Apuntes algebra lineal y geometria vega (74)

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70 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
Como el nombre de la lección indica, nos vamos a centrar en el estudio de determinadas cuestiones
relativas a aplicaciones lineales en las que el espacio inicial y el espacio final coinciden, pudiendo,
obviamente, fijar igual base en ambos puntos (el de partida y el de llegada). Aśı pues, a lo largo del
tema si f :V ! V es una aplicación lineal, y en V consideramos fijada la base B, se hablará de la
matriz asociada a f respecto de la base B, que denotaremos por MB(f).
Observemos además que si M y N son dos matrices asociadas a f (en las condiciones señaladas),
entonces N = P�1MP , donde P es una matriz de cambio de base. Este hecho motiva la definición
siguiente: Dos matrices M y N se dice que son semejantes si se puede establecer entre ellas una
relación del tipo N = P�1MP . Es trivial que “matrices semejantes” es un caso particular de “matrices
equivalentes”.
3.1 Autovalores y autovectores
Sea V un K–espacio vectorial y f :V ! V una aplicación lineal, esto es, un endomorfismo de V . Las
nociones de autovalor y autovector juegan un papel fundamental en la búsqueda de la forma canónica
de un endormorfismo de V .
Definición 3.1.1 Un elemento ↵ en K es un autovalor de f si existe un vector v distinto de cero
verificando
f(v) = ↵v
El vector v se denomina autovector de f asociado al autovalor ↵.
La razón por la que estas nociones son fundamentales en el estudio de los endomorfismos se
encuentra en que si se dispone de una base de V cuyos elementos son autovectores de f entonces la
representación matricial de f respecto de esta base seŕıa una matriz diagonal, en cuya diagonal se
encontraŕıan los autovalores de f . En el caso de que sea posible tal representación diagonal para f se
dice que f es diagonalizable. Para comprender mejor esto, véase el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.1.1
Consideremos el endomorfismo f de R2 definido por la matriz M siguiente referida a la base canónica.
M = MBc(f) =
✓
0 2
2 0
◆
En la figura siguiente se muestra la acción de f sobre la base canónica y sobre los vectores v1 = (1, 1)
y v2 = (1,�1). Es fácil comprobar que f transforma los subespacios U = h{v1}i y W = h{v2}i en śı
mismos. A la vista de lo anterior, es sencillo confirmar que v1 = (1, 1) y v2 = (1,�1) son autovectores
asociados a los autovalores 2 y �2 respectivamente. Además v1 y v2 constituyen una base; llamando
B = {v1, v2} se tiene que
M 0 = MB(f) =
✓
2 0
0 �2
◆
es diagonal.
Para justificar la validez de la estrategia anterior en situaciones generales (búsqueda de autovec-
tores) se demuestra en primer lugar la independencia lineal de los autovectores asociados a autovalores
distintos.
Proposición 3.1.1 Sea f :V ! V un endomorfismo, ↵1 y ↵2 autovalores distintos de f y u1 y u2
autovectores de f asociados a ↵1 y ↵2 respectivamente. Entonces u1 y u2 son linealmente independi-
entes.