TEMA 19

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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 19
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
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TEMA 19
NATURALEZA ELÉCTRICA DE LA MATERIA. ELECTROSTÁTICA. DIS-
CONTINUIDAD Y CONSERVACIÓN DE LA CARGA. CARÁCTER CONSERVA-
TIVO DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO. ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA IN-
TERACCIÓN ELÉCTRICA.
Esquema
1. Antecedentes históricos de la electricidad.
1.1. Fenómenos eléctricos conocidos en la antigüedad.
1.2. Nacimiento de la electricidad. Estudios de Gilbert.
1.3. Fenómenos electrostáticos entre los cuerpos.
2. Electrostática.
2.1. Estudios experimentales de Coulomb. Ley de Coulomb.
2.2. La cuantificación de la carga eléctrica.
2.2.1. Experimento de Millikan.
2.2.2. Estructura eléctrica de la materia.
2.3. El Campo Eléctrico.
2.3.1. Fuerza eléctrica de una carga en el vacío.
2.3.2. Generalización a varias cargas y distribuciones de carga.
2.4. Intensidad del Campo Eléctrico.
2.4.1. Definición de Intensidad de Campo.
2.4.2. Líneas de Campo eléctrico.
2.4.3. Flujo de Campo a través de una superficie.
3. El campo eléctrico es conservativo.
3.1. Demostración de que el campo eléctrico es irrotacional.
3.2. Definición de Potencial Eléctrico.
3.2.1. Potencial del campo creado por una carga.
3.2.2. Potencial creado por varias cargas y por una distribución de carga.
3.3. Diferencia de potencial entre dos puntos.
4. Teorema de Gauss del Campo Eléctrico.
4.1. Flujo a través de una superficie.
4.1.1. Concepto de ángulo sólido.
4.2. Demostración del teorema de Gauss.
4.3. Forma integral y diferencial del teorema de Gauss.
4.4. Aplicaciones del teorema de Gauss.
4.4.1. Campo debido a una carga puntual.
4.4.2. Campo debido a una distribución de carga esférica uniforme.
4.4.3. Campo debido a un conductor lineal cargado.
4.4.4. Campo debido a una lámina plana cargada.
4.4.5. Campo debido a un condensador plano cargado.
5. Energía del campo eléctrico
5.1. Energía potencial eléctrica
5.2. Energía potencial de una carga puntual.
5.3. Energía potencial de una distribución de carga.
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TEMA 19
NATURALEZA ELÉCTRICA DE LA MATERIA. ELECTROSTÁTICA. DIS-
CONTINUIDAD Y CONSERVACIÓN DE LA CARGA. CARÁCTER CONSERVA-
TIVO DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO. ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA IN-
TERACCIÓN ELÉCTRICA.
1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA ELECTRICIDAD
1.1. Fenómenos eléctricos conocidos en la antigüedad.
Desde la más remota antigüedad ya eran conocidos por el hombre ciertos fenóme-
nos, de los que hoy llamamos eléctricos y que entonces no tenían relación entre ellos ni
una explicación razonable. Podemos citar, el rayo y el relámpago, las descargas de cier-
tos peces como el anguila, las luminosidades de cuerpos puntiagudos en noches de tor-
menta (fuego de San Telmo), la atracción que ejercen al frotarlas ciertas resinas, como
el ámbar, sobre cuerpos ligeros y pequeños, etc.
Ante la falta de explicaciones razonables, estos fenómenos eran atribuidos a cau-
sas misteriosas o exotéricas a veces sobrenaturales. Incluso, las atracciones que ejercen
las resinas como el ámbar, sobre cuerpos ligeros eran confundidas con las atracciones
que ciertos minerales (magnetitas) ejercen sobre cuerpos de hierro y fue en este tipo de
fenómenos de donde evolucionó la verdadera teoría explicativa de los fenómenos eléc-
tricos.
Las atracciones que los cuerpos frotados ejercen sobre otros próximos, pretendían
ser explicados buscando un contacto físico entre ambos, aunque no existía ninguna co-
nexión ni contacto visible o material. Se consideraba que existía un contacto "invisible",
una especie de emanación o efluvios del cuerpo atractor sobre los cuerpos atraídos. Esta
idea, aunque pintoresca, representaba el germen de la actual teoría del campos.
1.2. Nacimiento de la Electricidad. Estudios de Gilbert.
Los primeros estudios cuantitativos se debieron a William Gilbert, médico inglés,
que llegó a diferenciar los cuerpos que presentan magnetismo de los que presentan el
efecto de atracción del ámbar al frotarlo. Llegó a descubrir numerosas sustancias que,
como el ámbar, presentan capacidad de atracción a cuerpos ligeros y destacamos entre
ellos el diamante, zafiro, azabache, vidrio, amatista, etc. y muchas más que son atraídas
por éstas. Clasificó como sustancias eléctricas (del griego electrón -ámbar-) a las que
presentan el efecto ámbar y como no eléctricas las que no presentan este efecto al ser
frotadas.
Gilbert explicaba el efecto ámbar mediante la teoría de los efluvios, sin embargo
ésta hubo de ser modificada para explicar un fenómeno descubierto posteriormente: la
repulsión eléctrica. En ocasiones, cuando un cuerpo frotado atrae a otro, éste es repelido
violentamente después de hacer contacto con el primero. Esta repulsión no era produc i-
da por los efluvios que producían la atracción.
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Ya en el siglo XVIII se llamaba electricidad a la propiedad de éstos cuerpos, los
eléctricos de Gilbert, de producir atracción o repulsión sobre cuerpos próximos. Poste-
riormente Stephen Gray descubrió la propiedad de la conducción de esta electricidad de
un extremo al otro de un cuerpo alargado y clasificó los materiales en dos clases: con-
ductores y no conductores. Los conductores coincidían con los "no eléctricos de Gilbert
y los no conductores con los "eléctricos".
1.3. Fenómenos electrostáticos entre los cuerpos.
De los múltiples experimentos realizados a partir de entonces se obtuvieron im-
portantes consecuencias:
a) Todo cuerpo frotado es electrizado o sea adquiere electricidad y puede atraer a
otros cuerpos próximos.
b) Estos cuerpos atraídos, tras el contacto, quedan igualmente electrizados y son re-
pelidos.
c) Dos trozos de un material (vidrio) al ser frotados ambos en una seda se electrizan
y se repelen. Análogamente dos trozos de otro material (ámbar) frotados con una
piel se electrizan y se repelen, sin embargo un trozo de vidrio y otro de ámbar,
ambos frotados se atraen.
d) Se deduce que hay dos clases de electricidad: vítrea y resinosa. Los cuerpos con
electricidades iguales se repelen y los de electricidades distintas se atraen.
Veamos la evolución del concepto de electricidad. Primero se propuso que era una
sustancia o fluido contenido en los cuerpos electrizados y más tarde se propuso que eran
dos fluidos: vítreo y resinoso, existentes a partes iguales en los cuerpos y que al ser fro-
tados, se producía una transferencia de fluidos de unos a otros, quedando cargados
eléctricamente con un exceso de fluido.
A su vez, Benjamín Franklin en América propuso la existencia de un único fluido.
Los cuerpos contienen una cantidad de fluido considerada normal. Si por frotamiento
adquieren más fluido, quedan cargados positivamente y si pierden fluido quedan carga-
dos negativamente.
Para explicar la conducción, Franklin consideraba que el fluido se transmite desde
un cuerpo que lo contiene en exceso a otro que contiene menos, no lo contiene o lo con-
tiene en defecto, o sea, desde un cuerpo cargado positivamente a otro cargado negati-
vamente o no cargado, criterio éste de transmisión de fluido que aún hoy se aplica a las
cargas eléctricas y por tanto a la corriente eléctrica. Franklin no conocía los nombres de
vítreo y resinoso para los dos fluidos de electricidad y propuso su propia nomenclatura
de positiva y negativa concordante con la existencia de un fluido.
Pero la ciencia de la electricidad avanzaba lentamente por la falta de experimentos
cuantitativos entre conceptos eléctricos perfectamente definidos. La atracción de la gra-
vedad podía servir de modelo para establecer relaciones cuantitativas en los fenómenos
eléctricos, pues gravedad y electricidad tenían suficientes semejanzas parapermitir un
paralelismo entre ellas. En base a esto, Priestley y Cavendish demostraron que la atrac-
ción eléctrica era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las
cargas.
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2. ELECTROSTÁTICA.
2.1. Estudios experimentales de Coulomb. Ley de Coulomb.
Los experimentos cuantitativos más importantes sobre las atracciones y repulsio-
nes eléctricas fueron realizados por el francés Charles A. Coulomb (1785) utilizando
una balanza cuidadosamente construida por él, que podía detectar fuerzas extraordina-
riamente pequeñas, del orden de 10-8 N. Realizó muchos experimentos cargando las
esferas de la balanza de torsión y situándolas a diferentes distancias midiendo con gran
cuidado la fuerza ejercida. Construyó otros aparatos diferentes para comprobar la misma
fuerza y realizó un completo estudio de los errores experimentales. De ello, demostró
que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas:
2
1
r
F ∝
Seguidamente estudió la variación de la fuerza cuando se modificaban las cargas
eléctricas sobre las esferas. En experimentos cuidadosos, Coulomb midió la fuerza entre
dos cargas Q1 y Q2 y comprobó que esta fuerza aumentaba proporcionalmente al incre-
mentar las cargas Q1 y Q2. Estableció, por analogía con la Ley de Newton de la Gravita-
ción Universal, que: 21QQF ∝
De ambas expresiones se puede establecer:
2
21
r
QQ
F ∝ y por tanto 2
21
r
QQ
kF =
siendo k una constante cuyo valor hay que determinar experimentalmente y dependerá
del sistema de unidades y de la unidad que se establezca para la carga eléctrica.
Esta ecuación constituye la Ley de Coulomb de la fuerza electrostática, referida a
cargas en reposo. Coulomb, además de establecerla, la comprobó experimentalmente a
pesar de que no disponía de métodos adecuados para medir las cargas, ni siquiera se
disponía de unidad patrón de carga.
Para establecer una Unidad de Carga tendríamos que disponer de alguna partícula
material de carga conocida y constante que sirviese de patrón universal. Como esto no
era posible en tiempos de Coulomb, ya que no se conocían las partículas constituyentes
del átomo, fue necesario establecer la unidad de carga a partir de la propia Ley de Cou-
lomb, empleando las unidades de longitud y fuerza ya definidas en Mecánica. Inicial-
mente se definió la unidad de carga como "aquella carga que colocada frente a otra
idéntica, a la distancia de 1 cm se repeliesen o atrajesen con la fuerza de una Dina
(unidad de fuerza del sistema C.G.S.)" , para lo cual se eligió arbitrariamente el valor de
la constante k más sencillo, k=1.
La Unidad de Carga, así definida, formaba parte de las cuatro magnitudes funda-
mentales (junto con las tres de Mecánica: Masa, Longitud y Tiempo) que constituían las
magnitudes fundamentales necesarias del sistema de unidades en Electricidad.
Posteriormente se adoptó el sistema Giorgi o M.K.S., con el nombre de Sistema
Internacional (S.I.). En éste, la Carga Eléctrica es una magnitud derivada de la Intens i-
dad de Corriente, definida a partir de consideraciones electromagnéticas e independien-
temente de la ley de Coulomb. La unidad de Carga es el Culombio y la constante de la
Ley de Coulomb tiene un valor, distinto de 1, que depende de las unidades empleadas.
Dicho valor en el vacío es:
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229229 /.10.9/.10.988'8 CmNCmNk ≅=
esta constante depende del medio y toma su valor máximo en el vacío, por lo que resulta
más útil sustituirla por otra constante inversa, ε, tal que:
πε4
1=k
donde ε se llama Constante dieléctrica o Permitividad eléctrica del medio, que tomará
un valor mínimo para el vacío por ser éste el medio menos dieléctrico o aislante posible.
El valor de la Constante dieléctrica del vacío será:
2212
2290 ./10.8537'8/.10.988'8.4
1
4
1
mNC
CmN
−===
ππε
ε
y las unidades de la constante dieléctrica, pueden transformarse así:
m
F
m
Faradio
mV
C
mJ
C
mN
C ====
...
2
2
2
 



 = Volt
Cul
Jul
En cualquier otro medio que no sea el vacío, la constante dieléctrica o permitivi-
dad ε se obtiene multiplicando la permitividad del vacío εo, por el número adimensional
llamado Constante dieléctrica relativa o Permitividad relativa ε', definida por:
0
'
ε
εε = de donde 0'εεε =
El factor 4π se introduce en la constante k para simplificar y racionalizar otras
ecuaciones más útiles en la práctica, que derivan de la Ley de Coulomb y evitar así la
aparición del número irracional π, por lo que el sistema de unidades así establecido se
llama sistema racionalizado.
Las fuerzas eléctricas, a diferencia de las fuerzas gravitatorias, dependen del me-
dio en que actúan.
2.2. La cuantificación de la Carga Eléctrica.
2.2.1. El experimento de Millikan.
Un experimento crucial en la determinación de la carga eléctrica fue el realizado
por Millikan, al comprobar que las gotitas de agua o aceite podían mantenerse estacio-
narias entre las dos placas de un condensador,ajustando convenientemente la tensión en-
tre ellas, de forma que el peso de la gota fuese
equilibrado por la fuerza eléctrica. Al trabajar
con estas "gotitas equilibradas" observaba que
algunas iniciaban un movimiento más o me-
nos brusco, hacia arriba o hacia abajo. Evi-
dentemente estas gotitas habían capturado un
ion positivo en un caso y negativo en el otro.
Esto permite calcular la carga de un ion independientemente de la carga original
de la gota. Utilizó para ello un aparato como el descrito en la fig.1 debidamente protegi-
do. Se rociaban gotas de aceite por R, que atravesaban la abertura C y se introducían en
el campo eléctrico del condensador. La observación se hacía con un anteojo adecuado.
En ausencia de campo eléctrico en el condensador, las fuerzas actuantes sobre ca-
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da gota son: su peso m1g, hacia abajo, el empuje de Arquímedes, m0g, hacia arriba y una
fuerza debida al rozamiento de la viscosidad del medio, que es proporcional a la veloci-
dad de la gota, o sea Kv1 , (que viene formulada por la ley de Stokes). se establecerá un
equilibrio, v1=cte, cuando la resistencia al avance, Kv1, sea igual al peso efectivo de la
gota: m1g-m0g, o sea: m1g-m0g=Kv1
Si conectamos la batería a las placas del condensador, se establecerá un campo
eléctrico E=V/d y una gota cargada sufrirá una fuerza nueva FE=q.E=qV/d. Si la carga
de la gota es negativa, la fuerza eléctrica es hacia arriba y tendrá una nueva velocidad v2
y se cumplirá el equilibrio: FE-(m1g-m0g)=Kv2 (v2=Cte )
llamando mg=m1g-m0g peso efectivo de la gota, resultará:
2. Kvgmd
V
q =−
En el experimento de Millikan el aire del condensador se ionizaba con radiación
(por la presencia de alguna sustancia radiactiva) y las gotas adquirían ocasionalmente un
ion adicional positivo o negativo, y la gota variaba su velocidad. Si tras la captura de un
ion, la nueva velocidad es v3 se obtiene:
( ) 3. Kvgmd
V
qq n =−+ qn=carga del ion capturado
eliminando mg entre ambas ecuaciones. resulta:
( ) K
V
d
vvqn 23 −=
El experimento consistía en determinar qn, las cargas de los iones capturados o
perdidos por la gota. Las velocidades se determinaban por la observación directa y la
constante K de proporcionalidad se evaluaba mediante la ley de Stokes modificada para
gotas pequeñas.
Tras muchas determinaciones de qn se encontró que podía siempre determinarse
por qn=n.e donde n es un número entero y e la carga elemental equivalente a la de un
electrón. e=4'770.10-10 uee carga=1'60.10-19 Culombios
2.2.2. Estructura eléctrica de la materia.
La carga eléctrica está cuantizada. Es decir, que en la naturaleza existeuna carga
mínima o cuanto de electricidad que es la carga negativa que posee un electrón o la car-
ga positiva que posee un protón, y no se encuentran fracciones de ésta.
Consecuencia de este principio es que la carga de un cuerpo no crece o decrece de
una manera continua; o sea, a un cuerpo le podemos añadir o quitar múltiplos enteros
del cuanto de carga, pero nunca una fracción, ya que es indivisible. Esta hipótesis nos
lleva a la conclusión de la existencia de una unidad natural de carga, que será la carga
negativa del electrón o la positiva del protón.
Antes de conocer de esta unidad natural de carga se estableció la unidad electros-
tática de carga (u.e.e.) o Franklin, deducida de la ley de Coulomb aplicada al vacío:
r
r
QQ
KF
rr
3
'=
La unidad electrostática de carga o Franklin es la carga que colocada frente a otra
igual, en el vacío (K=1) a distancia de 1 cm, la repele o atrae con la fuerza de 1 Dina.
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Como la unidad de carga en el S.I. es el Culombio, sus relaciones son:
1 Culombio = 3.109 u. e. e.
1 Culombio = 6' 231. 1018unidades naturales de carga.
2.3. El Campo Eléctrico.
La teoría de los efluvios emanados de las cargas eléctricas para ejercer fuerzas so-
bre las cargas próximas fue definitivamente abandonada cuando Michael Faraday, tras
muchos experimentos y estudios, propuso la teoría del Campo Eléctrico, análogo al
Campo Gravitatorio creado por una masa.
Toda carga eléctrica crea a su alrededor un campo de fuerzas, que se manifiesta
por la fuerza que se ejerce sobre cualquier carga de prueba positiva situada en un punto
del campo. El campo representa una perturbación energética del espacio estableciéndose
una distribución continua de niveles de energía, tal que las cargas eléctricas positivas
inmersas en el campo se moverán hacia niveles de energía inferiores.
2.3.1. Fuerza eléctrica de una carga en el vacío.
La fuerza eléctrica que mueve a la carga de
prueba dentro del campo se determina aplicando la Ley
de Coulomb. Así, consideremos una carga Q1 creadora
de un campo y situada en el origen de coordenadas.
Otra carga Q2 positiva, de prueba, situada en un punto
dado por el vector r
r
 sufrirá una fuerza F
r
, por la ac-
ción del campo, dada por:
r
r
QQ
u
r
QQ
F
rrr
3
21
2
21
4
1
4
1 ⋅=⋅=
πεπε
donde F>0 (positiva), la fuerza F es de repulsión si las cargas son del mismo signo y
F<O (negativa), la fuerza F es de atracción si las cargas son de signo distinto. El vector:
r
r
u
r
r =
es un vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector r que une ambas car-
gas.
2.3.2. Generalización a varias cargas y distribución de carga.
En el caso de que el campo eléctrico esté creado
por un conjunto de cargas eléctricas puntuales Qi (i=1,2,
3,4,...) situadas en distintas posiciones dadas por los vec-
tores de posición ir
r
, la fuerza ejercida sobre la carga de
prueba +Q' en la posición 'r
r
, aplicando el principio de
superposición, vendrá dada por la expresión:
( )∑
=
−
−
=
n
i
i
i
i rr
rr
QQ
F
1
3 '
'
'
4
1 rrr
πε FIG. 3
También podemos considerar el campo eléctrico creado por una carga extensa,
distribuida de manera continua en todo el volumen de un cuerpo y determinada por la
densidad volúmica de carga definida en cada punto del cuerpo por:
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dV
dQ=ρ (C/m3)
En este caso, todo elemento de carga dQ=ρdV del
cuerpo, ejercerá sobre la carga positiva de prueba Q', una
fuerza diferencial Fd
r
:
( )rr
rr
dQQ
Fd
rrr −
−
= '
'
'
4
1
3πε
y la fuerza que ejerce toda la distribución continua de carga sobre la carga Q' se obtiene
integrando para todo el volumen de la carga creadora:
( ) ( )∫∫∫ −−=−−== VV rrrr
dVQ
rr
rr
dQQ
FdF
rrrrrr
'
'4
'
'
'4
'
33
ρ
πεπε
Si la carga eléctrica creadora del campo está distribuida superficialmente sobre un
cuerpo, la caracterizaremos mediante su densidad superficial de carga: σ=dQ/dS y la
fuerza eléctrica ejercida por una densidad superficial sobre una carga de prueba Q' será:
( )∫ −−= S rrrr
dSQ
F
rrr
'
'4
'
3
σ
πε
Y si la carga está distribuida únicamente a lo largo de una línea se caracteriza por
su densidad lineal de carga: λ=dQ/dL y la fuerza eléctrica ejercida por una densidad
lineal de carga sobre una carga de prueba Q' será:
( )∫ −−= L rrrr
dLQ
F
rrr
'
'4
'
3
λ
πε
Para todos los casos y a excepción de que la distribución de cargas sea homogé-
nea, 1as densidades de carga (ρ,σ y λ) así como el vector unitario
rr
rr
u rr
rr
r
−
−
=
'
'
son funciones de la posición del punto r. Igualmente hemos de suponer que la carga
positiva de prueba Q' es una carga puntual cuya presencia en el campo no altera la dis-
tribución original de la carga creadora del campo.
2.4. Intensidad del campo Eléctrico.
2.4.1. Definición de Intensidad de Campo.
Intensidad del Campo Eléctrico E
r
 en un punto o simplemente Campo Eléctrico,
se define como la fuerza del campo por unidad de carga de prueba colocada en el punto.
'Q
F
E
r
r
=
El Campo Eléctrico E
r
 creado en un punto a una distancia r de una carga puntual
creadora del campo, vendrá dado por la expresión vectorial:
r
r
Q
Q
F
E
r
r
r
34
1
' πε
== (N/C)
La introducción de este concepto de Campo permite interpretar la interacción de
dos cargas eléctricas Q y Q', como la acción del campo de una de ellas sobre la otra
carga situada en su proximidad:
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



 ⋅== r
r
QQEQF
rrr
31 4
1''.
πε
 o 



 ⋅== ''
4
1'.
32
r
r
QQEQF
rrr
πε
donde ambas fuerzas son iguales y opuestas pues 'rr
rr −= .
La intensidad del Campo Eléctrico debida a un conjunto de cargas puntuales o a
una distribución volúmica de carga, será:
( )
( )∫
∑
−
−
=
−
−
=
V
i
i
i
rr
rr
dV
E
rr
rr
Q
E
rr
rr
r
rr
rr
r
'
'4
1
'
'4
1
3
3
ρ
πε
πε
2.4.2. Líneas de Campo Eléctrico.
El campo eléctrico, se representa por líneas de fuerza o líneas de campo que se
caracterizan porque son tangentes al vector campo E
r
 en todos los puntos. Teóricamente
por cada punto pasa una línea de campo, sin embargo se ha establecido un criterio con-
vencional para limitar el flujo de líneas de manera proporcional a la intensidad del cam-
po en cada zona. Según este criterio, el número de líneas (definido por el Flujo del
campo) que atraviesa la unidad de superficie normal al campo, colocada en el punto, es
igual al valor del vector Intensidad del Campo en dicho punto. Es decir:
S
E
Φ= o en forma vectorial: SE
rr
•=Φ
El concepto básico de campo fue desarrollado por Faraday y utilizó las líneas de
campo para hacer una representación gráfica de las fuerzas eléctricas que actúan en el
espacio que rodea a un cuerpo cargado. El concepto matemático de campo fue una abs-
tracción posterior de la propia representación gráfica, y las líneas de fuerza siguen sien-
do una herramienta muy útil a la hora de resolver problemas eléctricos y magnéticos.
Las líneas de fuerza son las trayectorias que seguiría una carga puntual positiva,
sometida a la influencia del campo, en una sucesión de caminos elementales, partiendo
en todos ellos del reposo.
Imaginemos una carga positiva que abandonamos en un campo eléctrico. Comen-
zará a moverse por la influencia del campo, al estar sometida a una fuerza que viene
dada por la ley de Coulomb. En cuanto ha iniciado su movimiento la detenemos, vo l-
viendo a abandonarla de nuevo y a detenerla y así sucesivamente. De esta forma descri-
biría una trayectoria (sucesión indefinida de espacios elementales) que se llama línea de
fuerza.
Las líneas de fuerza del campo eléctrico creado
por una carga positiva y una carga negativa aisladasen
el espacio vacío se representan en la figura 5.
Líneas de fuerza, del campo eléctrico creado por
dos cargas puntuales, positiva y negativa en un caso y positivas ambas en otro caso se
representan en la figura 6.
El vector Intensidad de Campo o Vector Campo en un punto es siempre tangente a
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la línea de fuerza en dicho punto. Las líneas de fuerza eléctrica van siempre desde las
cargas positivas a las negativas, según convenio establecido.
2.4.3. Flujo de campo a través de una superficie
Se define el flujo de un campo eléctrico en un punto, como el conjunto de líneas
de campo que atraviesan la unidad de superficie colocada en el punto. El flujo de E
r
 a
través de la superficie elemental Ad
r
 viene dado por:
AdEd
rr
•=Φ luego ∫ ∫=•=Φ A A dAEAdE ϕcos..
rr
En algunos casos, esta magnitud ayuda a calcular la expresión del campo elec-
trostático (en todos los puntos del espacio) creado por algunas distribuciones de carga.
3. EL CAMPO ELÉCTRICO ES CONSERVATIVO
3.1. Demostración de que el campo eléctrico es Irrotacional.
Una carga puntual Q produce en el espacio un campo de fuerzas centrales con si-
metría esférica, puesto que cumple con las características establecidas para las fuerzas
centrales. Estas son: 1) cualquiera que sea r
r
 (posición en el espacio de la carga puntual
Q' respecto de la Q), la dirección de F
r
 pasa por el punto en que se encuentra Q y 2) el
módulo de dicha fuerza es el mismo en puntos equidistantes de Q.
Consideremos el campo eléctrico creado
por la carga puntual Q (fig 7) y dentro de él una
carga de prueba se mueve desde el punto 1 al 2
(lentamente para no modificar las condiciones
electrostáticas) a lo largo de un camino M y
luego vuelve a 1 por una trayectoria diferente
N. Cuando la carga de prueba recorre el tra-
yecto diferencial dr1 en el camino de 1→2, el
trabajo realizado vendrá dado por:
drFrdFdW .1 =•=
rr
En la vuelta, por el camino N, se realiza un trabajo opuesto al anterior, cuyo valor
es: drFrdFdW .2 −=•=
rr
Sumando todos los trabajos elementales correspondientes a los trayectos comple-
tos de 1→2→1, obtenemos:
∫ ∫∫ ∫ =−=•+•
2
)(1
1
)(2
2
)(1
1
)(2 21
0..
M NM N
drFdrFrdFrdF
rrrr
 ⇒ ∫ =• 0rdF
rr
La circulación de la fuerza eléctrica a lo largo de una trayectoria cerrada es nula.
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Esta propiedad del campo, que hemos demostrado para el caso particular de una
carga puntual, tiene validez general para cualquier distribución de carga, puesto que ésta
se puede imaginar dividida en cargas puntuales y para cada una de éstas, la circulación
de la fuerza en trayectoria cerrada, será nula, luego también lo será para la fuerza resul-
tante.
Consecuencia inmediata de esto es que: ∫ =• 0rdE
rr
 (1)
y si aplicamos el teorema de Stokes, a este resultado resulta:
∫ ∫∫ =•∧∇=•C A AdErdE 0
rrrr
donde A
r
 es una superficie cualquiera limitada por la trayectoria C luego
0=∧∇ E
r
es decir, el campo eléctrico es Irrotacional o sea Conservativo.
3.2. Definición de Potencial Eléctrico.
El campo eléctrico creado por cargas en reposo, o campo electrostático, como
campo newtoniano de fuerza central, es conservativo o sea, la circulación del campo a
lo largo de una trayectoria cerrada es nula, ecuación (1) y puede definirse, por tanto, una
función escalar del punto llamada "potencial eléctrico o electrostático”.
∫∞ •−=
r
rdEV
rr
Físicamente se interpreta el potencial en un punto r como "el trabajo realizado
por una fuerza exterior opuesta a la del campo, para trasladar la unidad de carga po-
sitiva desde el infinito hasta el punto".
Se debe cumplir la condición VE ∇−=
r
 (el vector campo es igual al gradiente de
potencial cambiado de signo), donde el signo negativo significa que el Campo Eléctrico
tiene el mismo sentido que el de la disminución del potencial.
El carácter conservativo del campo eléctrico se mantiene para cargas estacionarias
pues en el caso de cargas en movimiento:
∫ ≠• 0rdE
rr
y tendríamos un campo electromagnético y el gradiente de potencial ∇V sólo describiría
parte de dicho campo.
3.2.1. Potencial del campo creado por una carga.
Para una carga puntual creadora de un campo, el Potencial Electrostático en un
punto determinado por el vector de posición r
r
 será:
r
QrQ
r
drQ
rdr
r
Q
rdEV
r
rr r
⋅=





−
−=−=•



−=•−=
∞
−
∞∞ ∞ ∫∫ ∫
0
1
0
2
0
3
0 4
1
1444 πεπεπεπε
rrrr
y para el cálculo, se ha tomado como trayectoria de integración, el radio vector que une
el punto hasta el infinito, punto de potencial cero, y a lo largo de dicha trayectoria:
drrdrrrdr o .0cos.. ==• rr
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3.2.2. Potencial del campo creado por varias cargas y por una distribu-
ción de cargas.
En el caso de que el campo esté creado por un conjunto de cargas puntuales o por
una distribución volúmica de carga definida por la densidad de carga: ρ=dQ/dV, las
expresiones del potencial electrostático, serán:
∑ −= i
i
rr
Q
V rr
'4
1
0πε
 y ∫ −= V rr
dv
V rr
'
.
4
1
0
ρ
πε
3.3. Diferencia de potencial entre dos puntos.
Cuando una carga de prueba Q' se desplaza desde
un punto inicial 1 hasta un punto final 2, bien por la ac-
ción de una fuerza exterior al campo o bien por la fuerza
del propio campo, se realiza un trabajo que no depende
de la trayectoria seguida sino de la posición inicial y final
del desplazamiento. Para determinar este trabajo conside-
raremos la diferencia de potencial (ddp) entre los puntos
1 y 2 (inicial y final) del desplazamiento:
 =

 •−−

 •−=− ∫∫ ∞∞
21
21
rr
rdErdEVV
rrrr
…
 … ∫ ∫ ∫
∞
∞
=•=•+•=
1
2 2
1r
r r
r
rdErdErdE
rrrrrr
…
 … ∫ →=•= 2
1
)21('
1
'
1 r
r
W
Q
rdF
Q
rr
 expresión que puede escribirse ( )21' VVQW −=
es decir, el trabajo que se realiza para trasladar la carga positiva Q’ desde un punto ini-
cial a otro final es el producto de la carga por la diferencia de potencial entre ambos
puntos.
En el campo creado por una carga puntual Q, la diferencia de potencial entre los
puntos 1 y 2, de posiciones dadas por los vectores 1r
r
 y 2r
r
 vendrá dada por:




−=−
210
21
11
4 rr
Q
VV
πε
Recordemos que para visualizar el campo conservativo se utilizan dos tipos de re-
presentaciones gráficas:
a) Líneas de campo, tangentes en cada punto al vector intensidad del campo E
r
 y
b) Superficies equipotenciales, lugares geométricos de todos aquellos puntos que
tienen el mismo valor del Potencial V.
Ambas gráficas, líneas de campo y superficies equipotenciales son perpendicula-
res entre sí en cada punto del campo.
Análogamente al campo gravitatorio, el potencial del campo eléctrico en un punto
representa la Energía Potencial adquirida por la unidad de carga positiva cuando es des-
plazada por una fuerza externa desde el infinito hasta el punto considerado, ya que el
infinito se establece como el origen de potenciales, o sea para ∞=r es V= 0.
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La Energía Potencial adquirida por una carga Q', situada en posición r
r
 de un
campo eléctrico creado por una carga Q, vendrá expresada por:
r
QQ
VQEP
'.
4
1
'.
0
⋅==
πε
con expresiones análogas cuando el campo el campo está creado por un conjunto de
cargas y por una distribución volúmica de carga.
4. TEOREMA DE GAUSS DEL CAMPO ELECTRICO
4.1. Flujo a través de una superficie.
Anteriormente hemos visto que el flujo a través de una superficie representa el
número de líneas que atraviesa la unidad de superficie; y lo definimos como el producto
escalar del vector campoE
r
 por el vector superficie Sd
r
, es decir:
αcos..dSESdEd =•=Φ
rr
El flujo será máximo cuando E
r
 y Sd
r
 sean paralelos y nulo cuando sean perpen-
diculares. El Flujo se considerará positivo si E
r
 y Sd
r
 son vectores de igual sentido, lo
que determina un flujo saliente, o negativo, cuando E
r
 y Sd
r
 son de sentidos opuestos,
que determina un flujo entrante.
En el caso de una superficie abierta pero finita, resultará:
∫ ∫∫ •=Φ=Φ S SdEd
rr
y en el caso de una superficie cerrada, se escribirá:
∫∫ •=Φ S SdE
rr
si esta última expresión fuese nula, significaría que el flujo entrante es igual al flujo
saliente, por lo que no existirían dentro de la superficie cerrada, fuentes ni sumideros de
líneas de campo. Si esta condición se cumple en todos los puntos del campo, las líneas
habrían de ser cerradas, pues no tendrían principio ni fin y el campo se llamaría campo
solenoidal.
Las unidades de Flujo para el Campo Eléctrico, en el Sistema Internacional son:
SdEd E
rr
•=Φ (N.m2/C=V.m)
El flujo a través de un elemento de Superficie Sd
r
 que forma un ángulo α con el
vector Intensidad del Campo E
r
, será:
∫ ∫ ∫=•=•=Φ 22
cos.
.
r
dS
MkSdu
r
M
kSdE A
A αrrrr
4.1.1. Concepto de ángulo sólido.
Hemos de introducir ahora el concepto
de ángulo sólido. Consideremos la superficie
dS, en general, oblicua respecto al vector
campo E
r
, formando con él un ángulo α.
Dicha superficie subtiende, desde O, un cono
visual de longitud r que encierra una superfi-
cie dSn perpendicular a r y que es la proyección, sobre un plano normal a r, de la super-
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ficie dS, tal que se cumple: αcos.dSdSn =
A semejanza de la definición de "ángulo" como el arco de circunferencia dividido
por su radio: 
)(
)(
)(
radior
arcos
ángulo =ϕ
podemos definir el "ángulo sólido" como la superficie perpendicular subtendida desde
un punto a distancia r, dividido por el cuadrado de r, es decir, según la fig.9, tendremos:
22
cos.
)(
r
dS
r
dS
sólidoángulod n
α==⋅Ω
Es una magnitud sin dimensiones y se mide en el Sistema Internacional, en Este-
reorradianes. Sustituyendo en la expresión anterior, resulta para el flujo del campo:
Ω=Ω==Φ ∫∫
00
2
0 44
cos.
4 πεπε
α
πε
Q
d
Q
r
dSQ
S
donde Ω es el ángulo sólido subtendido por la superficie finita S y que es atravesada por
el flujo Φ. El fluyo pues, depende del ángulo sólido y no depende de la distancia que
separa el punto de la superficie considerada.
4.2. Demostración del Teorema de Gauss.
Vamos a estudiar el Flujo, a través de
una superficie cerrada, del campo creado por
una carga Q cuando se encuentra en el exte-
rior de la superficie. Para ello, consideremos
el flujo elemental canalizado a través de un
elemento de ángulo sólido dΩ, de vértice en
la carga Q. Este flujo determina en la superfi-
cie cerrada, dos elementos de superficie dSl y
dS2 y el flujo elemental que atraviesa ambos elementos, será:
Ω−=•=Φ dQSdEd
0
111 4πε
rr
 y Ω=•=Φ dQSdEd
0
222 4πε
rr
Estos flujos son iguales y de signo contrario pues dΦ1 es un flujo entrante y dΦ2
es un flujo saliente, y se cumple: dΦ1+dΦ2=0 y generalizando a toda la superficie S, el
flujo total a través de ella es nulo. Se cumplirá:
∫ =•=Φ S SdE 0
rr
Si la carga Q está situada en el interior de la superficie cerrada, consideraremos el
flujo elemental canalizado a través de un ángulo sólido elemental dQ que atraviesa la
superficie por el elemento Sd
r
 y resultará:
Ω=Φ dQd
04πε
integrando la ecuación a todos los elementos de la superficie S, se obtendrá el flujo total
a través de ella:
∫∫ Ω=Φ=Φ SST d
Q
d
04πε
y la integral del segundo miembro es el ángulo sólido subtendido por toda la superficie
esférica, cuya área es 4πr2 , luego:
ππ 4411 222 ===Ω=Ω ∫∫ rrdSrd S nST Estereorradianes
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resultando: π
πε
4
4 0
Q
T =Φ ⇒ 
0ε
Q
T =Φ
Es el flujo total que atraviesa la superficie cerrada (superficie gausiana) debido a
la carga Q situada en el interior.
Si en el interior de la Superficie cerrada existen varias cargas ΣQi, o una distribu-
ción extensa de carga ∫dQ=∫ρdV siendo ρ la densidad volúmica de carga, el flujo total a
través de la superficie cerrada será:
∫∫∫
∑∑ ∑
==Φ=Φ
==Φ=Φ
SSST
iiiT
dVdQd
QQ
ρ
εε
επε
π
00
00
11
1
4
4
Estas son expresiones del "Teorema de Gauss" que se enuncia: "El flujo total que
atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la suma de las cargas encerradas en
el interior".
El Teorema de Gauss tiene carácter general, aunque se aplica fundamentalmente
al campo eléctrico, pues, mientras es importante calcular los campos eléctricos que ro-
dean pequeños conductores y otros elementos cargados en electricidad, electrónica y
microelectrónica, sin embargo, los campos gravitatorios de masas pequeñas no son sig-
nificativos.
Al aplicar el Teorema de Gauss al campo gravitatorio resulta:
GMG π4−=Φ o ∑−=Φ iG MG.4π
4.3. Forma integral y diferencial del Teorema de Gauss.
Si consideramos que en el interior de la superficie existe una distribución continua
de carga, de densidad volúmica ρ=dQ/dV el Teorema, de Gauss se formulará así:
∫=Φ V dVρε0
1
y como el flujo, por definición, es ∫ •=Φ S SdE
rr
 igualando ambas expresiones:
∫ •S SdE
rr
∫= V dVρε0
1
 Expresión Integral del Teorema de Gauss
"El flujo a través de una superficie cerrada es igual a la suma de todas las cargas
encerradas o a la carga total encerrada, dividida por la constante dieléctrica del medio".
Aplicando a esta ecuación el Teorema de la Divergencia:
∫∫ •∇=• VS dVESdE .
rrr
resultará: ∫∫ =•∇ VV dVdVE ρε0
1
.
r
por lo que igualando los integrandos tendremos para el Teorema de Gauss:
 
0ε
ρ=•∇ E
r
 Expresión diferencial del Teorema de Gauss
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que es la forma diferencial del Teorema de Gauss y constituye la primera ecuación de
Maxwell de la teoría del Campo Electromagnético.
Como el campo eléctrico es conservativo, existe la función potencial (escalar) V
tal que: VE ∇−=
r
que sustituyendo en la anterior resultará:
0ε
ρ−=∇•∇ V o bien 
0
2
ε
ρ−=∇ V
que es la ecuación de Poisson donde el operador ∇2 (laplaciana) efectuado sobre el Po-
tencial V resulta igual a −ρ/ε0.
El operador laplaciana es: ∇2=
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
En toda región del espacio, donde la densidad de carga es nula, se cumplirá:
02 =∇ V Ecuación de Laplace
El Teorema de Gauss constituye una de las leyes fundamentales del electromag-
netismo, de ahí su importancia. Además, su aplicación resulta un método cómodo para
calcular campos electrostáticos en algunos casos determinados, en los que pueden cono-
cerse las condiciones geométricas de los campos.
4.4. Aplicaciones del Teorema de Gauss.
4.4.1. Campo debido a una carga puntual.
Vamos a calcular la Intensidad del campo eléctrico E
r
 en un punto a distancia r de
una carga Q situada en el origen del sistema coordenado. Para ello dibujaremos alrede-
dor de Q y concéntrica con ella, una superficie esférica de radio r que pase por el punto
considerado y que llamaremos superficie gausiana. Esta ha de cumplir dos condiciones
para poder resolver fácilmente la integral del teorema de Gauss, y son:
l.- En todos los puntos de la su-
perficie gausiana el campo, E
r
 ha de
ser perpendicular a la superficie es
decir, el vector campo paralelo al
vector superficie: SdE
vr
2.- En todos los puntos de la su-
perficie gausiana, el campo tiene un
valor constante, o sea: cteEE ==
r
Aplicando el Teorema de Gauss: ∫ •S SdE
rr0ε
Q=
=Φ ∫ •S SdE
rr
= ∫ =odSE 0cos..
0
24...
ε
π QrESEdSEdSE
S
==== ∫∫
y despejando E: 2
04
1
r
Q
E ⋅=
πε
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4.4.2. Campo debido a una distribución de carga uniforme.
Consideremos una esfera maciza con una carga Q distribuida uniformemente con
una densidad de carga constante ρ (ρ=dQ/dV). En un punto exterior a la carga a distan-
cia r (r>R) de su centro, el campo creado es Eo y se determina por aplicación del Teo-
rema de Gauss a una superficie gausiana esférica de radio r y concéntrica con la carga,
que cumple las dos condiciones anteriores (fig.12):
SdE
rr
0 y cteE =0
r
En dicha superficie se cumple:
∫ ∫∫ =====•=Φ
0
2
00000 4 ε
π QrESEdSEdSESdE
rr
de donde: 2
04
1
r
Q
E ⋅=
πε
Esta expresión nos indica que el campo E0 debido a la carga esférica es idéntico al
campo que crearía si la carga Q fuera puntual y situada en el centro de la esfera.
Para el cálculo del campo Ei en un punto del interior de la esfera cargada, a r' del
su centro (r’<R), consideremos una superficie gausiana esférica interna, de radio r’ y
concéntrica con la carga. Esta superficie encierra una carga q menor que la carga total
Q, proporcional al volumen encerrado. La carga situada en la exterior a r' no afecta al
campo en ese punto. Según esto:
3
3
3
4
3
4
R
r
Q
q
π
π
= ⇒ Q
R
r
q 3
3
=
y aplicando el Teorema de Gauss: ∫ •S SdE
rr
ε
q=
∫ ∫ ∫ ⋅====•S iiii QR
r
rEdSEdSESdE 3
3
2 '1'4
ε
π
rr
 ⇒ '
4 3
r
R
Q
Ei πε
=
Si introducimos la densidad de carga: 
dV
dQ=ρ la carga encerrada por la superfi-
cie gausiana será: ρπ 3'
3
4
rq = ⇒ ρπ
ε
π 32 '
3
41
'4 rrEi ⋅= luego '3
rEi ε
ρ=
La representación gráfica de las ecuaciones
de E0 y Ei en un sistema de coordenadas E- r
viene en la fig.13. El campo Es corresponde a la
superficie de la carga, r=R y ambas ecuaciones
toman el mismo valor. En el interior de la carga,
el campo Ei es función lineal de r' y en el exte-
rior, el campo E0 es inversamente proporcional al
cuadrado de r.
 FIG. 13
4.4.3. Campo debido a un conductor lineal cargado.
Vamos a considerar un largo hilo conductor AB cargado con una carga unifor-
memente distribuida a lo largo de su longitud con una densidad lineal λ=dQ/dl que crea
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un campo cuyo valor en el punto P a distancia r, queremos determinar. Para ello dibu-
jemos una superficie gausiana cerrada, cilíndrica, cuyo eje de simetría coincida con el
conductor, de radio r y longitud b. Las líneas de fuerza del campo creado por el con-
ductor indefinido son radiales y perpendiculares a él y a las superficies cilíndricas coa-
xiales que se construyan. Por simetría, el campo E
r
 en cada punto de la superficie gau-
siana es constante en módulo. Todo el flujo del campo sale por la superficie lateral, de
área 2πrb, mientras que por las bases no sale ningún flujo y estas superficies no contri-
buyen a la integral del Teorema de Gauss, luego:
0ε
Q
dSE
S
=∫ o sea: brbE λεπ 0
1
2. =
siendo λb la carga total encerrada en la su-
perficie gausiana cilíndrica:
rrb
b
E
λ
πεπε
λ ⋅==
00 2
1
2
4.4.4. Campo debido a una lámina plana cargada.
Supongamos una superficie plana infinita sobre la que hay una distribución uni-
forme de carga de densidad superficial dada por σ=dQ/dS. Por simetría, el campo en un
punto P es perpendicular a la superficie de la lámina. En los puntos a y b simétricos res-
pecto a la lámina, el campo tiene el mismo va-
lor y sentidos opuestos, y las líneas de fuerza
son rectas que salen perpendiculares de la lá-
mina cargada. Para determinar el campo en a
(idéntico y opuesto al de b), dibujaremos una
superficie gausiana en forma de cilindro recto
perpendicular a la lámina de sección transver-
sal A y cuyas bases pasen por a y su simétrico
b, como se indica en la fig.15. La carga ence-
rrada en la superficie gausiana será pues Q=σA
y como el flujo del campo eléctrico no atravie-
sa la superficie lateral cilíndrica, las únicas contribuciones a la integral del Teorema de
Gauss son las bases en a y en b, normales al campo, en las cuales se cumplen las dos
condiciones: SdE
rr
0 y cteE =0
r
luego aplicando la ley de Gauss:
∫ ==
0
2.
ε
σA
AEdSE ⇒ 
02ε
σ=E
lo que nos indica que el campo eléctrico debido a una carga plana uniforme e indefinida,
es constante en todo el espacio e independiente de la distancia del punto considerado a
la carga.
4.4.5. Campo debido a un condensador plano cargado.
Dos placas metálicas paralelas con cargas iguales y de signo opuesto, constituyen
un condensador plano, donde σ es la densidad superficial de carga (σ=dQ/dS) de las
láminas y E la intensidad del campo eléctrico que existe entre ellas a la distancia d de la
placa positiva, fig.16. Por razones de simetría se deduce que el campo es perpendicular
a las placas.
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Supondremos que la separación entre
las placas, a, es pequeña comparada con sus
dimensiones lineales a fin de evitar la disper-
sión del campo hacia el exterior, en los bordes
de las placas. Como superficie cerrada gau-
siana construyamos una superficie prismática
o cilíndrica con una base ABB'A' en el inte-
rior de la placa positiva, de tal manera que no
está atravesada por líneas de fuerza (las líneas
de campo van desde la cara interior de la pla-
ca positiva a la cara interior de la cara negati-
va, pues las caras externas no poseen carga).
La cara opuesta a la anterior, DCC'D' estará
situada en el interior del condensador, pasan- FIG. 16
do por el punto P y atravesada perpendicularmente por las líneas del campo. Las res-
tantes caras de la superficie ABCD, A'B'C'D', BB'C'C y AA'D'D resultan paralelas a las
líneas del campo, no son atravesadas por el flujo y no contribuyen a la integral del teo-
rema de Gauss. La carga encerrada por esa superficie gausiana será:
dAdQ .σ= o AQ σ=
Aplicando el teorema de Gauss a la única cara atravesada por flujo, en la cual, se
cumplen las dos condiciones anteriores de: SdE
rr
0 y cteE =0
r
resultará: 
ε
σdA
dAE =. ⇒ 
ε
σ=E
es decir, el campo eléctrico en el interior del condensador plano es independiente de las
dimensiones del condensador y sólo depende de la distribución de carga y del medio
interpuesto y resulta constante en todo el espacio entre las placas.
5. ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO
5.1. Energía Potencial Eléctrica.
Hemos visto que la circulación de la fuerza electrostática en una trayectoria cerra-
da es nula. Esta consecuencia se puede expresar de otro modo: "En un campo electros-
tático, el trabajo de la fuerza eléctrica en una trayectoria cerrada es nulo", que es la
condición de un campo conservativo, y se expresa así:
∫ =•= 0rdFW
rr
Supongamos que la carga pasa desde el punto 1 al 2 por el
camino M, y luego volvemos al punto 1 por otro camino diferente
N, completando así la trayectoria cerrada. La ecuación anterior la
podemos escribir:
0
1
)(2
2
)(1
=•+• ∫∫ NM rdFrdF
rrrr ⇒ ∫∫ •=•=
2
)(1
2
)(1
2
1 NM
rdFrdFW
rrrr
 FIG. 17
Si en lugar de volver por el camino N lo hubiera hecho por el camino P, resulta:
∫∫ •=•=
2
)(1
2
)(1
2
1 PM
rdFrdFW
rrrr
Generalizando: ∫∫∫ •=•=•=
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
1 PNM
rdFrdFrdFW
rrrrrr
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Ecuación que expresada en palabras nos dice: "si una carga puntual q pasa de un
estadoinicial 1 a un estado final 2, dentro de un campo eléctrico, el trabajo realizado
por la fuerza del campo es independiente de los caminos intermedios, dependiendo úni-
ca y exclusivamente de la posición del punto inicial y final. Este trabajo lo podemos
igualar con la variación de una función llamada Energía Potencial (EP) de la carga en
un punto del campo"
)()( 2222111
2
1 1
2
1 zyxEPzyxEPrdFW −=•= ∫
rr
Observemos que se escribe EP1-EP2, es decir: "La energía potencial es una fun-
ción de la carga en el punto tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones
inicial y final, es igual al trabajo efectuado por la fuerza conservativa del campo al ser
desplazada la carga desde la posición inicial a la final'. O lo que es lo mismo: "El tra-
bajo realizado por la fuerza del campo es igual al incremento de la energía potencial
cambiado de signo".
La expresión diferencial será: dEPrdFdW −=•= r
r
En una dimensión, se escribirá: dxFdEP .−= ⇒ 
dx
dEP
F −=
ecuación que nos da la variación de la energía potencial por unidad de longitud. Si que-
remos escribir esta ecuación en tres dimensiones tenemos que recurrir a la notación de
derivadas parciales y será así:
EPk
z
EP
j
y
EP
i
x
EP
F ∇−=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−=
rrrr
5.2. Energía potencial de una carga puntual.
Consideremos un campo electrostático creado por una carga puntual q. Calcule-
mos el trabajo que se realiza al trasladar la carga puntual de prueba q' desde el punto 1
al 2 del campo, para ello, mediremos la diferencia de energía potencial entre los puntos
1 y 2 del campo. El movimiento de la carga q' lo realizamos infinitamente lento, de
forma que todos los puntos intermedios de la trayectoria sean estados de equilibrio de la
carga puntual q', de esta forma, en un punto cualquiera, la fuerza que actúa sobre q' vie-
ne medida por la ley de Coulomb:
r
r
qq
F
rr
3
0
'.
4
1 ⋅=
πε
y sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:
∫ •⋅=−
2
1 3
0
21
'.
4
1
rdr
r
qq
EPEP
rr
πε
Por ser el valor de esta integral independiente de
la trayectoria a seguir, teniendo en cuenta la fig.18,
podemos escribir:
∫∫ •⋅+•⋅=−
2
'2 3
0
'2
1 3
0
21
'.
4
1'.
4
1
rdr
r
qq
rdr
r
qq
EPEP
rrrr
πεπε
La primera integral es nula, ya que F
r
 y el camino recorrido rd
r
 son perpendicula-
res, además, en la segunda integral podemos prescindir de la notación vectorial por te-
ner F
r
 y rd
r
 la misma dirección, luego:






+−=


−=⋅=− ∫
'2200
2
'2 2
0
21
11
4
'.1
4
'.'.
4
1 2
'2
rr
qq
r
qq
dr
r
qq
EPEP
r
r πεπεπε
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Al ser en módulo '21 rr = , sustituyendo resulta:






−=





+−=−
210120
21
11
4
'.11
4
'.
rr
qq
rr
qq
EPEP
πεπε
Expresión que nos mide el trabajo realizado para trasladar la carga q' de un punto
1 a otro 2 del campo electrostático creado por la carga q.
No se puede calcular la energía potencial absoluta de una carga que se encuentra
en un campo electrostático. Sin embargo, si establecemos por convenio, un punto del
espacio donde la energía potencial sea nula (origen de energías potenciales), llamaremos
Energía Potencial en un punto cualquiera del campo, a la diferencia de energía potencial
entre este punto origen (EP=0) y el punto considerado.
La hipótesis que normalmente hacemos es que para r=∞, la energía potencial es
nula EP=0, o lo que es lo mismo: “La energía potencial de una carga q' en un punto en
el infinito del campo eléctrico (punto lo suficientemente alejado para que prácticamente
no exista influencia del campo) es nula", con lo que la expresión para cualquier punto
será: 
r
qq
EP
'.
4
1
0
⋅=
πε
que nos mide el trabajo que ha de realizar una fuerza exterior para trasladar la carga q'
desde el infinito al punto en presencia de la carga creadora del campo q.
Esta energía potencial electrostática es semejante a la energía potencial gravitato-
ria; sin embargo, mientras esta última es siempre negativa (con EP(∞)=0), la energía
potencial eléctrica puede tener ambos signos. Así, si q.q'>0, entonces EP(r) es positiva,
y si q.q'<0, la energía potencial eléctrica EP(r) es negativa.
5.3. Energía Potencial de una distribución de cargas.
Teniendo en cuenta que las contribuciones de Energía Potencial se suman esca-
larmente, podemos decir que la Energía Potencial de una carga puntual q' colocada en
un punto del campo electrostático debido a un sistema discreto de cargas puntuales, es:
∑=
i
i
r
qq
EP
04
'
πε
La Energía Potencial de una carga puntual q' colocada en un punto del campo
electrostático debido a una distribución continua superficial o volúmica de carga, la
podemos escribir como una generalización de la expresión anterior. Para calcularla rea-
lizamos la integral de las contribuciones de energía potencial de cada uno de los ele-
mentos de superficie o volumen que compongan la distribución, que serán, respectiva-
mente: dAdq .σ= y dVdq .ρ=
siendo: σ =la densidad superficial de carga que existe en el punto ocupado por el ele-
mento de superficie dA.
 ρ =la densidad volúmica de carga que existe en el punto ocupado por el ele-
mento de volumen dV.
y la contribución a la Energía Potencial de q' colocada en el punto a distancia r del ele-
mento, será: 
r
dAq
dEP
.
4
'
0
σ
πε
⋅= y 
r
dVq
dEP
.
4
'
0
ρ
πε
⋅=
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luego la Energía Potencial de q' debida a la distribución superficial A o volúmica V,
vendrá dada por las siguientes expresiones:
∫∫
∫∫
==
==
V
A
r
dVq
dEPEP
r
dAq
dEPEP
.
4
'
.
4
'
0
0
ρ
πε
σ
πε
Si el campo está creado por un sistema de cargas puntuales, una distribución su-
perficial de carga definida por σ( rr ) y una distribución volúmica de carga definida por
ρ(rr ), la Energía Potencial de una carga puntual q’ colocada en un punto de dicho sis-
tema será: 





++= ∫∫∑ VA
i
i
r
dVr
r
dAr
r
qq
rEP
).().(
4
'
)(
0
rr
r ρσ
πε
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Gerald HOLTON y Duane H.O.ROLLER. Fundamentos de Física Moderna. Ed i-
torial Reverté. 1963. BARCELONA.
Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y Carlos
GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. 1993.ZARAGOZA.
Jesús RUIZ VÁZQUEZ. Física. Edit. Selecciones Científicas. 1975. MADRID
Marcelo ALONSO y Edward J.FINN. Física. Volumen I: Mecánica. Addison-
Weslwy Iberoamericana. 1970. MEJICO.
Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo. Edito-
rial Aguilar. 1967. MADRID.
Joaquín CATALA DE ALEMANY. Física General. Saber, Entidad Española de
Librería. 1966. VALENCIA.
Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicacio-
nes. Volumen 1. Ediciones McGraw-Hill. 1990. MADRID.
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Tratamiento Didáctico
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OBJETIVOS
Mostrar la naturaleza eléctrica de la materia de los componentes íntimos de los áto-
mos que constituyen la materia que nos rodea, con la introducción de una nueva entidad
física que denominamos “carga eléctrica”.
Estudiar las leyes básicas que regulan el comportamiento de estas nuevas entidades.
Demostrar el carácter conservativo del campo eléctrico y definir la energía potencial
eléctrica, de importancia fundamental en la química.
UBICACIÓN
El presente tema se inicia básicamente en el 4º curso de ESO, aunque el estudio
completo del campo eléctrico se realiza en 2º curso de bachillerato LOGSE.
TEMPORALIZACIÓN
Puede desarrollarse el tema en un periodo de 6 horas de clase y completarse con 2
horas para resolución de problemas de electrostáticay práctica de cátedra.
METODOLOGÍA
El tema debe explicarse exhaustivamente, partiendo de los conceptos básicos de car-
ga eléctrica, hasta los más complejos de intensidad y potencial, siguiendo métodos
vectoriales. La explicación debe ser ágil y participativa, recurriendo a las similitudes
con el campo gravitatorio, dada la dificultad de recurrir a fenómenos electrostáticos
familiares.
La explicación debe estar salpicada de resolución de problemas numéricos sobre dis-
tribuciones de carga que ilustren la explicación teórica.
Pueden demostrarse en el laboratorio los fenómenos electrostáticos mediante la utili-
zación de transparencias electrostáticas para retroproyector.
CONTENIDOS MÍNIMOS
Concepto de carga eléctrica. Ley de Coulomb.
Constante dieléctrica del medio. Sistemas de unidades.
Intensidad de campo eléctrico. Distribuciones más importantes.
Líneas de fuerza. Flujo eléctrico. Potencial eléctrico.
Energía potencial eléctrica. Energía de una distribución de carga.
Superficies equipotenciales.
Teorema de Gauss. Aplicaciones al cálculo de E en algunas distribuciones sencillas.
MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Libro de Texto complementado con apuntes de clase.
Lecturas históricas sobre los trabajos de investigación en electricidad.
Material de laboratorio: equipos de electrostática, transparencias para retroproyec-
tor sobre configuraciones de campo eléctrico.
Hojas de problemas de Electrostática de dificultad creciente y a nivel del curso.
Programa de ordenador de CAMPOS CONSERVATIVOS para la demostración
cualitativa y cuantitativa de la intensidad de campo eléctrico y del potencial eléctrico, de
diferentes distribuciones de cargas.
EVALUACIÓN
Pruebas objetivas sobre los conceptos fundamentales del tema, valorando compren-
sión, memorización y aplicación de estos conceptos a situaciones reales.
Pruebas escritas con problemas numéricos exigiendo resolución completa con utili-
zación de máquinas calculadoras.
Valoración de las prácticas realizadas en el aula o en el laboratorio.
Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas (3 falsas y 1 cierta)
que obligue al alumno al razonamiento de las situaciones planteadas.