Capítulo 8 - Transformaciones lineales

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142 
 
CAPÍTULO 
 
 
TRANSFORMACIONES LINEALES 
 
 
5.1. Definición 
Sean (V, +, K, .) y (W, +, K, .) dos espacios vectoriales definidos so-
bre un mismo cuerpo K. La función f: V → W es una transformación 
lineal si y solo si: 
1) La imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de V es igual a la 
suma de sus imágenes en W. 
f( ba

+ ) = f( a

) + f(b

)  a

,b

V 
2) La imagen del producto de un escalar   0 por todo vector de V es 
igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W. 
f( a

) =  f( a

)  a

V; K 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
La definición de Transformación Lineal también se puede expresar como 
sigue: 
f: V→W es Transformación lineal  f( a

+b

) = f( a

) + f(b

)
  a

, b

V y ,  K 
 
Ejemplo: 
a 
b 
a + b 
λa 
f(a) 
f(b) 
f(a + b) = f(a) + f(b) 
f(λa) = λf(a) 
V W 
f 
 143 
Sean (R2, +, R, .) y (R3, +, R, .) dos espacios vectoriales reales y sea la 
función: f: R2 → R3 / f(a, b) = (b, -a, a + b). Demostrar que f es trans-
formación lineal. 
 
Sean: 
1v

 = (a1, b1)  R
2  f( 1v

) = (b1 ,-a1 ,a1+b1) 
2v

 = (a2, b2)  R
2  f( 2v

) = (b2 ,-a2 ,a2+b2) 
 
21 vv

+ = (a1+a2 ,b1+b2) 
f( 21 vv

+ ) = ((b1+b2),-(a1+a2), (a1+a2)+(b1+b2)) 
 = (b1+b2 ,-a1- a2 ,(a1+b1)+(a2+b2)) 
 = (b1 ,-a1 ,a1+b1) + (b2 ,-a2 ,a2+b2) 
 = f( 1v

) + f( 2v

) (I) 
 1v

= (a1 , b1)  f( 1v

) = (b1 , -(a1), a1 +b1) 
 = (b1 ,-a1 ,(a1 + b1)) 
 = (b1, -a1, a1+ b1) 
 =  f( 1v

) (II) 
 
De (I) y (II) resulta que f es una transformación lineal. 
 
5.2. Núcleo de una transformación lineal 
Definición: El núcleo de una transformación lineal es el conjunto de 
todos los elementos del primer espacio vectorial que tienen como 
imagen el cero (elemento neutro de la suma) del segundo espacio vec-
torial. 
 
 144 
f: V → W Transformación lineal. 
 Nf = { x

V / f( x

) = 0W} 
 
En el ejemplo dado: 
Nf = {(a, b) / f(a, b) = (0, 0, 0)} 
 (b, -a, a + b) = (0, 0, 0) 
 
 
  
 
 
 
 Nf = {(0, 0)} 
 
 
 
5.3. Imagen de una transformación lineal 
Definición: Se llama Imagen de una transformación lineal al conjunto 
formado por los elementos del segundo espacio vectorial que son ima-
gen de los vectores del primer espacio. 
 
If = { y

W / x

V f( x

) = y

} 
 
En el ejemplo dado: La imagen de f es el conjunto de las ternas de núme-
ros reales cuya 3º componente es igual a la diferencia entre la primera y la 
segunda componentes. 
 
If = {(x, y, x − y)} 
5.4. Propiedades de las transformaciones lineales 
 
1) La imagen del cero del primer espacio es igual al cero del segundo 
espacio. 
f(0V) = 0W 
b = 0 
-a = 0 
a + b = 0 
a = 0 
b = 0 
 
El núcleo tiene una solo elemento que 
es el par ordenado (0,0). 
 145 
Demostración: 
Sea x

  V  x

 + 0V = x

 
 f( x

 + 0V) = f( x

) 
 f( x

) + f(0V) = f( x

) Porque f es Transformación lineal. 
 f( x

) + f(0V) = f( x

) + 0w 0W elemento neutro de + en W. 
 f(0V) = 0w 
 
2) La imagen del opuesto de un elemento de V es igual al opuesto de su 
imagen. 
f(- x

) = -f( x

) 
Demostración: 
f(- x

) = f((-1) x

) 
 = (-1) f( x

) 
 f(- x

) = -f( x

) 
 
3) El núcleo de una transformación lineal f: V→ W es subespacio vec-
torial del primer espacio. 
Nf es subespacio vectorial de V 
Demostración: 
 a

Nf  f( a

) = 0W 
 b

Nf  f(b

) = 0W 
 
 f( a

+b

) = f( a

) + f(b

) Porque f es transformación lineal. 
 = 0W + 0W 
 = 0W 
  ( a

 + b

)  Nf 
 
 
 f(λ a

) = λ f( a

) Porque f es transformación lineal. 
 = λ 0W 
 = 0W 
La suma de dos elementos de 
Nf es otro elemento de Nf. 
El producto de un escalar por un 
 elemento de Nf es otro elemento de Nf. 
 146 
 λa  Nf 
 
 Nf es subespacio vectorial de V. 
 
4) La imagen de una transformación lineal es subespacio vectorial del 
segundo espacio. 
If es subespacio vectorial de W. 
Demostración: 
a) 1w

If   1v

V / f( 1v

) = 1w

 
 2w

If   2v

V / f( 2v

) = 2w

 
 
 1w

+ 2w

= f( 1v

) + f( 2v

) 
 = f( 1v

+ 2v

) Porque f es transformación lineal. 
 
Como 1v

V y 2v

V resulta que 1v

+ 2v

V. 
 
  ( 1v

+ 2v

)V / f( 1v

+ 2v

) = 1w

 + 2w

 
  1w

 + 2w

  If (I) 
b) λ 1w

 = λ f( 1v

) 
 = f (λ 1v

) Porque f es transformación lineal. 
1v

V  λ 1v

V 
   λ 1v

V / f(λ 1v

) = λ 1w

  λ 1w

  If (II) 
 
  De (I) y (II): If es subespacio vectorial de W. 
 
 
5.5. Dimensión del Núcleo y de la Imagen 
 147 
Definición: Si (V, +, K, .) es un espacio vectorial de dimensión finita y 
f:V→ W es una transformación lineal, entonces la suma de las dimensio-
nes del núcleo y de la imagen es igual a la dimensión del primer espacio. 
dim (Nf ) + dim (If ) = dim (V) 
 
 
5.6. Teorema fundamental de las transformaciones lineales 
 
Sean (V, +, K, .) y ( W , +, K, .) dos espacios vectoriales y [B] una base 
de V (   nvvvvB



,,,, 321= ). Si nwwww

,...,,, 321 son n vectores cua-
lesquiera de W, entonces existe una única transformación lineal f: V→ W 
tal que f( iv

) = iw

 ,  i =1, 2, 3,..., n. 
 
Demostración: 
Todo vector x

 de V puede expresarse como combinación lineal de los 
vectores de la base [B] siendo los escalares αi únicos. 

=
=
n
i
iivx
1

 
Se define ahora una función f: V→ W tal que la imagen de cualquier 
vector x

 de V esté dada por: 

=
=
n
l
iiwxf
1
)(

 
 
Es decir que la imagen por f de una vector x

de V es la combinación 
lineal de los n vectores iw

 de W usando los mismos coeficientes que 
permiten expresar a x

 como combinación lineal de los vectores de la 
base [B]. 
En primer lugar, se demostrará que f es una transformación lineal. 
Sean x

 V  
=
=
n
i
iivx
1

 y 
=
=
n
l
iiwxf
1
)(

 
 148 
y

V  y


=
=
n
i
iiv
1

 y 
=
=
n
i
iiwyf
1
)(

 

=
+=+
n
i
iii vyx
1
)(

 
 
=
+=+
n
i
iii wyxf
1
)()(

 
 
= =
+=
n
i
n
i
iiii ww
1 1

 
 )()( yfxf

+= (I) 
 
  
= =
==
n
i
n
i
iiii vvx
1 1

 
 
=
=
n
i
iiwxf
1
)(

 
 = 
=
n
i
iiw
1

 
 = )(xf

 (II) 
 
De (I) y (II) queda demostrado que f es una transformación lineal. 
En segundo lugar se debe demostrar que i es: ii wvf

=)( 
En efecto, un vector iv

 puede escribirse como combinación lineal de los 
vectores de [B] como sigue: 
 nii vvvvv

.0....1....0.0 21 +++++= 
 149 
 nii wwwwvf

.0....1....0.0)( 21 +++++= 
 ii wvf

=)( Que es lo que se quería demostrar. 
 
En tercer lugar se demostrará que, bajo la condición enunciada anterior-
mente, la transformación lineal f es única. 
Se supone que existe otra transformación lineal g: V→W / ii wvg

=)( 
Entonces: 
=
=
n
i
iivgxg
1
)()(

 
 
=
=
n
i
ii vg
1
)(

 
 = 
=
n
i
iiw
1

 
 
=
=
n
i
ii vf
1
)(

 
 = 
=
n
i
iivf
1
)(

 
 = )(xf

 
 
En consecuencia, g = f y por lo tanto la transformación lineal es única. 
 
 
 
5.7. Matriz asociada a una transformación lineal 
Sean (V, +, K, .) y (W, +, K, .) dos espacios vectoriales de dimensión n y 
m respectivamente.Sea f: V → W una transformación lineal y sean además: 
[B1] =  nvvvv

,...,,, 321 una base de V y 
[B2] =  mwwww

,...,,, 321 una base de W. 
 150 
Todo vector x

 de V puede escribirse como combinación lineal de los 
vectores de la base [B1] 

=
=
n
j
jjvx
1

 
 
Los 
j son las coordenadas del vector x

 en la base [B1] y también se 
pueden escribir como una matriz columna: 
 
















=
n
Bx






3
2
1
1
 
 
Sea y

 la imagen de x

 por la transformación lineal f: )(xfy

= . 
 
Pero y

es un vector de W entonces puede expresarse como combinación 
lineal de los vectores de la base [B2] y esa combinación es única. 
 

=
=
m
i
iiwy
1

 
Por el Teorema Fundamental de las transformaciones lineales, f queda 
caracterizada unívocamente por los valores que toma sobre cualquier 
base de V. O sea que es suficiente obtener las imágenes, por f, de cada 
uno de los vectores de la base [B1]. Para cada iv

su imagen será )( ivf

. 
Pero )( ivf

 es un vector de W, entonces puede expresarse como combi-
nación lineal de los vectores iw

 de la base [B2]. 

=
=
m
i
iijj wvf
1
)(

  j = 1,2,3,..., n 
Se nombran los subíndices con la 
letra j por conveniencia. 
 151 
Cada escalar lleva dos subíndices: el subíndice i está referido a la base 
[B2] =  mwwww

,...,,, 321 y el subíndice j se refiere a un vector de la base 
[B1] =  nvvvv

,...,,, 321 
En consecuencia, se tiene: 
mm wwwwvf



13312211111)(  ++++= 
mm wwwwvf



23322221122 )(  ++++= 
mm wwwwvf



33332231133 )(  ++++= 
 ........................................................................... 
............................................................................. 
mmnnnnn wwwwvf



 ++++= 332211)( 
Tomando los coeficientes ij se puede construir una matriz A que recibe 
el nombre de Matriz Asociada a la Transformación Lineal f respecto de 
las bases [B1] y [B2]. 














=
mnmm
n
n
A







21
22221
11211
 
 
Esta matriz es de orden mn o sea que tiene m filas (m = dimW) y n 
columnas (n = dimV). 
 
Entonces, para hallar la matriz asociada a una transformación lineal f, 
respecto de una base en cada espacio, se determinan las imágenes por f 
de cada uno de los vectores de la base [B1] y luego se hallan sus coorde-
nadas en la base [B2]. 
Cada columna de A corresponde a la imagen de cada vector de [B1] ex-
presada en la base [B2]. 
 152 
 
 
5.7.1. Teorema 
 
Si A es la matriz asociada a una transformación lineal f respecto de las 
bases [B1] y [B2], entonces la imagen de un elemento x

 de V en la base 
[B2] es igual al producto de la matriz A por el vector columna formado 
por las coordenadas de x

 en la base [B1]. 
( )( )   12 . BB xAxf

= 
 
 
Ejercicios resueltos 
1º) Verificar que la siguiente función es una transformación lineal. Hallar 
el núcleo, la imagen y una base de cada uno de ellos. 
f : R2 → R tal que f(x, y) = 2x – 5y 
 
Sean: (a, b)  R2 → f(a, b) = 2a−5b 
 (c, d)  R2 → f(c, d) = 2c−5d 
(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d)  R2 → f(a+c, b+d) = 2(a+c)−5(b+d) 
= 2a+2c−5b−5d 
= (2a−5b)+(2c−5d) 
= f(a, b)+ f(c, d) (I) 
(a, b)=(a, b)  R2 → f(a, b) = 2a−5b 
= (2a−5b) 
=  f(a, b) (II) 
De (I) y (II), queda demostrado que f es una transformación lineal. 
 
Determinación del Núcleo de f. 
(a, b)  Nf → f(a, b) = 0 → 2a−5b= 0 → ba
2
5
= 
 153 
 Nf = ( )






= baRba
2
5
/, 2 ó también: Nf = 












bb,
2
5
Dim (Nf)=1 
Entonces, una base del núcleo puede ser: {(5, 2)}. 
 
Determinación de la Imagen de f. 
If = R ya que para todo número real r se pueden encontrar dos nú-
meros reales x e y tales que r = 2x−5y. Dim(If)= 1 
Una base de la imagen de la transformación lineal puede ser cual-
quier número real, por ejemplo: {-1}. 
 
2º) Hallar la expresión de la transformación lineal g, si: 
 g: R2 → R3 , g (-2, 4) = ( 2, 0, 4 ) y g (1, 1) = (2, 3, 1). 
 
Se puede verificar fácilmente que (-2, 4) y (1, 1) son dos vectores li-
nealmente independientes. Entonces constituyen una base de R2 que 
es un espacio vectorial de dimensión 2. Por lo tanto todo vector de 
R2 puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la 
base: 
 ( ) ( ) )1,1(4,2,  +−=ba 



=+
=+−

b
a


4
2
 
3
2
6
ba
ab
+
=
−
=



 
 ( ) )1,1(
3
2
)4,2(
6
,
baab
ba
+
+−
−
= 
Por el teorema fundamental de las transformaciones lineales: 
 ( ) ( ) ( )1,1
3
2
4,2
6
, g
ba
g
ab
bag
+
+−
−
= 
 ( ) ( ) ( )1,3,2
3
2
4,0,2
6
,
baab
bag
+
+
−
= 
 ( ) 




 +
+
+
+




 −−
=
3
2
,2,
3
24
3
22
,0,
3
,
ba
ba
baabab
bag 
 154 
 ( ) 




 ++−
+
++−
=
3
222
,2,
3
24
,
baab
ba
baab
bag 
 ( ) ( )bbababag ,2,, ++= 
 
3º) Encontrar la matriz A asociada a la transformación lineal f respecto 
de las bases indicadas. 
 f : R3 → R2 tal que f(x, y, z) = (x −2z, y+z) en las bases 
B1 ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (3, 0, 0)} y B2 ={(2, 0), (0, 2)} . Verificar 
que para todo x

R3 : f ( x

)  2B = A . x

 1B
 
 
En primer lugar, se hallan los transformados de cada uno de los vec-
tores de la base B1 y luego se calculan sus coordenadas en la base B2. 
f(1, 1, 1)= (-1, 2) 
 (-1, 2) = (2, 0) + (0, 2) 



=
−=

22
12


 1
2
1
=−=  
 f (1, 1, 1) = ( )
 2
1;
2
1
2,1
B






−=− (I) 
f(1, 1, 0)= (1, 1) 
 (1, 1) = (2, 0) + (0, 2) 



=
=

12
12


 
2
1
2
1
==  
 f(1, 1, 0) = ( )
 2
2
1
,
2
1
1,1
B






= (II) 
f (3, 0, 0) = (3, 0) 
 155 
 (3, 0) = (2, 0) + (0, 2) 



=
=

02
32


 0
2
3
==  
 f (3, 0, 0) = ( )
 2
0,
2
3
0,3
B






= (III) 
Tomando los vectores hallados en (I), (II) y (III) como vectores co-
lumna, se construye la matriz A, asociada a la transformación lineal f, 
respecto de las bases dadas. 












−
=
0
2
1
1
2
3
2
1
2
1
A 
Para la verificación solicitada en la segunda parte del problema, se 
calcularán por separado f( x

)  2B y A. x

 1B
. 
Sea ( ) 3321 ,, Rxxxx =

  f ( ) ( )3231321 ,2,, xxxxxxx +−= 
( ) ( )



+=
−=
+=+−
32
31
3231
2
22
)2;0(0;2,2
xx
xx
xxxx


 
 
2
2
2
32
31
xx
xx
+
=
−
=


 
 f( x

)  2B 




 +−
=
2
,
2
2 3231 xxxx () 
Se expresa ahora el vector x

 en la base B1: 
 156 
( ) ( )





=
=+
=++
++=
3
2
1
321
3
)0,0,3()0,1,1(1,1,1,,
x
x
x
xxx



 
De donde resultan: 3x= , 32 xx −= y 
3
21 xx −= 
Entonces:  














−
−=
3
21
32
3
1
xx
xx
x
x B

 
A. x

 1B
= 












−
0
2
1
1
2
3
2
1
2
1
. 














−
−
3
21
32
3
xx
xx
x
=












+
−
2
2
2
32
31
xx
xx
 () 
De () y (), se verifica que para todo x

R3: f( x

)  2B = A. x

 1B
 
 
 
 157 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6 
 
DIAGONALIZACION DE MATRICES 
 
6.1. Introducción 
Si f: V→V es una transformación lineal de un espacio vectorial en sí 
mismo, un vector u

  es transformado, en general, por f en un vector 
que está en una dirección diferente. Sin embargo puede ocurrir que f( u

) 
sea simplemente un múltiplo de u

. Es decir que: 
f(u

) = u

 donde  es un escalar 
Esta cuestión y la de la existencia de una base respecto de la cual la ma-
triz asociada a la transformación lineal sea una matriz diagonal, están 
íntimamente ligadas entre sí a tal punto que unresultado que afecta a una 
de ellas afecta también a la otra. 
De su estudio se derivan importantes propiedades que amplían el cono-
cimiento sobre el álgebra y que son de aplicación en áreas que no son 
propias de esta materia como, por ejemplo, la teoría de optimización que 
se sirve de los autovalores de una matriz para obtener condiciones sufi-
cientes de óptimo de una función. 
Antes de entrar de lleno en el desarrollo del tema, se debe dejar en claro 
que, puesto que se trabajará con transformaciones lineales de un espacio 
vectorial en sí mismo, entonces en todos los casos se adoptará la misma 
base para el espacio origen y para el espacio imagen. 
 
 158 
6.2. Valores propios (autovalores) y vectores propios (autovectores) 
Definición: Sea f: V → V una transformación lineal. Un número real  
es un “autovalor” de la transformación si para algún vector u

V, no 
nulo, se verifica que: 
f(u

) = u

 
 
El vector u

 se denomina “autovector” de la transformación, relativo al 
autovalor . 
 
Ejemplos 
1) Dada la transformación lineal 
f : R2 → R2 / f(u1, u2) = (2u1 - u2 , -u1 + 2u2) 
se puede comprobar que 1=3 y 2= 1 son dos autovalores. Para 
ello se calculan: f(1, -1) y f(1, 1). 
 f(1, -1) = (2 .1-(-1), -1+2(-1)) 
= (2+1, -1-2) 
= (3, -3) 
= 3(1, -1) 
Entonces 3 es autovalor de la transformación lineal dada. 
 f(1, 1) = (2 .1 – 1, -1 + 2. 1) 
= (2-1, -1+2) 
= (1, 1) 
= 1(1, 1) 
 Por lo tanto, también 1 es autovalor de la transformación lineal dada 
2) Calculando f(3, 1) y f(0, -1), comprobar que 
f: R2 → R2 / f(u1, u2) = (5u1 , u1 + 2u2) 
tiene dos autovalores diferentes. 
f(3,1) = (15, 5) 
 159 
= 5(3, 1) 
Por lo tanto, 5 es un autovalor de la transformación lineal dada y el 
vector (3, 1) es un autovector de dicha transformación relativo al au-
tovalor 5. 
f(0, -1) = (0, -2) 
= 2(0, -1) 
Entonces 2 es un autovalor de la transformación lineal dada y el vec-
tor (0,-1) es un autovector de dicha transformación relativo al auto-
valor 2. 
 
¿Porqué en la definición de autovalor se hace la salvedad de que u

  ? 
Evidentemente el vector u

 no puede ser el vector nulo porque en ese 
caso la igualdad f(u

) = u

 se verificaría para cualquier valor de . 
En efecto: f() =  para todo  
Otra consecuencia importante que se deriva de la definición de autovalor 
es la que se demuestra en el siguiente: 
Teorema: Dos autovalores diferentes no pueden tener asociado el mis-
mo autovector. 
Demostración: 
Sean 1 y 2 dos autovalores diferentes de una transformación lineal. 
Supongamos que existe un vector u

 relativo a ambos autovalores 
f(u

) = 1 u

 y f(u

) = 2 u

 
 1 u

 = 2 u

 
 (1 − 2 ) u

 =  
Puesto que 1 − 2  0 resulta u

 =  que contradice la definición y el 
teorema queda demostrado. 
En consecuencia : 
 160 
Dos autovalores diferentes no pueden tener asociado el mismo 
autovector. 
 
6.3. Subespacio asociado a un autovalor 
Definición: Sea  un autovalor de una transformación lineal f : V → V, 
se llama L() al conjunto de todos los vectores asociados al autovalor . 
L() = u

V/ f(u

) = u

 
 
Teorema: L() es un subespacio vectorial de V. 
Demostración 
Sea u

  L()  f(u

) = u

 
 Sea v

 L()  f( v

) =  v

 
f(u

 + v

) = f(u

) + f( v

) porque f es Transformación lineal 
 = u

 + v

 
 = (u

 + v

)  (u

 + v

)  L() 
 
f(ku

) = k f(u

) porque f es Transformación lineal 
 = k u

 
 = (ku

)  ku

  L() 
 L() es subespacio vectorial de V 
Dicho subespacio se denomina Subespacio asociado al autovalor . 
Ejemplo: 
Escribir los subespacios asociados a cada uno de los autovalores hallados 
en el ejemplo 2. 
L(5) = u

R2/ f(u

) = 5u

  (5u1 , u1 + 2u2) = 5(u1, u2) 
 161 



=+
=

221
11
52
55
uuu
uu
 
 u1 = 3 u2 
 L(5) = (u1, u2)R
2/ u1 = 3u2 
L(2) = u

R2/ f(u

) = 2u

 (5u1, u1 + 2u2) = 2(u1, u2) 
 



=+
=
221
11
22
25
uuu
uu
 
 3u1 = 0 
 u1 = 0 
 L(2) = (u1 , u2)R
2/ u1 = 0 
 
Teorema: Si  = 0 es un autovalor de una transformación lineal f, en-
tonces el subespacio asociado al autovalor 0 es igual al núcleo de la trans-
formación f. 
L(0) = N(f) 
 
Demostración: L(0) = u

V / f(u

) = 0u

 
L(0) = u

V / f(u

) = } 
L(0) = Nf 
 
6.4. Independencia lineal de autovectores relativos a autovalores 
diferentes. 
Sean los subespacios hallados en el ejemplo anterior. 
L(5) = (u1 , u2 )R
2/ u1 =3 u2 y L(2) = (u1 , u2 )R
2/ u1 = 0 
 162 
Si u

  L(5) entonces existe un número real a0  0 tal que: u

 = (3a0 , a0) 
Si v

 L(2) entonces existe un número real b0 0 tal que : v

= (0 , b0) 
Se plantea ahora la siguiente igualdad: u

 + v

 =  y se calculan  y . 
(3 a0 , a0) + (0 , b0) =  
 



=+
=
0
03
00
0
ba
a


 
De donde resulta:  = 0 y  = 0 
En consecuencia : 
Los vectores u

 y v

 son linealmente independientes 
 
Se ha verificado, entonces, que autovectores relativos a autovalores 
diferentes son linealmente independientes. 
Generalizando este resultado, se enuncia el siguiente teorema: 
 
Teorema : Sea f : V → V una transformación lineal y 
puuuu



,,,, 321 , p 
vectores correspondientes a los autovalores 1, 2 , ..., p. Si los autovalo-
res son diferentes entre sí, entonces los p autovectores son linealmente 
independientes 
Demostración 
Se demuestra por medio del Principio de Inducción Completa 
Si p =1 la proposición es verdadera. 
Se supone que es verdadera para p = h y se comprobará que es verdadera 
para p = h+1 
Sea una combinación lineal cualquiera de los autovectores 
 163 
1321 ,,,, +huuuu



 igual al vector nulo  : 

+
=
1
1
h
i
iiua

=  (I) 
 
Entonces : ==






+
=
+
=
1
1
11
1
1
h
i
ii
h
i
ii uauaf

  (II) 
 
Si a la igualdad (I) se la multiplica por h+1 y se la resta de la igualdad (II), 
se obtiene : 
 
+
=
+
=
+ −
1
1
1
1
1
h
i
h
i
iiiihi uaua

 =  

+
=
+ −
1
1
1 )(
h
i
iihi ua

 =  
( ) ( ) ( ) 111111111 ++++++ −+−++− hhhhhhhhh uauaua



 =  
Pero ( ) ( ) ( ) hhhhhh uauaua



 −++−+− +++ 122121111 =  
porque se ha supuesto que h vectores son linealmente independientes. 
Como el factor (h+1 − i)  0 para i = 1, 2, ..., h resulta entonces que 
ai = 0 para i = 1, 2, ... , h. 
En consecuencia, volviendo a la igualdad (I): 

+
=
1
1
h
i
iiua

=  
112211 ++++++ hhhh uauauaua



=  
 11 ++ hh ua

 =  
 164 
 01 =+ha 
y por lo tanto, h+1 vectores son linealmente independientes, con lo que el 
teorema queda demostrado. 
 
Del teorema enunciado anteriormente se deriva el siguiente corolario, 
cuya demostración se basa en los teoremas estudiados en espacios vecto-
riales : 
 
Si f : V → V es una transformación lineal en un espacio de dimensión n, 
entonces f tiene como máximo n autovalores diferentes. 
6.5. Transformaciones lineales diagonalizables 
Dada la transformación lineal f : R3 → R3 definida por : 
 f(x1, x2 , x3 ) = (15x1 + 51 x2 − 21 x3 , 3x1 + 15x2 - 3x3 , 48x2 − 6x3 ) 
hallar la matriz asociada a la transformación respecto de : 
a) la base canónica 
f(1, 0, 0) = (15, 3, 0) 
f(0, 1, 0) = (51, 15, 48) 
f(0, 0, 1) = (-21, -3, -6) 
 
 A = 










−
−
−
6480
3153
215115
 
 
b) la base [B] = (5, 3, 8) , (3, 1, 2) , (1, 0, 1)} 
 f(5, 3, 8) = (60, 36, 96) 
 (60, 36, 96) = (5, 3, 8) + (3, 1, 2) + (1, 0, 1) 
 165 
  = 12  = 0  = 0 
 (f(5, 3, 8))[B] = (12, 0, 0) 
 
 f(3, 1, 2) =(54, 18, 36) 
 (54, 18, 36) = (5, 3, 8) + (3, 1, 2) + (1, 0, 1) 
  = 0  = 18  = 0 
 (f(3, 1, 2))[B] = (0, 18, 0) 
 
 f(1, 0, 1) = (-6, 0, -6) 
 (-6, 0, -6) = (5, 3, 8) + (3, 1, 2) + (1, 0, 1) 
  = 0  = 0  = -6 
 (f(1, 0, 1))[B] = (0, 0, -6) 
 
 La matriz asociada a la transformación lineal respecto de la base [B] es 
A = 










− 600
0180
0012
 
 
La matriz obtenida en este caso es una matriz diagonal. 
En general : 
Definición: Una transformación lineal f: V→V es diagonalizable, si para 
alguna base en V, la matriz asociada a la transformación f, respecto de 
esa base, es una matriz diagonal. 
Al construir la matriz de la transformación f respecto de la base [B] se 
obtuvo : 
 166 
 f(5, 3, 8) = (60, 36, 96) = (12, 0, 0)[B 
 f(3, 1, 2) = (54, 18, 36) = (0, 18, 0) [B 
 f(1, 0, 1) = (-6, 0, -6) = (0, 0,-6) [B 
Pero también se observa que : 
f(5, 3, 8) = (60, 36, 96) = 12(5, 3, 8) Por lo que 12 es un autovalor de la 
transformación f y (5, 3, 8) un auto-
vector relativo a ese autovalor. 
f(3, 1, 2) = (54, 18, 36) = 18(3, 1, 2) Por lo que 18 es un autovalor de la 
transformación f y (3, 1, 2) un auto-
vector relativo a ese autovalor. 
f(1, 0, 1) = (-6, 0, -6) = -6(1, 0, 1) Por lo que -6 es un autovalor de la 
transformación f y (1, 0, 1) un auto-
vector relativo a ese autovalor. 
 
Definición : Sea f: V→V una transformación lineal en un espacio de 
dimensión n. Si f tiene n autovalores distintos, la matriz asociada respec-
to de una base formada por autovectores relativos a cado uno de los n 
autovalores es una matriz diagonal, cuyos elementos no nulos son los 
autovalores de la transformación. 
6.6. El polinomio característico 
Si  es un autovalor de una transformación lineal f, es por definición: 
f(u

) = u

 
Pero, como ya se vió al estudiar transformaciones lineales, f(u

) = Au

 
donde A es la matriz asociada a la transformación lineal f. Entonces re-
sulta : 
Au

 = u

 
 167 
ó también : 
 Au

 = Iu

 donde I es la matriz identidad de orden n 
Au

 − Iu

 =  
(A − I) u

 =  
Como u

   por ser autovector, entonces la única posibilidad para que 
la igualdad precedente se cumpla es que : 
A − I = 0 
Definición : Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se denomina poli-
nomio característico de A al polinomio de grado n que resulta al de-
sarrollar el determinante de la matriz (A − I). 
Definición: Sea f: V → V una transformación lineal y [B] una base cual-
quiera de V. Si A es la matriz asociada a la transformación lineal, respec-
to de dicha base, se verifica que  es un autovalor de la transformación f, 
si y sólo si, es una raíz real del polinomio característico de A. 
Ejemplos: 
1) Sea f(x1 ,x2) = (2x1 − x2 , -x1 + 2 x2) una transformación lineal cuyos 
autovalores son 1= 3 y 2 = 1. Se verificará que esos valores son 
las raíces del polinomio característico de la matriz A asociada a f, res-
pecto de la base canónica. 
Se construye la matriz A 
f(1, 0) = (2, -1) 
f(0, 1) = (-1, 2)  A = 





−
−
21
12
 
A - I = 





−−
−−


21
12
 
 168 
 A - I = (2 - )2 – 1 = 0 
 2 – 4 + 3 = 0  



=
=
1
3
2
1


 
2) Dada f: R3 → R3/ f(x1, x2 , x3 ) = (3x1-x2+x3 , -x1+5x2 - x3 , x1-x2+3x3 ), 
utilizar la matriz A asociada a la base canónica para hallar los autova-
lores y autovectores de f. 
f(1, 0, 0) = (3, -1, 1) 
f(0, 1, 0) = (-1, 5, -1) 
f(0, 0, 1) = (1, -1, 3) 
  A = 










−
−−
−
311
151
113
  A - I = 










−−
−−−
−−



311
151
113
 
A - I = (3-)2(5-) +1 +1 –(5-) – (3-) – (3-) = 0 
3 - 112 + 36  -36 = 0 
 3 - 22 - 92+18  + 18 -36 = 0 
 2(-2) -9(-2) + 18(-2) = 0 
 (-2) (2 -9 + 18) = 0 
(-2) (-3) (-6) = 0  





=
=
=
6
3
2
3
2
1



 
Para calcular los autovectores, se hallan los espacios asociados a cada 
uno de esos autovalores: 
L(2) = u

R3/ f(u

) = 2u

 
 169 





=+
=+
=+
3321
2321
1321
2u 3u u - u
2u u - 5u u- 
2u u u - 3u
  





=+
=+
=+
0 u u - u
0 u - 3u u-
0 u u - u
321
321
321
  



−=
=
31
2 0
uu
u
 
  L(2) = (u1, u2, u3)R
3 /u2 = 0  u1 = -u3 = {(-u3, 0, u3)} 
 
L(3) = u

R3/ f(u

) = 3u

 





=+
=+
=+
3321
2321
1321
3u 3u u - u
3u u - 5u u-
3u u u - 3u
  





=
=+
=+
0 u - u 
0 u - 2u u- 
0 u u -
21
321
32
  u1 = u2 = 
u3 
  L(3) = (u1, u2, u3)  R
3 / u1 = u2 = u3 = {(u1, u1, u1)} 
 
L(6) = u

R3/ f(u

) = 6u

 





=+
=+
=+
3321
2321
1321
6u 3u u - u
6u u - 5u u-
6u u u - 3u
  





=
=
=+
0 3u - u - u
0 u - u - u-
 0 u u - 3u-
321
321
321
  



−=
=
32
31
2uu
uu
 
  L(6) = (u1, u2, u3)R
3 /u1=u3  u2 =-2u3={(u3, -2 u3, u3 )} 
 
 
6.7. Matrices semejantes 
Definición: Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz C, 
no singular ( C  0), tal que : 
 170 
A = CBC-1 
 
Teorema : Si A y B son dos matrices semejantes, tienen el mismo poli-
nomio característico. 
Demostración 
A = CBC-1 
  A - I = CBC-1 − I 
 = CBC-1− CIC-1 
Pero : 
 (CBC-1− CIC-1) = C(BC-1− IC-1) = C(B − I)C-1 
Por lo tanto : 
 CBC-1− CIC-1 =  C(B − I)C-1 
= CB − IC-1 
= B − I 
A - I = B − I Que es lo que se quería demostrar. 
 
Nota : Dos matrices semejantes, al tener el mismo polinomio caracterís-
tico, tienen los mismos autovalores. Por lo tanto, como veremos más 
adelante, los determinantes de dos matrices semejantes son iguales. 
 
 
6.7.1. Matriz Cambio de Base 
Definición: Sea f: V → V una transformación lineal en un espacio de 
dimensión n. Si A es la matriz asociada a la transformación respecto de 
una base  nuuu



,,, 21 y B es la matriz asociada a la misma transforma-
ción f, respecto de otra base  nvvv



,,, 21 , se verifica que A y B son 
semejantes. 
 171 
A = CBC-1 donde C se llama Matriz Cambio de Base. 
 
Ejemplo 
Si se retoma la transformación lineal del ejemplo de la página 169 y se 
construye la matriz B asociada a la base B2 = (1,0,-1),(2,2,2),(1,-2,1), 
se mostrará que la matriz A hallada anteriormente y la matriz B son se-
mejantes. 
f(1, 0, -1) = (2, 0, -2) 
(2, 0, -2) = (1, 0, -1) + (2, 2, 2) + (1, -2, 1) 
  = 2 ;  = 0 ;  = 0 
( ) 2)1,0,1( Bf − = (2, 0, 0) 
f(2, 2, 2) = (6, 6, 6) 
(6, 6, 6) = (1, 0, -1) + (2, 2, 2) + (1, -2, 1) 
  = 0 ;  = 3 ;  = 0 
( ) 2)2,2,2( Bf = (0, 3, 0) 
f(1, -2, 1) = (6, -12, 6) 
(6, -12, 6) = (1, 0, -1) + (2, 2, 2) + (1, -2, 1) 
  = 0 ;  = 0 ;  = 6 
( ) 2)1,2,1( Bf − = (0, 0, 6) 
 B = 










600
030
002
 
A= 45 + 1 + 1 – 5 –3 –3 = 36 
 172 
B= 36 
 A = B  A y B son semejantes. 
 
Se verificará ahora que B = CAC-1 donde C es la matriz de cambio de 
base que permite pasar de la base canónica a la base [B2]. 
Calculando las coordenadas de los vectores canónicos en la base [B2] se 
puede construir C. 
C = 












−
−
6
1
3
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2
10
2
1
 C-1 = 










−
−
121
220
121
 
 
CAC-1 =











−
−
6
1
3
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2
10
2
1










−
−−
−
311
151
113










−
−
121
220
121
 
= 










−
−
121
2
1
2
1
2
1
101










−
−
121
220
121
 
= 










600
030
002
 
 
Que es igual a la matriz B lo que permite verificar que A y B son seme-
jantes. 
 173 
De acuerdo a lo que acabamos de ver, se puede expresar la primera defi-
nición dada en el punto 4, como sigue : 
Definición: Toda matriz asociada a una transformación diagonalizable 
es semejante a una matriz diagonal. 
 
Entonces: ¿Qué condiciones debe reunir una matriz A asociada a una 
transformación lineal para ser diagonalizable? La respuesta a este interro-
gante se encuentra en el siguiente teorema que se enuncia sin demostra-
ción: 
Teorema: Una matriz A, cuadrada de orden n, es diagonalizable si y 
sólo si A tiene n autovectores linealmente independientes. 
 A es diagonalizable  A tiene n autovectores linealmente in-
dependientes. 
 
Al tratar de determinar si una matriz es diagonalizable o no, es necesario 
tener en cuenta la siguiente observación: 
Si 0 es una raíz del polinomio característico de una matriz A y su mul-
tiplicidad es m, la dimensión del espacio asociado a ese autovalor puede 
ser igual o menor que m. 
 dim L(0)  m 
Por ello , resulta útil hallar en 1º lugar los subespacios de los autovecto-
res asociados a los autovalores que son raíces múltiples del polinomio 
característico, para determinar su dimensión. Si para alguno de ellos se 
verifica que dim L(0)  m entonces la matriz no es diagonalizable. 
 
Ejemplos 
 174 
a) Verificar que la matriz A = 










−−
−−
−
331
551
212
 no es diagonalizable. 
Los autovalores de A son 1 = 2 ; 2 = 1 ; 3 = 1 
 2 es raíz de multiplicidad uno y 1 es raíz de multiplicidad dos 
L(2) = {u

 / Au

 = 2u

} de donde resolviendo resulta: 
L(2) = {(u1, u2 , u3) / u2 = u3 = 0}, por lo tanto Dim L(2) = 1 
 
L(1) = {u

 / Au

 = u

} y resolviendo resulta: 
L(1) = {(u1, u2 , u3 ) / u2 = u3 = -u1}, por lo tanto Dim L(1) = 1 
Entonces la matriz no es diagonalizable porque la dimensión del es-
pacio asociado al autovalor 1 es menor que la multiplicidad de éste. 
 
 b) Sea f : R3 → R3 una transformación lineal definida por: 
 f(x1, x2 , x3 ) = (x2 - x3 , -x1 + 2x2 - x3, x1 - x2 + 2x3) 
b.1) Hallar los autovalores de la transformación y los autovectores 
correspondientes 
Se calcula la matriz asociada a la transformación respecto de la 
base canónica 
f(1,0,0) = (0, -1, 1) f(0,1,0) = (1, 2, -1) f(0,0,1) = (-1, -1, 2) 
A = 










−
−−
−
211
121
110
 
 175 
A - I = 










−−
−−−
−−



211
121
11
  1 = 2 ; 2 = 1 ; 3 = 1 
Los espacios asociados a los autovalores son: 
L(2) ={(u1, u2 , u3 )/u1 = u2 = -u3}, por lo tanto Dim L(2) =1 
L(1) ={(u1, u2 , u3 ) / u1 = u2 - u3}, por lo tanto Dim L(1) = 2 
Entonces la transformación lineal dada es diagonalizable. 
b.2) Hallar una base de R3 respecto de la cual, la transformación sea 
diagonalizable. Escribir la matriz asociada a la transformación 
respecto de esa base. 
Para hallar una base respecto de la cual la transformación sea 
diagonizable, se toma un vector de L(2) y dos vectores de L(1), 
que sean linealmente independientes. 
 
Por ejemplo (1, 1, -1)  L(2) 
(0, 3, 3)  L(1) 
(-1, 2, 3)  L(1) 
 
Entonces [B] = {(1,1,-1), (0, 3, 3), (-1, 2, 3)} 
 
A continuación se comprobará que la matriz B asociada a la 
transformación dada, respecto de esta nueva base, es una ma-
triz diagonal y además que los elementos de la diagonal son los 
autovalores de la transformación lineal.. 
 
f(1, 1, -1) = (2, 2, -2) 
(2, 2, -2) = (1, 1, -1) +  (0, 3, 3) +  (-1, 2, 3) 
 = 2 ,  = 0 ,  = 0  (f(1, 1, -1))[B] = (2, 0, 0) 
 176 
 
f(0, 3, 3) = (0, 3, 3) 
(0, 3, 3) = (1, 1, -1) +  (0, 3, 3) +  (-1, 2, 3) 
 = 0 ,  = 1 ,  = 0  (f(0, 3, 3))[B] = (0, 1, 0) 
 
f(-1, 2, 3) = (-1, 2, 3) 
(-1, 2, 3) = (1, 1, -1) +  (0, 3, 3) +  (-1, 2, 3) 
 = 0 ,  = 0 ,  = 1  (f(-1, 2, 3))[B] = (0, 0, 1) 
 B = 










100
010
002