)’=A 
 
∅’ = U 
 
U’ = ∅ 
 
A ∪ ∅ = A 
 
A ∩ ∅ = ∅ 
 
A ∪ U = U 
 
A ∩ U = A 
 
 
 
 
Ejercicios 
 
 
1) Escribir en forma tabular los siguientes conjuntos 
 
a) {x|x2=4} x={2,-2} 
b) {x|x2=9, x-4=-1} x={3} 
c) {x|x2+7x+12=0} 
 
2
17
2
17
2
48497x ±−=±−=−±−= 
x={3,-4} 
 
d) {x| x es par, x ∈N} x={2,4,6,8,… ∝} 
 
 
 
2) Tomando en consideración el conjunto E={0,1}, determine cuál de las siguientes 
afirmaciones es verdadera y cual es falsa. 
a) {0}∈E F 
b) {0,1}∈2E V 
c) ∅∈E F 
d) {∅} ⊂ 2E V 
e) 1∈E V 
f) ∅ ⊂ 2E V 
g) ∅ ⊂ E V 
h) {0,1}⊂ E V 
i) {{0,1}} ⊂ 2E V 
 
3) Sacar el conjunto potencia de A={0,{1},3} 
 23=2A={{0},{{1}},{3},{0,{1}},{{1},3},{0,3},{0,{1},3},∅} 
 
4) Sean A={2,3,4] 
 B={x2=4, x es positivo} B=2 
 C={x|x-6x+8=0} C={2,4] 
 D=x|x es par]} D={2,4,6,...} 
 
 Completar las siguientes afirmaciones insertando ⊂ ó ⊃ 
 
a) A ⊃ B 
b) A ⊃ C 
c) B ⊂ C 
d) B ⊂ D 
e) C ⊂ D 
 
Operaciones de Conjuntos 
 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 
 
A={1,2,4,7,19] 
 
B={2,4,5,6,8,9,10} 
 
C={5,7,9,10} 
 
A-B={1,7} 
 
A ∪ (B ∩C)’ 
 B ∩C={5,9,10} 
 (B ∩C)’={0,1,2,3,4,6,7,8} A ∪ (B ∩C)’={0,1,2,3,4,6,7,8,10} 
B ∩ (A ∪C)’ 
 A ∪C={1,2,4,5,7,9,10} 
 (A ∪C)’={0,3,6,8} B ∩ (A ∪C)’={6,8} 
 
Conjunto de Números 
 
ℜ todos los números que se pueden expresar en los decimales 
 
Propiedades 
 
 Cerradura 
Suma: Si a ∈ ℜ y b ∈ ℜ ⇒ a+b ∈ ℜ 
Multiplicación: Si a ∈ ℜ y b ∈ ℜ ⇒ a*b ∈ ℜ 
 
 Conmutativa 
Suma: a,b ∈ ℜ ⇒ a+b = b+a 
Multiplicación: a,b ∈ ℜ ⇒ a*b = b*a 
 
 Asociativa 
Suma: a,b,c ∈ ℜ ⇒ a+(b+c) = (a+b)+c 
Multiplicación: a,b,c ∈ ℜ ⇒ a*(b*c) = (a*b)*c 
 
 Distributiva 
Si a,b,c ∈ ℜ ⇒ a*(b+c) = a*b + a*c (izquierda) 
 (b+c)*a = b*a + c*a (derecha) 
 
 Elemento Neutro 
Suma: Existe 0 ∈ ℜ ⇒ a + 0 = 0 + a = a 
Multiplicación: Existe 1 ∈ ℜ ⇒ a * 1 = 1 * a = a 
 
 Elemento Inverso 
Suma: Existe -a ⇒ a + (-a) = 0 
Multiplicación: Si a ≠ 0 existe 
a
1
⇒ a * 
a
1 = 1 
 
 
Orden 
 Aditiva o suma: Si a,b, c ∈ ℜ y a < b ⇒ a+c < b+c 
 Multiplicación: Si a,b, c ∈ ℜ, c < 0 y a < b ⇒ a*c > b*c 
 Densidad: Si a,b ∈ ℜ y a < b existe c ∈ ℜ tal que a < c < b 
 Completez: A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y 
a cada número real un punto de la recta. 
 
 
Números Naturales 
 
N={1,2,3,4,5,...} 
Plenos: Ν ∪ {0}= N0={0,1,2,3,4,5,...} 
Enteros: E = E ∪ {0} ∪ E+ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
E- ∪ {0} = no positivos 
 
E+ ∪ {0} = no negativos 
 
Racionales ϑ: los decimales infinitos periódicos o decimales finitos 
 
8.4
5
24
= 
142857.0
...00000010
0000050
000040
00060
0020
030
103 
 
Irracionales ϑ’: todos los que no son racionales, decimales infinitos no periódicos 
 
 
 
 
 
Números Reales 
Racionales 
Irracionales 
Enteros 
Positivos 
Negativos 
Cero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
CONJUNTOS DE NÚMEROS (NÚMEROS REALES). 
 
Origen de los números. 
 
- La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración 
hindúes ya existentes hacia el siglo VI d.C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en 
Europa hasta entonces dos ventajas sustanciales: 
 
- El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas 
mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve 
cifras del sistema. (La noción de cero había sido también desarrollada en América por la cultura 
maya). 
- La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un 
valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica. 
 
- Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de 
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780 d.C. – 850 d.C.), autor del primer manual de aritmética 
inspirado en el sistema decimal posicional. 
 
 
Sistemas de numeración: 
 
- Un sistemade numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y 
normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades 
numéricas. 
 
- Sistemas de carácter posicional. 
 
- En un sistema de numeración se contemplan varios elementos fundamentales: 
 
- La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por 
ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa 
dos. 
- Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema 
decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan 
sólo se emplean el 0 y el 1. 
- Las normas de combinación de los numerales para formar los números. Según ello, a cada cifra 
se le ascoian dos propiedades: su valor absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que 
depende de la posición que ocupa en la cantidad numérica. 
 
Dado un número escrito como la sucesión de numerales en la base , puede 
descomponerse en forma polinómica del modo siguiente: 
n 0121 ,,,...., aaaaa nn − b
 
 nn
n
nnnb babababaaaaaaan ⋅+⋅++⋅+⋅+==
−
−−
1
1
2
2100121( ....,,,...., 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
Cambios de base: 
 
Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen 
habitualmente mediante una conversión intermeia a la base decinal. Así, por ejemplo, para escribir 
en base 4 se procedería del modo siguiente: 5(341
- Se convertiría a base 10. 5(341
- Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4. 
 
- Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por 
ejemplo: 
10(
2
5( 967520153541341 =++=⋅+⋅+= 
 
- Para transformar un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como 
sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último 
cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos. 
 
96 4 
 
 16 24 4 
 
 0 0 6 4 
 
 = = 2 1 
 = = 
 
 Luego: 96341 = 4(10(5( 1200=
 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
 
Conjuntos de Números. 
 
N Los números naturales: N = {1,2,3,...} N* = {0,1,2,3,...}. 
Ver: "Axiomas construcción Números Naturales". 
 
Z Los números enteros: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. 
Nota: Un número n sólo será número primo, si tiene cuatro divisores ( )1,1,, −+−+ nn . El 0 y el 1 no son 
números primos, ya que tienen solamente dos divisores ( )1,1 −+ . 
 { }.....,13,11,7,5,3,2positivos enteros primos Números = 
 
Q Los números racionales: Q = {x / x = a/b; donde Ζ∈ba, , b≠0} 
 1/3, 8/4, 5'6, -4'2333..,.. 
 (Conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos). 
- Los números que tienen un número finito de decimales ⇒ son racionales. 
- Los números que son periódicos ⇒ son racionales. 
 
Q' Los números irracionales: Q' = {x / x ≠ a/b; donde Ζ∈ba, , b≠0} 
 3 , π, 1'24587215963...,..... 
- Los números que tienen infinitos decimales y no son periódicos ⇒ son irracionales. 
- Los números irracionales se dividen, a su vez, en: 
- Algebraicos: aquellos que son solución de alguna ecuación algebraica 
- Trascendentes: aquellos que no son solución de ninguna ecuación algebraica 
• Como curiosidad, podemos decir que existen más números trascendentes que algebraicos. 
 
R Los números reales: R = {números decimales, incluso con infinitos decimales} = . 'QQ ∪
- Con los números reales llenamos la recta. 
 
C Los números complejos: C = {a+bi / a,b pertenecen a los reales , 1−=i } 
 
- Los números complejos se representan en el plano. 
- Con los números complejos toda ecuación tiene solución. 
 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
Relaciones entre los conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z Enteros. 
 
Q Racionales. 
 
R Reales. 
Enteros negativos. (1) 
Imaginarios. 
Irracionales. 
Fracciones. (2) 
 
C Complejos. 
 
N Naturales. 
 
 
 
 
 
 
(1) Se puede probar que no existe 0 : t.q. =+Ν∈ xnx 
Y para resolver esta ecuación en la igualdad se introduce el símbolo (-n) que llamaremos 
el negativo de n. Esto implica que el conjunto de los naturales ha sido extendido al conjunto 
de los enteros. 
 
(2) Se puede observar que para algunos naturales ba y no existe bax : t.q. =Ν∈x 
(ej.: 38 : t.q. existe no ∈Ν =xx ). 
Ahora extenderemos el conjunto de los números enteros al conjunto de los racionales. 
 
 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
 
Axiomas construcción Números Naturales1. 
 
i) . Ν∈1
 Indica que por lo menos N posee un elemento ( )∅≠N . 
 
ii) Si entonces, existe un número natural Ν∈n único llamado siguiente de n (sig(n)). Esto significa que N es 
un conjunto infinito, osea: 
 { } { },....3,2,1)),....1((),1(,1 ==Ν sigsigsig 
 El hecho de que sea único impide que un número tenga dos siguientes. 
 
iii) Sig(n) ≠1 para todo n que está en N. 
 Este axioma indica que el 1 es el primer elemento del conjunto N, es decir, no existe ningún elemento antes del 1.
 
iv) Si sig(n) = sig(m) entonces n = m. 
 Osea, que no hay dos naturales diferentes que tengan el mismo siguiente. 
 
v) Si que tiene las siguientes propiedades: NK ⊂
i) K∈1 
ii) Si KP ∈ , entonces KPsig ∈)( , 
 entonces . NK =
 Principio de Inducción. Permite probar propiedades de los Números Naturales. 
 
 
Def.: A cada dos números naturales podemos asociarle un número natural por medio de una operación 
llamada suma en N. Esta suma tiene las siguientes propiedades: 
 
a) )(1 nsign =+ 
b) )()( mnsigmsign +=+ 
 
Def.: Dados dos números naturales podemos asociarle un número natural por medio de la operación 
llamada producto en N. Este producto tiene las siguientes propiedades: 
 
c) nn =×1 
d) nnmmsign +=× )( (cuando está definida). nm
 
 
 
Propiedades operaciones con Números Naturales. (1) 
 
 OPERACIONES. 
Propiedades. Adición. Producto. 
Conmutativa. abbaba +=+Ν∈∀ ,, abbaba ⋅=⋅Ν∈∀ ,, 
Asociativa. ( ) ( )cbacbacba ++=++Ν∈∀ ,,, ( ) ( cbacbacba ⋅⋅=⋅ )⋅Ν∈∀ ,,, 
Elemento neutro. aaaqta =+=+Ν∈∃Ν∈∀ 00:..,0 , aaaqta =⋅=⋅Ν∈∃Ν∈∀ 11:..,1 , 
Distributiva. ( ) cabacbacba ⋅+⋅=+⋅Ν∈ ,,, ∀
 
(1) Ver "propiedad cerradura Operaciones binarias" N, Z (suma, multiplicación). 
 
1 Mediante estos axiomas se define / construye el conjunto de los números naturales. 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
 
Propiedades operaciones con Números Enteros. (1) 
 
 OPERACIONES. 
Propiedades. Adición. Producto. 
Conmutativa. abbaba +=+Ζ∈∀ ,, abbaba ⋅=⋅Ζ∈∀ ,, 
Asociativa. ( ) ( )cbacbacba ++=++Ζ∈∀ ,,, ( ) ( cbacbacba ⋅⋅=⋅⋅ )Ζ∈∀ ,,, 
Elemento neutro. aaaqta =+=+Ζ∈∃Ζ∈∀ 00:..,0 , aaaqta =⋅=⋅Ζ∈∃Ζ∈∀ 11:..,1 , 
Elemento simétrico. 0)()(:..,a , =+−=−+Ζ∈−∃Ζ∈∀ aaaaqta NO se cumple. 
Distributiva. ( ) cabacbacba ⋅+⋅=+⋅Ζ∈ ,,, ∀
 
(1) Ver "propiedad cerradura Operaciones binarias" N, Z (suma, multiplicación). 
 
 
 
 
Propiedades operaciones con Números Reales. 
 
Cerradura. Rba ∈∀ , Rba ∈+ ; Rba ∈⋅ 
Conmutativa. Rba ∈∀ , abba +=+ ; abba ⋅=⋅ 
Asociativa. Rcba ∈∀ ,, 
 ( ) ( )cbacba ++=++ 
 ( ) ( cbacba ⋅⋅=⋅⋅ ) 
Distributiva. Rcba ∈∀ ,, ( ) cabacba ⋅±⋅=±⋅ 
Identidad. a) Para la suma: 
 Cero es el elemento idéntico de la suma: 
 , Ra ∈∀ aaa =+=+ 00 
b) Para el producto: 
 El uno es el elemento idéntico para el producto: 
 , Ra ∈∀ aaa =⋅=⋅ 11 
Inverso. a) Inverso aditivo: 
 RaRa ∈−∈∀ , es el inverso aditivo de a, tal que: 
 0)( =−+ aa
 Observación: 
 Si )( , babaRba − = + −∈ 
b) Inverso multiplicativo: 
 R
a
aRa ∈≠∈∀ 1,0,es el inverso multiplicativo de a, tal que: 11 =⋅
a
a 
 Observación: 
 ( )baRba 1ba , ⋅=∈Si 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
Obtención fracción generatriz. 
 
 Las fracciones nos dan números decimales exactos, periódicos puros (sin anteperiodo) o periódicos 
mixtos (con anteperiodo). 
10/4=2.5 exacto 1/3= 0 3'
)
 periódico puro 743/90=8 25'
)
 periódico mixto 
 
 A partir de una fracción obtenemos un número decimal, pero ¿A partir de un número decimal podemos 
obtener la fracción de donde proviene?. Puede ocurrir dos casos: 
 
a) Si el número es decimal exacto, se divide el número sin comas, entre un 1 seguido de tantos ceros 
como cifras tenga la parte decimal: 
 
 87 256 87256
1000
' = 
 
b) Si el número es decimal periódico se pone el número entero sin decimales ni ''gorritos'', se le resta la 
parte no periódica y se divide por tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como 
cifras tenga el anteperiodo (si lo hay). 
 
 10 3 103 10
9
93
9
31
3
'$ = − = = 
 5 235 5235 523
900
4712
900
1178
225
' $ = − = = 
 
 
Ordenación de los números.
 
 La ordenación de los números se hace en una recta que se llama recta real. 
 | | | | | | | | | | | 
 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
 
 Una vez situados los números, será más grande aquel que esté situado más a la derecha, así por ejemplo 
el -2 es mayor que el -5. 
 Una forma de comparar dos números es utilizar los siguientes símbolos: 
 
> mayor que 6 > -4 
< menor que -5 < -2 
≥ mayor o igual que 8 ≥ 8 
≤ menor o igual que -1 ≤ 6 
 
 Si lo que se está comparando son fracciones, entonces tenemos dos opciones, o realizamos la división y 
comparamos los números decimales, o a partir de fracciones equivalentes comparamos las fracciones. 
 
 Por ejemplo: ¿Qué es mayor 8/5 o 11/6? 
 
8/5 = 1'6 y 11/6 = 1'83, luego 8/5 < 11/6. 
 
 La otra forma de hacerlo sería multiplicar el numerador y denominador de las dos fracciones por 
números de tal forma que el denominador sea el mismo: 8/5 = 48/30 y 11/6 = 55/30 luego es mayor 11/6 
que 8/5 ya que 55 es más grande que 48. 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
Intervalos sobre la recta real:
 
 
Notación y características de los intervalos de la recta real. 
 
Nombre Símbolo Significado 
Intervalo abierto (n, m) o ]n, m[ { }mxnx <</ números comprendidos entre n y m. 
Intervalo cerrado [n, m] { }mxnx ≤≤/ números comprendidos entre n y m, 
con estos dos incluidos. 
]n, m] { }mxnx ≤</ abierto por la izquierda y cerrado 
por la derecha. 
 
 
Intervalos semiabiertos ]n, m) { }mxnx <≤/ cerrado por la izquierda y abierto 
por la derecha. 
(-∞, m) { }mxx </ números menores que m. 
(-∞, m] { }mxx ≤/ números menores o iguales que m. 
(n, ∞) { }nxx >/ números mayores que n. 
 
 
Otros intervalos 
[n, ∞) { }nxx ≥/ números mayores o iguales que n. 
 
Representación gráfica de los intervalos sobre la recta real:
 
1) Intervalo abierto (n, m): 
n m 
 
 
2) Intervalo cerrado [n, m]: 
n m 
 
3) Intervalos semiabiertos: 
n (n, m] m 
 n [n, m) m 
 
4) Otros intervalos: 
 (-∞, m) m 
 (-∞, m] m 
 n (n, ∞) 
 n [n, ∞) 
 
 
 
 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
El valor absoluto a de un número real es: a
 
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0si 
0 si 
aa
aa
a 
Por definición, el valor absoluto de un número es siempre no negativo y verifica: 
i) R∈∀−= aaa . 
ii) R∈∀= babaab , . 
iii) 00 =⇔= aa . 
iv) baba +≤+ . (Desigualdad triangular). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conjuntos de Números - Números Reales. 
 
 
 
 
 Jaime Martínez Rubio. 
 
 e-mail: 
 
 jaimemtnezrubio@yahoo.com 
 
 jaume.martinez@grupobbva.com 
 
 
 
26 de diciembre de 2006 
 
 
 
 
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	Números Enteros 
	Números Racionales 
	Números Irracionales 
	Números Reales 
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	Conjunto de Números 
	Métodos para definir un conjunto 
	Conjuntos y Subconjuntos 
	Subconjunto propio: a es un subconjunto propio de b si no tiene los mismos elementos c 
	“TODO CONJUNTO ES UN SUBCONJUNTO DE SÍ MISMO” 
	B es súper conjunto de A 
	Numerable es infinito 
	Leyes de Morgan 
	Ejercicios 
	 Operaciones de Conjuntos 
	conjunto de numeros 2.pdf
	Propiedades 
	Suma: Si a ( ( y b ( ( ( a+b ( ( 
	Multiplicación: Si a ( ( y b ( ( ( a*b ( ( 
	Orden 
	 
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