IngenieriaControl

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Apuntes de Ingeniería de Control I
Book · September 2015
DOI: 10.13140/RG.2.1.5126.1921
CITATION
1
READS
47,098
4 authors, including:
Luis E Moreno
University Carlos III de Madrid
306 PUBLICATIONS   3,915 CITATIONS   
SEE PROFILE
Santiago Garrido
University Carlos III de Madrid
160 PUBLICATIONS   2,107 CITATIONS   
SEE PROFILE
Miguel Angel Salichs
University Carlos III de Madrid
261 PUBLICATIONS   3,379 CITATIONS   
SEE PROFILE
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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
APUNTES DE INGENIERÍA DE CONTROL I
L. Moreno, S. Garrido, C. Balaguer y
M. A. Salichs
II
PREFACIO
La Ingeniería de Control tradicionalmente ha estado vinculada al sector in-
dustrial para control de sistemas físicos. Pero últimamente, ésta se ha extendido
a otros campos productivos y de servicios tales como sistemas biológicos, fisioló-
gicos, económicos, etc., en donde el modelado y posterior control son claves. De
este modo, la Ingeniería de Control se presenta como una disciplina horizontal con
múltiples aplicaciones y campos sectoriales.
El objetivo de este libro es presentar las metodologías y técnicas de modelado y
control de sistemas dinámicos. El libro pretende, sobre todo, ser un texto didáctico
para impartir y recibir clases de Ingeniería de Control. No se ha pretendido hacer
un libro de profundidad y contenido investigador, sino un libro para los alumnos.
Por ello, sus desarrollos son los estrictamente necesarios y los que en el tiempo
lectivo disponible puedan ser impartidos.
Se trata de un texto de carácter introductorio que pretende, evitando las demos-
traciones innecesarias, no solamente presentar y desarrollar el aparato matemático
estrictamente necesario, sino también analizar el carácter físico de los resultados
y comportamientos. El libro presenta en la mayoría de los capítulos una amplia
gama de problemas resueltos que ayudan al lector a la mejor asimilación de los
contenidos teóricos. Asimismo, el texto incluye numerosas referencias que pueden
apoyar la profundización de los contenidos de algunos capítulos.
Los autores
VI
Índice general
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Concepto de transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . 4
1.4.2. Transformadas de Laplace de algunas funciones . . . . . . 7
1.4.3. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4. Resolución de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . 11
2.. Técnicas clásicas de modelado de sistemas . . . . . . . . . . . 15
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Modelos de entrada/salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Modelos temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2. Modelos en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3. Movimiento de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4. Sistemas eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1. Reducción de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2. Trasposición de sumadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.. Análisis Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Introducción al Análisis Temporal de Sistemas . . . . . . . . . . . 47
3.2. Respuesta Temporal . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Respuesta impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2. Respuesta de los sistemas de primer orden . . . . . . . . . 49
3.2.3. Respuesta de los sistemas de segundo orden . . . . . . . . 52
3.3. Parámetros que caracterizan la respuesta de un sistema de segundo
orden o Especificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.. Estabilidad de sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1. Métodos clásicos de análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1. Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.. Errores en régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1. Introducción errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1. Ganancia de posición (estática) . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.2. Ganancia de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.3. Ganancia de aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.4. Tipo de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.5. Relación entre tipo y ganancia de un sistema . . . . . . . 85
5.1.6. Relación entre tipo y ganancia de un sistema . . . . . . . 86
5.1.7. Error en régimen permanente de un sistema realimentado
unitariamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.8. Errores ante entradas normalizadas . . . . . . . . . . . . 87
5.1.9. Relación entre errores y tipo de un sistema . . . . . . . . 89
5.1.10. Errores para entradas polinómicas en t . . . . . . . . . . . 90
6.. Lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1. Concepto de lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2. Criterios del módulo y del argumento . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3. Reglas de trazado del lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . . 93
7.. Técnicas clásicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2. Diseño de controladores clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.1. Estructura básica de un controlador PID . . . . . . . . . . 102
7.3.2. Métodos de Ziegler - Nichols . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4. Métodos analíticos de diseño de controladores PID . . . . . . . . 106
7.4.1. Método de asignación de polos . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.2. Diseño basado en los polos dominantes . . . . . . . . . . 109
8.. Modelos frecuenciales. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . 123
8.1. Diagrama de Bode asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.1.1. Diagrama asintótico de Bode. Constantes K . . . . . . . . 126
8.1.2. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros en en origen 1
sn 126
8.1.3. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros reales negativos
1
(1+Ts)n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VIII
8.1.4. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros complejos nega-
tivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.5. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros reales positivos. 130
8.1.6. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros complejos posi-
tivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.. Método de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10..Diseño de reguladores por métodos frecuenciales . . . . . . . 147
10.1. Relación entre los parámetros de estabilidad relativa y los de la
respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2. Redes de adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.3. Redes de atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
IX
X
Índice de cuadros
7.1. Valores de los parámetros propuestos por Ziegler-Nichols para el
método de respuesta a un escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2. Valores de los parámetros propuestos por Ziegler-Nichols para el
método frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
XII
Índice de figuras
2.1. Respuesta a un impulso y a una suma de impulsos desplazados . . 18
2.2. Sistema masa-muelle-amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Sistema mecánico de traslación con dos entradas y dos salidas . . 22
2.4. Ejemplo de sistema mecánico: modelo de 1/4 de coche . . . . . . 23
2.5. Elementos de los sistemas mecánicos de traslación y de rotación . 23
2.6. Ejemplo de sistema mecánico de rotación . . . . . . . . . . . . . 24
2.7. Circuito RLC con voltaje como entrada . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8. Ejemplo de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9. Ejemplo de red RLC con dos mallas . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.10. Linealización de una función en torno a dos puntos (x0, y0) y (x1, y1)
27
2.11. Simplificación de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.12. Trasposición de sumadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.13. a) Sistema de partida del ejemplo y b) primera simplificación: bu-
cle de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.14. a) Transposicion de la bifurcación, simplificación de la realimen-
tación y simplificación de los bloques en paralelo. b) Función de
transferencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1. Respuesta de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Respuesta impulsional de un sistema de primer orden . . . . . . . 49
3.3. Respuesta impulsional de un sistema de primer orden . . . . . . . 50
3.4. Respuesta ante escalón unidad de un sistema de primer orden . . . 50
3.5. Respuesta ante escalón unidad de un sistema de primer orden . . . 51
3.6. Determinación de la función de transferencia a partir de la respues-
ta ante escalón unidad de un sistema de primer orden . . . . . . . 51
3.7. Respuesta ante rampa unidad de un sistema de primer orden . . . 52
3.8. Respuesta ante rampa unidad de un sistema de primer orden . . . 52
3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.10. Clasificación de los sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . 54
3.11. Respuesta impulsional de los sistemas de segundo orden subamor-
tiguados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.12. La función exponencial real eσt es creciente cuando el coeficiente
real σ es positivo y decreciente cuando es negativo. . . . . . . . . 56
3.13. La función eαtsen(βt + ϕ) es una sinusoide creciente si α es po-
sitiva y decreciente si es negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.14. Las respuestas ante escalón unidad de un sistema de segundo orden
según el valor del coeficiente de rozamiento: 1) ζ = 0, oscilador
(polos en el eje imaginario). 2 ) 0 < ζ < 1, sistema subamorti-
guado (polos complejos conjugados en el semiplano izquierdo. 3)
ζ = 1, sistema críticamente amortiguado (polos reales e iguales).
4 )ζ > 1, sistema sobreamortiguado (polos reales y distintos). . . 57
3.15. Parámetros de la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1. Bucle de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Sistema del ejemplo 5.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6. Relación entre tipo y error de un sistema . . . . . . . . . . . . . . 85
5.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.8. Sistema realimentado unitariamente. . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.12. Relación entre las constantes de error y el tipo del sistema. . . . . 89
6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2. Significado de los módulos y los argumentos. . . . . . . . . . . . 93
6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
XIV
6.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.9. Reglas de trazado del lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1. Diagrama de bloques de un esquema general de control . . . . . . 99
7.2. Controlador en el lazo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3. Respuesta ante entrada escalón de G(s) = a
sLe
−sL . . . . . . . . 104
7.4. Obtención de la ganancia crítica y del periodo crítico para el se-
gundo método de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.5. Respuesta del sistema del ejemplo 7.5.1: (a) en bucle abierto y (b)
en bucle cerrado con el controlador diseñado . . . . . . . . . . . . 110
7.6. Sistema del ejemplo 7.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.7. Respuesta del sistema del ejemplo 7.5.2: (a) en bucle abierto y (b)
en bucle cerrado con el controlador diseñado . . . . . . . . . . . . 114
7.8. Efecto de la adición de un polo sobre el lugar de las raíces . . . . 114
7.9. Efecto de la adición de un cero sobre el lugar de las raíces . . . . 115
7.10. Lugar de las raíces para el sistema del ejemplo 7.5.3 . . . . . . . . 116
7.11. Aplicación del criterio del módulo y del argumento para el ejemplo
7.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.12. Respuesta del sistema del ejemplo 7.5.3: (a) en bucle abierto y (b)
en bucle cerrado con el controlador diseñado . . . . . . . . . . . . 118
7.13. Sistema del ejemplo 7.5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.14. Distribución de polos y ceros del ejemplo 7.5.5 . . . . . . . . . . 119
8.1. Diagrama de bode de un sistema de segundo orden . . . . . . . . 125
8.2. Diagrama asintótico de Bode de un término constante. . . . . . . 126
8.3. Diagrama asintótico de Bode. Polos en en origen 1
sn . . . . . . . 127
8.4. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros reales negativos 1
(1+Ts)n
128
8.5. Diagrama asintótico de Bode. Polos/ceros complejos negativos . . 129
8.6. Diagrama de Bode. Polos/ceros complejos negativos . . . . . . . 130
8.7. Diagrama asintótico de Bode de 1/s− 1. (Polos reales positivos). 131
8.8. Diagrama de Bode de s− 1. (Ceros reales positivos). . . . . . . . 131
8.9. Diagrama de Bode con polos complejos con: a) parte real negativa,
b) parte real positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.1. Camino cerrado ρ y su imagen por F (s) . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2. Sistema en bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3. Método de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4. Método de Nyquist modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5. Sistema del ejemplo 5.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.6. Camino de Nyquist para el ejemplo 5.1.8 . . . . . . . . . . . . . . 137
9.7. Diagrama de Nyquist del ejemplo 5.1.6 . . . . . . . . . . . . . . 137
XV
9.8. Camino de Nyquist para un sistema con un polo en el origen . . . 138
9.9. Camino de Nyquist para un sistema con polos en el eje imaginario 139
9.10. Sistema estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.11. Sistema inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.12. El sistema a) es más estable que los sistemas b) y c) . . . . . . . . 141
9.13. Cálculo del margen de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.14. Diagrama de Nyquist, lugar de las raíces y respuesta escalón en bu-
cle cerrado según aumenta la ganancia del sistemaG(s) = 1
s(s+a)(s+b)
con a, b > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.15. Los dos sistemas tienen el mismo margen de ganancia, pero el a)
es más estable que el b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.16. Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.17. Margen de ganancia y de fase en el diagrama de Bode . . . . . . . 146
10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.4. Red de adelanto RLC y su correspondiente diagrama de polos y
ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.5. Diagrama de Bode y diagrama de Nyquist para una red de adelanto
según distintos valores del parámetro α. . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6. Diagrama de Bode del sistema y de la red de adelanto. . . . . . . 151
10.7. Comparación de los diagramas de Bode y de las respuestas escalón 151
10.8. Añadir una red de adelanto al sistema cambia la magnitud y la fase,
por eso es difícil predecir el nuevo punto de cruce. . . . . . . . . . 151
10.9. Diseño de una red de adelanto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.10.Red de atraso y su diagrama de polos y ceros. . . . . . . . . . . . 152
10.11.Respuesta frecuencial de las redes de atraso. . . . . . . . . . . . . 153
10.12.Comparación de la respuesta de los sistemas. . . . . . . . . . . . 153
10.13.Diseño de una red de atraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.14.El efecto del cambio de T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
XVI
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Introducción
Uno de los problemas con los que tradicionalmente se tienen que enfrentar
aquellos que trabajan en el control o en la identificación de procesos estriba en la
existencia de una diversidad de herramientas matemáticas para estudiar, analizar y
diseñar dichos sistemas.
Por ejemplo, si deseamos analizar y controlar un sistema continuo el sistema
podemos modelarlo en cuanto a su respuesta temporal mediante la utilización de la
función de transferencia o mediante la técnica de variables de estado. Además el
sistema puede ser controlado en tiempo continuo o en tiempo discreto lo que reque-
rirá la utilización de transformadas de Laplace, para el caso de tiempo continuo,
o transformadas en Z, para el caso de tiempo discreto. Otras veces nos interesará
estudiar la respuesta en frecuencia del sistema para lo que nos basaremos en el es-
tudio de la respuesta en régimen permanente del sistema (en base a la función de
transferencia).
También nos encontramos con frecuencia el caso en el que la utilización de las
técnicas anteriores no explica suficientemente el comportamiento del sistema, bien
por que este está sometido a perturbaciones no modelables o bien porque nuestro
conocimiento del mismo no es suficientemente preciso. En estas situaciones se ha-
ce necesario la utilización de técnicas probabilísticas que nos ayuden a caracterizar
estas señales o sistemas.
Así que es muy frecuente que en el estudio y análisisde un sistema nos encon-
tremos con la presencia de diferentes herramientas matemáticas que nos permiten
caracterizar, analizar y diseñar un sistema de control de forma que tengamos en
cuenta los diferentes efectos presentes en el sistema.
El objetivo básico de este capítulo es introducir las herramientas matemáticas
que se utilizan normalmente para analizar y sintetizar los sistemas de control de-
terministas en el dominio del tiempo, tanto en tiempo discreto como en tiempo
continuo, así como en frecuencia. Y se introducirá la herramienta matemática bá-
sica para analizar los comportamientos probabilísticos presentes en procesos o en
señales.
2 1. Introducción
1.2. Concepto de transformada
A la hora de analizar y diseñar los sistemas de control para una amplia variedad
de procesos, nos encontramos con la necesidad de resolver ecuaciones diferencia-
les o integro-diferenciales con el fin de conocer la respuesta que el proceso nos va
a dar ante determinadas entradas o acciones de control. Estas ecuaciones diferen-
ciales pueden resolverse de forma directa o bien se pueden resolver convirtiéndolas
en otro tipo de ecuaciones de más fácil resolución. Existen una serie de métodos
operacionales que nos permiten transformar problemas de resolución de ecuacio-
nes diferenciales lineales o problemas de resolución de ecuaciones en diferencias
en problemas de tipo polinómico mucho más fáciles de tratar.
Entre las transformaciones más frecuentemente utilizadas para la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias de tipo lineal están las transformaciones de tipo
integral, y entre estas una muy ampliamente utilizada en control es la denominada
transformada de Laplace.
Para el caso de los sistemas con ecuaciones en diferencias se utiliza la denomi-
nada transformada z.
1.3. Transformada de Fourier
Dada una función real f(t), se define la transformada de Fourier de la función
f(t) como:
F (ω) = F [f(t)] =
∫ +∞
−∞
f(t)e−jωtdt (1.3.1)
siendo ω una frecuencia variable, −∞ < ω < +∞, expresada en (rad/s). La
función f(t) se dice que tiene transformada de Fourier si la integral 1.3.1 existe
para todos los valores de ω. Son condiciones suficientes para que la integral exista
que la función f(t) sólo tenga un número finito de discontinuidades, máximos y
mínimos a lo largo de un intervalo finito de tiempo, y que la función f(t) sea
absolutamente integrable, es decir que∫ +∞
−∞
|f(t)|dt <∞ (1.3.2)
El término exponencial complejo de la transformada 1.3.1 puede expresarse,
aplicando la fórmula de Euler, como
e−jωt = cos(ωt)− j sin(ωt) (1.3.3)
Si sustituimos en la expresión de la transformada de Fourier 1.3.1 el término
exponencial por 1.3.3, obtenemos que,
1.4. Transformada de Laplace 3
F (ω) =
∫ +∞
−∞
f(t)[cos(ωt)− j sin(ωt)]dt
=
∫ +∞
−∞
f(t) cos(ωt)dt− j
∫ +∞
−∞
f(t) sin(ωt)dt (1.3.4)
En esta expresión 1.3.4 de la transformada de Fourier se puede apreciar la exis-
tencia de dos términos, uno de ellos real y otro imaginario, que denominaremos
R(ω) e I(ω) respectivamente, con lo que F (ω) vendrá dado por
F (ω) = R(ω) + jI(ω) (1.3.5)
En la ecuación 1.3.5 se puede apreciar que la transformada de Fourier F (ω) es
una función compleja de la variable ω. Para todo valor de la variable ω, tendremos
un valor de F (ω) que tiene un módulo, |F (ω)|, y un argumento, ∠F (ω).
|F (ω)| =
√
R2(ω) + I2(ω)
∠F (ω) = arctan−1
(
I(ω)
R(ω)
)
(1.3.6)
Si representásemos en una gráfica los valores |F (ω)| para cada ω obtendríamos
lo que se denomina el espectro de magnitudes de la señal f(t), y si hiciésemos lo
mismo para el argumento ∠F (ω) obtendríamos lo que se conoce como espectro
de fase de la señal f(t).
1.3.1. Transformada inversa de Fourier
La transformada inversa es una operación que nos permite obtener la función
original f(t) o partir de la transformada de Fourier F (ω). Esta operación viene
dada por la siguiente expresión
f(t) = F−1[F (ω)] =
1
2π
∫ +∞
−∞
F (ω)ejωtdω (1.3.7)
1.4. Transformada de Laplace
Dada una función real f(t) tal que f(t) = 0 para t < 0 se define la transfor-
mada unilateral de Laplace de la función f(t) como:
F (s) = L[f(t)] =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt (1.4.1)
4 1. Introducción
Existe también la transformada bilateral de Laplace, en la que los límites de
integración se extienden desde −∞ a +∞, pero dado que no se suele utilizar en
ingeniería de control, no se va a tratar. La transformada unilateral de Laplace, que
en adelante y por simplificar denominaremos como transformada de Laplace, existe
siempre que la integral 1.4.1 converja, para lo que es condición necesaria y sufi-
ciente que se verifique que: ∫ ∞
0
|f(t)e−σt|dt <∞ (1.4.2)
para σ finito y real.
Dada una transformada de Laplace de una función f(t), al conjunto de todos
los números complejos s para los cuales la integral 1.4.1 existe se le denomina
región de convergencia.
Dada una función f(t), si existe la transformada de Laplace L(s) y la particu-
larizamos para aquellos complejos en los que s = jω obtenemos que
F (s)|s=jω = F (jω) =
∫ ∞
0
f(t)e−jωtdt (1.4.3)
si además la función f(t) = 0 para t < 0, la ecuación 1.4.3 es igual a la transfor-
mada de Fourier F (ω) de la función f(t) (compárese con la expresión que veíamos
en 1.3.1). Es decir
F (ω) = F (s)|s=jω (1.4.4)
Esto nos indica que podemos obtener la transformada de Fourier, F (ω) de una
función f(t) (siempre que el valor de esta función para t < 0 sea cero), a partir
de su transformada de Laplace, F (s), sin más que sustituir en la expresión de la
transformada de Laplace la variable s por jω.
1.4.1. Propiedades de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace presenta una serie de propiedades muy útiles que
hace que pueda ser considerada como un operador que convierte una función tem-
poral f(t) en el dominio del tiempo en una función F (s) de variable compleja s.
Veamos estas propiedades:
1. Linealidad
Una propiedad muy importante de la transformada de Laplace es que es un
operador lineal. Dadas dos funciones f(t) y g(t) y una constante k se verifica
que:
L[f(t) + g(t)] = L[f(t)] + L[g(t)] (1.4.5)
1.4. Transformada de Laplace 5
y
L[kf(t)] = kL[f(t)] (1.4.6)
2. Diferenciación
La transformada de Laplace de la diferencial de una función f(t) se puede
expresar de la siguiente manera:
L[
d
dt
f(t)] = sF (s)− lim
t→0
f(t) = sF (s)− f(0) (1.4.7)
siendo F (s) la transformada de la función f(t) y f(0) el límite de la función
f(t) cuando t tiende a cero. En general, para derivadas de orden superior se
tiene la siguiente expresión:
L[
dn
dtn
f(t)] = snF (s)−sn−1f(0)−sn−2 d
dt
f(0)+. . .+
dn−1
dtn−1
f(0) (1.4.8)
3. Integración
La transformada de Laplace de la integral de una función f(t) con respecto
al tiempo es la transformada de Laplace de la función dividida por s, es decir:
L[
∫ t
0
f(τ)dτ ] =
F (s)
s
(1.4.9)
y si se generaliza para integraciones de órdenes superiores
L[
∫ t1
0
∫ t2
0
. . .
∫ tn
0
f(τ)dτdτ1 . . . dτn] =
F (s)
sn
(1.4.10)
4. Desplazamiento en el tiempo
Un desplazamiento en el tiempo de valor a de la función f(t), equivale en
el dominio complejo a multiplicar la transformada de Laplace de la función
F (s), por e−sa ; esto es:
L[f(t− a)u0(t− a)] = e−saF (s) (1.4.11)
donde u0(t−a) representa la función escalón unidad desplazada en el tiempo
a unidades.
6 1. Introducción
5. Teorema del valor inicial
Si la transformada de Laplace de la función f(t) es F (s), entonces
lim
t→0
f(t) = lim
s→∞
sF (s) (1.4.12)
si existe el límite en el tiempo.
6. Teorema del valor final
Si la transformada de Laplace de la función f(t) es F (s), y si sF (s) es
analítica en la parte derecha del plano-s y sobre el eje imaginario, entonces
lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF (s) (1.4.13)
Este teorema es de gran utilidad en el análisis y diseño de sistemas de control
ya que nos dice el valor final que tomará una función en el dominio del
tiempo conociendo el valor que toma su transformada de Laplace para s = 0.
7. Desplazamiento complejo
La transformada de Laplace de una función f(t) multiplicada por e∓αt,dondeα es una constante, equivale a reemplazar en la transformada de Laplace de
la función, F (s), s por s± a es decir
L[e∓αtf(t]] = F (s± a) (1.4.14)
8. Convolución real
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de las funciones f1(t) y
f2(t), respectivamente, y f1(t) = 0 y f2(t) = 0 para t < 0 entonces
F1(s)F2(s) = L[f1(t) ∗ f2(t)] (1.4.15)
= L[
∫ t
0
f1(τ)f2(t− τ)dτ ] (1.4.16)
= L[
∫ t
0
f2(τ)f1(t− τ)dτ ] (1.4.17)
en esta expresión el símbolo ∗ denota la operación convolución en el dominio
del tiempo.
1.4. Transformada de Laplace 7
1.4.2. Transformadas de Laplace de algunas funciones
Ejemplo 1.4.1: La transformada de Laplace de la función escalón unitario u0(t)
que se define como
f(t) = u0(t) =
{
1, t ≥ 0
0, t < 0
(1.4.18)
se obtiene como
F (s) = L[u0(t)] =
∫ ∞
0
u0(t)e−stdt = −1
s
e−st
∣∣∣∞
0
=
1
s
(1.4.19)
Ejemplo 1.4.2: La transformada de Laplace de la función exponencial f(t) =
e−αt para t ≥ 0 se obtiene como
F (s) = L[e−αt] =
∫ ∞
0
e−αte−stdt = − 1
s+ α
e−(s+α)t
∣∣∣∞
0
=
1
s+ α
(1.4.20)
En la tabla se pueden ver las transformadas de algunas de las funciones más
usuales.
f(t) L(s)
δ(t) 1
u0(t)
1
s
t 1
s2
e−at 1
s+a
te−at 1
(s+a)2
tn, t ≥ 0 n!
sn+1 , n = 1, 2, . . .
tne−at, t ≥ 0 n!
(s+a)n+1 , n = 1, 2, . . .
sin(ωt) ω
(s2+ω2)
cos(ωt) s
(s2+ω2)
e−at sinωt ω
(s+a)2+ω2
e−at cosωt s+a
(s+a)2+ω2
1.4.3. Transformada inversa de Laplace
La operación de obtener la función f(t) a partir de la transformada de Laplace
F (s) se le denomina transformada inversa de Laplace, y se escribe
8 1. Introducción
f(t) = L−1[F (s)] (1.4.21)
La transformación integral inversa de Laplace se define como
f(t) =
1
2πj
∫ c−j∞
c+j∞
F (s)estds (1.4.22)
donde c es una constante real mayor que la parte real de todas las singularidades
de F(s) . Esta integral se evalúa en el plano-s complejo. Desde el punto de vista
del control de procesos esta forma de obtener la transformación inversa resulta
extremadamente costosa y resulta poco práctica. Por ello se acude o a la utilización
de tablas de transformadas de Laplace o a la expansión en fracciones parciales.
Expansión en fracciones parciales
En la mayor parte de las aplicaciones de control, no es necesario recurrir a la
inversión integral dada por 1.4.22 para obtener la transformada inversa de Laplace.
Normalmente tanto las ecuaciones diferenciales como las soluciones de las mismas
en los problemas de control suelen tener la forma de funciones racionales en s, del
tipo
F (s) =
N(s)
D(s)
(1.4.23)
donde N(s) y D(s) son polinomios en s. Se supone que el grado del polinomio
N(s) del numerador en s es menor o igual que el grado del polinomio D(s) del
denominador.
Esta expresión puede escribirse en la siguiente forma
F (s) =
N(s)
sn + a1sn−1 + . . .+ an−1s+ an
(1.4.24)
donde los coeficientes ai son coeficientes reales. A las raíces del polinomio N(s)
se les denominan ceros y a las raíces del denominadorD(s) se les denominan polos
de dicha función F (s).
La idea básica del método de la expansión en fracciones parciales consiste en
descomponer el polinomio F (s) en una suma de fracciones simples de forma que
éstas sean las transformadas de funciones simples y conocidas, de forma que para
cada fracción resulte muy fácil calcular la transformada inversa. Como la trans-
formada de Laplace es un operador lineal, una vez calculadas las transformadas
inversas de las fracciones simples, para obtener la transformada inversa de la fun-
ción F (s) basta con sumar las transformadas inversas de las fracciones simples.
Veamos los diferentes casos que se pueden presentar.
1.4. Transformada de Laplace 9
Caso de polos simples y reales Si todos los polos de D(s) son simples y
reales, entonces la ecuación 1.4.24 toma la siguiente forma
F (s) =
N(s)
(s+ s1)(s+ s2) . . . (s+ sn)
(1.4.25)
y en ella ∀i 6= j, si 6= sj . Descomponiendo la expresión 1.4.25 en fracciones
parciales obtenemos
F (s) =
A1
(s+ s1)
+
A2
(s+ s2)
+ . . .+
An
(s+ sn)
(1.4.26)
donde los coeficientes A1, . . . , An se obtienen como
Ai =
[
(s+ si)
N(s)
D(s)
]∣∣∣
s=−si
(1.4.27)
Obsérvese que cada una de estas fracciones simples son las transformadas de
Laplace de funciones de tipo exponencial con exponente −si y coeficiente Ai.
Caso de polos múltiples y reales Si algunos de los polos de D(s) son múl-
tiples, entonces la ecuación 1.4.24 toma la siguiente forma
F (s) =
N(s)
(s+ s1)(s+ s2) . . . (s+ sk−1)(s+ sk)n−k+1
(1.4.28)
y en ella sk tiene un orden de multiplicidad de n − k + 1. Descomponiendo la
expresión 1.4.28 en fracciones parciales obtenemos
F (s) =
A1
(s+ s1)
+
A2
(s+ s2)
+ . . .+
Ak−1
(s+ sk−1)
+
+
Ak1
(s+ sk)
+
Ak2
(s+ sk)2
+ . . .+
Akn−k
(s+ sk)n−k+1
(1.4.29)
donde los coeficientes A1, . . . , Ak−1 correspondientes a los polos simples se ob-
tienen igual que en el caso anterior, y los correspondientes al polo multiple se
obtienen como
Akn−k =
[
(s+ sk)
n−k+1N(s)
D(s)
]∣∣∣∣
s=−sk
(1.4.30)
Akn−k+1
=
d
ds
[
(s+ sk)
n−k+1N(s)
D(s)
]∣∣∣∣
s=−sk
(1.4.31)
. . .
Ak1 =
1
(n− k)!
dn−k
dsn−k
[
(s+ sk)
n−k+1N(s)
D(s)
]∣∣∣∣
s=−sk
(1.4.32)
10 1. Introducción
Caso de polos complejos conjugados La expansión en fracciones parcia-
les vista para el caso de polos simples y reales, es válida también para el caso de
polos complejos conjugados de la forma s = −σ + jw y s = −σ − jw. En este
caso los coeficientes A−σ+jw y A−σ−jw se obtienen de la siguiente forma
A−σ+jw =
[
(s+ σ − jw)
N(s)
D(s)
]∣∣∣
s=−σ+jw
(1.4.33)
A−σ−jw =
[
(s+ σ + jw)
N(s)
D(s)
]∣∣∣
s=−σ−jw
(1.4.34)
Ejemplo 1.4.3: Supongamos la siguiente función
F (s) =
2s+ 3
s(s+ 1)(s+ 3)
(1.4.35)
que si la expandimos en fracciones parciales quedará de la siguiente forma
F (s) =
A1
s
+
A2
(s+ 1)
+
A3
(s+ 3)
(1.4.36)
Los coeficientes vendrán determinados por
A1 =
[
sF (s)
]∣∣∣
s=0
=
2s+ 3
(s+ 1)(s+ 3)
∣∣∣
s=0
= 1
A2 =
[
(s+ 1)F (s)
]∣∣∣
s=−1
=
2s+ 3
s(s+ 3)
∣∣∣
s=−1
= −1
2
A3 =
[
(s+ 3)F (s)
]∣∣∣
s=−3
=
2s+ 3
s(s+ 1)
∣∣∣
s=−3
= −1
2
con lo que
F (s) =
1
s
+
−1
2
(s+ 1)
+
−1
2
(s+ 3)
(1.4.37)
y su transformada inversa será la función
f(t) = 1− 1
2
e−t − 1
2
e−3t (1.4.38)
Ejemplo 1.4.4: Supongamos la siguiente función
F (s) =
s2 + 3s
(s+ 1)3
(1.4.39)
que si la expandimos en fracciones parciales quedará de la siguiente forma
1.4. Transformada de Laplace 11
F (s) =
A1
(s+ 1)
+
A2
(s+ 1)2
+
A3
(s+ 1)3
(1.4.40)
Los coeficientes vendrán determinados por
A3 =
[
(s+ 1)3F (s)
]∣∣∣
s=−1
= s2 + 3s
∣∣∣
s=−1
= −2
A2 =
d
ds
[
(s+ 1)3F (s)
]∣∣∣
s=−1
= 2s+ 3
∣∣∣
s=−1
= 1
A1 =
1
2!
d2
ds2
[
(s+ 1)3F (s)
]∣∣∣
s=−1
=
2
2!
∣∣∣
s=−1
= 1
con lo que
F (s) =
1
(s+ 1)
+
1
(s+ 1)2
+
−2
(s+ 1)3
(1.4.41)
y su transformada inversa será la función
f(t) = e−t + te−t − t2e−t (1.4.42)
1.4.4. Resolución de ecuaciones diferenciales
Una de las propiedades más útiles de la transformada de Laplace es la simpli-
cidad con la que se pueden resolver ecuaciones diferenciales lineales. Veamos un
ejemplo.
Ejemplo 1.4.5: Supongamos un cierto sistema, cuya ecuación diferencial es la
siguiente
d2x
dt2
+ 2
dx
dt
+ δ = 0 (1.4.43)
sabemos además que para dicho sistema los valores de x y ẋ para t = 0 son
respectivamente x(0) = 1 y ẋ(0) = 0, y queremos obtener la salida x(t) que dará
el sistema 1.4.43.
Aplicando la propiedad de la transformada de Laplace de la derivada tendremos
lo siguiente
[s2X(s)− sx(0)− ẋ(0)] + 2[sX(s)− x(0)] + 1 = 0
si ahora sustituimos x(0) y ẋ(0) por su valor, nos quedará
[s2X(s)− s] + 2[sX(s)− 1] + 1 = 0
s2X(s) + 2sX(s) = s+ 1
X(s) =
s+ 1
s(s+ 2)
12 1. Introducción
Expandiendo en fracciones parciales esta expresión
X(s) =
A1
s
+
A2
(s+ 2)
(1.4.44)
Los coeficientes vendrán determinados por
A1 =
[
sX(s)
]∣∣∣
s=0
=
(s+ 1)
(s+ 2)
∣∣∣
s=0
=
1
2
A2 =
[
(s+ 2)X(s)
]∣∣∣
s=−2
=
s+ 1
s
∣∣∣
s=−2
=
1
2
con lo que
X(s) =
1
2
s
+
1
2
(s+ 2)
y su transformada inversa será la solución de la ecuación diferencial 1.4.43 para
las condiciones iniciales que se han supuesto,es decir
x(t) =
1
2
(1 + e−2t). (1.4.45)
1.4. Transformada de Laplace 13
Bibliografía
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[9] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Prentice Hall, 1998.
[10] E. Andrés Puente, Regulación automática, Servicio de publicaciones ETSIIM-
UPM, 1993.
14 1. Introducción
2. TÉCNICAS CLÁSICAS DE MODELADO
DE SISTEMAS
2.1. Introducción
Un problema básico en ingeniería de control y en general en muchas otras
ciencias consiste en ser capaces de predecir qué efecto tendrá una cierta acción
sobre un sistema físico. Dado que lo que se quiere es predecir una respuesta futura
del sistema, resulta necesario utilizar algún tipo de modelo que nos permita el poder
hacer esta predicción.
Existen diversos tipos de modelos, en algunos de ellos como es el caso de los
modelos a escala lo que se busca es reproducir el sistema físico real por medio de
alguna maqueta o sistema más manejable sobre el que se pueda experimentar y ex-
traer resultados. Estos modelos, aunque interesantes, no son los que más interesan
en control, sino aquellos donde las predicciones se realizan sobre un cierto modelo
matemático del sistema.
Dentro de los modelos matemáticos que se pueden utilizar para analizar los
efectos que diferentes acciones van a tener sobre el sistema podemos diferenciar
dos grandes grupos de modelos:
Modelos de entrada/salida.
En esta clase de modelos se busca una descripción matemática que exprese
la relación que existe entre la entrada del sistema y la salida del mismo. Estos
modelos no describen el funcionamiento interno del sistema, sino meramente
la relación entre la entrada y la salida. Podemos encontrarnos con sistemas
diferentes pero que presentan la misma relación entrada/salida por lo que
dan lugar al mismo modelo matemático. Estos tipos de modelos son lo que
podríamos denominar modelos clásicos.
Modelos basados en el espacio de estados.
Esta clase de modelos buscan una descripción más profunda del sistema, ya
que no sólo se caracteriza la relación entre la entrada y la salida, sino que
además se caracteriza el comportamiento de una serie de variables o magni-
tudes internas del sistema. Existen muchos sistemas en los que las magnitu-
des internas que se pueden utilizar para caracterizarlo pueden ser escogidas
16 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
de diferentes formas, por lo que un mismo sistema podrá ser descrito por
diferentes modelos matemáticos. Estos tipos de técnicas han dado lugar a lo
que se ha denominado teoría moderna de control.
En este capítulo abordaremos el estudio de lo que son las técnicas clásicas de
modelado de sistemas, y en el capítulo siguiente las técnicas de modelado basadas
en el espacio de estados.
2.2. Modelos de entrada/salida
Estos tipos de modelos son lo que podríamos denominar modelos clásicos, y
dentro de ellos podemos distinguir varios tipos: modelos temporales, frecuenciales
y estocásticos. Los modelos temporales de entrada/salida se caracterizan por per-
mitir el estudio de la respuesta temporal del sistema ante una entrada cualesquiera.
El conocer la respuesta temporal del sistema nos permitirá analizar efectos tran-
sitorios de corta duración en el sistema, como son picos en la respuesta, tiempos
de subida o tiempos de establecimiento. Estos modelos temporales pueden ser mo-
delos de tiempo continuo basados en ecuaciones diferenciales o bien modelos de
tiempo discreto descritos por ecuaciones en diferencias.
Los modelos denominados frecuenciales se basan en la caracterización de la
relación entrada/salida de un sistema en régimen permanente ante entradas de tipo
sinusoidal.
Por último los modelos estocásticos más usuales suelen combinar modelos
temporales o frecuenciales deterministas y señales de ruido o perturbación que aña-
den un comportamiento estocástico al sistema y que requiere ser modelado cuando
resulta posible.
2.3. Modelos temporales
2.3.1. Conceptos básicos
Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Los modelos de entrada/salida de los sistemas lineales responden a la siguiente
forma general,
dn
dtn
y(t) + an−1
dn−1
dtn−1
y(t) + . . .+ a0y(t) = (2.3.1)
bm
dm
dtm
u(t) + bm−1
dm−1
dtn−1
u(t) + . . .+ b0u(t) (2.3.2)
donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n − 1 y bj , j = 0, 1, . . . ,m son números
reales, u(t) es la entrada al sistema e y(t) es la salida del mismo. Si estos coefi-
2.3. Modelos temporales 17
cientes ai y bj no dependen del tiempo, el sistema se dice que es invariante en el
tiempo.
Estos modelos lineales presentan varias ventajas, entre ellas y quizás la más im-
portante es la de la linealidad en la respuesta. Es decir, si α y β son dos constantes
arbitrarias y u1(t) y u2(t) son dos entradas al sistema, se verifica que si
u(t) = αu1(t) + βu2(t) (2.3.3)
entonces la salida del sistema vendrá dada por
y(t) = αy1(t) + βy2(t) (2.3.4)
Respuesta impulsional
Dado un sistema lineal invariante en el tiempo, que para una entrada u(t) da
una respuesta y(t), se define como respuesta impulsional del sistema la salida
g(t) que daría el sistema cuando la entrada al mismo es un impulso unitario δ(t).
Esta respuesta impulsional g(t) contiene toda la información necesaria sobre
el sistema, y se puede obtener la salida del mismo, ante cualquier entrada u(t), sin
más que realizar la convolución en el dominio del tiempo con esta señal, es decir,
y(t) = g(t) ∗ u(t) (2.3.5)
=
∫ t
0
g(τ)u(t− τ)dτ (2.3.6)
=
∫ t
0
u(τ)g(t− τ)dτ (2.3.7)
Si estamos en tiempo discreto tendríamos una secuencia {g(n)} que algunos
autores denominan secuencia de ponderación. En este caso la salida del sistema
ante una secuencia de entrada cualesquiera se obtendrá como la convolución dis-
creta entre la secuencia de respuesta impulsional y la secuencia de entrada,
y(n) =
∞∑
k=0
g(k)u(n− k) (2.3.8)
En términos generales la respuesta impulsional g(t) no resulta demasiado prác-
tica a la hora de modelar un cierto sistema ya que resulta mucho más fácil traba-
jar en el campo de Laplace, que resolver expresiones integrales que pueden ser
complejas. En el caso discreto es algo más fácil pero salvo para los sistemas cu-
ya respuesta impulsional tenga un número finito de coeficientes distintos de cero,
también resulta laborioso resolver un sumatorio que tiende a∞.
En la figura 2.1 se puede ver que si a una entrada impulsional δ(t), la salida del
sistema es g(t), entonces, por linealidad, a una entrada aδ(t), le corresponderá una
18 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
t
u(t) y(t)
t
δ(t)
g(t)
u(t) y(t)
g(t)
t
u(t) y(t)
t
2δ(t)
t
u(t) y(t)
t
aδ(t)
ag(t)
t
u(t) y(t)
t
δ(t-to) g(t-to)
to
1.5δ(t-t1)δ(t-to)
to tot1
t1
Escalado
Desplazamiento
Superposición
2g(t)+g(t-to)+1.5g(t-t1)
Fig. 2.1: Respuesta a un impulso y a una suma de impulsos desplazados
salida ag(t). Como el sistema es invariante en el tiempo, a un impulso desplazado
δ(t− t0) le corresponderá una respuesta desplazada g(t− t0). A una entrada com-
puesta de una superposición de impulsos escalados le corresponderá una salida que
será la suma de las respuestas correspondientes.
Función de transferencia
Se define como función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el
tiempo la transformada de Laplace (o la transformada z) de la respuesta impulsio-
nal del sistema, supuestas condiciones iniciales nulas.
Es decir,en tiempo continuo sería
2.3. Modelos temporales 19
G(s) = L[g(t)] (2.3.9)
y en tiempo discreto
G(z) = Z[g(k)] (2.3.10)
El concepto de función de transferencia resulta muy útil a la hora de determinar
la salida y del sistema ante una entrada determinada u, ya que esta viene dada por
la expresión
Y (s) = G(s)U(s) (2.3.11)
o en tiempo discreto por
Y (z) = G(z)U(z) (2.3.12)
a partir de cuyos valores en el campo complejo, desarrollando en fracciones parcia-
les y haciendo las transformadas inversas de cada una de estas fracciones parciales
resultaba simple obtener la respuesta analítica que dará el sistema en el dominio
del tiempo tal y como se vio en el capítulo anterior.
Este concepto de función de transferencia se utilizará mucho en adelante y
resulta conveniente el hacer algunas matizaciones al respecto:
La función de transferencia se ha definido para sistema lineales e invariantes
en el tiempo, por lo que no está definida en el caso de sistemas no lineales.
Para obtener la función de transferencia se han supuesto condiciones inicia-
les nulas.
La función de transferencia expresa la relación que existe entre una señal
de entrada y una señal de salida, por lo que sólo permite expresar de forma
completa la dinámica de un sistema con una entrada y una salida. Si el siste-
ma tuviese más de una entrada o salida, serían necesarias varias funciones de
transferencia para expresar todas las posibles relaciones entre cada entrada
y cada salida. En este caso estaríamos ante sistemas multivariables MIMO
(Multiple Input - Multiple Output).
La función de transferencia es independiente de la entrada al sistema.
La función de transferencia de un sistema es únicamente función racional de
s o z, y además con un denominador de grado mayor o igual que el numera-
dor, para que sea físicamente realizable.
20 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
2.3.2. Modelos en tiempo continuo
Una parte muy importante de los sistemas que nos interesa controlar corres-
ponde a sistemas físicos cuya dinámica viene descrita por medio de ecuaciones
diferenciales ordinarias del tipo siguiente
dn
dtn
y(t) + an−1
dn−1
dtn−1
y(t) + . . .+ a0y(t) =
bm
dm
dtm
u(t) + bm−1
dm−1
dtn−1
u(t) + . . .+ b0u(t)
(2.3.13)
donde u(t) es la entrada al sistema e y(t) la salida del mismo. Si suponemos con-
diciones iniciales nulas y tomamos transformadas de Laplace en ambos lados de la
ecuación 2.3.13, el resultado es
(sn+an−1s
n−1 + . . .+a0)Y (s) = (bms
m+bm−1s
m−1 + . . .+b0)U(s) (2.3.14)
Despejando Y (s) en la ec 2.3.14 obtenemos que
Y (s) =
sn + an−1s
n−1 + . . .+ a0
bmsm + bm−1sm−1 + . . .+ b0
U(s) (2.3.15)
y de aquí que la forma general de la función de transferencia G(s) para un sistema
físico descrito por una ecuación diferencial ordinaria de la forma 2.3.13 sea una
función racional de s del tipo
G(s) =
sn + an−1s
n−1 + . . .+ a0
bmsm + bm−1sm−1 + . . .+ b0
(2.3.16)
Ejemplo 2.3.1: Un automóvil responde a una fuerza aplicada f(t) del motor y a
una fuerza debida a la fricción ρv(t), proporcional a la velocidad v(t) del automó-
vil. La ecuación diferencial del sistema es
mv̇(t) = f(t)− ρv(t) (2.3.17)
Tomando transformadas de Laplace se obtiene
msV (s) = F (s)− ρV (s) (2.3.18)
es decir,
(ms+ ρ)V (s) = F (s) (2.3.19)
y la función de transferencia de la velocidad respecto de la fuerza es
V (s)
F (s)
=
1
ms+ ρ
(2.3.20)
2.3. Modelos temporales 21
Ejemplo 2.3.2: Consideremos el sistema masa-muelle-amortiguador de la figura.
La segunda ley de Newton establece que la suma de todas las fuerzas que actúan
sobre un sólido rígido es igual a su masa por su aceleración.∑
Fi = m · ÿ (2.3.21)
donde y representa la posición de la masa m y, por tanto, ÿ es su aceleración.
Un muelle es un elemento que almacena energía potencial y que cuando se
estira o se comprime ejerce una fuerza que viene expresada por la ley de Hooke:
Fm = −K · y (2.3.22)
donde el signo menos representa que la fuerza Fm se opone al cambio de posición.
Un amortiguador es un elemento que convierte energía en calor y que repre-
senta una fricción viscosa. La fuerza que ejerce en sus extremos se puede expresar
como
Fa = −b · ẏ (2.3.23)
Es decir, la fuerza que ejerce el amortiguador se opone al cambio de velocidad.
El sistema masa-muelle-amortiguador de la figura 2.2, se puede modelar usan-
do estas tres expresiones en forma de ecuación diferencial
m · ÿ = u−K · y − b · ẏ (2.3.24)
donde u representa una fuerza externa, que es la entrada del sistema.
Reordenando
m · ÿ + b · ẏ +K · y = u (2.3.25)
Tomando transformadas de Laplace
ms2Y (s) + bsY (s) +KY (s) = U(s) (2.3.26)
La función de transferencia es la salida partido por la entrada (en el dominio s)
Y (s)
U(s)
=
1
ms2 + bs+K
(2.3.27)
Ejemplo 2.3.3: En el caso multivariable de la figura 2.3, hay que escribir dos
ecuaciones diferenciales, una para cada masa. Conviene hacer el correspondiente
diagrama de fuerzas.
En este caso las ecuaciones diferenciales son
m1ÿ1 = u1 + b1(ẏ2 − ẏ1)− k1y1 (2.3.28)
m2ÿ2 = u2 − b1(ẏ2 − ẏ1)− k2y2 (2.3.29)
Ejemplo 2.3.4:
22 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.2: Sistema masa-muelle-amortiguador
Fig. 2.3: Sistema mecánico de traslación con dos entradas y dos salidas
2.3.3. Movimiento de rotación
En este caso se consideran movimientos alrededor de un eje fijo. Se parece
bastante a los movimientos de traslación, pero las variables de interés son despla-
zamiento, velocidad y aceleración angulares y en vez de masas y fuerzas, hay que
considerar momentos de inercia y torques (pares de fuerza). La segunda ley de
Newton para movimientos de rotación dice que la suma de todos los pares es igual
al momento de inercia por la aceleración angular.∑
Ti(t) = J · θ̈(t) (2.3.30)
Además de la segunda ley de Newton, se pueden considerar los muelles de torsión,
cuya ley de Hooke es
Tm(t) = −K · θ(t) (2.3.31)
2.3. Modelos temporales 23
Fig. 2.4: Ejemplo de sistema mecánico: modelo de 1/4 de coche
y los elementos correspondientes a los amortiguadores que son las fricciones
viscosas de rotación, cuya expresión es
Ta(t) = −b · θ̇(t) (2.3.32)
Fig. 2.5: Elementos de los sistemas mecánicos de traslación y de rotación
Ejemplo 2.3.5: Consideremos el sistema mecánico de rotación de la figura 2.6.
Si se parte del reposo y se aplica un pequeño par al volante de inercia J1, en los
primeros momentos del movimiento, θ1 > θ2 > θ3. Esto significa que la torsión
del muelleK es θ1−θ2 y la del amortiguadorD2 es θ2−θ3. Por tanto las ecuaciones
24 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
serán
J1θ̈1 = T (t)−D1θ1 −K(θ1 − θ2) (2.3.33)
J2θ̈2 = K(θ1 − θ2)−D2(θ̇1 − θ̇2) (2.3.34)
J3θ̈3 = D2(θ̇1 − θ̇2)−D3θ̇3 (2.3.35)
Fig. 2.6: Ejemplo de sistema mecánico de rotación
2.3.4. Sistemas eléctricos
Los tres elementos básicos de los circuitos eléctricos son resistencias, conden-
sadores y bobinas.
La resistencia es un elemento que disipa energía convitiéndola en calor y su
ecuación viene dada por la ley de Ohm
v(t) = R · i(t) (2.3.36)
Un condensador es un elemento que almacena energía y su ecuación es
v(t) =
1
C
∫
i(t)dt (2.3.37)
Finalmente, la bobina o inductancia tiene como ecuación
u(t) = L
di(t)
dt
(2.3.38)
Además, las leyes básicas son las leyes de Kirchoff:
En un nudo la suma de las intensidades es cero
La suma de las caídas de potencial a lo largo de un camino cerrado o malla
es cero
Además, para calcular la función de transferencia es preferible trabajan en el
dominio de la frecuencia, es decir, con las transformadas de Laplace de las ecua-
ciones:
2.3. Modelos temporales 25
Para las resistencias, la expresión v(t) = Ri(t) se transforma en V (s) =
RI(s). También se puede decir que su impedancia compleja es ZR(s) = V (s)
I(s) = R
Para los condensadores, la expresión v(t) = 1
C
∫
i(t)dt se transforma en V (s) =
1
CsI(s). También se puede decir que su impedancia compleja es ZC(s) = V (s)
I(s) =
1
Cs
Par las bobinas o inductancias, la expresión v(t) = Ldi(t)dt se transforma en
V (s) = LsI(s). En este caso laimpedancia compleja es ZL(s) = V (s)
I(s) = Ls.
Ejemplo 2.3.6: Consideremos la red RLC de la figura 2.7. A la derecha tenemos
el resultado al usar impedancias complejas. El la malla de entrada, según la 2a ley
de Kirchoff tenemos V (s) = LsI(s) + RI(s) + 1
CsI(s) y en la salida, la tensión
es VC(s) = 1
CsI(s). La función de transferencia es el cociente
VC(s)
V (s)
=
1
CsI(s)
LsI(s) +RI(s) + 1
CsI(s)
=
1
Cs
Ls+R+ 1
Cs
=
1
LCs2 +RCs+ 1
Fig. 2.7: Circuito RLC con voltaje como entrada
Ejemplo 2.3.7:
26 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.8: Ejemplo de sistema
Fig. 2.9: Ejemplo de red RLC con dos mallas
2.4. Linealización 27
2.4. Linealización
Fig. 2.10: Linealización de una función en torno a dos puntos (x0, y0) y (x1, y1)
Los sistemas físicos reales no son lineales. En los ejemplos anteriores, las no
linealidades son pequeñas y se pueden considerar despreciables. Pero en muchos
casos el sistema es claramente no lineal. En estos casos, se puede obtener un mo-
delo simplificado, que sea una aproximación lineal en un punto de trabajo, para
pequeños incrementos de la variable alrededor de ese punto (x0, y0). Como se pue-
de ver en la figura 2.10, la linealización en otro punto (x1, y1), será generalmente
distinta.
Si consideramos una pequeña variarión alrededor del punto de trabajo o de
equilibrio, desarrollando en serie de Taylor
y = y0 +
dy
dx
∣∣∣∣
0
(x−x0) +
1
2!
d2y
dx2
∣∣∣∣
0
(x−x0)2 + . . .+
1
m!
dmy
dxm
∣∣∣∣
0
(x−x0)m+ . . .
(2.4.1)
La mejor aproximación lineal es la recta tangente, que corresponde al desarrollo
para m = 1
y = y0 +
dy
dx
∣∣∣∣
0
(x− x0) (2.4.2)
Para funciones multivariables, la aproximación lineal es
y = y0 +
∂y
∂x1
∣∣∣∣
0
(x1−x10)+
∂y
∂x2
∣∣∣∣
0
(x2−x20)+ · · ·+ ∂y
∂xn
∣∣∣∣
0
(xn−xn0) (2.4.3)
y corresponde a un plano o un hiperplano.
Ejemplo 2.4.1: Obtenga la función de transferencia VL(s)/V (s) de la red eléc-
trica no lineal de la figura para pequeñas señales v(t), que contiene una resistencia
28 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
20V
Resistencia
no lineal
1Hi(t) v (t)
L
v(t)
+
-
no lineal cuya relación voltaje-corriente está definida por ir = 2e0.1vr , donde ir y
vr son la corriente y el voltaje del resistor, respectivamente.
Si consideramos el sistema en reposo o en equilibrio, la pequeña señal v(t) = 0
y todas las derivadas son cero, es decir, VL(t) = Ldi(t)dt = 0. Entonces, en el punto
de equilibrio, i0 = 2e0.1·20 = 14.8. La ecuación linealizada de la resistencia es
ir = ir0+
∂2e0.1vr
∂vr
∣∣∣∣
0
(vr−vr0) = 14.8+2·0.1e0.1vr0(vr−vr0) = 14.8+0.2e2(v−20) = 14.8+1.48(vr−20)
Considerando incrementos alrededor del punto de equilibrio
∆(ir(t)) = 1.48∆(vr(t))
y la transormada de Laplace es Ir(s) = 1.48Vr(s) Una vez linealizado el elemento
no lineal, podemos escribir las ecuaciones del circuito
∆v(t) = L∆
di(t)
dt
+R∆i(t)
donde R = 1.48 es el valor obtenido en la linealización. La transformada de La-
place es
V (s) = VL(s) + Vr(s) = LsI(s) +RI(s)
La salida es VL(s) = LsI(s). Dividiendo la salida por la entrada, obtenemos la
función de transferencia
VL(s)
V (s)
=
LsI(s)
LsI(s) +RI(s)
=
Ls
Ls+R
=
s
s+ 1.48
2.5. Diagramas de bloques
Los diagramas de bloques son una manera de representar sistemas que están
compuestos por varias partes que se representan por bloques y que estánunidos
entre sí por flechas que representan el flujo de las señales.
El objetivo es representar como bloques las funciones de transferencia de cada
parte, porque es más sencillo, y después, simplificar el diagrama para obtener la
función de transferencia del sistema completo.
2.5. Diagramas de bloques 29
2.5.1. Reducción de bloques
a) La salida de un sistema es el producto de la función de transferencia por la
entrada (esto es cierto sólo en el dominio de la frecuencia).
b) La función de transferencia de dos bloques en serie es el producto de las
funciones de transferencia de los bloques.
c) La función de transferencia de dos bloques en paralelo es la suma de las
funciones de transferencia de los bloques.
d) La función de transferencia de un bucle de realimentación negativa es la
función de transferencia de la línea directa dividido por uno más la F.T.de la line
directa y la realimentación.
Fig. 2.11: Simplificación de bloques
30 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
2.5.2. Trasposición de sumadores
Fig. 2.12: Trasposición de sumadores
2.5. Diagramas de bloques 31
Ejemplo 2.5.1: Consideremos el diagrama de bloques de la figura 2.13a. Para
simplificar el diagrama los pasos pueden ser:
1. Simplificación del bucle con realimentación negativa formado por H1(s) y
H2(s) para obtener el diagrama de la figura 2.13b.
2. Trasposición de la bifurcación de la línea de arriba, que va a H6(s), para
obtener el diagrama de la figura 2.14a.
3. Sustitución del bucle de realimentación negativa por su F.T. correspondiente
y de la suma de las señales en paralelo de la parte derecha como se ve en el
diagrama de la figura 2.14a.
4. Finalmente se hace el producto de las dos F.T. y se simplifica, como se ve en
la figura 2.14b.
Fig. 2.13: a) Sistema de partida del ejemplo y b) primera simplificación: bucle de
realimentación
Ejemplo 2.5.2: Para levantar y bajar una masa m = 1 kg se emplea una polea
de radio r = 0.5m y momento de inercia J = 0.1 kg ·m2 accionada mediante un
motor de corriente continua cuyas características son:
• Resistencia interna Ri = 70 Ω
• Inductancia Li = 10H
32 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.14: a) Transposicion de la bifurcación, simplificación de la realimentación
y simplificación de los bloques en paralelo. b) Función de transferencia
final.
• Constante de par Ki = 2N ·m/A
• Constante de fuerza electromotriz Ke = 6V · s
El desplazamiento vertical de la masa es proporcional a la posición de la polea
y se mide empleando un sensor de posición cuyo comportamiento dinámico viene
dado por la expresión:
us (t) = −5
√
2θ (t)
π
cos(θ(t))
La tensión de medida us(t) se compara con la tensión de referencia uref (t) con
la que se gobierna el sistema, siendo la etapa de la ganancia amplificadora ku = 1.
Se pide:
1. Linealizar el sistema en torno al punto de equilibrio definido por x0 = π
4 .
2. Dibujar el diagrama de bloques del anterior sistema teniendo como entrada
la señal uref(t) y como salida el desplazamiento del peso x(t).
3. Calcular la función de transferencia del sistema X(s)
Uref (s)
4. Cuanto cambia el desplazamiento del peso si la tensión uref pasa a valer
180.5V .
2.5. Diagramas de bloques 33
Fig. 2.15:
Fig. 2.16:
5. Si se quiere convertir el peso que mueve el motor en un valor variable (como
es el caso de lo que ocurre en un ascensor, cuando no se sabe el número exacto de
personas que entran), ¿dónde se introduciría la señal de perturbación al diagrama
de bloques?
Ejemplo 2.5.3: En la figura se representa un sistema que controla la altura del
líquido en un depósito h(t) en función de la señal de referencia, r(t).
El sensor es un flotador de peso y dimensiones despreciables unido a una varilla
de peso despreciable cuyo extremo es el cursor de un potenciómetro de 1/4 de
circunferencia.
La tensión del extremo de la varilla, b(t), se compara con la de referencia, r(t),
y la diferencia se amplifica con una gananciaA = 20. Esta tensión regula la válvula
de entrada cuya ecuación es:
q1(t) = Kv · [50− v(t)]
34 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.17:
con Kv = 0.5m3
s·V
Datos:K = 5
√
2m
5
2
s (coeficiente de la ecuación de Torricelli q2(t) = K
√
h(t),
desagüe del depósito).
a) Escribir las ecuaciones que representan el modelo físico del sistema. b) Li-
nealizarlas entorno al punto de equilibrio dado por h0 = 0.5m. c) Dibujar un
diagrama de bloques representativo del sistema. d) Calcular la función de transfe-
rencia H(s)/R(s). e) Calcular el valor final de h(t) cuando la entrada sufre un cambio
brusco de valor 1. f) ¿Rebosará el líquido del depósito en este caso?
Resolución:
a) Escribir las ecuaciones que representanel modelo físico del sistema.
La salida del amplificador es:
v(t) = A[r(t)− b(t)]
La válvula regula el caudal de entrada según la relación:
q1(t) = Kv[50− v(t)]
Las ecuaciones del depósito en la figura con sección S = 1m3 son:
q1(t)− q2(t) = S
dh(t)
dt
2.5. Diagramas de bloques 35
Fig. 2.18:
q2(t) = K
√
h(t)
con K = 5
√
2m
5
2
s
La ecuación del potenciómetro es:
b(t) = Vmax
θ(t)
θmax
con Vmax = 20V y θmax = π/2
El ángulo está relacionado a la altura del líquido:
hmax − h(t) = l cos θ(t)
Con hmax = 1m y l = 1m.
Finalmente escribimos las ecuaciones del sistema:
v(t) = 20[r(t)− b(t)]
q1(t) =
1
2
[50− v(t)]
q1(t)− q2(t) =
dh(t)
dt
q2(t) = 5
√
2
√
h(t)
cos θ(t) = 1− h(t)
b(t) = 40
θ(t)
π
b) Linealizarlas entorno al punto de equilibrio dado por h0 = 0.5m.
36 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
La condición de equilibrio será:
h0 = 1 rad
θ0 = arc cos(1− h0) =
π
3
rad
b0 =
40
π
θ0 = 13.3V
q2,0 = 5
√
2h0 = 5m3/s
q1,0 = q2,0
v0 = 50− 2q1,0 = 40V
r0 =
1
20
v0 + b0 = 15.3V
El sistema linealizado en torno a esa condición de equilibrio será:
∆v = A(∆r −∆b) = 20(∆r −∆b)
∆q1 = −Kv∆v = −1
2
∆v
∆q1 −∆q2 = S∆ḣ = ∆ḣ
∆q2 =
K
2
√
h0
∆h = 5∆h
∆h = l sin θ0∆θ =
√
3
2
∆θ
∆b = Vmax
∆θ
θmax
=
40
π
∆θ
c) Dibujar un diagrama de bloques representativo del sistema.
Para dibujar el diagrama de bloques debemos aplicar la Transformada de La-
place a las ecuaciones linealizadas:
V (s) = A(R(s)−B(s))
Q1(s) = −KvV (s)
Q1(s)−Q2(s) = SsH(s)
Q2(s) =
K
2
√
h0
H(s)
H(s) = l sin θ0Θ(s)
B(s) =
Vmax
θmax(s)
Θ(s)
El diagrama de bloques es:
2.5. Diagramas de bloques 37
Fig. 2.19:
d) Calcular la función de transferencia H(s)/R(s).
H(s)
R(s)
=
C ·G(s)
1 + C ·G(s) · Z
donde
C = −KvA = −10
m3
s · V
G(s) =
H(s)
Q1(s)
=
1
sS
1 + 1
sS
K
2
√
h0
=
1
s
1 + 5
s
=
1
s+ 5
Z =
B(s)
H(s)
=
B(s)
Θ(s)
Θ(s)
H(s)
=
Vmax
θmax
1
sin θ0
=
80
π
√
3
Finalmente:
H(s)
R(s)
=
− 10
s+5
1− 80
π
√
3
10
s+5
=
−10
s+ 5− 800
π
√
3
e) Calcular el valor final de h(t) cuando la entrada sufre un cambio brusco de
valor 1.
Aplicando el teorema del valor final, se obtiene:
∆h∞ = lim
t→∞
∆h(t) = lim
s→0
sH(s) = lim
s→0
s
−10
s+ 5− 800
π
√
3
R(s) =
= ĺım
s→0
s
−10
s+ 5− 800
π
√
3
1
s
= −0.0704m
f) ¿Rebosará el líquido del depósito en este caso? La altura alcanzada por el
líquido es:
h∞ = h0 + ∆h∞ = 0.5− 0.0704m = 0.5704m < hmax = 1m
Así que el líquido no rebosará.
38 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.20:
Ejemplo 2.5.4: Se dispone de un horno en el que el calor generado por una re-
sistencia interna qg(t) es proporcional (K1 = 10) al cuadrado de la corriente que
circula por ella, mientras que el calor perdido qp(t) es proporcional (K2 = 2.5) a
la diferencia entre la temperatura interna del horno θi(t) y la temperatura externa
θe(t).
Sabiendo que la variación de la temperatura interna del horno es proporcional
(K3 = 1) a la diferencia entre el calor generado y el calor perdido, y que el control
del sistema se realiza mediante un amplificador que genera una corriente i(t) =
θref (t)− θi(t) + 5.
Obtener:
a) Ecuaciones del sistema.
b) Linealizar el sistema en torno a la condición de equilibrio θi0 = θref0 =
100oC y θe0 = 0oC
c) Dibujar el diagrama de bloques del dispositivo. Entradas: ∆θref (s),∆θe(s).
Salida: ∆θi(s).
Resolución
a) Ecuaciones del sistema.
q(t) = K1i
2(t)
qp(t) = K2[θi(t)− θe(t)]
dθi(t)
dt
= K3[qg(t)− qp(t)]
i(t) = θref (t)− θi(t) + 5
with K1 = 10, K2 = 2.5, and K3 = 1.
2.5. Diagramas de bloques 39
b) Linealizar el sistema en torno a la condición de equilibrio θi0 = θref0 =
1000C y θe0 = 00C.
Condiciones iniciales:
qg0 = K1i
2
0
qp0 = K2[θi0 − θe0]
0 = K3[qg0 − qp0]
i0 = θref0 − θi0 + 5
es decir
i0 = 5
qg0 = 250
qp0 = 250
El sistema linealizado en torno al punto de equilibrio es
∆qg(t) = 2i0K1∆i(t)
∆qp(t) = K2[∆θi(t)−∆θe(t)]
∆θ̇i(t) = K3[∆qg(t)−∆qp(t)]
∆i(t) = ∆θref (t)−∆θi(t)
c) Dibujar el diagrama de bloques del dispositivo.
Entradas: ∆θref (s), ∆θe(s).
Salida: ∆θi(s)
Transformamos según Laplace:
∆Qg(s) = 2i0K1∆I(s)
∆Qp(s) = K2[∆Θi(s)−∆Θe(s)]
s∆Θi(s) = K3[∆Qg(s)−∆Qp(s)]
∆I(s) = ∆Θref (s)−∆Θi(s)
El diagrama de bloques es:
40 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.21:
Ejemplo 2.5.5: Sea un sistema físico constituido por una etapa de potencia, un
motor, un tren reductor y un encoder según se muestra en la figura: La tensión
e que le llega a la etapa de potencia es proporcional a la diferencia entre la ten-
sión de referencia Ur y la tensión de salida del encoder Ur, siendo la constante de
proporcionalidad Kp = 2.
La etapa de potencia produce una intensidad i a partir de la tensión de entrada
e, según la siguiente ecuación diferencial:
i(t)
d i(t)
dt
+ i(t)− 2
√
e(t) + 1.75 = 0
En el motor se produce un par τ1 que es proporcional a la intensidad i, siendo
la constante de proporcionalidad Km = 4Nm/A.
El eje motor está conectado a un reductor, siendo N1 = 16 dientes y N2 = 32
dientes. En el segundo eje tenemos acoplado un volante de inercia con momento
de inercia I = 10Kgm2, rozamiento B = 5Nms/rad, mostrando el eje un
comportamiento elástico con K = 2Nm/rad.
Por último, el ángulo girado por el segundo eje, θ2, se mide con un encoder,
apareciendo una tensión de salida Us proporcional al ángulo girado θ2, siendo la
constante de proporcionalidad Ke = 0.5V/rad. Se pide:
Fig. 2.22:
2.5. Diagramas de bloques 41
a) Ecuaciones del sistema.
b) Linealizar en torno al punto de equilibrio dado por τ20 = 2Nm.
c) Diagrama de bloques.
d) Hallar la relación Us(s)
Ur(s)
.
e) Hallar la tensión de salida del encoder Us cuando la tensión de referencia
experimenta un salto brusco de dos unidades.
Resolución:
a) Ecuaciones del sistema. Las ecuaciones del sistema son:
Amplificador:
e(t) = Kp[Ur(t)− Us(t)], con Kp = 2
Etapa de potencia:
i(t)
di(t)
dt
+ i(t)− 2
√
e(t) + 1.75 = 0
Motor:
τ1(t) = Kmi(t), con Km = 4Nm/A
Reductor:
τ1(t)
τ2(t)
=
N1
N2
, con
N1
N2
= 0.5
Volante de inercia
I
d2θ2(t)
dt2
= τ2(t)−Kθ2(t)−Bdθ2(t)
dt
con I = 10Kgm2, B = 5Nms/rad y K = 2Nm/rad
Encoder
Us(t) = Keθ2(t), con Ke = 0.5V/rad
b) Linealizar en torno al punto de equilibrio dado por τ20 = 2Nm.
Consideramos el punto de equilibrio:
τ20 = 2Nm
τ10 = τ20
N1
N2
= 1Nm
i0 = τ10
Km
= 0.25A
e0 =
[
i0+1.75
2
]2
= 1V
La única ecuación no lineal es la que caracteriza la etapa de potencia. Así que:
i0∆i̇+ ∆i− 1
√
e0
∆e = 0
42 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Fig. 2.23:
Las ecuaciones de las variaciones serán:
∆e = Kp(∆Ur −∆Us)
i0∆i̇+ ∆i− 1√
e0
∆e = 0
∆τ1 = Km∆i
∆τ2 = N2
N1
∆τ
I∆θ̈2 = ∆τ2 −K∆θ2 −B∆θ̇2
∆Us = Ke∆θ2
Aplicando la trasformada de Laplace
E(s) = Kp[Ur(s)− Us(s)]
i0sI(s) + I(s)− 1√
e0
E(s) = 0
τ1(s) = KmI(s)
τ2(s) = N2
N1τ1(s)
Is2Θ(s) = τ2(s)−KΘ(s)−BsΘ(s)
Us(s) = KeΘ2(s)
El diagrama de bloques será:
c) Hallar la relación Us(s)
Ur(s)
Us(s)
Ur(s)
=
G(s)
1 +G(s)
Donde
G(s) =
Us(s)
U(s)
= Kp
1
√
e0
1
i0s+ 1
Km
N2
N1
1
Is2 +Bs+K
Ke =
16
2.5s3 + 11.25s2 + 5.5s+ 2
Así que
Us(s)
Ur(s)
=
1
2.5s3 + 11.25s2 + 5.5s+ 18
d) Hallar la tensión de salida del encoder Us cuando la tensión de referencia
experimenta un salto brusco de dos unidades.
Aplicando el teorema del valor final, se obtiene:
2.5. Diagramas de bloques 43
∆Us,∞ = lim
t→∞
∆Us(t) = lim
s→0
sUs(s) = lim
s→0
s
16
2.5s3 + 11.25s2 + 5.5s+ 18
Ur(s) =
= lim
s→0
s
16
2.5s3 + 11.25s2 + 5.5s+ 18
2
s
= 1.778V
Us,∞ = Us,0 + ∆Us,∞
Us0 = Keθ20 =
Ke
K
τ20 = 0.25V
Así que
Us,∞ = Us,0 + ∆Us,∞ = 2.028V
Ejemplo 2.5.6: Un termistor tiene una respuesta a la temperatura representada
porR = R−0.1T
0 , en donde,R = resistencia, y T = temperatura en grados Celsius.
Encuentra el modelo lineal para el termistor que funciona a T = 20 degC y con
un pequeño rango de variación de la temperatura.
Solución: En el punto de equilibrio o punto de funcionamiento T = 20 degC
Req = R0e
−0.1·20 = 0.135R0
Linealizando alrededor de este punto de equilibrio
∆R =
∂R0e
−0.1T
∂T
∣∣∣∣
T=20∆T = R0 (−0.1)e−0.1T
∣∣
T=20
∆T = −0.0135∆T
Tomando transformadas de Laplace
R(s) = −0.0135T (s)
Ejemplo 2.5.7: Hallar la función de transferencia H(s)/Qe(s) del sistema con-
sistente en un depósito de agua, linealizando alrededor del punto de equilibrio dado
por qe0 = 1m3/s. si la sección de la tubería de salida es A = 1m y el área de la
base es B = 1m2.
Datos: Considerar la ecuación de Torricelli qs(t) = K ·A
√
h.
44 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
Solución:
El caudal de entrada menos el de salida es la variación de volumen
qe(t)− qs(t) = B
dh(t)
dt
=
dh(t)
dt
Según la ecuación de Torricelli
qs(t) =
√
h
En el punto de equilibrio, qe0 = 1m3/s se tiene
qe0=qs0 ⇒ qs0 = 1m3/s
qs0=K
√
h0 ⇒ h0 =
1
K
m (2.5.1)
Linealizando
∆qe −∆qs=∆ḣ
∆qs=
K
2
√
h0
∆h =
K3/2
2
∆h (2.5.2)
Tomando transformadas de Laplace
Qe(s)−Qs(s)=sH(s)
Qs(s)=
K3/2
2
H(s) (2.5.3)
Sustituyendo
Qe(s)−
K3/2
2
H(s) = sH(s)
La función de transferencia será
H(s)
Qe(s)
=
1
s+ K3/2
2
2.5. Diagramas de bloques 45
Bibliografía
[1] E.A. Puente, Regulación Automática I, Sección de Publicaciones ETSIIM,
1980.
[2] K. Ogata, Discrete-Time Control Systems, Prentice Hall International Edi-
tion, 1995.
[3] B. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, 1996.
[4] R. Isermann, Digital Control Systems, Springer Verlag, 1989.
[5] K.J. Aström, Computer Controlled Systems, Prentice Hall, 1988.
46 2. Técnicas clásicas de modelado de sistemas
3. ANÁLISIS TEMPORAL
3.1. Introducción al Análisis Temporal de Sistemas
El los capítulos anteriores se ha tratado sobre el modelado matemático de los
sistemas atendiendo a su relación entre la entrada y la salida. Esto nos lleva al
concepto de Función de transferencia. En éste capítulo vamos a analizar el funcio-
namiento de los sistemas partiendo de sus funciones de transferencia.
3.2. Respuesta Temporal
Cuando la señal de entrada u(t) se introduce en un sistema con función de
transferencia G(s), su salida es
Y (s) = G(s)U(s)⇒ y(t) = g(t) ∗ u(t) = L−1(G(s)U(s))
Esta respuesta temporal consta de dos partes: la respuesta transitoria y la res-
puesta en régimen permanente. La respuesta transitoria es la parte de la respuesta
temporal que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito y la respuesta en
régimen permanente es la que permanece a lo largo del tiempo.
y(t) = yrt(t) + yrp(t)
lim
t→∞
yrt(t) = 0
yrp(t) = lim
t→∞
y(t)
El comportamiento dinámico del sistema corresponde fundamentalmente al ré-
gimen transitorio y en él se puede estudiar la rapidez y la estabilidad.En la respuesta
en régimen permanente se puede estudiar la precisión de la respuesta, es decir el
error estacionario del sistema.
Para analizar la respuesta de un sistema se introducen distintas señales de prue-
ba. Las más importantes son la señal impulso o delta de Dirac
u(t) = δ(t)⇒U(s) = 1
La señal escalón unidad
u(t) = u0(t) =
{
0,t < 0
1,t > 0
⇒U(s) = 1
s
48 3. Análisis Temporal
Fig. 3.1: Respuesta de un sistema
y la señal rampa unidad
u(t) = tu0(t)⇒U(s) = 1
s2
3.2.1. Respuesta impulsional
La principal razón para que la teoría de control clásica use el dominio de la fre-
cuencia en vez del dominio del tiempo, viene dada por el teorema de convolución.
En el dominio del tiempo la salida es una convolución
y(t) = g(t) ∗ u(t) =
∫ t
0
g(t− τ)u(τ)dτ =
∫ t
0
g(τ)u(t− τ)dτ
mientras que en el dominio de la frecuencia, la salida es un producto
Y (s) = G(s)U(s).
En el caso de que la entrada sea un impulso unidad u(t) = δ(t), en el dominio
frecuencial U(s) = 1
y(t) = g(t) ∗ δ(t) =
∫ t
0
g(t− τ)δ(τ)dτ = g(t)
Es decir, cuando la señal de entrada es un impulso, la salida es
y(t) = g(t), siendo g(t) = L−1(G(s))
A la función g(t) se le denomina respuesta impulsional del sistema y es un mo-
delo matemático del sistema, como pueden serlo las ecuaciones diferenciales o la
función de transferencia G(s).
3.2. Respuesta Temporal 49
3.2.2. Respuesta de los sistemas de primer orden
Los sistemas de primer orden son los más sencillos y vienen dados por la ecua-
ción diferencial
T ẏ(t) + y(t) = Ku(t) (3.2.1)
Tomando transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas
T · sY (s) ∗ Y (s) = KU(s)
y su función de transferencia se puede escribir como
Y (s)
U(s)
=
K
1 + Ts
La constante K es la ganancia estática, T es la constante de tiempo y σ = 1
T es
la constante de atenuación. Es interesante hacer notar que el polo está situado en
−1/T.
Respuesta impulsional
Consideremos un sistema de primer orden con función de transferenciaG(s) =
K
1+Ts . Si la entrada es un impulso unidad u(t) = δ(t)⇒ U(s) = 1, la salida es
Y (s) = G(s) · 1 =
K
1 + Ts
y la salida en el dominio temporal es
y(t) = g(t) = L−1
(
K
1 + Ts
)
=
k
T
e−
t/T t ≥ 0
Fig. 3.2: Respuesta impulsional de un sistema de primer orden
Como se ve en la Fig. 3.3, La constante T es el tiempo que tarda el sistema en
alcanzar el 37 % del valor inicial, g(0) = K/T .
50 3. Análisis Temporal
Fig. 3.3: Respuesta impulsional de un sistema de primer orden
Respuesta a escalón
Si la señal de entrada al sistema G(s) es un escalón unidad u(t) = u0(t) ⇒
U(s) = 1/s
Fig. 3.4: Respuesta ante escalón unidad de un sistema de primer orden
entonces la salida en el dominio del tiempo es
y(t) = L−1
(
G(s)
s
)
= L−1
(
k
s(1+Ts)
)
= kL−1
(
1
s −
T
1+Ts
)
=
= k(1− e−
t/T ), para t ≥ 0.
En la figura Fig. 3.5 se muestra la salida de un sistema de primer orden ante una
entrada escalón unidad. La constante de tiempo T es el tiempo que tarda el sistema
en llegar al 63 % del valor final K y mide la velocidad de respuesta del sistema. El
tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 95 % del valor final se denomina tiempo
de establecimiento y se puede calcular como ts ≈ 3T ≈ π
σ .
Ejemplo 3.2.1: También es interesante hacer notar que a partir de la respuesta
escalón unidad es posible determinar los parámetros K (valor final) y T (tiempo
que tarda el sistema en llegar al 63 % del valor final) y, por tanto, se puede deter-
minar la función de transferencia. Por ejemplo si la respuesta ante escalón unidad
3.2. Respuesta Temporal 51
Fig. 3.5: Respuesta ante escalón unidad de un sistema de primer orden
Fig. 3.6: Determinación de la función de transferencia a partir de la respuesta ante
escalón unidad de un sistema de primer orden
es la representada en la Fig.3.6, el valor final K = 0.72 (que también es la ganan-
cia, porque la entrada es un escalón unidad) y la constante de tiempo es el tiempo
correspondiente a 0.63 · 0.72, que es T = 0.13, y la función de transferencia es
G(s) =
K
1 + Ts
=
0.72
1 + 0.13s
52 3. Análisis Temporal
Respuesta a rampa
Si la entrada del sistema G(s) es la rampa unidad u(t) = t · u0(t) ⇒ U(s) =
1/s2
Fig. 3.7: Respuesta ante rampa unidad de un sistema de primer orden
la salida y(t) se puede expresar como
y(t) = L−1
(
G(s)
s2
)
= L−1
(
k
s2(1+Ts)
)
= kL−1
(
−T
s + 1
s2
+ T 2
1+Ts
)
=
= k(−T + t+ Te−
t/T ) = k(t− T ) + kTe−
t/T , para t ≥ 0
En esta expresión, T es el retardo entre la entrada rampa y la respuesta.
Fig. 3.8: Respuesta ante rampa unidad de un sistema de primer orden
3.2.3. Respuesta de los sistemas de segundo orden
La ecuación estándar de un sistema de segundo orden es
G(s) =
kωn
2
s2 + 2ζωns+ ωn2
(3.2.2)
donde
3.2. Respuesta Temporal 53
k = Ganancia estática.
ωn = Frecuencia natural no amortiguada (undamped natural frequency).
ζ = Coeficiente de amortiguamiento (damping ratio).
σ=ζωn = Factor de decrecimiento (attenuation).
ωd = ωn
√
1− ζ2 = Frecuencia amortiguada (damped frequency).
El comportamiento del sistema viene determinado por k, ζ y ωn. Los polos
se pueden determinar a partir de la ecuación característica (denominador de G(s)
igualado a cero).
s2 + 2ζωns+ ωn
2 = 0
s = −ζωn ±
√
ζ2ωn2 − ω2
n = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1 =
−ζωn ± jωn
√
1− ζ2 = −σ ± jωd
(3.2.3)
Fig. 3.9:
54 3. Análisis Temporal
Fig. 3.10: Clasificación de los sistemas de segundo orden
Respuesta impulsional
Consideremos un sistema de segundo orden
G(s) =
kωn