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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 34
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
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TEMA 34
MODELOS ATÓMICOS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y JUSTIFICACIONES
DE CADA MODIFICACIÓN.
Esquema
1. Estructura de la materia.
1.1. Partículas elementales.
1.1.1. El electrón.
1.1.2. El protón
1.1.3. El neutrón
2. Primeros modelos atómicos.
2.1. Modelo atómico de Thomson.
2.2. Modelo atómico de Rutherford.
3. Modelo atómico de Bohr.
3.1. Teoría cuántica de Planck.
3.2. Espectros atómicos.
3.3. Postulados de Bohr para el modelo del hidrógeno.
3.4. Desarrollo del modelo de Bohr.
3.5. Perfeccionamiento del modelo de Bohr.
3.5.1. Órbitas de Sommerfeld. Número cuántico secundario.
3.5.2. Efecto Zeeman. Número cuántico magnético.
3.5.3. Número cuántico de spin.
3.6. Deficiencias del modelo de Bohr.
4. Teoría Mecano-cuántica.
4.1. Hipótesis de De Broglie.
4.2. Principio de indeterminación de Heisenberg.
4.3. La función de onda.
5. Modelo mecano-cuántico del átomo.
5.1. Ecuación de Schrödinger.
5.2. Concepto de orbital.
5.3. Números cuánticos. Valores y significación.
5.3.1. Orbitales s, p, d.
5.4. Modelo orbital. Niveles de energía.
5.5. Átomos polielectrónicos.
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TEMA 34
MODELOS ATÓMICOS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y JUSTIFICACIONES
DE CADA MODIFICACIÓN.
1. ESTRUCTURA DE LA MATERIA
La teoría atómica de Dalton y las ideas relacionadas con ella, constituyeron el
fundamento de la estequiometría de composición y de reacción, pero no permite com-
prender el por qué se combinan los átomos en determinadas proporciones para formar
compuestos.
Gran parte del desarrollo de la teoría atómica moderna se basó en investigaciones
que permitieron a los científicos reconocer que los átomos están formados por partículas
fundamentales. Se observó que el ordenamiento de estas partículas determina las pro-
piedades físicas y químicas de cada elemento. Con las estructuras atómicas dilucidadas
se entienden las diversas leyes químicas estequiométricas establecidas entre las reaccio-
nes y ayuda a comprender la materia.
La teoría atómica actual no se encuentra completa, sin embargo es una poderosa
herramienta que permite comprender qué fuerzas mantienen unidos a los átomos en
combinación química formando moléculas.
1.1. Partículas elementales.
Para estudiar la teoría atómica hay que describir en primer lugar las partículas
fundamentales, que son los bloques constituyentes básicos de cualquier átomo.
El átomo está formado principalmente por electrones, protones y neutrones.
PARTÍCULA MASA CARGA (relativa)
Electrón (e−) 0’00054858 uma 1−
Protón (p+) 1’0073 uma 1+
Neutrón (n0) 1’0087 uma 0
La masa del electrón es muy pequeña en comparación con la masa del protón o
del neutrón, que por otra parte pueden considerarse prácticamente iguales. La carga del
protón es de magnitud igual a la carga del electrón pero de signo opuesto.
1.1.1. El Electrón.
La evidencia más convincente de la existencia de los electrones en los átomos se
obtuvo mediante los experimentos con tubos de rayos catódicos.
Estos tubos se construyen y funcionan de la siguiente manera. Dos electrodos se
colocan en los extremos de un tubo de vidrio que contiene un gas a baja presión. Al
aplicar a dichos electrodos un voltaje alto se produce un flujo de corriente y dicho gas
comienza a emitir luz. A medida que la presión del gas disminuye, la luz del gas se va
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extinguiendo desplazándose hacia un electrodo hasta que desaparece completamente,
aunque el gas sigue conduciendo la electricidad. La zona del vidrio próxima al polo
positivo (ánodo) emite luz, que se debe a que desde el electrodo negativo (cátodo) nacen
unas radiaciones que se dirigen en línea recta hacia el ánodo y que al chocar con el vi-
drio hacen que se ilumine. Estos rayos (invisibles) se denominaron rayos catódicos,
porque proceden del cátodo.
Thomson sometió a estos rayos catódicos a la acción simultánea de un campo
eléctrico y un campo magnético. Comprobó así que se trataba de partículas con carga
eléctrica negativa y pudo establecer la relación e/m (siendo e la carga eléctrica y m su
masa) a través de las desviaciones que sufrían por la acción de dichos campos.
Al realizar estos experimentos con distintos gases y cátodos de diferentes metales,
obtuvo siempre el mismo valor para la relación e/m. De esta manera descubrió la exis-
tencia de una partícula negativa, el electrón, sin embargo Thomson sólo pudo averiguar
la relación e/m. Fue Millikan quién logró determinar la carga de estas partículas en su
célebre experimento de la caída de una gota líquida cargada en el campo eléctrico de un
condensador, obteniendo su valor (1'6.10-19 C) que sustituyéndola en la relación car-
ga/masa, pudo obtener su masa (9' 11.10-31 Kg).
1.1.2. El Protón.
El físico alemán Eugen Goldstein continuó el estudio de los tubos de descarga en
gases, introduciendo como innovación un cátodo perforado con agujeros y de esta forma
se observó la presencia de unas radiaciones que pasaban a través de estos agujeros o
canales del cátodo. Como se dirigían hacia el cátodo, se trataría de partículas cargadas
positivamente, por lo que se le llamaron rayos positivos y rayos canales.
Por el procedimiento de Thomson se determinó la relación carga/masa, q/m, de
estas partículas positivas, que en este caso sí variaban con el gas contenido en el tubo,
por lo que se dedujo que no se trataban de partículas idénticas en la materia. La inter-
pretación de estos fenómenos es la siguiente. Los átomos del gas al chocar con los rayos
catódicos (corriente de electrones), perderían a su vez, electrones y quedarían cargados
positivamente, es decir, daban lugar a iones positivos. De esta forma, se comprende por
qué la relación q/m cambiaba con cada gas, ya que la masa atómica era diferente.
Cuando el gas era hidrógeno, la partícula positiva correspondiente era la de menor
masa de todos los gases experimentados y, aproximadamente 1840 veces mayor que la
del electrón, siendo su carga igual pero de signo contrario. A esta partícula se le llamó
protón.
1.1.3. El Neutrón.
Aunque su existencia se intuía, ya que la masa de los átomos eran mayores de lo
que cabría esperar según su número de protones, no pudo ponerse de manifiesto expe-
rimentalmente hasta mucho tiempo después, debido a que, al ser eléctricamente neutro,
resultaba indiferente a la acción de los campos eléctricos y magnéticos. Su descubri-
miento se debe a Chadwick en experimentos sobre sustancias radiactivas, aunque ante-
riormente, ya M. Curie evidenciara la existencia de radiaciones de partículas sin carga
eléctrica. Su masa es muy próxima a la del protón.
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2. PRIMEROS MODELOS ATÓMICOS
A comienzos del siglo XX, el concepto de átomo había adquirido un significado
más profundo que el que tenía un siglo antes, en tiempos de John Dalton. Se sabía que
podían obtenerse electrones a partir de sustancias muy distintas, lo que sugería que éstos
formaban parte de los átomos de estas sustancia. Pero los electrones estaban cargados
negativamente mientras que los átomos ordinarios son eléctricamente neutros, por lo
tanto, la presencia de electrones sugería la existencia de una cantidad igual de cargas
positivas.
2.1. Modelo atómico de Thomson.
El físico inglés J.J.Thomson había sugerido un modelo de átomo en el cual se le
representaba como un globo esférico cargado positivamente dentro del cual los electro-
nes se hallaban embebidos, algo parecido a cómo están las pepitas en una sandía.
Consideremos el caso más simple de un átomocon un único electrón. Éste se en-
contrará en el centro, caso de estar en reposo, pues sólo en ese lugar serían iguales las
atracciones que sufriría por todas partes debido a la carga positiva del globo. Suponga-
mos que el electrón se desplaza debido a fuerzas de otra partícula externa. En este caso,
el electrón se verá atraído nuevamente hacia el centro por la carga positiva mayor en el
lado del centro, pero lo rebasaría y realizaría un movimiento de oscilación armónico.
Pero según la teoría de Maxwell, toda carga eléctrica en oscilación, emite radiación
electromagnética. Así podría explicarse, con este modelo, la emisión de luz por los áto-
mos.
Thomson calculó las frecuencias de oscilación de los electrones y, a partir de ella,
la frecuencia de la radiación emitida, de acuerdo con la teoría de Maxwell. Los resulta-
dos fueron alentadores pues estaban en el rango de la luz visible del espectro. Pero ni
este modelo ni otros que se propusieron, podían explicar la emisión de luz en las fre-
cuencias discretas y específicas de las series espectrales, tal como aparecen en la fó r-
mula de Balmer para el hidrógeno.
2.2. Modelo atómico de Rutherford.
Ernest Rutherford había estudiado la radiación emitida por las sustancias radiacti-
vas, estableciendo que las partículas α tienen carga positiva, son emitidas a grandes
velocidades y, aunque su masa es muy pequeña, es muy grande comparada con la del
electrón.
Rutherford había observado que cuando un haz de partículas α pasaba a través de
una lámina delgada de mica o metal, el haz se ensanchaba o dispersaba por los choques
de las partículas α con los átomos que constituyen la lámina. Según la intensidad de la
dispersión podía obtenerse información sobre la disposición de la masa en los átomos,
que entonces se creía distribuida uniformemente, como en el globo de Thomson de flui-
do positivo.
Consideremos un haz de partículas α, con velocidades de ~2.107 m/s incidiendo
sobre una lámina metálica de oro de ~4000 Å (4.10-5 cm) de espesor. Como se conocía
el diámetro aproximado de los átomos, este espesor de la lámina correspondía a unas
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1000 láminas de espesor atómico. La mayoría de las partículas α atravesaban limpia-
mente la lámina sin desviarse, lo que sugería que no podía compararse el átomo a una
bola de billar compacta.
Hay muchos electrones en el átomo, pero los choques contra ellos no pueden ex-
plicar las fuertes desviaciones de las partículas α, algunas de las cuales llegan a invertir
su trayectoria. El efecto de un choque frontal de una partícula α con un electrón es
equivalente al de con una pelota a gran velocidad con un grano de arena. No le produc i-
ría desviación alguna apreciable, ni siquiera en millares de sucesivos choque con elec-
trones de la lámina.
La interpretación teórica dada por Rutherford sobre sus experimentos se puede re-
sumir en las siguientes afirmaciones:
- El hecho de que algunas partículas α sufran esas
grandes desviaciones indicaba la existencia en el átomo
de campos eléctricos positivos muy fuertes, que provocan
grandes repulsiones cuando estas partículas α chocan con
ellos. Campos eléctricos creados por núcleos positivos
más masivos que las partículas α, que provocan la fuerte
desviación de éstas.
- Como sólo muy pocas partículas son desviadas, la
mayor parte del átomo debe de estar hueco concentrándo- 
FIG. 1
se esa carga eléctrica positiva en unos núcleos que ocuparían un espacio muy pequeño.
- Además, esa parte del átomo con electricidad positiva sería de masa muy pesada,
ya que de lo contrario sería arrastrado por la corriente de partículas α de gran energía
cinética.
A este espacio reducido de carga positiva y de gran masa, Rutherford lo denominó
núcleo atómico, el cual contendría los protones. Propuso que los electrones, que existían
en igual número que los protones para que el conjunto fuese neutro, estarían girando
alrededor del núcleo como en un pequeño sistema planetario. Es por eso que el átomo
resulta casi hueco. Estos electrones no se precipitarían sobre el núcleo positivo debido a
que la fuerza de atracción eléctrica (fuerza de Coulomb) actúa como fuerza centrípeta
que produce el giro del electrón alrededor del núcleo.
Este modelo planetario de átomo propuesto por Rutherford estaba en contradic-
ción con las leyes electromagnéticas predichas por Maxwell, puesto que una partícula
con carga eléctrica que se encuentra en movimiento acelerado irradia energía en forma
de onda electromagnética, y así, el electrón en su giro alrededor del núcleo, describe un
movimiento con aceleración centrípeta, irradiará energía e irá descendiendo de órbita,
describiendo una espiral hasta caer y colapsarse con el núcleo, luego el átomo se des-
truiría. El modelo de Rutherford no es aceptable, por lo que había que buscar un modelo
nuevo. Esto es lo que hizo Niels Bohr, discípulo de Rutherford.
3. MODELO ATÓMICO DE BOHR
Para poder analizar con cierta base el modelo atómico de Bohr, previamente he-
mos de hacer referencia a los aspectos teóricos y experimentales en los que se basó para
construirlo.
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3.1. Teoría Cuántica de Planck.
El descubrimiento experimental, realizado por Hertz, de las ondas electromagnéti-
cas emitidas por una carga oscilante convenció a Planck de que la emisión de radiación
era debida a osciladores eléctricos submicroscópicos de la materia. Cada oscilador tiene
su frecuencia propia fija ν y emite radiación de esta frecuencia. Todas las frecuencias
están presentes en el espectro, dado el número enorme de diferentes osciladores pre-
sentes en una muestra. El espectro es por tanto, continuo.
Pero cuando los osciladores están radiando deben perder energía y el emisor debe
enfriarse a no ser que se le suministre energía de alguna forma, como por ejemplo, ca-
lor. Cuando un oscilador individual absorbe o radia energía, sólo varía su amplitud de
vibración y su frecuencia se mantiene fija.
Hasta ahora nada contradice los principios de la Física clásica. Pero las teorías
clásicas implican dos postulados. El primero dice que la energía de un oscilador puede
variar de un modo continuo desde cero a infinito y que puede radiar o absorber cual-
quier cantidad de energía en un espectro continuo. El segundo dice que una carga
eléctrica que está acelerada, emite radiación y por tanto, un oscilador eléctrico debe
radiar continuamente mientras está vibrando.
Por estas circunstancias, Planck se vio obligado a romper con las ideas clásicas y
establecer una base teórica a la ecuación que estableció para explicar la radiación del
cuerpo negro. Postuló dos hipótesis muy atrevidas en aquella época, que constituyeron
la base de toda la física cuántica:
1) Un oscilador sólo puede tener determinadas energías. Estas energías permitidas
son múltiplos enteros de una magnitud hν, donde h es una nueva constante universal
(conocida ahora como constante de Planck) y ν la frecuencia propia del oscilador. Así
pues, la energía del oscilador en cualquier momento, puede ser 0, hν, 2hν, 3hν,... y en
general nhν, es decir E=nhν, siendo la mínima energía:
E0 = hν (1)
el llamado cuanto de energía correspondiente a la frecuencia ν.
Se puede decir, por tanto, que la energía total del oscilador está cuantizada en pa-
quetes de energía hν. Cualquier cambio en la energía de un oscilador no ocurrirá de un
modo gradual y continuo, sino de un modo discontinuo, por ejemplo de 4hν a 5hν.
2) Un oscilador radia solamente cuando pasa de un valor permitido de su energía
al valor próximo menor y la pérdida de energía ∆E que experimenta, se emite como un
pulso electromagnético de energía hν. Análogamente, un oscilador puede absorber un
cuanto de energía hν de una radiación que incida sobre él modificando inmediatamente
su energía al siguiente valor permitido. Deacuerdo a esta hipótesis, un oscilador no ra-
dia energía alguna, en tanto permanezca en un estado cuántico nhν, aunque esté en todo
momento acelerado.
Para aquel tiempo estas ideas eran auténticamente revolucionarias y no estaban de
acuerdo con las teorías existentes ni con la experiencia común, pero debemos recordar
que Planck formuló su hipótesis cuántica de modo empírico, sin guiarse por experien-
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cias de sentido común. En general al pasar del macrocosmos al microcosmos, debemos
revisar de modo radical nuestras hipótesis anteriores.
3.2. Espectros atómicos.
A mediados del siglo XIX se construyeron los espectroscopios, que permitían
realizar un estudio analítico de la luz, por descomposición de ésta en sus componentes.
Los espectroscopios constan esen-
cialmente de un prima al que se le hace
llegar un rayo de luz, la cual queda desdo-
blada en sus distintas frecuencias. Aparece
así una imagen que se recoge en una pan-
talla y que consiste en unas rayas brillantes
de diferentes colores, correspondiendo ca-
da color a una radiación de frecuencia de-
terminada. Esta imagen se denomina es-
pectro. Las rayas no son mas que imágenes
 FIG. 2
de la rendija colimadora por donde pasa el rayo de luz original.
Por otra parte, se había observado que las sustancias, cuando se calentaban o se
sometían a elevados voltajes, emitían una luz. Al analizar esta luz en el espectroscopio
se obtenía el espectro correspondiente a esa sustancia o espectro de emisión. De igual
manera, cuando se hacía pasar luz blanca a través de una sustancia y se analizaba la luz
después de atravesarla, el espectro de luz ya no era continuo, sino que le faltaban una
serie de frecuencias, ya que aparecían en su lugar unas rayas oscuras. La posición de las
rayas oscuras era la misma que la de las rayas brillantes del espectro de emisión de esa
sustancia. Esto significa que la sustancia ha absorbido unas radiaciones de la luz inci-
dente, por lo que este tipo de espectros se les llamó espectros de absorción. Tanto el
espectro de emisión como el de absorción son característicos de cada sustancia y se em-
plean para la identificación de éstas.
Todo esto demuestra que la emisión de energía luminosa por los átomos excita-
dos, o la absorción de energía luminosa por los mismos átomos excitándose consecuen-
temente, sólo tiene lugar para unas frecuencias determinadas, por lo que los espectros
son discontinuos.
Muchos investigadores de esa época se dedicaron al estudio sistemático de los es-
pectros de emisión de los distintos elementos y encontraron que las rayas aparecidas se
podían agrupar en diversas series, con una cierta regularidad.
Cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de dos electrodos de un tubo
cerrado que contiene hidrógeno a muy baja presión, se obtiene una iluminación caracte-
rística del tubo de hidrógeno y si dicha luz se analiza a través del espectroscopio, se
obtiene el espectro de emisión del hidrógeno. En él aparecen una serie de rayas de colo-
res sin regularidad aparente, para las que Balmer encontró una fórmula empírica que
determinaba la posición de las rayas, o lo que es lo mismo, sus frecuencias:
 





−= 2
2
2
1
11
.
nn
cRν (2)
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siendo: c = la velocidad de la luz.
n1 y n2 números enteros positivos, n1<n2
R = la constante de Rydberg = 109677 /cm.
Sustituyendo n1 y n2 por números enteros, se obtienen las series espectrales del
átomo de hidrógeno.
La primera deducción, cuantitativamente correcta, de la fórmula de Balmer, (2),
basada en un modelo de átomo fue dada por Niels Bohr en 1913, en su teoría del átomo
de Hidrógeno. Bohr adoptó el modelo atómico planetario de Rutherford, según el cual el
átomo de hidrógeno consiste en un núcleo con una sola carga positiva y un electrón ex-
terior, girando en órbita circular.
3.3. Postulados de Bohr para el átomo de hidrógeno.
Para desarrollar el modelo atómico del hidrógeno, Bohr aceptó enunciados ante-
riores de la mecánica clásica, rechazó otros y propuso algunos nuevos postulados que
resultaban insólitos para la física clásica.
Así, aceptó la teoría cuántica de Max Planck y Albert Einstein de que la energía
está cuantizada en pequeños paquetes o cuantos, cada uno de ellos, es hν.
La teoría electromagnética clásica, que afirma que una partícula cargada con ace-
leración (por ejemplo, movimiento circular) debe emitir radiación electromagnética, es
rechazada en cuanto a su aplicación a los electrones de los átomos, y supuso que el
electrón gira de forma estable en órbita circular alrededor del protón.
Bohr enuncia dos postulados fundamentales para establecer su modelo del átomo
de hidrógeno, que son:
1) De todas las órbitas circulares posibles de los electrones, sólo son permitidas
aquellas para las cuales se cumple que el Momento Angular del electrón es un múltiplo
entero de h/2π, y no se radia energía mientras el electrón permanezca en cualquiera de
estas órbitas permitidas. Las demás órbitas son prohibidas. Este postulado indica que el
Momento Angular del electrón está cuantizado y h/2π es el cuanto de Momento Angular
o Momento Angular más pequeño.
2) Cualquiera que sea la energía radiante emitida o absorbida por un átomo, ésta
es emitida o absorbida en un número entero de cuantos, cada uno de ellos de energía
hν, y que la energía del átomo cambia siempre en esta cantidad. La energía emitida o
absorbida corresponde a la diferencia entre las energías de los estados inicial y final:
 νhEE fi =− (3)
Así pues, según la teoría de Bohr, el átomo radia energía únicamente cuando el
electrón salta de una órbita estacionaria de mayor energía a otra de energía inferior y
cuando el átomo absorbe energía, un electrón salta de una órbita estacionaria a otra de
mayor energía.
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3.4. Desarrollo del modelo de Bohr.
Partiendo de los postulados emitidos y considerando el sistema constituido por un
núcleo de Z número de protones y un solo electrón girando en órbita circular de radio r,
Bohr deduce matemáticamente el radio de la órbita y la energía, Er del átomo.
Suponiendo aplicables en el dominio atómico la ley de Coulomb de la fuerza
electrostática y las leyes del movimiento de Newton, la trayectoria circular del electrón
estará producida por una fuerza centrípeta (mv2/r) que es de naturaleza eléctrica (Ze2/r2):
 ec FF = r
v
m
r
e
Z
2
2
2
= ⇒ 2
2
mv
Ze
r = (4)
siendo: e = la carga del electrón y del protón
v= la velocidad lineal del electrón en su órbita
m = la masa del electrón.
Esta expresión relaciona el radio de la órbita con la velocidad y teniendo en
cuenta la condición de cuantización del momento angular, introducida por el primer
postulado fundamental, que podemos formular así:
 
π2
.
h
nmvr = (5)
donde n es un número entero y positivo, que llamaremos en adelante número cuántico.
Tendremos así, un sistema de ecuaciones (4) y (5), que se resuelven:
de (5) 
nh
mr
v
π21
= sustituyendo en (4) 22
2222 4
hn
rm
m
Ze
r
π
⋅= despejando r :
 222
22
.
.4
nK
Zem
hn
r ==
π
(6)
En cuanto a la energía total del sistema, Er, será la suma de la energía cinética, Ec,
del electrón (ya que el núcleo prácticamente no se mueve) más la energía potencial Ep
del electrón por encontrarse en el campo eléctrico del núcleo.
 pcr EEE += (7)
La energía potencial es de tipo electrostático, pues el electrón se ha acercado des-
de una distancia infinita, donde el campo es nulo y su energía potencial cero, hasta la
distancia r al situarse en la órbita, dentro del campo eléctrico del núcleo.
 
r
Ze
Ep
2
−=(8)
Esta energía es negativa porque al aproximarse desde el infinito una carga negati-
va (el electrón) al campo eléctrico positivo del núcleo, el campo realiza trabajo a costa
del contenido energético que por ende, disminuye. Como en el infinito, la energía po-
tencial es cero, a cualquier distancia finita será negativa.
Como la energía cinética del electrón viene dada por:
2
2
1
mvEc =
la energía total del sistema vendrá dada por (7), o sea:
 
r
Ze
mvEr
2
2
2
1
−= (9)
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como de (4) resulta 
r
Ze
mv
2
2
2
1
2
1
⋅= sustituyendo en (9) tendremos:
r
Ze
r
Ze
r
Ze
Er
222
2
1
2
1
⋅−=−⋅= (10)
y utilizando el valor del radio dado por la ecuación (6) se obtiene:
 22
422
22
222 2.4
2
1
hn
meZ
hn
ZemZe
Er
ππ
−=⋅−= ⇒ 2
1
n
REr ⋅−= (11)
Resulta que tanto el radio, ecuación (6), como la energía de la órbita, ecuación
(11), vienen definidos por ese mismo número n que daba la condición de cuantización
del momento angular. Este número n define el sistema y dándole valor numérico, el
sistema queda determinado. Así, cuando n=1 resulta una órbita de menor radio y de
menor energía que cuando n=2. A estas energías posibles, que determinan órbitas per-
mitidas se les denominan niveles energético.
El sistema absorberá energía cuando el electrón pase
de una órbita de menor energía (n=1) a otra de mayor ener-
gía (n=2), para lo que hará falta vencer la atracción elec-
trostática entre el electrón y el núcleo.
El electrón puede absorber energía en forma de radia-
ción de frecuencia ν. Según esto se podrán explicar los es-
pectros atómicos de la siguiente manera: cuando el electrón
absorbe energía salta a una órbita más externa, (si está en su
 FIG. 3
estado de mínima energía o estado fundamental o normal, n=1, pasará a un estado ex-
citado), y al regresar a la órbita más próxima al núcleo devolverá dicha energía emitién-
dola en forma de radiación cuya frecuencia tendrá un valor definido y concreto. Cada
frecuencia está asociada a una determinada cantidad de energía y depende de la diferen-
cia de energía de los dos niveles entre los que el electrón se ha movido. Como E1 y E2
están cuantizados, la frecuencia ν, tendrá un valor determinado.
Sustituyendo en: νhEE =− 12
los valores de las energías E1 y E2 dados por la ecuación (11) queda:






−=





−−





−=− 2
2
2
1
2
1
2
2
12
1111
nn
R
n
R
n
REE
con lo que la frecuencia ν vendrá dada por la expresión:
 





−= 2
2
2
1
11
nnh
Rν (12)
que es una ecuación análoga a la obtenida empíricamente por Balmer. Bohr calculó,
para el átomo de hidrógeno, el valor de la constante R y obtuvo que:
109737. =teórR cm
-1
que comparándolo con el valor obtenido experimentalmente:
109677.exp =R cm
-1
resulta en excelente concordancia, dentro de los límites usuales de error de los experi-
mentos. El valor numérico del factor anterior varía ligeramente al hacer determinaciones
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más precisas de e y h, pero el impulso dado a la física moderna por la teoría original de
Bohr no es por ello menos importante.
En este sencillo modelo del átomo de hi-
drógeno, el núcleo está en el centro del átomo,
mientras que el electrón puede hallarse en una
cualquiera de las órbitas circulares caracteriza-
das por los números cuánticos n=1,2,3,4,5,…
Mientras el electrón permanece en una órbita no
radia energía, pero cuando salta a una órbita
interior se radia energía en forma de luz. Una
raya de la serie de Balmer del espectro corres-
ponde a un salto del electrón desde una órbita
inicial de número cuántico n mayor que 2, a la
órbita final n=2, (fig.4). La raya roja o raya Hα
de la serie de Balmer corresponde a una transi-
ción desde la órbita de número cuántico ni=3 a
la de número cuántico nf=2.
 FIG. 4
Un átomo, en un instante dado, puede emitir un solo fotón de frecuencia ν, pero,
dado que en la cantidad de hidrógeno que se examina espectroscópicamente hay muchos
átomos, habrá siempre otros átomos que emitirán fotones de diferentes frecuencias (co-
rrespondientes a otros saltos electrónicos), dando como resultado la serie de rayas que
se observa en cada caso. El número relativo de átomos en los que los electrones pasan
de un estado inicial dado aun estado final, también dado, determina la intensidad relati-
va de la raya espectral correspondiente a esta transición electrónica particular.
Además de la serie de Balmer, se han descubierto otros grupos o series de rayas
espectrales del hidrógeno. La serle de Lyman esta enteramente en la región del ultra-
violeta y corresponden a translaciones desde niveles inicia1 ni=2,3,4,5,... al nivel final
nf=l. La serie de Paschen, para la cual nf=3, la serie de Brackett, para la que nf=4 y la
serie de Pfund, cuando nf=5, se encuentran todas ellas en la región del infrarrojo.
3.5. Perfeccionamiento del modelo de Bohr.
Observando ciertas rayas del espectro del hidrógeno con aparatos de gran resolu-
ción se ve que aparecen formadas por grupos de líneas muy juntas, y algunas se desdo-
blan en varias rayas componentes cuando se aplica un campo magnético. La separación
de una raya en varias indica que los niveles de energía están, en realidad, constituidos
por subniveles con energías muy próximas entre sí.
3.5.1. Órbitas de Sommerfeld. Número cuántico secundario.
En 1916, Arnold Sommerfeld sugirió que las órbitas electrónicas pueden ser elíp-
ticas con el núcleo en un foco de la elipse, de forma que para un nivel n existen además
de la órbita circular, la posibilidad de distintas órbitas con distinta excentricidad cuyos
ejes mayores tienen las mismas dimensiones que el diámetro de la órbita circular.
En las órbitas de los planetas alrededor del Sol, predichas por Kepler, la energía
de éstos es función del semieje mayor, pero no de la excentricidad de las órbitas. Si esto
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lo aplicamos al caso de los electrones alrededor del protón, en todas las órbitas de un
mismo nivel (circular o elípticas), el electrón tendría la misma energía, con lo que el
nivel se llamaría degenerado.
Para evitar esto y explicar el desdoblamiento es-
pectral, Sommerfeld aplicó la teoría de relatividad al
electrón y demostró que la trayectoria no era una elip-
se perfecta que se cerrara sobre sí misma sino una
roseta, que puede considerarse como una elipse cuyo
eje mayor verifica una precesión alrededor de un eje
perpendicular a su plano y la energía correspondiente
a cada órbita depende de su semieje mayor y también
de su semieje menor, y a través de él, del momento
angular orbital del electrón.
Como en este modelo de Bohr-Sommerfeld se
sigue con la imagen, ya superada, de electrón como
partícula puntual clásica, los cálculos de Sommerfeld
 FIF. 5
conducen a la aparición de un segundo número cuántico k que puede tomar todos los
valores enteros comprendidos entre 1 y n, es decir: k=1, 2, 3,..., n.
Posteriormente la Mecánica Cuántica demuestra que el Momento Angular orbital
L del electrón está cuantizado y los únicos valores posibles para los diferentes estados,
vienen dados por:
 )1(
2
+= ll
h
L
π
(13)
donde l es el número cuántico orbital o secundario, que para cada nivel n puede valer
l=0,1,2,3,...(n-1). Este número l puede identificarse con k-1 introducido por Sommerfeld
y se designa con las letras s (1=0), p (l=l), d (l=2), f (1=3),… y corresponde a subniveles
de mayor energía para mayor valor de 1.
3.5.2. Efecto Zeeman. Número cuántico magnético.
El físico holandés Pieter Zeeman analizó los espectros deemisión sometiendo
átomos de un solo electrón a un campo magnético intenso. Observó que cada una de las
rayas se desdobla en tres rayas muy juntas (tripletes) al aplicar el campo. Una raya cen-
tral que coincidía en longitud de onda con la inicial, y dos rayas laterales con la misma
diferencia de longitud de onda respecto de la primera. Este efecto que se conoce como
efecto Zeeman normal, se verifica además para todas las líneas de todos los átomos.
Podemos analizarlo considerando la trayectoria del elec-
trón como una espira de corriente dentro de un campo magnéti-
co. El electrón recorre su trayectoria con frecuencia ν=v/2πr o
sea, una intensidad de corriente (carga por unidad de tiempo):
r
ev
e
T
e
I
π
ν
2
===
y su momento magnético, µ, será el de una espira (µ=IA):
 evrr
r
ev
AI
2
1
2
. 2 === π
π
µ (14)
 FIG. 6
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y siendo el Momento Angular: L=r.mv resultará:
 L
m
eL γµ ==
2
(15)
Si el electrón recorre la trayectoria como se indica en la fig.6, ya que la intensidad
de corriente es opuesta al movimiento del electrón, el momento magnético se escribe
vectorialmente así: L
ρρ γµ −= (16)
donde γ es la razón giromagnética o razón magnetomecánica. La ecuación anterior se
suele escribir frecuentemente cambiando la constante γ:
 LB
ρ
η
ρ µµ −= (17)
donde: 2310.282'9
42
−===
m
eh
m
e
B π
µ η A.m2 llamado Magnetón de Bohr.
La interacción del electrón (momento magnético µρ ) con el campo magnético B
ρ
tiene dos aspectos a destacar, la orientación de µρ respecto de B
ρ
 y la energía potencial
del electrón debida a esta interacción. La espira de corriente del electrón experimenta un
momento de fuerza que tiende a alinear µρ con B
ρ
 y dicho momento de fuerza obliga a L
ρ
(y a µρ ) a precesar alrededor de B
ρ
 con una cierta velocidad angular de precesión Ω
ρ
 que
es: BB
ρ
η
ρ µ
=Ω (18)
llamada frecuencia Larmor y es independiente del ángulo θ entre L
ρ
 y B
ρ
 con lo que el
plano de la órbita cambia como indica la fig.6.
La presencia de B
ρ
 supone para el electrón una energía adicional U, dada por:
 BU
ρρ
•= µ (19)
y si tomamos el eje Z como eje de la dirección de B
ρ
 resultará:
 z
BBB BLBLBLU
ηη
ρρ
η
µθµµ −=−=•−= cos.. (20)
siendo Lz la proyección del momento angular del elec-
trón sobre la dirección de B
ρ
. Desde el punto de vista de
la mecánica clásica, para un L
ρ
 dado, Lz puede adquirir
cualquier valor desde cero a L y la energía del electrón
podría ser cualquiera y variar de manera continua. El
efecto Zeeman pone de manifiesto que Lz sólo puede
tener valores discretos cuya expresión nos la propor-
ciona la mecánica cuánt ica:
 
π2
..
h
mmLz == η (21)
siendo m el número cuántico magnético que toma valo-
res dados por 2l+1, comprend idos entre –l y +l, o sea:
lm ±±±±= ,....3,2,1,0
 
 FIG. 7
En la fig.7 se representa la situación para l=2 y se afirma: el campo magnético
cuantifica la orientación del momento angular del electrón.
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La energía U será BmU Bµ−= y la energía total será:
 UEE += 0 (22)
En consecuencia, cada nivel energético, caracterizado por n y l dados, se desdobla
en 2l+1 niveles, con uno de ellos igual al existente inicialmente, sin campo magnético,
(m=0 → E=E0) y de los restantes, la mitad con E>E0 y la otra mitad con E<E0 separa-
dos cada dos de ellos por la misma cantidad de energía BµB proporcional a la intensidad
del campo magnético exterior B.
Si l=0 m=2l+1=1 no hay desdoblamiento para el estado s
Si l=1 m=2l+1=3 hay tres niveles para el estado p
Si l=2 m=2l+1=5 hay cinco niveles para el estado d, etc...
3.5.3. Número cuántico de spin.
Todas las rayas de los espectros, si se observan con espectroscopía de gran poder
de resolución aparecen desdobladas en dos rayas. Se supuso que esta aparición de "do-
bletes" podría deberse a un efecto Zeeman interno, para lo cual debería de existir un
momento magnético dentro del átomo.
Se supuso al electrón como una esfera cargada girando en torno a un eje diametral
y este giro llevaría asociado: 1) un momento angular intrínseco S
ρ
 llamado momento
angular de spin y 2) un momento magnético de spin µρ por tener carga.
La relación entre ambos sería: SS
m
e
g ss
ρρρ γµ −=−=
2
(23)
donde gs es el coeficiente giromagnético cuyo valor experimental es gs≅2.
El campo magnético interno lo proporciona el núcleo,
que, desde el sistema de referencia del electrón, gira en torno
a él con carga Ze y en la posición del electrón, el campo
magnético viene dado por:
 2
000
0 4222 r
Zev
r
Zev
rr
I
B
π
µ
π
µµ
=⋅== (24)
y como L=mvr y por ser 0B
ρ
 y L
ρ
 vectores paralelos se escribe: FIG. 8
 L
mr
Ze
B
ρ
3
0
0 4π
µ
= (25)
Para verificar la existencia del momento magnético de spin se hicieron experi-
mentos consistentes en someter a chorros de átomos a campos magnéticos no homogé-
neos, utilizando átomos como Ag, Na, Li, K, que tienen las capas completas más un
electrón en la última con l=0, lo que debe dar un momento angular total L nulo. Por
ello, si hay desviación de los átomos por el campo magnético externo se deberá a la
existencia de un momento magnético de spin µs del último electrón cuya interacción con
el campo aporta una energía potencial U=−µsB.
Como resultado de los experimentos, el haz se desdoblaba en dos ramas simétri-
cas, demostrando que el electrón último tiene un momento angular de spin S cuya com-
ponente en la dirección de B (eje Z) está cuantizado:
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π2
.
h
ssSz == η (26)
donde s es el número cuántico de spin cuyos dos únicos valores posibles son -1/2 y
+1/2.
En resumen, el electrón quedaba determinado por cuatro números cuánticos: n
(número cuántico principal), l (número cuántico secundario), m (número cuántico mag-
nético) y s (número cuántico de spin).
3.6. Deficiencias del modelo de Bohr.
El modelo atómico de Bohr sólo podía explicar satisfactoriamente los espectros
del átomo de hidrógeno y de los sistemas constituidos por un núcleo y un solo electrón
(átomos e iones hidrogenoides, como el deuterio, He+, Li2+, etc.), pero no explica los
espectros atómicos con más de un electrón. Por ello fue necesario elaborar una teoría
que explique los espectros de los átomos polielectrónicos tomando como base a su es-
tructura.
4. TEORIA MECANO-CUÁNTICA
El modelo de átomo que reemplazó al modelo de Bohr, fue el modelo mecano-
cuántico. Para su explicación debemos recordar previamente, algunos conceptos básicos
que sentaron las bases para la elaboración de la teoría mecano-cuántica.
4.1. Hipótesis de De Broglie.
La luz puede ser considerada de naturaleza corpuscular formada por unas partícu-
las llamadas fotones, equivalentes a pequeños paquetes de energía cuantizada, de valor
hν. Pero al mismo tiempo, muchas de sus propiedades sólo pueden interpretarse cons i-
derando a la luz de naturaleza ondulatoria, es decir, formada por ondas electromagnéti-
cas que se propagan en el vacío. La luz puede considerarse pues, de dos naturalezas
complementarias, como onda y como corpúsculo. En esto consiste la dualidad onda-
corpúsculo de la luz.
Considerando la ecuación de la energía de un fotón E=hν y la ecuación de Eins-
tein que relaciona la masa y la energía E=mc2, y combinándolas adecuadamente se ob-
tiene una expresión que nos da el momento lineal del fotón:
 
c
h
mcp
ν
== (27)
Por otro lado, Compton aplicó las leyes de conservación del momento lineal y de
la energía,al choque de un fotón con un electrón libre y predijo la variación del mo-
mento lineal o frecuencia del fotón para varios ángulos de la radiación dispersada con
relación a la radiación incidente, (efecto Compton).
Louis De Broglie, en 1924, sugirió que la dualidad onda-corpúsculo no está res-
tringida a la luz, sino que también las partículas deben de tener una onda asociada. Para
partículas en general, la longitud de onda de la onda asociada, viene dada por:
 
mv
h
p
h
==λ (28)
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siendo m la masa de la partícula y v la velocidad con que se mueve.
Esta dualidad se da en toda la materia, aunque en los objetos de gran masa (es de-
cir, en el mundo macroscópico), la λ asociada es tan pequeña que no puede siquiera
detectarse, por lo que sus propiedades se describen mejor como partículas materiales
que como ondas. Por el contrario, en las partículas sumamente pequeñas, las propieda-
des se describen mejor considerando su carácter ondulatorio.
4.2. Principio de indeterminación de Heisenberg.
Al intentar expresar en lenguaje matemático la relación entre la posición del elec-
trón y su contenido energético, surge la primera dificultad. Esta fue expresada por Wer-
ner Heisenberg, en 1927, de la forma siguiente: No se puede conocer simultáneamente
la posición exacta del electrón y el valor exacto de su momento lineal, o lo que es lo
mismo de su velocidad.
Esto significa que si en un instante dado, hay gran certeza en conocer el valor del
momento lineal del electrón, determinado con una gran precisión, existirá una cierta
incertidumbre en conocer su posición y no se podrá determinar con exactitud. Esta cir-
cunstancia es inherente al proceso de medición. Para medir la posición de un electrón se
emplea, por ejemplo, una radiación luminosa para que, cuando choque con el electrón,
éste la refleje y pueda así observarse. Pero debido al choque entre el fotón y el electrón
se produce una variación en la velocidad (y de su momento lineal).
Hay que cambiar la idea de posición exacta y momento lineal exacto por los nue-
vos conceptos de probabilidad de tener una posición determinada y probabilidad de po-
seer una velocidad (o momento lineal) determinada. Con el principio de indetermina-
ción se introduce el concepto de probabilidad: a menor indeterminación, el intervalo de
error es menor y la probabilidad es mayor.
Hablar de una mayor probabilidad de encontrar al electrón en una posición deter-
minada es lo mismo que decir que la densidad electrónica es mayor en dicha posición.
Por tanto, la densidad electrónica es proporcional a la probabilidad de que el electrón se
encuentre en una determinada posición.
4.3. La función de onda.
En Mecánica Cuántica la amplitud de la onda de materia asociada a una partícula
se describe por una función llamada función de onda, representada por Ψ.
Al igual que en ondas mecánicas y electromagnéticas, la función de onda de una
partícula contiene información completa sobre su movimiento. Sin embargo, así como
en las ondas clásicas, la amplitud tiene un sentido físico claro (elongación en las ondas
mecánicas, campo eléctrico o magnético en las ondas electromagnéticas) en las ondas
de materia asociada a la partícula, la amplitud carece de sentido físico. El significado de
la función de onda fue sugerido por Max Born:
El cuadrado de la función de onda 
2
Ψ en un punto del espacio en un instante
dado, representa la probabilidad de encontrar la partícula en esa posición y en ese
instante.
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Más concretamente, si en un momento dado se realiza una medida para localizar
una partícula en un volumen elemental dV en torno a punto r, la probabilidad de encon-
trarlo viene dada por:
 ( ) dVrP .2Ψ=ρ (29)
donde 
2
Ψ mide la densidad de probabilidad.
La Naturaleza a escala microscópica no es determinista, es decir, partiendo de
unas condiciones iniciales no se puede asegurar en qué forma va a evolucionar un sis-
tema cuántico, solamente se puede afirmar que una cierta situación posterior tiene una
probabilidad determinada de producirse.
5. MODELO MECANO-CUÁNTICO DEL ÁTOMO
5.1. Ecuación de Schrödinger.
En 1926, Erwin Schrödinger, propuso la ecuación que lleva su nombre. Su objeti-
vo era describir el comportamiento de una partícula subatómica de la misma forma que
las partículas macroscópicas eran descritas por la mecánica clásica. La ecuación de onda
en tres dimensiones es:
 ( ) 08 2
2
2
2
2
2
2
2
=Ψ−+
∂
Ψ∂
+
∂
Ψ∂
+
∂
Ψ∂
UE
h
m
zyx
π
(30)
donde: Ψ es la función de onda
x, y, z son las coordenadas en el espacio
m es la masa de la partícula
h es la constante de Planck
E es la energía total y
U es la energía potencial en un campo de fuerzas.
Schrödinger estableció esta expresión matemática que relacionaba las propiedades
ondulatorias del electrón en el átomo, con su contenido energético, y que le dotaba de
una naturaleza dual. Esta ecuación de onda se resuelve para obtener la expresión de Ψ y
los valores de la energía. Sólo es posible realizar la resolución exacta de la ecuación de
Schrödinger para el átomo de hidrógeno, que es el átomo más simple, constituido por un
protón y un electrón.
En el desarrollo matemático de su resolución se encontró que las soluciones de la
ecuación están caracterizadas por tres parámetros o números cuánticos n, l y m. Ade-
más, no todas las soluciones son físicamente aceptables ya que hay que imponer unas
limitaciones a la función de onda Ψ.
1. Ψ debe tener un solo valor, ya que si no fuera valor único, podría haber dos o
más posibilidades de encontrar la partícula en un punto dado.
2. Ψ debe ser finita ya que el valor de Ψ2 debe ser finito pues representa una pro-
babilidad.
3. Ψ debe ser continua. Todas las ondas reales son continuas.
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Esto exige que la función de onda debe ser continua, unívoca y finita, verificando
la condición de normalización:
 ∫ =ΨV dV 1.
2
(31)
donde la integral está extendida a todo el espacio.
Cada situación particular tiene su ecuación y su solución correspondiente, dife-
rentes unas de otras por la forma de la energía potencial U. Así por ejemplo, para una
partícula con U=0 (partícula libre) existe solución continua, unívoca y finita cualquiera
que sea el valor de E. Para un electrón en el átomo de hidrógeno, en el que la energía
potencial es U=-Ke2/r, solamente se obtienen soluciones con sentido físico para deter-
minados valores de E, que coinciden precisamente con las energías de los estados esta-
cionarios de la teoría de Bohr. Quiere esto decir que de la ecuación de Schrödinger y de
la condición de normalización se deduce de forma natural la cuantización de la energía
de una partícula no libre.
Por tanto, sólo existirán soluciones aceptables para valores determinados de los
números cuánticos. Cada solución concreta y aceptable para unos valores concretos de
n, l y m, da la expresión de una función de onda determinada, Ψ, que describe el estado
de un solo electrón, y es lo que denominamos orbital.
5.2. Concepto de orbital.
Las funciones de onda, Ψ(x,y,z), en sí mismas no tienen sentido físico. Su cuadra-
do Ψ(x,y,z)2, nos da la probabilidad de encontrar al electrón en un punto de coordena-
das x,y,z. De la misma forma Ψ.dV será la probabilidad de encontrar al electrón en un
volumen dado por dV o la llamada densidad electrónica en ese volumen.
Si pudiéramos considerar el átomo de hidrógeno con di-
mensiones macroscópicas y hacerle fotografías en distintos ins-
tantes, captaríamos al electrón en una posición diferente en cada
una de esas instantáneas. Si superpusiéramos todas esas fotogra-
fías, tendríamos alrededor del núcleo una serie depuntos que re-
presentan la posición del electrón en cada momento, fig.9. A esta
imagen se le denomina densidad de probabilidad, densidad elec-
trónica o nube de carga.
 FIG. 9
Las zonas más oscurecidas son aquellas en donde el electrón ha estado más veces,
es decir, donde la probabilidad de encontrar al electrón es mayor. Por tanto, el conjunto
representa las diferentes probabilidades de encontrar al electrón alrededor del núcleo.
Si trazamos una superficie imaginaria que una los puntos
de igual probabilidad y que recoja dentro de ella la probabilidad
del 90-99% de encontrar al electrón, observaremos la superficie
límite de probabilidad con lo que podremos visualizar la "forma"
de la densidad electrónica y la forma del orbital.
Muchas veces se utiliza el término orbital para designar a
estos espacios o volúmenes de probabilidad, aunque en un senti- FIG. 10
do estricto, el orbital sea la función de onda, Ψ, y no Ψ2.
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5.3. Números cuánticos. Valores y significado.
Las soluciones de las ecuaciones de Schrödinger y de Dirac (Paul Dirac, en 1928,
reformuló la mecánica cuántica electrónica, teniendo en cuenta los efectos de la relati-
vidad, de donde surgió el cuarto número cuántico), para el átomo de hidrógeno dan fun-
ciones de onda que describen los diferentes estados disponibles para el único electrón
existente en dicho átomo. Cada uno de los estados posibles se describen mediante cua-
tro números cuánticos.
A continuación se define cada uno de los cuatro números cuánticos y el rango de
valores que pueden tomar:
1. El número cuántico principal, n, describe el nivel de energía principal que el
electrón ocupa. Puede tomar cualquier valor entero positivo: n=1, 2, 3, 4,…
2. El numero cuántico secundario o azimutal, l, indica la forma de la región del
espacio que ocupa el electrón. Dentro de cada nivel de energía (definido por el valor de
n), l puede tomar naturales desde cero hasta n-l inclusive: l=0, 1, 2, 3,… (n-1).
El número cuántico azimutal indica el subnivel o un tipo específico de orbital
atómico que el electrón puede ocupar. Se usa una notación por letras para indicar cada
valor de l. Cada letra corresponde a un tipo distinto de orbital atómico:
l =0(s), 1(p), 2(d), 3(f), 4(g),... (n-1)
3. El número cuántico magnético, m, indica la orientación espacial del orbital
atómico. En cada subnivel, m puede tomar valores naturales comprendidos entre -l hasta
+l, incluyendo el cero: m = (-l),…−2, −1, 0, +1, +2, ...(+l)
4. El número cuántico de spin, s, se refiere a los valores cuantizados del momento
angular por el giro del electrón alrededor de su eje diametral y la orientación del campo
magnético que éste produce. El número cuántico de spin, sólo puede tomar los dos valo-
res s=−1/2 y s=+1/2.
Los valores de n, l y m describen un orbital atómico determinado. Cada orbital
atómico sólo puede acomodar a dos electrones, cada uno con spines diferentes, o sea,
uno con s=−1/2 y otro con s=+1/2.
 NUMEROS CUANTICOS
n l M s Capac. Electrón.(Subnivel)
Capac.electrón.
(Nivel)
1 (K) 0 (1s) 0 ±1/2 2 2
2 (L)
0 (2s)
1 (2p)
0
-1,0,+1
±1/2 cada
valor de m
2
6 8
3 (M)
0 (3s)
1 (3p)
2 (3d)
0
-1,0,+1
-2,-1,0-+1,+2
±1/2 cada
valor de m
2
6
10
18
4 (N)
0 (4s)
1 (4p)
2 (4d)
3 (4f)
0
-1,0,+1
-2,-1,0-+1,+2
-3,-2,-1,0,+1,+2,+3
±1/2 cada
valor de m
2
6
10
14
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5.3.1. Orbitales s, p, d.
5.3.1.1. Orbitales s
Si consideramos el orbital 1s, en el que n=1, l=0 y m=0,
al resolver la ecuación resulta que Ψls es función únicamente
de r, distancia del electrón al núcleo. Por otra parte, la proba-
bilidad de encontrar al electrón en una capa esférica de radio r,
con centro en el núcleo y espesor dr, fig.11 será:
drr 22 4πΨ
Representando esta probabilidad frente a la distancia al
núcleo r, resulta una curva que es lo que se denomina distribu- 
FIG. 11
bución radial de la probabilidad, y que para el orbital 1s tiene la forma de la fig.12. La
probabilidad máxima de encontrar al electrón se halla a distancia r0 del núcleo. Este
valor de r0 calculado para el átomo de hidrógeno resultó ser de 0’529 Å. Dicho valor es
el mismo que el obtenido por la fórmula de Bohr, pero hay que diferenciar entre los dos
conceptos puesto que la órbita de Bohr tiene un va-
lor fijo, el electrón sólo puede encontrarse (para la
órbita 1s) a esa distancia r0 del núcleo, mientras que
en la teoría mecano-cuántica, el concepto de r0 indi-
ca la distancia donde la probabilidad de encontrar al
electrón es máxima.
Análogamente, para cua lquier orbital s de los
 FIG. 12
distintos niveles energéticos, se obtendrá una función de onda Ψ que será únicamente
función de r.
5.3.1.2. Orbitales p.
Si consideramos los valores n=2 y l=1, m podrá tomar los valores +1, 0, -1. Al re-
solver la ecuación de Schrödinger, se obtienen tres funciones de onda diferentes. Co-
rresponden a los tres orbitales designados 2px, 2py, 2pz. Estas funciones de onda son más
complicadas que las de los orbitales s, y son funciones, no sólo de la distancia al núcleo,
r, sino de dos ángulos relacionados con la posición del electrón respecto a los ejes coor-
denados.
Al representar las
superficies de probabi-
lidad se obtienen unas
figuras que están for-
madas por dos lóbulos
simétricos, dirigidos a FIG. 13
lo largo de cada uno de los ejes coordenados, estando el núcleo en el origen de coorde-
nadas. Existe en cada caso, un plano en el que el valor de Ψ es cero y, por tanto, la pro-
babilidad de encontrar en él al electrón es nula. Es lo que se llama plano nodal.
5.3.1.3. Orbitales d.
Si consideramos los valores n=3, l toma los valores 0, 1 y 2. Concretamente, en el
caso de l=2, m puede tomar cinco valores diferentes que son m=-2,-1,0,+1,+2. Al resol-
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ver la ecuación de onda para estos valores, resultan cinco orbitales tipo d, que suelen
representarse como:
xyd yzd xzd 22 yxd − 2zd
cuyas superficies de probabilidad aparecen representadas en la fig.14.
FIG. 14
Para los cuatro primeros, la forma del orbital es análoga, formada por dos pares de
lóbulos situados en el mismo plano, perpendiculares entre sí aunque diferente orienta-
ción en el espacio. La superficie de probabilidad del último orbital d(z2) consta sólo de
un par de lóbulos alineados a lo largo del eje Z y de un anillo situado en el plano XY.
5.4. Modelo orbital. Niveles de energía.
Hasta ahora hemos estado representando, para los distintos orbitales, las superfi-
cies de probabilidad. Sin embargo, en algunas ocasiones, en lugar de Ψ2, se representa
en el espacio la función Ψ, con su superficie límite correspondiente. Lo que se repre-
senta no es ya la probabilidad, sino el orbital mismo. Esto es lo que llamamos modelo
orbital.
Para los orbitales s, este modelo también es esférico. Sin embargo para los orbi-
tales p surgen diferencias respecto al modelo de probabilidad. Son también dos lóbulos,
aunque de forma algo diferente, y orientados a lo largo de un eje coordenado, con un
plano nodal, siendo un lóbulo positivo y el otro negativo. Este modelo, aunque se utilice
menos, es necesario tenerlo en cuenta.
Niveles de Energía. Cada solución aceptable de la ecuación de onda u orbital, que
llamaremos genéricamente Ψl, lleva asociado un valor determinado de la energía, Ei.
Partiendo de la ecuación de Schrödinger se llega a la fórmula para los niveles de energía
del electrón en el átomo de hidrógeno:
 22
422
hn
em
E en
π
−= (32)
Esta fórmula es idéntica a la determinada en la teoría de Bohr. Cumple la cond i-
ción de que, en el átomo de hidrógeno, la energía dependesólo del número cuántico
principal n y por tanto, para cada n resulta un único valor de la energía.
Por tanto, al resolver la ecuación de Schrödinger, para el átomo de hidrógeno, se
llega a la conclusión de que el sistema sólo puede existir en unos estados estables de-
terminados, cada uno de los cuales viene definido por una función de onda u orbital
determinado y tiene una energía también determinada. El éxito de este modelo fue que
al calcular con él los valores de la energía, éstos coincidieron con los obtenidos experi-
mentalmente por métodos espectroscópicos.
La interpretación cuántica de la radiación es diferente de la hecha en el modelo de
Bohr. En éste, el electrón saltaba de un nivel a otro interior de menor radio a través de
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una zona en la que le estaba prohibido existir. En la mecánica cuántica, al sustituir la
órbita electrónica por una "nube de carga" distribuida con una cierta densidad de carga
por todo el átomo, la radiación es consecuencia de la variación de la distribución de
carga, y no del movimiento del electrón.
5.5. Átomos polielectrónicos.
Al intentar buscar las soluciones de la ecuación de Schrödinger para átomos po-
lielectrónicos, surgen grandes dificultades en el desarrollo matemático. Hay que cons i-
derar que ahora, un determinado electrón no está sujeto solamente a la acción del nú-
cleo, sino también a la de los demás electrones del átomo que se encuentran en niveles
inferiores, por lo que habrá de tenerse en cuenta las distancias interelectrónicas. Todas
estas variables han de ser traducidas al lenguaje matemático e introducidas en la ecua-
ción de ondas, aunque es imposible obtener una solución exacta, teniéndose que recurrir
a métodos aproximados.
Una aproximación consiste en considerar que el electrón que se estudia está situa-
do en el campo eléctrico creado por el núcleo y el efecto de los demás electrones. Re-
sulta así que cada electrón del átomo viene definido por una determinada función de
onda, Ψ. La Ψtotal del átomo sería el producto de las Ψ respectivas de cada electrón. Al.
resolverlo matemáticamente salen de nuevo los números n,l,m y s.
Al realizar un estudio matemático mediante curvas de distribución de probabilidad
resultó que:
- Los electrones están situados en capas más o menos concéntricas alrededor del
núcleo.
- Los electrones más internos están muy próximos al núcleo, formando a su alre-
dedor una especie de pantalla. Los electrones externos están mucho más separados. Al
estar los electrones internos tan próximos al núcleo, resulta como si la nube de carga
estuviera sólo determinada por los electrones externos.
En el átomo de hidrógeno, los orbitales con un mismo número n (ns, np, nd, nf)
tienen igual energía, aunque su aproximación al núcleo no sea la misma. Sin embargo,
en los átomos polielectrónicos la energía ya no será igual. El apantallamiento de los
electrones internos disminuye la acción del núcleo sobre los electrones más externos.
El electrón situado en un orbital s, (que se encuentra más próximo al núcleo) nota-
rá menos el apantallamiento, y se necesitará más energía para separarlo, que si estuviera
situado en un orbital p; en un orbital p se requerirá más energía que en un orbital d, etc.
No obstante los orbitales p de un mismo número n, tienen igual energía, así como los d
o los f. Estos orbitales que corresponden al mismo contenido energético se llaman orbi-
tales degenerados.
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Kenneth W.WHITTEN y Kenneth D.GAILEY. Química General. Nueva Editorial
Interamericana, S.A. 1986. MEJICO.
Soledad ESTEBAN SANTOS y Raquel NAVARRO DELGADO. Química Gene-
ral. Tomo 1. U.N.E.D. 1983. MADRID.
Paul ANDER y Anthony J.SONNESSA. Principios de Química. Introducción a
los Conceptos Teóricos. Editorial Limusa. 1989. MÉJICO.
R.J.GILLESPIE, D.A.HUMPHREYS, N.COLLIN y ROBINSON. Química. Ed i-
torial Reverté. 1989. BARCELONA.
Iran N.LEVINE. Físico-Química. Editorial McGrawHill. 1994. MADRID.
R.DIAZ PEÑA y ROIG MUNTANER. Química Física. Editorial Alhambra.
1975. MADRID.
Bodie E.DOUGLAS y Darl H.MCDANIEL. Conceptos y Modelos de Química
Inorgánica. Editorial Reverté. BARCELONA.
James E.HUHEEY. Química Inorgánica. Harla, S.A. MÉJICO.
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Tratamiento Didáctico
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OBJETIVOS
Comprensión del modelo de átomo, exponiéndolo desde una perspectiva histórica,
desde Demócrito hasta el modelo mecano-cuántico.
Exponer las sucesivas modificaciones del modelo atómico que se derivan del avance
del conocimiento debido a los cada vez más perfeccionados resultados experimentales.
UBICACIÓN
El tema se ubica en el Bachillerato, tanto en lº curso, en la asignatura de Física y
Química, como en 2° curso en la asignatura de Química. El 4° curso de ESO se dan
unas leves nociones sobre los modelos atómicos, aunque su desarrollo más complejo,
según el guión del tema se realiza en el Bachillerato.
TEMPORALIZACION
La exposición del tema en los distintos cursos depende de la profundidad con que se
imparta su contenido, pero la totalidad del tema exige al menos 8 horas de clase en ex-
plicación casi exclusiva y un complemento en horas para el examen de los modelos en
laboratorio.
METODOLOGIA
Explicación exhaustiva y sistemática de los conceptos y leyes fundamentales del te-
ma, especialmente la explicación del experimento de Rutherford, su interpretación y el
establecimiento de su modelo, así como la deducción del modelo de Bohr.
Deben utilizarse símiles y modelos de laboratorio que ilustren la configuración del
átomo y debe obviarse el aparato matemático que acompaña al modelo mecanocuántico.
Es importante insistir en el concepto de probabilidad, imprescindible para la com-
prensión del modelo cuántico del átomo.
Resolver problemas numéricos relacionados con los modelos estudiados en el tema.
CONTENIDOS MINIMOS
Concepto histórico de átomo.
Modelo planetario de Rutherford. Orbitas de electrones y núcleo.
Modelo de Bohr y condiciones a cumplir.
Descripción de espectros.
Postulados de Bohr y su modelo planetario.
Modelo de Bohr completo. Extensión a átomos polielectrónicos.
Necesidad del Modelo mecano-cuántico. Concepto de orbital.
Modelo mecano-cuántico basado en la ecuación de Schrödinger.
Números cuánticos y orbitales atómicos.
Configuración electrónica.
MATERIALES Y RECURSOS DIDACTICOS
Libro de texto. Libros de consulta de química general.
Sistema periódico mural. Modelos de orbitales.
Transparencias para retroproyector, especialmente de las configuraciones que se de-
rivan de la teoría de orbitales.
EVALUACION
Ejercicio escrito sobre conceptos fundamentales: órbitas, cuantos orbitales, números
cuánticos, postulados Bohr, probabilidad.
Prueba escrita de opción múltiple, con preguntas de varias respuestas, sobre cuestio-
nes básicas del tema.