Formas canónicas reales

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Caṕıtulo 7
Formas canónicas reales
Introducción. Sea V un espacio vectorial sobre C, f ∈ End(V ) y MB(f) = A ∈ M(n × n).
Sea λ = a + bi es una autovalor complejo de f de multiplicidad m. Para tal autovalor complejo
hemos aprendido a calcular un bloque complejo de Jordan aśı como un bloque de base canónica
compleja asociados a dicho autovalor. Nuestro objetivo en el presente caṕıtulo es hallar una forma
canónica real de Jordan aśı como una base canónica real de V para f cuando f posea autovalores
complejos. Para alcanzar este objetivo comenzaremos revisando algunas propiedades relacionadas
con los números complejos.
7.1 Algunos resultados sobre C
Definición 7.1.1 Consideremos el conjunto de los números complejos
C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1}.
Sea α = a + bi ∈ C, llamamos conjugado del número complejo α, al complejo α = a− bi.
Los números reales a y b reciben el nombre de parte real y parte imaginaria, respectivamente, del
complejo α. Habitualmente, se utiliza la notación:
a = Re(α), b = Im(α).
Proposición 7.1.1 Sean α, β ∈ C. Se verifica:
1) α + β = α + β.
2) αβ = αβ.
3) Re(α) =
1
2
(α + α), Im(α) =
1
2i
(α− α).
Proposición 7.1.2 Sea p(x) ∈ R[x] un polinomio cuyos coeficientes son números reales y α ∈ C
una ráız de p(x) de multiplicidad m. Se verifica que:
1) α es también ráız de p(x). En otras palabras,
p(α) = 0 ⇐⇒ p(α) = 0
.
2) La multiplicidad de α como ráız de p(x) es también m.
129
7.1 ALGUNOS RESULTADOS SOBRE C 130
Definición 7.1.2 Sea A = (aij) una matriz cuyos elementos son números complejos. Llamamos
conjugada de A a la matriz A = (aij).
Proposición 7.1.3 Sean A y B matrices cuyos elementos son números complejos. Se verifica:
1) A + B = A + B.
2) A×B = A×B.
3) A ∈M(n× n, C) =⇒ det(A) = det(A).
4) rg(A) = rg(A).
Notaciones. Sea v ∈ V un vector cuyas coordenadas respecto de B son
vB = (x1 + y1i, x2 + y2i, . . . , xn + yni).
Consideremos los vectores x,y ∈ V tales que xB = (x1, x2, . . . , xn) e yB = (y1, y2, . . . , yn). Se tiene:
vB = (x1 + y1i, x2 + y2i, . . . , xn + yni) = (x1, x2, . . . , xn) + i(y1, y2, . . . , yn) = xB + iyB,
de aqúı que adoptemos la notación
v = x + yi.
Por analoǵıa con los números complejos, escribiremos,
Re(v) = x, Im(v) = y,
donde x e y son vectores de V cuyas coordenadas son números reales.
Se tiene, igualmente, que
x =
1
2
(v + v), y =
1
2i
(v − v).
Definición 7.1.3 Sean V un espacio vectorial sobre el cuerpo C y B una base de V . Sea L una
variedad lineal de V de ecuaciones respecto de B son Axt = 0. Llamaremos conjugada de la
variedad L a la variedad L cuyas ecuaciones, respecto de B son Axt = 0.
Proposición 7.1.4 Sean L y L variedades lineales de V . Se verifica que:
1. a ∈ L ⇐⇒ a ∈ L.
2. dim(L) = dim(L).
3. L = {v1,v2, . . . ,vr} es una base de L si y sólo si L = {v1,v2, . . . ,vr} es una base de L.
Las demostraciones de estas propiedades son triviales y se dejan como ejercicio.
dto. de álgebra
7.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 131
7.2 Construcción de un bloque de Jordan real
Proposición 7.2.1 Sean V un C-espacio vectorial, f ∈ End(V ), B una base de V y A = MB(f),
(
A ∈
M(n× n, R)
)
. Se verifica:
1. Si λ ∈ C \R es un autovalor complejo de f cuya multiplicidad algebraica es m, entonces λ es
un autovalor de f de multiplicidad m.
2. Si V1(λ), V2(λ), . . . , Vs(λ) es la sucesión de subespacios asociados al autovalor λ, los subespa-
cios asociados al autovalor λ son
Vj(λ) = Vj(λ), (j = 1, . . . , s).
3. El par de autovalores λ y λ tienen la misma partición de su multiplicidad.
4. Si Bλ = {u1 +v1i,u2 +v2i, . . . ,um +vmi} es una base de Vs(λ) calculada por el algoritmo de
la proposición 6.2.1, entonces una base de Vs(λ) es Bλ = {u1 − v1i,u2 − v2i, . . . ,um − vmi}
y, por consiguiente, una base de Vs(λ)⊕ Vs(λ) es
Bλ ∪ Bλ = {u1 + v1i,u2 + v2i, . . . ,um + vmi,u1 − v1i,u2 − v2i, . . . ,um − vmi}.
5. Si Bλ y Bλ son, respectivamente, las bases de Vs(λ) y de Vs(λ), calculadas en el apartado
anterior, se verifica que una base real de Vs(λ)⊕ Vs(λ) es
Bλλ = {u1,v1,u2,v2, . . . , . . . ,um,vm}.
6. Sea
E =

λ 1
λ 1
. . .
1
λ

una caja elemental de Jordan de orden r × r sobre C asociada a una columna de altura r
(r ≤ s) en la base Bλ. Entonces la caja elemental de Jordan asociada a la misma columna en
la base Bλ será la matriz de orden r × r,
E =

λ 1
λ 1
. . .
1
λ
 .
7. Tomando Bλλ como base de Vs(λ) ⊕ Vs(λ) la caja elemental sobre R correspondiente a las
cajas elementales de orden r E y E asociadas a los autovalores λ = a + bi y λ = a− bi es de
la forma:
Eλ,λ =

C I
C I
. . .
I
C
 ,
m. iglesias
7.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 132
donde
C =
(
a b
−b a
)
, I =
(
1 0
0 1
)
, Eλ,λ = M(2r × 2r, R).
Demostración
1. Es consecuencia inmediata de la proposición 7.1.2 ya que si p(x) es el polinomio caracteŕıstico
de f y λ ∈ C es una ráız de p(x), también lo es λ y si la multiplicidad algebraica de λ es m,
también m la multiplicidad de λ.
2. Sean Vj(λ), (j = 1, . . . , s) los subespacios invariantes asociados al autovalor λ. Sabemos
que
Vj(λ) ≡ (λI −A)xt = 0.
Además, teniendo en cuenta que las matrices I y A son reales, de acuerdo con las propiedades
de la proposición 7.1.3, se tiene:
(λI −A)j = (λI −A)j = (λI −A)j .
Igualdades de las que deducimos que Vj(λ) = Vj(λ), (j = 1, . . . , s).
3. Como consecuencia del apartado 4) de la proposición 7.1.3 se tiene:
rg
(
(λI −A)j
)
= rg
(
(λI −A)j
)
= rg
(
(λI −A)j
)
,
de donde
dim
(
Vj(λ)
)
= dim
(
Vj(λ)
)
.
Sabiendo que la partición de la multiplicidad m de λ o λ está determinada por las dimensiones
de los subespacios asociados a dichos autovalores y que estos tienen la misma dimensión, se
deduce inmediatamente la proposición.
4. Recuérdese, en primer lugar que dim
(
Vs(λ)
)
= m (multiplicidad de λ). Por lo demás, la
proposición es consecuencia inmediata del apartado 3) de la proposición 7.1.4 y de ser directa
la suma Vs(λ) + Vs(λ). (Ver para esto último la demostración para r = 2 del lema 6.3.2)
5. Recordando que las transformaciones elementales de los tipos I y II, conservan la independen-
cia lineal (ya que conservan el rango de la matriz de las coordenadas respecto de una base)
es fácil probar que
Bλλ = {u1,v1, . . . , . . . ,um,vm}
es una base de V .
6. Como la partición de la multiplicidad m de para ambos autovalores (λ y λ) es la misma, los
bloques de Jordan de ambos autovalores están compuestos por el mismo número de cajas
elementales y del mismo orden de ah́ı, que si E es una caja elemental del bloque de Jordan
asociado a λ, E lo será del asociado a λ.
7. En efecto, supuesto que se ha calculado una base de Vs(λ) mediante el algoritmo de la pro-
posición 6.2.1, sea {u1 + iv1,u1 + iv2, . . . ,ur + ivr}, (r ≤ s) una columna completa tomada
de abajo hacia arriba. Por construcción, sabemos que:
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7.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 133
Vr ur + ivr
↓ –(λ1V − f)
Vr−1 ur−1 + ivr−1
↓ –(λ1V − f)
...
...
↓ –(λ1V − f)
V2 u2 + iv2
↓ –(λ1V − f)
V1 u1 + iv1
↓ –(λ1V − f)
0

Es decir:

−(λ1V − f)(ur + ivr) = ur−1 + ivr−1
−(λ1V − f)(ur−1 + ivr−1) = ur−2 + ivr−2
...
...
...
−(λ1V − f)(u3 + iv3) = u2 + iv2
−(λ1V − f)(u2 + iv2) = u1 + iv1
−(λ1V − f)(u1 + iv1) = 0
Sea pues uk + ivk, (k = 1, . . . , r) un vector de dicha columna. Caben dos casos:
a) k = 1. En este caso u1 + iv1 ∈ V1(λ) con lo cual u1 + iv1 es un autovector asociado al
autovalor λ = a + bi, de donde
f(u1 + iv1) = λ(u1 + iv1) =⇒ f(u1) + if(v1) = (au1 − bv1) + i(bu1 + av1).
Es decir,
f(u1) = au1 − bv1,
f(v1) = bu1 + av1.
(7.1)
Con lo que la matriz de las relaciones 7.1 es
C =
(
a b
−b a
)
b) 1 < k ≤ r. En este caso uk + ivk ∈ Vk(λ) y, por lo tanto,
−(λ1V − f)(uk + ivk) = uk−1 + ivk−1 =⇒ f(uk + ivk) = uk−1 + ivk−1 + λ(uk + ivk).
Es decir, {
f(uk) = uk−1 + auk − bvk,
f(vk) = vk−1 + buk + avk,
(7.2)
de donde la matriz de las relaciones7.2 respecto de {uk−1,vk−1,uk,vk} es de la forma:
1 0
0 1
a b
−b a
 = ( IC
)
Con lo que queda probada la proposición.
Regla práctica
Sea λ = a + bi un autovalor complejo de f de multiplicidad m.
1o) Comenzamos, como en el caso complejo, calculando los subespacios asociados a λ, V1, V2, . . . , Vs,
sus correspondientes dimensiones n1, n2, . . . , ns y los números p1, p2, . . . , ps.
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7.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 134
2o) Con los datos anteriores ya podemos calcular el bloque complejo de Jordan asociado a λ.
Ahora, para obtener el bloque real asociado a los autovalores λ y λ bastará sustituir el
autovalor λ por la caja C definida en el apartado 7) de la proposición anterior, los “unos”, si
los hubiese, de la paralela a la diagonal por la matriz I y completar con ceros de modo que
el orden de la nueva matriz se 2m× 2m.
3o) A continuación calculamos, por el método establecido en la proposición 6.2.1, una base com-
pleja de Vs. Sea ésta
Bλ = v1,v2, . . . ,vm
4o) El bloque de base canónica real asociado a los autovalores λ y λ será de la forma:
Bλλ =
{
Re(v1), Im(v1),Re(v2), Im(v2), . . . , . . . ,Re(vm), Im(vm)
}
Ejemplo 1. Sean V un espacio vectorial sobre C, B = {u1,u2,u3,u4} y f ∈ End(V ) tal que:
A = MB(f) =

2 −2 0 0
1 0 0 0
−1 2 1 1
−1 0 −1 1
 .
Calcular las formas canónicas, compleja y real de f y unas bases canónicas, compleja y real de V
para f .
Solución
• Autovalores de f
0 = |λI −A| = (λ2 − 2 λ + 2)2 =⇒ λ1 = 1 + i, (m1 = 2), λ2 = 1− i, (m2 = 2).
• Subespacios asociados a λ1 = 1 + i
V1(λ1) ≡

−1 + i 2 0 0
−1 1 + i 0 0
1 −2 i −1
1 0 1 i


x1
x2
x3
x4
 = 0.
Utilizando la forma reducida de la matriz de los coeficientes de V 1, obtenemos:
V1(λ1) ≡

1 0 1 i
0 1 12(1− i)
1
2(1 + i)
0 0 0 0
0 0 0 0


x1
x2
x3
x4
 = 0,
de donde deducimos que dim
(
V1(λ1)
)
= 2, con lo cual los bloques de Jordan asociados a los
autovalores λ1 = 1 + i y λ2 = 1− i son de la forma:
Jλ1 =
(
1 + i 0
0 1 + i
)
, Jλ2 =
(
1− i 0
0 1− i
)
.
Una base Bλ1 de V1(λ1) es Bλ1 = {(−2,−1 + i, 2, 0), (−2i,−1− i, 0, 2)}
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7.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 135
• Formas canónicas compleja y real de f
De lo anterior se deduce que
JC =

1 + i
1 + i
1− i
1− i
 , JR =

1 1
−1 1
1 1
−1 1
 .
• Bases canónicas compleja y real de V para f
Estas son:
BC = {(−2,−1 + i, 2, 0), (−2i,−1− i, 0, 2), (−2,−1− i, 2, 0), (2i,−1 + i, 0, 2)},
BR = {(−2,−1, 2, 0), (0, 1, 0, 0), (0,−1, 0, 2), (−2,−1, 0, 0)}.
Ejemplo 2. Sean V un espacio vectorial sobre C, B = {u1,u2,u3,u4} y f ∈ End(V ) tal que:
A = MB(f) =

2 0 1 1
1 1 1 0
−1 1 0 1
−1 −1 −2 1
 .
Calcular las formas canónicas, compleja y real de f y unas bases canónicas, compleja y real de V
para f .
Solución
• Autovalores de f
0 = |λI −A| = (λ2 − 2 λ + 2)2 =⇒ λ1 = 1 + i, (m1 = 2), λ2 = 1− i, (m2 = 2).
• Subespacios asociados a λ1 = 1 + i
V1(λ1) ≡

−1 + I 0 −1 −1
−1 I −1 0
1 −1 1 + I −1
1 1 2 I


x1
x2
x3
x4
 = 0.
Utilizando la forma reducida de la matriz de los coeficientes de V 1, obtenemos:
V1(λ1) ≡

1 0 0 1 + i
0 1 0 1
0 0 1 −1
0 0 0 0


x1
x2
x3
x4
 = 0,
de donde deducimos que dim
(
V1(λ1)
)
= 1, con lo cual f no es diagonalizable y los bloques
de Jordan asociados a los autovalores λ1 = 1 + i y λ2 = 1− i son de la forma:
Jλ1 =
(
1 + i 1
0 1 + i
)
, Jλ2 =
(
1− i 1
0 1− i
)
.
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7.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 136
Una base B1λ1 de V1(λ1) es Bλ1 = {(−1− i,−1, 1, 1)}.
V2(λ1) ≡

−2− 2 i 0 −2− 2 i 2− 2 i
−2 i 0 −2 i 2
2 i −2− 2 i −2 + 2 i −2− 2 i
2 i −2 + 2 i 4 i −4


x1
x2
x3
x4
 = 0
, lo que es equivalente (utilizando, igualmente, la forma reducida por filas),
V2(λ1) ≡

1 0 1 i
0 12(1− i)
1
2(1 + i)
0 0 0 0
0 0 0 0


x1
x2
x3
x4
 = 0.
Una base B2λ1 de V2(λ1) es
B2λ1 = {(−2,−1 + i, 2, 0), (−2i,−1− i, 0, 2)}.
• Formas canónicas compleja y real de f
De lo anterior se deduce que:
JC =

1 + i 1
1 + i
1− i 1
1− i
 , JR =

1 1 1 0
−1 1 0 1
0 0 1 1
0 0 −1 1
 .
• Bases canónicas compleja y real de V para f
Calculemos un bloque de base compleja de Jordan asociada al autovalor λ1.
Como p1 = 1 y p2 = 1, tenemos
V2 (−2,−1 + i, 2, 0)
↓ −(λ1I−A)
V1 (2i, 1 + i,−1− i,−1− i)
BC = {(2i, 1+ i,−1− i,−1− i), (−2,−1+ i, 2, 0), (−2i, 1− i,−1+ i,−1+ i), (−2,−1− i, 2, 0)},
BR = {(0, 1,−1,−1), (2, 1,−1,−1), (−2,−1, 2, 0), (0, 1, 0, 0)}.
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